Difusão do cloreto de sódio no processo de salga de queijos: modelagem matemática com o emprego do método de elementos finitos

The sodium chlorid diffusion during cheese brining: matematical model applying the finite element method

Resumos

A transferência de um soluto (cloreto de sódio), através de uma matriz sólida tridimensional (queijo) foi estudada aplicando-se o método de elementos finitos. A formulação variacional (Galerkin) do problema diferencial (modelo de difusão) teve como base teórica a 2ª lei de Fick. Os procedimentos para integração no tempo foram o de Crank-Nicolson e o de Euler-modificado, que foram escolhidos por apresentarem estabilidade incondicional. O programa computacional desenvolvido mostrou-se versátil para resolver situações de amostragem em condições mais realistas e pode ser aplicado para geometrias complexas. O modelo proposto permitiu uma boa estimativa do ganho de sal no queijo, usando um coeficiente de difusão cujo valor pode ser obtido por extrapolação de dados experimentais. A aplicação do método numérico (MEF), com o esquema de Crank-Nicolson, na simulação da difusão do cloreto de sódio na salga de queijos, mostrou boa aproximação quando os resultados foram comparados com os valores experimentais encontrados na literatura especializada.

simulação; elementos finitos; difusão; salga de queijo

DIFUSÃO DO CLORETO DE SÓDIO NO PROCESSO DE SALGA DE QUEIJOS: MODELAGEM MATEMÁTICA COM O EMPREGO DO MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS¹

Rui Sérgio Ferreira SILVA², Dionisio BORSATO³, Luiz Henry Monken SILVA⁴

RESUMO

A transferência de um soluto (cloreto de sódio), através de uma matriz sólida tridimensional (queijo) foi estudada aplicando-se o método de elementos finitos. A formulação variacional (Galerkin) do problema diferencial (modelo de difusão) teve como base teórica a 2^a lei de Fick. Os procedimentos para integração no tempo foram o de Crank-Nicolson e o de Euler-modificado, que foram escolhidos por apresentarem estabilidade incondicional. O programa computacional desenvolvido mostrou-se versátil para resolver situações de amostragem em condições mais realistas e pode ser aplicado para geometrias complexas. O modelo proposto permitiu uma boa estimativa do ganho de sal no queijo, usando um coeficiente de difusão cujo valor pode ser obtido por extrapolação de dados experimentais. A aplicação do método numérico (MEF), com o esquema de Crank-Nicolson, na simulação da difusão do cloreto de sódio na salga de queijos, mostrou boa aproximação quando os resultados foram comparados com os valores experimentais encontrados na literatura especializada.

Palavras chaves: simulação, elementos finitos, difusão, salga de queijo.

SUMMARY

THE SODIUM CHLORID DIFFUSION DURING CHEESE BRINING: MATEMATICAL MODEL APPLYING THE FINITE ELEMENT METHOD. Solute (sodium chloride) transference through a three-dimensional matrix (cheese) was studied applying the finite element method (MEF). The variational formulation (Galerkin) of the differential problem (diffusion model) had as the theoretical basis Fick’s second law. The methods for time integration were developed according to Crank-Nicolson (central difference), and modified Euler (backward difference), which presented unconditional stability. The computational program proved to be versatile in solving sampling situations in realistic condition and can be used in complex geometry. The proposed method gave good estimation of salt gain in the cheese when using a diffusion coefficient which value can be calculated by extrapolation of experimental data. The application of numeric method (MEF), with Crank-Nicolson scheme, in the simulation of diffusion of sodium chloride in the brining showed to be close to the values published in specialized literature.

Key words: simulation, finite element, diffusion, cheese brining.

1 - INTRODUÇÃO

Vários modelos matemáticos, a partir dos anos 60, vêm sendo utilizados nos estudos envolvendo os fenômenos de transporte. Esses modelos são de grande valia para o projeto, simulação e otimização de processos.

CARSLAW & JAEGER (4) e CRANK (8) apresentaram soluções analíticas, obtidas através do método de separação de variáveis ou por transformadas de Laplace, para as equações diferenciais que governam a condução de calor e a difusão de massa, em geometria (placa plana, cilindro e esfera) e condições de contorno simples, supondo, ainda, constantes as propriedades dos materiais estudados. Quando as condições de contorno variam com o tempo e/ou a geometria é complexa, os métodos analíticos, em geral, não podem ser utilizados. Nestes casos, quando é preciso obter informações quantitativas é inevitável a aplicação de métodos numéricos, que resolvem problemas de transporte em condições mais realistas (5).

Dentre os métodos numéricos, o método de elementos finitos (MEF) apresenta aplicabilidade geral, vantagens computacionais e resultados semelhantes aos obtidos pelo método analítico (2, 5). TURNER et al (30) publicaram, tanto quanto se sabe, a primeira aplicação do MEF na solução de problemas estruturais seguido por CLOUGH (6) e ARGYRIS (1). A aplicação de elementos finitos em problemas não estruturais como os de escoamento de fluídos e de eletromagnetismo foi iniciada por ZIENKIEWICZ & CHEUNG (32). WILSON & NICKELL (31) aplicaram o MEF na análise da condução de calor, em sólidos com geometria complexa, utilizando uma formulação variacional.

As vantagens do MEF, para resolver problemas de transferência de calor em alimentos, foram descritas por SINGH & SEGERLIND (28), SEGERLIND (26) e DeBAERDEMAKER, SINGH & SEGERLIND (9). HAYAKAWA & SUCCAR (17) investigaram a transferência simultânea de calor e de massa em produtos frescos de geometria esférica (batatas, tomates, etc.), aplicando formulação de elementos finitos. NAVEH, KOPELMAN & PFLUG (23) estudaram a distribuição de temperatura no processo de esterilização de um produto com geometria assimétrica através do emprego do MEF. LOMAURO & BAKSHI (20) utilizaram o método de elementos finitos com o objetivo de simular a difusão da água em diferentes grupos de alimentos. SASTRY, BEELMAN & SPERONI (24) empregaram o MEF, em modelo tridimensional, com o objetivo de estudar a transferência de calor e de massa em corpos irregulares (cogumelos) e simular a degradação da agaritina em cogumelos enlatados.

Um dos processos de transferência de massa importante em condições isotérmicas é o processo de salga e maturação do queijo. A maior parte dos queijos é curada, sendo a salga uma das principais etapas na sua produção (11,12). Os queijos nacionais, como por exemplo o queijo prato, têm apresentado uma grande variabilidade no seu teor salino de acordo com levantamento recente (27). GEURTS, WALSTRA & MULDER (13, 14) estudaram a difusão do sal no queijo Gouda, durante a salga, considerando-o um meio semi-infinito e estimando o coeficiente de difusão. GUINEE & FOX (15) apresentaram um estudo similar, para o queijo Romano, durante a salga em salmoura. LUNA & BRESSAN (21) investigaram a difusão do cloreto de sódio no queijo Quartirolo Argentino, na forma de uma geometria paralelepipédica, durante a salga. Os mesmos autores utilizaram o coeficiente de difusão do cloreto de sódio proposto por GEURTS, WALSTRA & MULDER (13).

TURHAN & KALENTUÇ (29) desenvolveram e avaliaram dois modelos matemáticos com o objetivo de descrever o processo de difusão do cloreto de sódio durante a cura de queijo semi-duro, após diferentes condições de salga. ZORRILHA & RUBIOLO (34) estudaram a salga e a maturação do queijo tipo Fynbo (semi-duro), modelando o movimento de NaCl e KCl através da equação generalizada de Fick, considerando a difusão na direção axial e radial de um cilindro finito

O objetivo desse trabalho foi estudar a difusão do cloreto de sódio durante a salga de queijos com o emprego de um programa computacional versátil, desenvolvido para tratar problemas de amostragem e geometrias típicas, em condições mais realistas para produtos alimentícios, onde a solução numérica seria a única ou pelo menos a mais conveniente. Para a comparação dos dados obtidos pelo método de elementos finitos, na simulação da difusão do cloreto de sódio durante a salga de queijos, foram utilizados os resultados obtidos por LUNA & BRESSAN (21) e GUINEE & FOX (15). Essa escolha comparativa foi conveniente por abranger respectivamente queijo macio e duro.

2 - MODELAGEM MATEMÁTICA E TRATAMENTO NUMÉRICO

Para a modelagem matemática do processo utilizou-se a 2^a lei de difusão de Fick para regime não estacionário (transitório), que é valida para expressar o ganho de sal no queijo (21, 33, 34).

Rigorosamente, a salga é um processo difusivo tridimensional em regime não estacionário com fronteiras fixas (16). Pode, então, ser referida a um sólido homogêneo, rígido e finito. O processo é realizado em condições praticamente isotérmicas (16). Além disso, na salga considerou-se, de acordo com LUNA & BRESSAN (21), que não há transferência convectiva de massa nos poros.

Quando o soluto está dissolvido no líquido ocluído e os poros na matriz sólida são pequenos, contínuos e não contém estreitamentos ou reduções abruptas, considerações estruturais e/ou de composição podem levar a simplificações na estimativa do coeficiente de difusão (25). Considerações análogas levaram GEURST, WALSTRA & MULDER (13) a postularem os principais fatores para a estimativa do coeficiente (efetivo) de difusão (D*) do NaCl em queijos, o que originou nomograma relacionando D* com o teor (%) de água no queijo, parametrizado pelo conteúdo de gordura (g/100g) em base seca, antes da salga.

A formulação em elementos finitos aplicada ao modelo de difusão, no processo de salga, foi a de Galerkin (2, 3, 5, 7, 19). Foi considerado um queijo que ocupa um volume W Ì R³ tal que, W º [-R₁, R₁ ]x[-R₂, R₂ ]x[-R₃, R₃ ], associado a um sistema de coordenadas cartesianas x, y, z com origem no centro geométrico do queijo.

A concentração C (x,y,z,t), em um instante t, num ponto P(x,y,z) Î W foi descrita por meio da equação diferencial (2^a lei de Fick):

¶C/¶t = D* ѲC, em W x (0, ¥)

(1)

acompanhada pela condição de contorno, equação (2), do tipo Dirichlet (5), em que a concentração do soluto, na superfície do queijo, é igual a concentração na salmoura,

C (x,y,z,t) = C_s, em (x,y,z,) Î ¶W, t > 0

(2)

sendo C_s, a concentração de NaCl na salmoura, considerada constante e pela condição inicial,

C (x,y,z,0) = C₀, (x,y,z) Î W

(3)

onde C₀ é a concentração inicial do NaCl no queijo.

Foram utilizados, na discretização temporal, os algoritmos de Crank-Nicolson ou diferença central e de Euler-modificado ou para trás (2, 7, 10). O domínio espacial foi representado por um conjunto de elementos hexaédricos do tipo C⁰, "Serendipity". Cada elemento possui 20 nós nas arestas e vértices de sua superfície externa (3).

A difusão do cloreto de sódio no processo de salga do queijo Quartirolo (21) foi simulada utilizando-se uma malha contendo 480 elementos com 2,0 cm de comprimento, 0,3 cm de largura e 1,75 cm de altura dispostos na região compreendida ao longo de 1,5 cm das faces externas. Na parte central do queijo foram distribuídos outros 96 elementos com 2,0 cm de comprimento, 10,5 cm de largura e 1,75 cm de altura, somando-se ao todo 576 elementos e 3081 nós. A malha apresentou um maior número de elementos nas proximidades da superfície, porque para pequenos intervalos de tempo, o processo de difusão só ocorre a pequenas distâncias da superfície (21). A Figura 1, sem preocupação de escala, mostra essa distribuição e apresenta em detalhes a seqüência da numeração dos elementos na malha (Figura 1a) e a numeração dos nós no primeiro (Figura 1b) e último elemento (Figura 1c).

As concentrações médias, em g de NaCl/ 100 g de queijo em base seca, nos procedimentos de simulação em cada intervalo de tempo para efeito de comparação com os dados apresentados por LUNA & BRESSAN (21), foram obtidas através da média dos 5 primeiros elementos dispostos ao longo de 1,5 cm do eixo X como mostra a Figura 1a (sem escala). A concentração média de cada elemento foi calculada através do emprego das funções de interpolação (3).

O processo de difusão do cloreto de sódio na salga do queijo tipo Romano (15, 16) foi simulado utilizando-se uma malha contendo 576 elementos isoparamétricos dispostos de acordo com a Figura 2a (sem escala). Utilizou-se elementos de 2,0 cm de comprimento, 0,75 cm de largura e 5,0 cm de altura. Nas proximidades das faces laterais, os elementos sofreram distorções para poderem acompanhar a geometria (cilíndrica) do queijo estudado.

As concentrações, em intervalos de tempo, durante a salga para efeito de comparação com os dados (gráficos) experimentais (perfis de concentração salina) apresentados por GUINEE & FOX (16), foram obtidas calculando-se a média das concentrações em cada um dos seis cortes do plano X-Z (Figura 2b) ao longo da altura do queijo cilíndrico em cada intervalo de tempo. Para fins comparativos, adotou-se a definição de desvio percentual (18).

O programa desenvolvido em linguagem FORTRAN Vetorial recebeu o nome "SIMUL" para o computador IBM 3090 modelo 17J com Vector Facility, memória central de 64 MB e ciclo de máquina de 17,2 nanosegundos do Núcleo de Processamento de Dados (NPD) da Universidade Estadual de Londrina. Por apresentar características modulares o mesmo programa pode servir para outras simulações de processos difusivos.

A Figura que representa os perfis de distribuição salina na simulação do processo de difusão durante a salga do queijo tipo Romano foi obtida através da aplicação do Microsoft Excel 97.

3 - RESULTADOS E DISCUSSÃO

3.1 - Simulação da difusão do NaCl no processo de salga do queijo Quartirolo.

Na Tabela 1 são apresentados os valores das concentrações médias, obtidas ao longo de 1,5 cm do eixo X (Figura 1a) com a aplicação do MEF (algoritmos de Crank-Nicolson e Euler-modificado), bem como, os valores analíticos e experimentais apresentados por LUNA & BRESSAN (21) no processo de salga do queijo Quartirolo (macio). O coeficiente de difusão efetivo utilizado (D* igual 0,31 cm²/dia ) foi obtido através do emprego do nomograma proposto por GEURST, WALSTRA & MULDER (13) para um teor de umidade de 52 %, tendo como parâmetro um teor de gordura de 51,6% (base seca) determinados por LUNA & BRESSAN (21). A concentração de cloreto de sódio na salmoura (C_s)foi de 20,5°Be, mantida a 7,5°C, e considerada constante em todo o processo de salga (21). O queijo foi considerado imerso com todas as faces em contato com a salmoura. Assumiu-se desprezível a resistência entre o filme líquido da salmoura e a superfície do queijo (21). Portanto, a concentração do sal na superfície seria igual a concentração do sal na salmoura. O maior Dt igual a 1 hora foi inicialmente escolhido para possibilitar as comparações.

A Tabela 2 apresenta a comparação entre os dados experimentais e estimados através da média dos valores dos desvios percentuais conforme proposto por HELDMAN (18).

A análise dos resultados mostrados nas Tabelas 1 e 2 evidencia que os algoritmos de Crank-Nicolson e Euler-modificado (esquemas incondicionalmente estáveis) (2, 7, 10) apresentam boa estabilidade e precisão, pois a solução numérica se aproximou da solução exata (analítica) e dos dados experimentais, particularmente, depois da primeira hora do processo de salga. Os valores obtidos através do algoritmo de Crank-Nicolson não apresentaram desvios (médios) percentuais superiores a 5%, o que demonstra a validade do emprego do método de elementos finitos para a estimativa da concentração de cloreto de sódio no processo de salga do queijo (18).

Desconsiderando os resultados da primeira hora do processo real de salga (Tabela 1), que contribuíram para uma diferença razoável entre os resultados obtidos pelo método numérico, verifica-se que o desvio percentual, com Dt de 1 hora, para o algoritmo de Euler-modificado, reduz-se de 8,91% para 3,76% (método numérico vs. experimental) e de 10,33% para 4,49% (método numérico vs. analítico). No processo de salga, a concentração da salmoura é bem maior quando comparada com a concentração inicial de NaCl no queijo (13, 16). Nessas condições, altas freqüências dominam o estágio inicial da resposta transitória, provocando oscilações nos primeiros estágios da solução do problema numérico.

Para abordagem do problema em análise foi estabelecida uma solução de compromisso entre o refinamento da malha (576 elementos hexaédricos com a dimensão mínima igual a 0,3 cm ) e a capacidade (64 MB) do computador IBM 3090 empregado.

Nas comparações entre os dados analíticos e experimentais (21) e os obtidos pelo MEF, optou-se por trabalhar nos limites da discretização temporal (Dt) de uma a 0,1 hora. Passos menores seriam aconselháveis por razões de estabilidade, e consequentemente, convergência (2). Na prática, a eficiência computacional (custo do tempo de máquina) e a confiabilidade da resposta (% de erro) devem ser levadas em consideração (22). Assim, uma malha bastante refinada e um número maior de pequenos passos são uma opção para provocar o amortecimento da oscilação e levar o método numérico à boa convergência. Como conseqüência, porém, pode-se esperar um aumento indesejável do tempo computacional (22).

Os dois esquemas (Tabela 1) mostraram a consistência e a estabilidade esperadas. Para economia de tempo computacional, estabeleceu-se uma relação: tempo de computador (virtual) / tempo de salga (real) de 14 minutos / 7 horas. Logo, para o comprimento do passo de 1 hora, o esquema de Crank-Nicolson apresentou melhor precisão, com boa eficiência computacional (1 hora de processo real corresponde a 2 minutos de simulação).

De acordo com as Tabelas 1 e 2, com uma redução da ordem de 10 vezes no comprimento do passo (0,1 hora), o ganho em precisão na aplicação do esquema de Euler-modificado, não parece justificar o aumento do esforço computacional (1 hora de processo real corresponde a 20 minutos de simulação). Com Dt de 0,05 hora, não houve ganho importante em precisão, mas prejuízo na eficiência computacional. Utilizando-se um Dt de 0,1 hora nos primeiros 10 ciclos (primeira hora de salga), para atenuar a oscilação, e posteriormente um Dt de 1 hora até completar 7 horas de salga, verificou-se ganhos em precisão quando se compara com os resultados obtidos pelo método de Euler-modificado com Dt (fixo) de 1 hora (Tabelas 1 e 2). Entretanto, o tempo computacional aumenta de 14 para 32 minutos. Nas mesmas condições, para o algoritmo de Crank-Nicolson, não foram observados ganhos em precisão, mas sim prejuízos no tempo computacional.

O método de elementos finitos apresenta algumas características (elementos, malha, coordenadas, funções de interpolação, etc.) que o torna muito adequado para a realização de amostragem num problema físico. Através da aplicação das funções de interpolação, pode-se determinar a concentração do cloreto de sódio no produto alimentar estudado em qualquer ponto (nó) ou região (elemento), bastando estabelecer as coordenadas do local em que a amostragem será realizada mesmo em corpos que apresentam geometria complexa.

A Tabela 3 apresenta a concentração média de um elemento genérico da Figura 1, em gramas de NaCl/100g de queijo em base seca, após diferentes tempos de salga. O algoritmo utilizado foi o de Crank-Nicolson com comprimento do passo de avanço no tempo igual a 1,0 hora. As dimensões do elemento utilizado na amostragem foi de 2,0 cm de comprimento por 0,3 cm de largura e 0,75 cm de altura. Na determinação das porcentagens tomou-se, como base de cálculo, a concentração de soluto ao fim de sete horas de salga. A Tabela 3 mostra ainda que, para o elemento em estudo, mais da metade do soluto foi absorvido, na primeira hora do processo de salga. A mesma Tabela indica que 5 horas de tempo de salga é suficiente para interromper o processo pois, mais de 90% do soluto já foi absorvido pelo queijo. Além disso, o aumento da salga de 5 para 7 horas provoca um incremento de cerca de 40% no tempo real de processamento.

3.2 - Simulação da difusão do NaCl no processo de salga do queijo tipo Romano

O processo de difusão do cloreto de sódio na salga do queijo tipo Romano (duro) foi simulado através do emprego do método de elementos finitos utilizando a malha, disposição dos nós e elementos mostrados na Figura 2. O elemento hexaédrico foi o mesmo utilizado anteriormente.

O queijo de forma cilíndrica, com 20 cm de diâmetro e 9 cm de altura (15, 16) foi considerado imerso em salmoura contendo 19,5% de NaCl, com todas as faces em contato com a solução, durante 8 dias consecutivos (16). Antes do processo de salga, o queijo apresentou uma concentração inicial de cloreto de sódio, na água do queijo, (C₀) igual a 0,30%. O teor de gordura era de 19% e a umidade 50% (15).

A difusão do NaCl na salga foi simulada utilizando-se D* igual a 0,23 cm²/dia, em condições isotérmicas, a temperatura de 23°C (16). O aumento de temperatura da salmoura pode provocar um aumento do coeficiente de difusão. A salga, quando é realizada à temperaturas elevadas (ao redor de 20°C), provoca uma perda no teor de água dos queijos (14). Dessa maneira, quando o tempo de salga é grande, diferenças entre o valor estimado e o valor experimental podem acontecer, principalmente, nas proximidades da superfície do queijo, onde a concentração de água não é uniforme. Apesar do fator tempo (maior que no caso anterior) afetar a absorção do sal, o conteúdo de água e a perda de peso, não influenciaram apreciavelmente o coeficiente de difusão efetivo (14).

A avaliação da modelagem da salga do queijo tipo Romano, com o MEF, foi realizada e comparada graficamente com os dados experimentais obtidos por GUINEE & FOX (16). A simulação da difusão durante a salga do queijo tipo Romano foi realizada com a aplicação do algoritmo de Crank-Nicolson e com comprimento do passo de 24 horas. Na salga, com a aplicação de Dt de 24 horas, que é o maior comprimento do passo para possibilitar comparações com todos os dados experimentais, a simulação não apresentou oscilações, porque o tempo de salga do queijo tipo Romano é bem maior do que o observado no queijo tipo Quartirolo Argentino.

Na Figura 3 as linhas contínuas representam a simulação pelo MEF e os pontos indicam os dados experimentais obtidos por GUINEE & FOX (16). Os tempos de salga utilizados, para obtenção do perfil, foram de 1; 3; 5 e 8 dias. A Figura 3 indica uma boa aproximação entre os dados experimentais e os valores obtidos pelo método numérico, confirmando o bom desempenho do método de elementos finitos, com a aplicação do algoritmo de Crank-Nicolson, no processo de salga. Apenas nas proximidades da superfície do queijo o MEF não apresentou a concordância esperada. A diferença parece ser ocasionada pela perda de água que ocorre na superfície do queijo quando o tempo de salga é mais longo (15).

Para os 8 dias do processo de salga, a relação entre o tempo de máquina (virtual) e o tempo de salga (real) foi de 16 minutos/ 192 horas, ou seja, 12 horas de processo real eqüivale a um minuto de simulação.

4 - CONCLUSÕES

O perfil de distribuição do cloreto de sódio, no processo de salga de queijos, pode ser obtido com boa precisão através da aplicação do método dos elementos finitos. O programa computacional se mostrou versátil para resolver situações de amostragem e geometrias típicas em condições mais realistas, com enfoque no mecanismo de difusão (2^a lei de Fick), no domínio tridimensional. Por apresentar características modulares o programa pode ser empregado para simular o processo de difusão em diferentes produtos alimentícios (sólidos), em diferentes condições de processamento. Com a adequação da malha e da escolha conveniente do comprimento do passo pode-se sugerir a aplicação do esquema de Crank-Nicolson na simulação da salga de queijos.

5 - REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

² Prof. Assistente do Depto. de Química, CCNE, UFSM, Santa Maria - RS.

³ Prof Titular, PhD, Depto. de Tecnologia e Ciência dos Alimentos, CCR, UFSM.

⁴ Eng. Agrônomo e Florestal, IBAMA, Porto Alegre - RS.

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Recebido para publicação em 07/02/95; Aceito para publicação em 03/06/96.

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  28 Set 2001
• Data do Fascículo
  Abr 1998

Histórico

• Aceito
  03 Jun 1996
• Recebido
  07 Fev 1995