Acessibilidade / Reportar erro

Método simplex supermodificado como estratégia de otimização para respostas combinadas em sistemas alimentares

The use of super-modified simplex as an optimisation strategy for combined responses in food systems

Resumos

O presente trabalho teve como objetivo combinar modelagem pela superfície de resposta com otimização simplex supermodificado, para tratamento de casos de interesse na ciência e tecnologia de alimentos, com o emprego da função de Derringer & Suich para respostas combinadas. Um programa para microinformática, denominado MULTIPLEX, foi desenvolvido e testado na otimização multirresposta de três sistemas alimentares selecionados na literatura especializada: 1) inativação da lipoxigenase e lipase preservando-se a atividade da fitase durante o processamento hidrotérmico da cevada; 2) desidratação instantânea de maçã por expansão; 3) extração da proteína da linhaça com hexametafosfato. Uma análise estatística rigorosa foi realizada para testar a capacidade preditiva dos modelos. O método simplex supermodificado, com inicialização automática, foi o instrumento para a solução numérica da função de Derringer & Suich para respostas combinadas. O programa desenvolvido mostrou ser eficiente e confiável para a otimização de multirrespostas, sendo executável em microcomputador que disponha de processador 486 e ambiente MS-DOS.

otimização; simplex supermodificado; sistemas alimentares


The objective of this work was to combine response surface methodology (RSM) with super-modified simplex optimisation for treatment of cases that are interesting for food science and technology through the application of the function of Derringer & Suich for combined responses. A microcomputer program called MULTIPLEX was developed and tested in the multiresponse optimisation of three food systems selected in specialised literature: 1) inactivated lipoxygenase and lipase and preserve phytase activity in barley during soaking; 2) vapor induced puffing in apple dehydration; 3) hexametaphosphate-assisted extraction of flaxseed protein. A rigorous statistics analysis was accomplished in order to test the predictive ability of the models. The super-modified simplex method with automatic initialisation was the instrument for the numerical solution of the function of Derringer & Suich for combined responses. The program that was developed has show itself to be efficient and trustworthy for the optimisation of multiresponse, and can be executed in microcomputer that has a PC 486 and MS-DOS.

optimization; super-modified simplex; food systems


MÉTODO SIMPLEX SUPERMODIFICADO COMO ESTRATÉGIA DE OTIMIZAÇÃO PARA RESPOSTAS COMBINADAS EM SISTEMAS ALIMENTARES1 1 Recebido para publicação em 28/10/1999. Aceito para publicação em 24/11/2000

Rosângela Aguilar da SILVA 2 1 Recebido para publicação em 28/10/1999. Aceito para publicação em 24/11/2000 , Dionísio BORSATO 3 1 Recebido para publicação em 28/10/1999. Aceito para publicação em 24/11/2000 , Rui Sérgio Ferreira da SILVA 4 1 Recebido para publicação em 28/10/1999. Aceito para publicação em 24/11/2000 , * 1 Recebido para publicação em 28/10/1999. Aceito para publicação em 24/11/2000

RESUMO

O presente trabalho teve como objetivo combinar modelagem pela superfície de resposta com otimização simplex supermodificado, para tratamento de casos de interesse na ciência e tecnologia de alimentos, com o emprego da função de Derringer & Suich para respostas combinadas. Um programa para microinformática, denominado MULTIPLEX, foi desenvolvido e testado na otimização multirresposta de três sistemas alimentares selecionados na literatura especializada: 1) inativação da lipoxigenase e lipase preservando-se a atividade da fitase durante o processamento hidrotérmico da cevada; 2) desidratação instantânea de maçã por expansão; 3) extração da proteína da linhaça com hexametafosfato. Uma análise estatística rigorosa foi realizada para testar a capacidade preditiva dos modelos. O método simplex supermodificado, com inicialização automática, foi o instrumento para a solução numérica da função de Derringer & Suich para respostas combinadas. O programa desenvolvido mostrou ser eficiente e confiável para a otimização de multirrespostas, sendo executável em microcomputador que disponha de processador 486 e ambiente MS-DOS.

Palavras-chave: otimização; simplex supermodificado; sistemas alimentares.

SUMMARY

THE USE OF SUPER-MODIFIED SIMPLEX AS AN OPTIMISATION STRATEGY FOR COMBINED RESPONSES IN FOOD SYSTEMS. The objective of this work was to combine response surface methodology (RSM) with super-modified simplex optimisation for treatment of cases that are interesting for food science and technology through the application of the function of Derringer & Suich for combined responses. A microcomputer program called MULTIPLEX was developed and tested in the multiresponse optimisation of three food systems selected in specialised literature: 1) inactivated lipoxygenase and lipase and preserve phytase activity in barley during soaking; 2) vapor induced puffing in apple dehydration; 3) hexametaphosphate-assisted extraction of flaxseed protein. A rigorous statistics analysis was accomplished in order to test the predictive ability of the models. The super-modified simplex method with automatic initialisation was the instrument for the numerical solution of the function of Derringer & Suich for combined responses. The program that was developed has show itself to be efficient and trustworthy for the optimisation of multiresponse, and can be executed in microcomputer that has a PC 486 and MS-DOS.

Keywords: optimization; super-modified simplex; food systems.

1 – INTRODUÇÃO

Otimização é o processo de descoberta de uma série de condições requeridas para obtenção do melhor resultado em determinada situação.

Os processos de otimização são divididos em etapas, caracterizadas por decisões sobre a função objetivo a ser observada, pela determinação dos fatores que influenciam significativamente a resposta e, por fim, a otimização propriamente dita das variáveis selecionadas [6]. Vários procedimentos, como o planejamento fatorial, a metodologia da superfície de resposta, o método simplex, a programação linear, entre outros, vêm sendo utilizados na otimização de uma ou mais respostas [1].

A metodologia da superfície de resposta é um conjunto de técnicas de modelagem e otimização muito utilizadas em ciência de alimentos [1], em que várias respostas são medidas para cada conjunto de condições experimentais e um modelo é ajustado para cada resposta. Encontrar as condições ótimas globais nesses problemas de respostas múltiplas não é de imediato.

Vários métodos podem ser usados em conjunto com a metodologia da superfície de resposta, na otimização de sistemas com multirrespostas. Exemplos de tais métodos incluem a sobreposição convencional de gráficos e seus aperfeiçoamentos, bem como métodos analíticos, como a função de conveniência ou de compromisso de DERRINGER & SUICH [5,7]. A superposição gráfica com diferentes curvas de nível é visualmente atrativa. Entretanto, se mais de duas respostas são medidas, um grande número de gráficos será necessário. A função de conveniência é uma técnica analítica para otimização de sistemas com multirrespostas. É uma técnica simples, fácil de ser aplicada, permitindo a avaliação subjetiva da importância das respostas. Todavia, não tem sido aplicada na otimização de sistemas biológicos ou processos alimentares [7].

Métodos de busca direta, tais como otimização simplex, oferecem uma alternativa simples para a otimização de respostas combinadas, necessitando, para a obtenção da melhor multirresposta, da definição do espaço experimental para a combinação dos fatores, além da função de compromisso de DERRINGER & SUICH [1, 5].

O método simplex é de fácil implantação nos processos automatizados. Sua aplicação é relativamente fácil, rápida, e permite, com boa margem de segurança, localizar a região ótima, apesar de não oferecer informações claras com respeito ao comportamento das variáveis [6].

O problema que o pesquisador em alimentos enfrenta é a multiplicidade de respostas (por exemplo, funcionais, sensoriais e nutricionais) que requerem um tratamento conjunto. A abordagem eficiente desse problema exige a sistematização de técnicas, que empregam computador, que permitam o julgamento da importância das respostas como auxílio à tomada de decisão, particularmente da solução ótima.

A tendência para o desenvolvimento de novas estratégias matemáticas para otimização tem levado à comparação e combinação das técnicas disponíveis[10].

O objetivo deste trabalho foi combinar a modelagem pela superfície de resposta com a otimização simplex supermodificado para tratamento de casos de interesse na ciência e tecnologia de alimentos, com o emprego da função de DERRINGER & SUICH [5] para respostas combinadas. Para tal, um programa para microinformática foi desenvolvido e testado [10] na otimização de sistemas alimentares obtidos na literatura especializada.

2 – METODOLOGIA

2.1 – Metodologia da Superfície de Resposta

Relação entre fatores e respostas

Considerando determinadas funções (f), relativas aos fatores (xn) e respostas (yk), tem-se:

Para a situação com três variáveis, pode-se obter o seguinte polinômio de 2ª. ordem, como função de aproximação:

onde, os parâmetros b são coeficientes ajustáveis [4].

Delineamento experimental

Os delineamentos experimentais empregados freqüentemente na literatura especializada para a superfície de resposta são os centrais compostos e os incompletos com três níveis de variação [4].

Ajuste do modelo

Os coeficientes b’s foram confirmados e todos os modelos testados pelo programa MODREG de análise estatística [2].

2.2 – Método de otimização simplex supermodificado

O simplex no espaço n-dimensional é um sólido com faces planas contendo (n+1) vértices, onde n é o número de variáveis independentes. Com duas variáveis, o simplex é um triângulo equilátero; com três, um tetraedro de base triangular. O método é um procedimento recorrente, que tende a levar o simplex a um valor ótimo com a reflexão de pontos específicos. Uma vez nas vizinhanças do ótimo, o simplex pode sofrer contração com objetivo de determinar uma posição mais precisa [3].

Construção do simplex inicial

Seguindo-se as sugestões de SILVA & BORSATO [11], foi estabelecido um ajustamento automático para o simplex inicial, na programação computacional, com base nas seguintes expressões:

onde, a é a distância entre dois vértices fixada em 1, que pode ser reprogramada, e n o número de variáveis. P e Q representam uma adequada combinação de valores para a formação de um simplex. A região de restrições foi introduzida como:

sendo L e U os limites inferior e superior das variáveis independentes, respectivamente.

Ainda, conforme SILVA & BORSATO [11], foi postulada uma matriz M para a construção das coordenadas do primeiro simplex:

O critério de convergência (parada) depende do objetivo da otimização. Nos casos estudados [10], a busca do ótimo foi concluída quando a mesma resposta global se repetiu por três vezes consecutivas a menos de um x convenientemente escolhido.

Otimização de respostas combinadas

Cada resposta ( y

k ) obtida a partir de modelo ajustado e validado é transformada numa função normalizada, d

k:

zO valor de dk aumenta de zero (mínimo) a 1 (máximo), à medida que a resposta associada também aumenta. A transformação unilateral, sugerida por DERRINGER & SUICH [5], foi utilizada na normalização de respostas denominadas funções de conveniência:

dk = 0 para yk£ a (limite inferior)

0 < dk < 1 para a < yk < b

dk = 1 para yk ³ b (limite superior)

onde a, b são valores constantes, dk varia de 0 a 1 e s é usado na transformação como parâmetro ponderal de subjetividade a ser especificado pelo usuário. Valores de s < 1 até 0,1 ou s > 1 até 10 alteram a importância das respostas, facilitando ou dificultando a busca do ótimo.

Para minimização, DERRINGER & SUICH [5] recomendaram substituir yk por –yk. Entretanto, para evitar problemas com raiz de número negativo, foram trocados os limites, o que equivale a um complemento (1 – dk), na minimização [10].

Todas as funções de conveniência individuais são combinadas numa função global D (0 £ D £ 1)

A função de conveniência global ou das respostas combinadas é definida como a média geométrica das funções individuais:

k = número de respostas

Quanto maior o valor de D, mais desejável é a resposta do sistema, ou seja, valores máximos de D indicam soluções de compromisso otimizadas.

Programa

O programa MULTIPLEX foi desenvolvido [10] em linguagem FORTRAN IV, sendo executável (ambiente MS-DOS) em microcomputador que disponha de um processador 486.

Procedimento A - Entrada de dados

1. Atribuir nome ao arquivo dos coeficientes do modelo (b’s).

2. Fornecer o número de variáveis independentes.

3. Fornecer o número de equações a serem otimizadas.

4. Definir o expoente "s" para a avaliação da importância de cada variável. Sugere-se s=1.

5. Leitura dos coeficientes "b’s" ajustados para os modelos polinomiais da metodologia da superfície de resposta. Caso o arquivo dos "b’s" ainda não exista, entrar com os respectivos dados.

6. Definir as respostas para maximização (MA) ou minimização (MI).

7. Estabelecer os limites superior e inferior para cada resposta. Para MI, os limites devem ser trocados.

8. Confirmar a faixa de variação dos fatores (codificados) empregados no delineamento experimental.

Procedimento B - Otimização simplex supermodificado

9. Inicialização automática: são fixados para o primeiro vértice os limites inferiores de cada variável independente.

10. No cálculo da função de Derringer & Suich, cada resposta yk é transformada numa função normalizada dk, e posteriormente combinadas com a função global D.

11. A otimização multirresposta é realizada pela busca automática com o método simplex supermodificado.

11.1. O programa classifica as multirrespostas em B,N e W, onde B representa a melhor, N a(s) intermediária(s) e W a pior delas.

11.2. Formação de um novo simplex com a reflexão (R) do vértice que apresentou a pior multirresposta no centróide dos vértices restantes (B,N).

11.3. O a representa um parâmetro que decide o tipo de deslocamento que o simplex deve fazer em cada etapa.

11.4. Multirresposta obtida a partir do parâmetro a , para direcionar o movimento do simplex a uma região de ótimo.

11.5. Sendo a multirresposta do vértice (O) superior à da reflexão (R), o novo simplex passa a ser BNO. Se ela for menor do que a obtida em R, o vértice da reflexão é retido.

12. O ótimo é atingido e as melhores condições são fornecidas pelo programa: os fatores (xi), as respostas (yi) , a resposta global (D) e o número de interações.

13. Na finalização, o critério de convergência (parada) é a constância de D, a menos de uma variação menor ou igual a 10-3.

Fluxograma dos Procedimentos Informatizados.

Uma descrição esquemática das etapas desenvolvidas é ilustrada na Figura 1.


3 – RESULTADOS E DISCUSSÃO

Otimização de sistemas alimentares

Foram realizados estudos de casos [10] de interesse na área de alimentos com base em dados obtidos na literatura especializada. Os trabalhos escolhidos utilizaram técnicas de modelagem pela superfície de resposta e uma abordagem de multirrespostas por sobreposição de gráficos. O método numérico de otimização através do aplicativo MULTIPLEX foi empregado [10] e a eficiência dos métodos comparadas.

3.1. – Inativação da lipoxigenase e lipase preservando-se a atividade da fitase durante processamento hidrotérmico da cevada.

O processamento hidrotérmico da cevada foi estudado [9] para encontrar condições que inative as enzimas lipoxigenase e lipase, preservando-se a atividade da fitase no desenvolvimento de processo para a produção de derivados de cevada com alta disponibilidade mineral e boa estabilidade oxidativa. As variáveis independentes eram temperatura (ºC), tempo de hidratação (min) e adição de ácido lático como acidulante (% v/v). Como respostas as atividades enzimáticas da lipoxigenase (y1), lipase (y2) a serem minimizadas e fitase (y3) a ser maximizada.

O aplicativo MODREG [2] foi utilizado para confirmação dos modelos apresentados por RUTGERSSON et al. [9] e para as análises de variância das equações polinomiais ajustadas que indicaram modelos significativos em nível de 5% e falta de ajuste não significativa no mesmo nível de variação.

Os modelos matemáticos obtidos [2] foram:

Uma análise de variância mais rigorosa mostrou valores de F calculado cerca de sete a oito vezes superior ao respectivo F tabelado, indicando segundo BARROS NETO, SCARMÍNIO, BRUNS [2] modelos estatisticamente significativos e úteis para fins preditivos.

Em relação a falta de ajuste, seguiu-se a recomendação de MONTGOMERY [8] elevando-se o nível de significância para a> 0,05 para evitar erro tipo II. De fato, mesmo com a = 0,10 para y1 e a= 0,25 para y2 e y3 os desvios de regressão não são significativos. Portanto, os modelos desenvolvidos apresentam boas condições para serem utilizados nos procedimentos de otimização.

A proposta de otimização empregada por RUTGERSSON et al. [9] consistiu na construção de curvas de nível, para análise da influência das variáveis tempo e temperatura sobre cada resposta com a concentração de ácido lático fixada em 1%. Posteriormente, as respostas individuais foram combinadas com a superposição de gráficos, obtendo-se, assim, uma sub-região de ótimo.

Na otimização conjunta pelo aplicativo MULTIPLEX [10] são combinados modelagem pela superfície de resposta e o método simplex supermodificado para solução numérica da função de DERRINGER & SUICH[5].

Os resultados referentes a otimização através dos métodos gráfico e numérico são apresentados e podem ser comparados na Tabela 1.

A utilização do aplicativo MULTIPLEX [10] requer a definição do expoente "s" para a avaliação da importância relativa de cada resposta.

A simples aplicação do programa computacional MULTIPLEX [10] levou diretamente a resultados bem próximos dos obtidos por RUTGERSSON et al. [9] que se utilizaram da demorada superposição gráfica.

O processamento hidrotérmico não consegue uma inativação completa da lipase. Assim, um valor crítico para a atividade da lipase (menor que 20%) foi arbitrado por RUTGERSSON et al. [9], desde que fosse mantida a atividade de fitase superior a 60%.

Utilizando-se dos recursos da função de DERRINGER & SUICH [5], incorporada ao aplicativo MULTIPLEX [10], atribuíram-se valores de s>1 para reforçar a importância da resposta y2 (atividade de lipase). A Tabela 2 mostra que para s=3 as condições impostas para a otimização foram facilmente satisfeitas.

3.2 – Otimização da desidratação instantânea de maçã por expansão.

No processo de desidratação de maçãs, TORREGIANI, TOLEDO, BERTOLO [12] empregaram desidratação com HTFB (secador em leito fluidizado com alta temperatura). Este processo reduz consideravelmente o tempo de secagem em comparação a secagem convencional. No entanto, acelera o escurecimento não-enzimático.

A metodologia de superfície de resposta foi empregada [12] para otimizar o processo de desidratação instantânea por expansão através do HTFB. Foram consideradas como respostas a densidade mínima (y1) e escurecimento não-enzimático (y2) em função das variáveis temperatura de secagem (x1), tempo de exposição no HTFB (x2), concentração de amido (x3) e tempo da pré-secagem (x4).

Os coeficientes de regressão para as respostas densidade mínima (y1) e escurecimento não-enzimático (y2) apresentados [12], foram confirmados pelo aplicativo MODREG [2].

Os modelos matemáticos obtidos foram:

Ainda, com o uso do aplicativo MODREG [2] realizou-se a análise de variância para as equações polinomiais ajustadas que indicou modelos significativos em nível de 5%, falta de ajuste não-significativa no mesmo nível de significância e R2 93,91 e 94,85% respectivamente, o que confirma o bom ajustamento dos dados a regressão.

Seguindo as recomendações de BARROS NETO,SCARMÍNIO, BRUNS [2] e MONTGOMERY [8], a análise de variância criteriosa e a cuidadosa inspeção da falta deajuste indicaram modelos estatisticamente significativos e úteis para fins preditivos.

A otimização (minimização, no caso) por superposição de gráficos [12] resultou em faixas de variação para o binômio tempo vs. temperatura no processo HTFB. Já o aplicativo MULTIPLEX [10] identificou condições não muito diferentes entre as variáveis independentes, minimizando ambas as respostas. A comparação dos dados pode ser feita através da Tabela 2.

TORREGIANI, TOLEDO, BERTOLO [12] admitem, entretanto, que certo nível de escurecimento (cerca de 0,8 UE) pode ser aceitável em produtos matinais.

Quando se utilizou o parâmetro de subjetividade (expoente s) [10] , em que se atribuiu s=3 para a resposta y1 (Tabela 2), obteve-se facilmente a otimização desejada baseada numa densidade mínima.

3.3 – Otimização da extração de proteina da linhaça com hexametafosfato de sódio.

A linhaça é rica em proteínas e aminoácidos. Seu perfil de aminoáciodos é comparável à soja e à canola. Algumas variedades apresentam um teor de 31,3 a 36,7% como proteína desengordurada em base seca [13].

A proteína da linhaça foi isolada [13] pela complexação com hexametafosfato de sódio. As respostas desejadas eram percentagem de nitrogênio extraído (y1) e proteína recuperada (y2) em função do pH do meio (x1), proporção torta:solvente (x2) e concentração de hexametafosfato de sódio (x3).

Na confirmação dos modelos referentes às respostas, % de nitrogênio extraído (y1), e % de proteína recuperada (y2) com o aplicativo MODREG [2], os coeficientes se mostraram diferentes dos apresentados por WANASUNDARA & SHAHIDI [13], que possivelmente, pelas estimativas de b0, utilizaram-se de uma matriz de delineamento com as variáveis independentes originais, isto é, não codificadas.

WANASUNDARA & SHAHIDI [13] examinaram com maior profundidade os pontos estacionários (máximos) das funções-resposta através da análise canônica [4]. Nesse caso, as estimativas de b0 são da mesma ordem de grandeza que as encontradas pelo aplicativo MODREG [2].

Os modelos matemáticos obtidos[2] para as respostas polinomiais ajustadas, y1 (% de nitrogênio extraído) e y2 (% de proteína recuperada) foram:

A análise de variância realizada para as equações polinomiais, com o emprego do aplicativo MODREG [2], indicou modelos significativos em nível de 5% e falta de ajuste não-significativa no mesmo nível de significância, R2 de 96,52 e 96,82% respectivamente.

Uma análise mais criteriosa em relação a regressão [2] e falta de ajuste [8] indicou modelos significativos e úteis para fins preditivos.

No processo de otimização através do exame gráfico [13], as condições ótimas das variáveis independentes foram encontradas para cada resposta separadamente (Tabela 3). Obter condições ótimas em que duas ou mais respostas são consideradas não é imediato. Entretanto, quando se utilizou a otimização MULTIPLEX [10], os resultados para as respostas combinadas, utilizando s=1, foram facilmente obtidos e são inteiramente comparáveis com os obtidos por WANASUNDARA & SHAHIDI [13] (Tabela 3).

4 – CONCLUSÕES

O método proposto por DERRINGER & SUICH [5] mostrou ser eficaz e confiável para otimização simultânea, desde que se possa garantir a qualidade (avaliação estatística rigorosa) dos modelos empíricos construídos. O procedimento informatizado desenvolvido (MULTIPLEX) mostrou ser eficiente e relativamente simples como estratégia de otimização podendo ser considerado de grande utilidade na pesquisa e desenvolvimento de sistemas alimentares.

5 – REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

2 Instituto Adolfo Lutz - Laboratório I de Marília. CEP 17506-210. Marília - SP

3 Departamento de Química da Universidade Estadual de Londrina.

4Departamento de Tecnologia de Alimentos e Medicamentos da Universidade Estadual de Londrina. Cx. P. 6001. CEP 86051-990. Londrina - Pr.

* A quem a correspondência deve ser enviada.

  • [1] ARTEAGA, G.E; LI-CHAN, E; VAZQUEZ-ARTEAGA, M. C; NAKAI, S. Systematic experimental designs for product formula optimization. (Review). Trends in Food Science & Technology, v.5, p. 243-253, 1994.
  • [2] BARROS NETO, B. de; SCARMÍNIO, I. S; BRUNS, R. E. Otimizaçăo Simplex Planejamento e otimizaçăo de experimentos, Editora Unicamp, 1995.
  • [3] BEVERIDGE, G. S. G; SCHECHTER, R. S. Optimization theory and pratice Tokyo, Mac Graw-Hill Kogakusha Ltda, p.773, 1970.
  • [4] BOX, G. E. P; DRAPER, N. R. Empirical model-building and response surface, John Wiley & Sons, New York, 1987.
  • [5] DERRINGER, G; SUICH, R. Simultaneous optimization of several response variables. Journal of Quality Technology, v.12, n.4, p. 214-219, 1980.
  • [6] EIRAS, S; ANDRADE, J. C. O uso do simplex modificado como estratégia de otimizaçăo em química analítica. Química Nova, v.19, n.1, p. 25-29, 1996.
  • [7] GUILLOU, A. A; FLOROS, J. D. Multiresponse optimization minimizes salt in natural cucumber fermentation and storage. Journal of Food Science, v.58, n.6, p. 1381-1389, 1993.
  • [8] MONTGOMERY, D. C. Design and Analysis of Experiments New York, John Wiley & Sons, p. 173, 1976.
  • [9] RUTGERSSON, A; BERGMAN, E. L; LINGNERT, H; SANDBERG, A. S. Optimization of temperature, time, and lactic acid concentration to inactivate lipoxygenase and lipase and preserve phytase activity in barley (cv. Blenheim) during soaking. Cereal Chemistry, v. 74, n. 6, p. 727-732, 1997.
  • [10] SILVA, R.A. DA. Emprego do método simplex supermodificado como estratégia de otimizaçăo para respostas combinadas: Estudo de casos no desenvolvimento de sistemas alimentares. Londrina 1999, 61p. Dissertaçăo de Mestrado. Universidade Estadual de Londrina 1999 (UEL).
  • [11] SILVA, R. S. F. da; BORSATO, D. Análise de Bio-sistemas através de delineamento fatorial: otimizaçăo pelo método super-simplex modificado. Arq. Biol. Tecnol, V. 28, n. 4, p. 521-533, 1985
  • [12] TORREGGIANI, D; TOLEDO, R. T; BERTOLO, G. Optimization of vapor induced puffing in apple dehydration. Journal of Food Science, v.60, n.1, p. 181-185, 1995.
  • [13] WANASUNDARA, P. K. J. P. D; SHAHIDI, F. Optimization of hexametaphosphate-assisted extraction of flax seed proteins using response surface methodology. Journal of Food Science, v.61, n.3, p. 604-607, 1996.
  • 1
    Recebido para publicação em 28/10/1999. Aceito para publicação em 24/11/2000
  • Datas de Publicação

    • Publicação nesta coleção
      10 Maio 2001
    • Data do Fascículo
      Dez 2000

    Histórico

    • Aceito
      24 Nov 2000
    • Recebido
      28 Out 1999
    Sociedade Brasileira de Ciência e Tecnologia de Alimentos Av. Brasil, 2880, Caixa Postal 271, 13001-970 Campinas SP - Brazil, Tel.: +55 19 3241.5793, Tel./Fax.: +55 19 3241.0527 - Campinas - SP - Brazil
    E-mail: revista@sbcta.org.br