Processo de Meixner: teoria e aplicações no mercado financeiro brasileiro

Meixner process: theory and applications to financial Brazilian market

Processo de Meixner: teoria e aplicações no mercado financeiro brasileiro^*

Meixner process: theory and applications to financial Brazilian market

José Santiago Fajardo Barbachan^I; Felipe Gomes Pereira Coutinho^II

^IFundação Getúlio Vargas - Escola Brasileira de Administração Pública e de Empresas - E-mail: josé[e-mail]

^IIFundação Getúlio Vargas - Escola de Pós-Graduação em Economia - E-mail: [e-mail]

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RESUMO

Modelos consagrados e amplamente utilizados no mercado, como o modelo de Black-Scholes, assumem que os retornos diários dos ativos têm distribuição Normal. Na prática, porém, evidencia-se que esses retornos são frequentemente assimétricos e com caudas mais pesadas. Sendo assim, este trabalho busca avaliar se a distribuição de Meixner seria mais apropriada para a modelagem dos retornos. Adicionalmente, será analisado se o processo de Lévy que surge a partir dessa distribuição, o processo de Meixner, é eficiente na precificação de derivativos financeiros. Para tanto, propõe-se a substituição do movimento Browniano pelo processo de Meixner em Black-Scholes.

Palavras-Chave: processo de Meixner, apreçamento de opções, caudas pesadas

ABSTRACT

Well-known models that are extensively used by market traders, such as the Black-Scholes model, assume that the daily log-returns of assets follow a Normal distribution. Empirical evidences, however, show that return rates are frequently asymmetric and have fatter tails. Hence, this work aims to investigate if the Meixner distribution would be more appropriate to fit daily log-return. Additionally, it will be explored if the Lévy process risen from this distribution, the Meixner process, is efficient to price financial derivatives. Therefore, this study proposes the replacement of the Brownian motion by the Meixner process in Black-Scholes.

Keywords: Meixner process, option pricing, heavy tails

JEL Classification: C02, C13, G13

1 Introdução

O modelo de Black e Scholes (1973), embora sejam bem conhecidas suas limitações, tem sido amplamente utilizado para a precificação de derivativos financeiros, devido a sua fácil implementação e ao fato da sua fórmula depender de um único parâmetro não observável. Dentro das muitas limitações, o modelo de B&S assume que a taxa de retorno logarítmica tem distribuição Normal. Porém, como é sabido, a maioria dos ativos financeiros não respeita essa hipótese.

Como alternativa ao modelo de Black e Scholes, Merton (1976), Jones (1984), Naik e Lee (1990) e Bates (1991) propuseram processos de difusões com pulos. Outros autores, como Heston (1993), apresentaram como opção os modelos de volatilidade estocástica. Madan, Carr e Chang (1998), Barndorff-Nielsen (1998), Eberlein, Keller e Prause (1998) defendiam os processos de Lévy com pulos puros. Além desses trabalhos, Bates (1996, 1997), Duffie, Pan e Singleton (2000), Barndorff-Nielsen e Shepard (2001), Carr, German, Madan e Yor (2002) usaram uma combinação desses três modelos.

Quando aplicados para precificação de opções, esses modelos mais realísticos chegam a utilizar até dez parâmetros, o que contrasta imensamente com o parâmetro único de Black-Scholes. O motivo para tantas variáveis seria justificado pela complexidade dos processos estocásticos. Segundo Bates (1996), Bakshi, Cao e Chen (1997), Carr, Geman, Madan e Yor (2002), a volatilidade estocástica seria necessária para explicar o comportamento dos preços das opções com longo prazo de maturidade e pulos seriam necessários para explicar as opções de curta maturidade.

No caso dos processos de Lévy estes conseguem capturar vários fatos estilizados das séries financeiras, entre elas o excesso de Curtose. Um membro desta classe de processos é processo obtido a partir da denominada distribuição de Meixner, a qual foi introduzida por Schoutens e Teugels (1998) e foi aplicada em finanças pela primeira vez por Grigelionis (1999). Em Schoutens (2001), foi feita uma modelagem financeira a partir da distribuição de Meixner e foi construído um modelo de precificação de opções, no qual o movimento Browniano foi substituído pelo processo de Meixner. Nesse estudo, a função de densidade, encontrada com caudas mais pesadas do que a distribuição Normal, alcançou excelente ajuste com os dados reais; usando preços de opções do S&P500, encontrou um erro de apreçamento médio de 15,66% para o modelo de Black e Scholes, enquanto para o modelo de Meixner encontrou um erro de apreçamento médio de 6%.

No Brasil, o primeiro trabalho usando processos de Lévy é devido a Fajardo, Schuschny e Silva (2001); eles foram os primeiros a testar a aderência de dados brasileiros usando a distribuição Hiperbólica, subclasse da Generalizada Hiperbólica (GH) e a distribuição de Pareto. Em seguida, Fajardo e Farias (2004) expandiram a pesquisa à distribuição GH, não somente para a modelagem financeira como também para a precificação de derivativos. Como resultado, a GH mostrou-se muito adequada para modelar os retornos dos ativos brasileiros.

No presente trabalho complementaremos os estudos acima mediante: 1) a análise da aderência da distribuição de Meixner aos dados brasileiros e 2) a análise do desempenho do modelo de precificação de opções, na qual o movimento Browniano é substituído pelo processo de Meixner, usando dados de opções brasileiras. Tal desempenho será feito via análise de três medidas de erro de apreçamento. Vale destacar que tanto a estimação dos parâmetros como a obtenção dos preços das opções demandam a criação de programas e o uso de rotinas sofisticadas, os quais não estão disponíveis na literatura.

Como amostras foram adotadas quatorze ações das empresas mais representativas da BM&F Bovespa em um período de três anos, perfazendo 740 cotações diárias entre junho de 2006 e junho de 2009. No modelo de precificação de derivativos foram usadas trinta opções de compra de ações preferenciais da Vale e da Petrobras, de várias maturidades e diferentes preços de exercício. Por fim, todos os cálculos matemáticos e testes estatísticos foram feitos com a ajuda do programa Matlab.

O artigo está organizado da seguinte forma: na seção 2 é apresentado o processo de Meixner; na seção 3 descrevem-se os métodos de estimação dos parâmetros e a amostra de ações; na seção 4 são apresentados os resultados da aderência da distribuição de Meixner; é apresentada na seção 5 a precificação de derivativos e os resultados do desempenho usando uma amostra de opções brasileiras; finalmente, a seção 6 é dedicada aos comentários e conclusões finais.

2 Processo de Meixner

A distribuição de Meixner foi introduzida por Schoutens e Teugels (1998) a partir da teoria dos polinômios ortogonais, e foi usada pela primeira vez em modelagem financeira por Grigelionis (1999). Como a distribuição é infinitamente divisível, pode ser associada a um processo de Lévy, no caso o processo de Meixner, que não tem parte Browniana; ainda, a parte do "pulo puro" é determinada pela medida de Lévy.

Conforme Schoutens (2003), a função de densidade da distribuição de Meixner é determinada por quatro parâmetros: inclinação (α), simetria (β), escala (γ) e posição (µ). Logo, uma variável aleatória segue a distribuição de Meixner (MXR) quando sua função densidade de probabilidade é dada por:

sendo

e

Segundo Grigelionis (2001), MXR(α,β,γ,µ) tem caudas semi-pesadas.

Consequentemente, as caudas da função de densidade comportam-se da seguinte forma:

sendo

No caso de Meixner, temos:

A distribuição MXR(α,β,γ,µ) admite momentos de todas as ordens. Como se pode observar na Tabela 1, a Curtose de Meixner é sempre maior que três, o que indica caudas mais pesadas do que da distribuição Normal.

De acordo com Schoutens (2003, p.62), a função característica de Meixner pode ser descrita por:

A partir da equação 2.05, chega-se à conclusão de que a distribuição de Meixner é infinitamente divisível, já que para cada número inteiro positivo n, ø () é também a enésima potência da função característica. Consequentemente, chama-se de processo de Meixner o processo de Lévy associado a essa distribuição. De acordo com Bertoin (1996, p.12), processo de Lévy é todo processo estocástico com incrementos estacionários e independentes. Em geral, os processos de Lévy possuem três partes independentes: o componente linear, o componente contínuo e o pulo puro. O processo de Meixner, especificamente, não tem parte contínua, e é um processo de puros pulos, os quais são explicados pela medida de Lévy:

3 Metodologia de Estimação e Amostra

3.1 Método dos Momentos

No método dos momentos, vamos estimar os parâmetros amostrais = () para os parâmetros populacionais θ = (α,β,γ,µ), de tal forma que a Média, Variância, Assimetria e Curtose amostrais e populacionais igualem-se. Assim:

Sendo m₁, m₂, b₁ e b₂ iguais à Média, Variância, Assimetria e Curtose amostrais, tendo como condições necessárias:

2b₂ – 3 – 6 > 0

b₂ – – 3 >0

3.2 Máxima Verossimilhança

A função de verossimilhança é dada pela equação abaixo:

Maximiza-se utilizando a função fminsearch do Matlab com os estimadores do MM como valores iniciais. Segundo Robbertse (2006). Podemos substituir µ por:

Já que é a solução para:

= 0

3.3 Desvio-Padrão

Para se calcular o desvio-padrão dos parâmetros estimados foi usado o método de bootstrap paramétrico. Foram seguidos os seguintes passos:

i. Assume-se que = () representa o verdadeiro valor de θ = (α,β,γ,µ);

ii. Gera-se uma grande quantidade de números, no caso foram gerados n=1.000 amostras, com o mesmo tamanho da amostra em análise;

iii. Calculou-se o desvio-padrão de cada parâmetro estimado aplicando-se as fórmulas:

3.4 Amostra

Como se pode visualizar na Tabela 2, a amostra deste trabalho consiste em 14 ações das principais empresas listadas na BM&F Bovespa, que são as mais líquidas e que representam vários setores e instituições públicas e privadas; critério similar foi usado em Fajardo e Farias (2004). Os dados foram extraídos do sistema "Economática", e consistem em 740 cotações diárias entre 29 de junho de 2006 e 29 de junho de 2009, a partir dos quais foram calculados 739 retornos logarítmicos.

4 Resultados

4.1 Teste de Normalidade

Apesar de muitos modelos, como Black-Scholes, assumirem que os retornos têm distribuição Normal, na prática suas distribuições são frequentemente assimétricas e com caudas mais pesadas. Logo, é importante testar a normalidade de nossa amostra de retornos. Para isso, foram escolhidos os testes de Anderson-Darling (AD) e Kolmogorov-Smirnov (KS), além de um gráfico quantil por quantil.

Ambos os testes são usados quando se deseja saber se uma amostra de dados origina-se de uma distribuição específica, no caso a distribuição Normal. O teste de AD foi introduzido por Anderson e Darling (1952), e trata-se de uma modificação do teste de KS que dá mais importância às caudas. Uma vantagem de AD sobre KS é que o primeiro é um teste mais sensitivo, já que usa uma distribuição específica para o cálculo dos valores críticos.

Quando a estatística AD¹ do modelo de Anderson-Darling é maior do que o valor crítico para um dado nível de significância α, rejeita-se a hipótese de normalidade da distribuição. O mesmo raciocínio aplica-se para o teste K-S. Conforme a Tabela 3, os dois testes rejeitaram a hipótese de normalidade para toda a nossa amostra de 739 retornos para um nível de significância α=5%.

Com relação ao gráfico quantil por quantil (qq-plot), plota-se um gráfico da amostra versus a distribuição Normal quantil por quantil. Quanto melhor os dados ajustam-se à linha reta, mais plausível é a hipótese de que a amostra origina-se de uma distribuição Normal.

Na Figura 1, foi construído um qqplot dos retornos das ações da Aracruz (ARCZ6), Siderúrgica Nacional (CSNA3) e Usiminas (USIM5). Nela, observa-se que a distribuição Normal é incapaz de captar os valores mais extremos da distribuição, dado que seriam necessárias caudas mais pesadas para um melhor ajuste. Portanto, a distribuição Normal não parece ser ideal para modelagem desses retornos, o que confirma os resultados anteriores dos testes AD e K.

4.2 Estimação dos Parâmetros

Como explicado na Seção 3, foi feita a estimação de MXR () pelo Método dos Momentos (MM) e pela Máxima Verossimilhança (MV). Os resultados encontrados para os quatro parâmetros, seus respectivos desvios e a função de verossimilhança são apresentados no apêndice I. É importante destacar que os valores achados para a função de verossimilhança foram sempre maiores por MV, já que esse tipo de estimação usou os parâmetros estimados pelo MM como valores iniciais.

4.3 Gráfico da Distribuição Ajustada

Usando a fórmula da função de densidade de Meixner, é possível construir um gráfico comparando o ajuste da distribuição de Meixner versus o ajuste da distribuição Normal. Na Figura 2, foi feita a modelagem financeira dos retornos do Banco Bradesco (BBDC4), Itaú-Unibanco (ITUB4) e Petrobrás (PETR4). Pode-se observar abaixo que a distribuição de Meixner apresenta um ajuste bem melhor aos dados empíricos do que a distribuição Normal. O motivo desse ajuste mais preciso seria porque a Meixner tem maior concentração de massa em torno do centro e caudas mais pesadas do que a Normal (curva mais fina).

4.4 Grau de Ajuste

Para verificar qual a estimação, método dos momentos (MM) ou máxima verossimilhança (MV) gera o melhor ajuste dos dados empíricos, foram adotadas quatro distâncias:² Kolmogorov (KS), Kuiper (KP), Anderson-Darling (AD) e Farias-Ornelas-Fajardo (FOF).³ A primeira corresponde à máxima distância entre as funções de densidade acumulada empírica e teórica. A segunda é semelhante à distância de Kolmogorov, mas considera a direção do desvio ao somar a maior distância para cima e para baixo. A terceira dá importância especial à distribuição das caudas e a última, ao considerar a direção do desvio e o peso das caudas, é capaz de capturar os pontos fortes da distância KP e AD ao mesmo tempo.

A hipótese nula adotada nos testes KS e KP é de que a distribuição teórica e a empírica são iguais. Logo, a boa estimação deve gerar p-valor superior a sua respectiva distância, isto é, não deve rejeitar a hipótese nula. Conforme o apêndice II, a hipótese nula da distância KS não foi rejeitada para toda a amostra. Por outro lado, a hipótese nula da distância KP foi rejeitada para os retornos das ações ARCZ6, BBDC4 e CYRE3, quando os parâmetros foram estimados pelo método dos momentos.

Entre método dos momentos e máxima verossimilhança, a melhor estimação é aquela que gera a menor distância entre a distribuição teórica e empírica. Dessa forma, o apêndice II revela que os métodos de Kolmogorov e Kuiper apontaram a estimação por MV como a mais precisa para toda a amostra de retornos, exceto para USIM5.

No entanto, pelas distâncias AD e FOF, a estimação por MM destaca-se como a mais precisa para a maior parte dos ativos. Quando maior peso é atribuído à distribuição das caudas, o MM somente não é indicado como o melhor ajuste para os retornos de ARCZ6, BBDC4, PETR3, PETR4 e ITSA4 (apenas por AD).

5 Modelo de Precificação de Derivativos

Assumiremos que o mercado consiste em um ativo livre de risco (título do governo) com processo de precificação B_t=e^rt e um ativo arriscado (ação). O modelo que gera os retornos logarítmicos diários de MXR(α,β,γ,µ) para essa ação é:

Seja G(S_t) o payoff do derivativo no prazo de maturidade T, para uma opção de compra (call) européia com preço de exercício K, temos que G(S_T) = (S_T-K)⁺. De acordo com o teorema fundamental da precificação de ativos,⁴ o preço livre de arbitragem de um derivativo no tempo t ∈ [0,T] é dado por:

Sendo que a expectativa é tirada com relação a uma medida martingala Q e que = {_t, 0 < t < T} é o filtro natural de M = {Mt, 0 < t < T}.

5.1 Transformada de Esscher

Uma medida martingala equivalente é uma medida de probabilidade que equivale à probabilidade histórica e sob a qual o processo de desconto {e^-rtS_t} funciona como um martingala. Alguns poucos modelos, como Black-Scholes, assumem uma única medida martingala equivalente e são considerados completos. Porém, isso não ocorre para a maioria dos modelos financeiros mais realísticos, como Meixner, que possuem uma extensa classe de medidas martingais e são considerados incompletos.

Para precificar opções de ativos cujos retornos seguem um processo de Lévy, é necessário achar uma medida martingala equivalente. Nesse sentido, Esscher (1932) propôs uma transformação que mais tarde foi usada para a precificação de derivativos por Gerber e Shiu (1994 e 1996), pois é possível utilizar a transformada de Esscher para achar pelo menos uma medida martingala equivalente:

De tal forma que para se achar é preciso resolver a equação:

em que r é a taxa de juros livre de risco e M é a função geradora de momentos.

No caso de Meixner, a função M é conhecida e o parâmetro é dado por:

5.2 Fórmula de Precificação de Opções

Vamos chamar de c_MXR(S₀, K, r, T, θ) o preço de uma opção MXR européia de compra, sendo S₀ o preço no tempo zero do ativo cujos retornos logarítmicos seguem a distribuição de Meixner; K é o preço de exercício, r é a taxa livre de risco contínua e capitalizada anualmente, T é o prazo de maturidade medido em anos e θ é o vetor de parâmetros da distribuição MXR. Analogamente, o preço de uma opção de venda corresponde a P_MXR.

Usando como medida martingala equivalente, dada pela transformada de Esscher, o preço de uma put européia é representado pelo valor esperado do payoff descontado, isto é:

Reescrevendo a equação 5.06, vamos ter que:

Onde

Sendo

Por fim, o preço de uma call européia pode ser obtido pela paridade put-call:

5.3 Amostra de Opções

Para avaliar o desempenho do modelo de precificação de opções, foram adotadas como amostra trinta opções de compra de ações preferenciais da Petrobras (PETR4) e da Vale (VALE5), de vários preços de exercício e diferentes prazos de maturidade. Faz-se necessário destacar que as cotações de fechamento de PETR4 (R$37,60) e VALE5 (R$42,33) no dia 11 de novembro de 2009 foram adotadas como o preço da ação no tempo zero.

Conforme a Tabela 4, foi escolhida uma banda de preços de exercício (strikes) entre R$34,00 e R$42,00 para a companhia exploradora de petróleo, e entre R$38,00 e R$46,00 para a mineradora. Além disso, foram selecionados três⁵ prazos de maturidade: 3, 27 e 43 dias úteis. Todos esses dados foram extraídos do banco de dados da Cedro Finances.

É importante observar que a escolha dos valores dos strikes não foi aleatória, e teve o objetivo de dividir a amostra em três grupos: no dinheiro (at the money), dentro do dinheiro (in the money) e fora do dinheiro (out of the money). Papéis com preço de exercício de R$38,00 para Petrobras e R$42,00 para Vale foram considerados ATM, já que o valor desses strikes aproxima-se da cotação inicial de PETR4 e VALE5. Logo, preços de exercício abaixo e acima desses valores foram considerados ITM e OTM, respectivamente.

5.4 Resultados

A partir dos parâmetros apresentados no apêndice I, foram calculados os Valores da Média, Desvio-Padrão, Assimetria e Curtose de Meixner, aplicando-se as fórmulas contidas na Tabela 1. Da mesma forma, foi estimada a medida de Esscher (Equação 6.05), usando taxa de juros diária de 0.0348%, que é equivalente a uma taxa anual de 8,75%. Os resultados obtidos encontram-se no apêndice III.

Agora precificaremos as opções de compra de ações da Petrobras e da Vale de várias maturidades e diferentes preços de exercício. Utilizando S₀=37,60 para PETR4, S₀=42,33 para VALE5 e 0, 0348% como taxa de juros diária. Os resultados serão apresentados na Tabela 5.

Podemos observar que apreçamento por Meixner apresenta boa precisão com as opções dentro do dinheiro e próximas da data de vencimento. Porém, perde tanto a capacidade de explicar os preços de mercados com o aumento da maturidade como a medida que os preços de exercício tornam-se fora do dinheiro. Esse resultado é compreensível, uma vez que o modelo de Meixner assume que o mercado é competitivo e papéis out of the money precisam de um modelo de funcionamento do mercado.

Quando comparado com o modelo de Black-Scholes, o apreçamento por Meixner foi sempre melhor. Na Seção 5.6 é apresentada uma análise mais precisa.

5.5 Volatilidade Implícita

No mercado financeiro, os operadores de mercado sabem que a distribuição de probabilidade dos retornos dos ativos não obedece perfeitamente à distribuição Normal. Por isso, ajustam suas previsões usando o efeito sorriso da volatilidade.

O formato da volatilidade implícita seria justificado porque ela cresceria tanto com o aumento quanto com a diminuição do strike. Adicionalmente, a volatilidade seria frequentemente assimétrica e diminuiria com a maturidade.

A volatilidade implícita do modelo de Meixner calculada na Tabela 6 é aquela que gera a mesma precificação obtida por Meixner usando o modelo de Black-Scholes. A partir dela e da razão entre o preço de exercício e cotação inicial da ação foram construídos os gráficos da Figura 3. É fácil observar que a precificação por Meixner incorpora um efeito sorriso e a volatilidade decresce com a maturidade, o que condiz com a realidade dos mercados.

5.6 Medidas de Erro

Com o objetivo de verificar a precisão do modelo teórico de apreçamento de opções, foram adotadas três medidas de erro: a Raiz do Erro Quadrático Médio (RMSE), o Erro Médio Absoluto (MAE) e o Erro Médio Absoluto Percentual (MAPE). As fórmulas dessas estatísticas são apresentadas no apêndice V. Na tabela abaixo, foram calculadas as medidas de erro para opções precificadas pelo modelo de Meixner (MM e MV) e pelo modelo de Black-Scholes (BS).

Pelos resultados da Tabela 7, vemos que a precificação por Meixner é a mais precisa na maioria das vezes, uma vez que apresenta o menor desvio de preços teóricos para a maioria das medidas de erro. Em particular para a medida MAPE, que é a mais usada, em toda a amostra foi quase a metade do desvio em relação à BS. No caso da Petrobras também domino nas outras duas medidas.

Alguns autores questionam a eficácia das medidas de erro como MAE, MAPE e RMSE em quantificar a magnitude do erro de apreçamento. De acordo com French e Martin (1988), apesar das medidas de erro serem capazes de indicar a presença de erro no apreçamento de opções, elas falham em quantificar a grandeza desse erro. Isso ocorreria especialmente quando se deixa de lado o lucro potencial de uma opção.

6 Conclusão

Os primeiros resultados encontrados confirmaram a boa aderência do processo de Meixner a dados brasileiros, principalmente em função da assimetria negativa e à presença de caudas mais pesadas. Primeiro, o processo de Meixner é um bom candidato para modelar os retornos das séries financeiras brasileiras. Segundo, o modelo de Meixner obteve um bom desempenho na precificação das opções de compra da Vale e da Petrobras, que são as opções mais líquidas e procuradas no mercado brasileiro. Finalmente, o modelo de Meixner é capaz de capturar o sorriso de volatilidade. Poucos são os modelos que conseguem harmonizar estes três itens ao mesmo tempo; o modelo de Meixner é um deles.

Por outro lado, o uso de mais parâmetros e de funções de densidade altamente não lineares demanda o uso de rotinas de otimização mais sofisticadas, o que resulta num aumento do significativo do esforço computacional. Nesse sentido, seria necessário o desenvolvimento de procedimentos numéricos mais eficientes, sobretudo com vistas a futuras extensões para o caso multidimensional e para aplicações tais como gestão de carteiras e a mensuração do Value at Risk, como é feito em Fajardo e Farias (2009) e Fajardo e Farias (2010) para o caso dos Processos Generalizados Hiperbólicos.

Artigo recebido em fevereiro de 2010 e aceito para publicação em novembro de 2010.

Apêndice

IV - Fórmulas das Distâncias de Kolmogorov (KS), Kuiper (KP), Anderson Darling (AD) e Farias-Ornelas-Fajardo (FOF)

Sendo a função de distribuição acumulada empírica e a função de distribuição acumulada teórica denotadas respectivamente por F_empírica e F_teórica , as expressões para o cálculo das distância KS, KP, AD e FOF são:

V. Fórmulas das Medidas de Erro

Sendo o preço empírico e o preço teórico de uma opção dados em ordem por c_mercado e c_modelo, as fórmulas das medidas de erro são:

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*

Agradecemos pelos comentários do parecerista, que ajudaram a melhorar o presente trabalho. J. Fajardo agradece também o apoio financeiro do CNPq do Brasil. Erros remanescentes são de responsabilidade exclusiva dos autores.

1

Assim como em Stephens (1974), considerou-se a estatística modificada de Anderson-Darling como sendo a multiplicação da estatística pela constante

, onde n é o tamanho da amostra.

2

Consultar o apêndice IV para as fórmulas das distâncias KS, KP, AD e FOF.

3

Ver Fajardo, Ornelas e Farias (2005, p. 25-38).

4

Ver Delbaen e Schachermayer (1994).

5

Opções com vencimento em 16 de novembro de 2009 (T=3), 21 de dezembro de 2009 (T=27) e 18 de janeiro de 2010 (T=43).

6

Foram utilizadas as volatilidades de

σ = 0,6558 para Petrobras e de

σ = 0,6365 para Vale.

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  25 Jul 2011
• Data do Fascículo
  Jun 2011

Histórico

• Recebido
  Fev 2010
• Aceito
  Nov 2010