Inferência fuzzy para o problema de corte de estoque com sobras aproveitáveis de material

Inferência fuzzy para o problema de corte de estoque com sobras aproveitáveis de material

Adriana Cristina Cherri^I,*; Douglas José Alem Junior^II; Ivan Nunes da Silva^III

^IDepartamento de Matemática, Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho, Av. Eng. Luiz Edmundo Carrijo Coube, 14-01, Vargem Limpa, 17033-360 Bauru, SP, Brasil. E-mail: [e-mail]

^IIEngenharia de Produção, Universidade Federal de São Carlos, campus de Sorocaba, Rodovia João Leme dos Santos, Km 110, SP-264, Bairro do Itinga 18052-780 Sorocaba, SP, Brasil. E-mail: [e-mail]

^IIIDepartamento de Engenharia Elétrica, EESC, Universidade de São Paulo, Av. Trabalhador São-carlense, 400, Caixa Postal 473, 13560-970 São Carlos, SP, Brasil. E-mail: in [e-mail]

RESUMO

Nesse trabalho, e estudado o problema de corte de estoque com sobras aproveitaveis (PCESA), que consiste em determinar uma política de aproveitamento das sobras de objetos cortados. Estas sobras, desde que não sejam demasiadamente pequenas, podem retornar ao estoque como retalhos para atender demandas futuras, não sendo, portanto, consideradas perdas. Para resolver o PCESA, podem ser utilizados varios procedimentos heurísticos propostos na literatura. Entretanto, e difícil identificar o melhor método de solução, pois cada um deles apresenta uma solução diferente em relação as características de interesse do problema, como quantidade de retalhos produzidos, perdas e distribuição de perdas e retalhos nos objetos. Para superar essa dificuldade, propoe-se utilizar técnicas da lógica fuzzy para considerar a contributo de cada característica de interesse na solução, classifica-la de acordo com critérios pré-estabelecidos e, finalmente, identificar o melhor método com base na respectiva solução. Com a metodologia fuzzy desenvolvida, facilitou-se a análise dos métodos de solução.

Palavras-chave: problemas de corte de estoque, sobras aproveitaveis, inferencia fuzzy.

ABSTRACT

In this paper, we study the cutting stock problem with usable leftovers (CSPUL), that consists in determining a policy of usable leftovers from cut objects. These leftovers, if large enough, can returned to the stock as retails in order to fulfill future demands and, therefore, they are not computed as waste. In order to solve the CSPUL, several heuristic procedures from the literature can be used. However, it is hard to point out which solution method performs better, since each one presents different solutions regarding some conflicting characteristics, such as quantity of new retails generated, wastes, and distribution of the wastes and retails in the cut objects. To overcome this difficulty, we propose some fuzzy techniques to consider the contribution of each characteristic in the solution, classify it according some criteria beforehand considered and, finally, identify the best solution method based on the respective solution. With the proposed fuzzy methodology, the solution methods analysis was simplified.

Keywords: cutting stock problems, usable leftovers, fuzzy inference.

INTRODUÇÃO

Os problemas de corte de estoque (PCE) aparecem em diversos processos industriais, em que os objetos a serem cortados correspondem a barras de aco, bobinas de papel e alumínio, placas metalicas e de madeira, placas de circuito impresso, chapas de vidro, peças de couro, entre outros. Nesses contextos, a redução dos custos de produção e a melhoria da eficiencia do processo produtivo estão frequentemente associadas a utilização de estrategias adequadas dos processos de corte. O leitor interessado em problemas de corte de estoque pode consultar os seguintes trabalhos: Hinxman (1980), Dyckhoff et al. (1985), Dyckhoff & Wascher (1990), Dowsland & Dowsland (1992), Sweeney & Paternoster (1992), Bischoff & Wascher (1995), Dyckhoff et al. (1997), Arenales etal. (1999), Wang & Wascher (2002), Hifi (2002), Oliveira & Wascher (2007) e Wascher et al. (2007). Referencias adicionais podem ser encontradas em ESICUP - European Interested group in CUtting and Packing Problems (2009).

Um problema pouco estudado e comumente encontrado na praítica consiste em determinar uma política de aproveitamento das sobras de objetos cortados. Estas sobras, desde que não sejam demasiadamente pequenas, podem retornar ao estoque como retalhos para atender demandas futuras e, portanto, não são consideradas perdas. Esse problema e frequentemente denominado de problema de corte de estoque com sobras aproveitaveis (PCESA).

O PCESA foi identificado no trabalho de Brown (1971), entretanto, os primeiros trabalhos envolvendo o PCESA surgiram com o trabalho de Dyckhoff (1981), no qual o autor desenvolveu um modelo para o PCE caracterizado pelo uso dinamico de padrões de corte estruturados. O modelo apresenta vantagens de uso em situações praticas em que os objetos em estoque possuem comprimentos diferentes e existe um nuí mero relativamente grande de itens demandados. As sobras geradas pelo processo de corte tem um valor associado, pois podem ser utilizadas para atender novas demandas que surgem ao longo do horizonte de planejamento considerado. Outras estrategias para lidar com o PCESA podem ser encontradas em Roodman (1986), Scheithauer (1991), Sinuany-Stern & Weiner (1994), Gradisar et al. (1997), Gradisar et al. (1999) e Abuabara & Morabito (2009).

Recentemente, Cherri et al. (2009) desenvolveram um estudo sobre o aproveitamento de sobras durante o processo de corte e propuseram modificações em métodos heurísticos tradicionais para lidar com o problema de sobras aproveitaveis. Os autores mostraram a dificuldade em identificar o melhor método para o PCESA, pois cada um deles apresentou uma solução diferente em relação as características de interesse do problema, como quantidade de retalhos produzidos, perdas e distribuição de perdas e retalhos nos objetos.

Nesse contexto, o presente trabalho propoe a utilização de algumas técnicas da lógica fuzzy para auxiliar na escolha do melhor meítodo para resolver o PCESA proposto em Cherri et al. (2009). Em linhas gerais, a abordagem proposta leva em consideração a contribuição de cada característica de interesse na solução, classifica as soluções de acordo com critérios pré-estabelecidos e, finalmente, identifica o melhor método com base na respectiva solução. Convem salientar que ate a finalização desse trabalho, não foi encontrada nenhuma técnica geral capaz de comparar métodos de solução quando varios fatores conflitantes concorrem na determinação do melhor método . O conhecido trabalho de Dolan e More (2002), por exemplo, propoe a utilização de perfis de desempenho como uma poderosa técnica na comparação de softwares científicos (ou métodos de solução). Porem, a comparação e realizada com base em apenas uma metrica (ou característica de interesse), como tempo de resolução necessario para obter uma solução com determinada acurada, por exemplo. Assim, esta metodologia não pode ser aplicada diretamente no caso proposto por esse artigo.

A teoria dos conjuntos fuzzy, introduzida por Zadeh (1965), surgiu como um meio de representação e manipulação de dados imprecisos, e pelo fato de os conjuntos classicos apresentarem limitações para lidar com problemas em que transições de uma classe para outra acontecem de forma lenta e gradual. Nos últimos anos, a lógica fuzzy tem sido empregada em diversos problemas gerais de pesquisa operacional, como localização de facilidades, logística e transporte, designação, tomada de decisão em ambientes incertos, sequenciamento, entre outros (Guiffrida & Nagi, 1998). Particularmente para os problemas de corte de estoque, a lógica fuzzy foi empregada no trabalho de Vasko et al. (1989), que apresentaram uma formulação matemática para o PCE em um ambiente fuzzy. O problema de corte de estoque fuzzy definido pelos autores tem o objetivo de determinar padrões de corte sujeito a restrições sobre a produtividade do processo de corte, servicos de clientes e logística. Ghodsi & Sassani (2002) desenvolveram um algoritmo fuzzy para minimizar a perda no corte de placas de madeira para a produção de peças menores. Ghodsi & Sassani (2005), apresentaram um método de classificação fuzzy para a otimização do corte de estoque em tempo real com ordem de prioridades. Mais recentemente, Saad et al. (2007) propuseram a utilização da lógica fuzzy para modelar um PCE com miiltiplos objetivos em uma induístria de alumínio.

O restante desse artigo esta organizado da seguinte maneira: na Seção 2, e definido o problema de corte de estoque com sobras de material aproveitaveis. Na Seção 3, são revisados alguns métodos heurísticos propostos por Cherri et al. (2009) para obter a solução do PCESA. Na Seção 4, e realizada uma revisão sobre estimadores e controladores fuzzy. Resultados computacionais são apresentados na Seção 5. Na Seção 6, foi realizada a análise das soluções a partir da técnica de inferência fuzzy. Finalmente, na Seção 7, são apresentadas as conclusões e sugestões de trabalhos futuros.

2 O PROBLEMA DE CORTE DE ESTOQUE UNIDIMENSIONAL COM SOBRAS DE MATERIAL APROVEITAVEIS

Os meítodos existentes na literatura para resolver problemas de corte de estoque unidimensionais tem como principal objetivo minimizar a sobra resultante nos objetos cortados. Para os problemas de corte, as modelagens matemáticas e os métodos de resolução de maior impacto na literatura foram publicados por Gilmore & Gomory (1961, 1963).

• Definir todos os possíveis padrões de corte (maneira como um objeto em estoque e cortado para a produção de itens demandados).

• Definir o número de vezes que cada padrâo de corte e utilizado para atender a demanda.

Os problemas de corte de estoque aparecem em diversas situações e em cada uma delas, ha especificidades, restrições e objetivos impostos pelas praticas industriais que devem ser respeitados. Um problema que tem recebido atenção especial nos últimos anos consiste em aproveitar sobras de padrões de corte desde que estas não sejam pequenas. A ideia de aproveitar sobras de padrões de corte e uma realidade em muitas empresas, principalmente quando o custo da materia-prima (barras ou placas de diferentes materiais) representa uma parte significativa do custo do produto final. Alem do apelo económico evidente do processo de aproveitamento das sobras de material, ha ainda a motivação da sustentabilidade em seus diversos ambitos (social, económico e ambiental) que tornam esse problema importante e desafiador.

Nesse trabalho, não e apresentada uma formulação matemática para o problema de corte de estoque com sobras aproveitáveis. Porem, como a qualidade dos padrões de corte depende diretamente dos comprimentos e quantidades de itens a serem produzidos, os padrões de corte podem ser planejados de modo a admitir sobras grandes (retalhos) que possam ser utilizadas no futuro. Assim, e possível desenvolver métodos heurísticos que, a partir de um conjunto de dados de entrada e objetivos definidos, obtenha tais conjuntos de padrões de corte, tendo em vista o aproveitamento das sobras do processo de corte de estoque. De acordo com Cherri et al. (2009), o problema de corte de estoque com sobras aproveitaveis e definido da seguinte maneira:

"Um conjunto de itens deve ser produzido a partir do corte de objetos, os quais podem ser de tamanhos padronizados (objetos que são comprados de fornecedores) ou não padronizados (objetos que são retalhos de cortes anteriores). São conhecidos o comprimentos e as quantidades dos itens demandados, assim como as características dos objetos disponíveis no estoque. As demandas devem ser atendidas cortando-se os objetos disponíveis, de modo que as sobras geradas sejam 'pequenas' (chamadas de perda) ou 'suficientemente grandes' (chamadas de retalhos) para retornarem ao estoque, porem em número reduzido'".

Existem várias maneiras de se definir um comprimento 'suficientemente grande" ou mínimo aceitável para um retalho (Abuabara & Morabito, 2009; Gradisar et al., 1997; Cherri et al., 2009). Neste artigo, o mínimo aceitável para um retalho (δ) e definido como a media dos comprimentos dos itens demandados. Os parâmetros θ e β são utilizados pelo usuario para definir o tamanho maíximo para que uma sobra possa ser considerada uma perda pequena. Desta forma, tem-se:

•θ: fração que define uma perda pequena para os objetos padronizados e θ L_k e o comprimento máximo para uma sobra ser considerada perda pequena (k = 1,..., k, em que e a quantidade de tipos de objetos padronizados em estoque).

• β: fração que define ma perda pequena para os objetos não padronizados e β L_k e o comprimentos máximo para que uma sobra seja considerada perda pequena (k = + 1, ..., K, em que os objetos do tipo + 1, ..., K são retalhos que retornaram ao estoque).

As sobras dos padrões de corte que forem maiores que θ L_k e β L_k e menores que 5 são consideradas como perda de tamanho intermediario. A Figura 1 ilustra a classificação das sobras geradas em um objeto.

Pela definição do PCESA, observa-se que alguns objetivos nem sempre são satisfeitos simultaneamente, pois e possível obter soluções com sobras de tamanho intermediario e retalhos distribuídos em muitos objetos cortados, ou soluções com sobras de tamanho intermediario e retalhos concentrados em poucos objetos cortados.

Em Cherri et al. (2009), as soluções para o PCESA foram classificadas como ideal, aceitável e indesejavel, sendo que o número de objetos cortados com perda pequena, perda de tamanho intermediario e retalhos influenciam diretamente nessa classificação. Nesse trabalho, as soluções são definidas da seguinte maneira:

Definição 1: Para o PCESA, as soluções são definidas como:

• Solução ideal: se a redução de retalhos (objetos não padronizados) for bem significativa e a perda relativa nos objetos padronizados e não padronizados for muito pequena.

• Solução desejável: se a redução de retalhos for bem significativa, a perda relativa nos objetos padronizados for muito pequena e a perda relativa nos objetos não padronizados for pequena.

• Solução aceitável: se a redução de retalhos for pouco significativa e a perda nos objetos padronizados for pequena.

• Solução indesejavel: se o estoque de retalhos manter-se estável e a perda relativa nos objetos padronizados for pequena.

• Solução inaceitável: se o estoque de retalhos ampliar-se.

Na Definição 1, as soluções são classificadas considerando cinco categorias. Entretanto, outras categorias poderiam ser definidas. Esta nova classificação requer a quantificação dos termos muito pequena e pequena, redução bem significativa, pouco significativa, estavel ou ampliada. Para isso, definiu-se:

• muito pequena: se perda relativa

• pequena: se perda relativa

sendo que é o limite da perda relativa nos objetos padronizados e e o limite da perda relativa nos objetos não padronizados.

A perda relativa e calculada pela razao entre a perda total e o comprimento dos objetos cortados:

e que o copriento perdido e o copriento total dos objetos cortados deve ser referentes ao mesmo tipo de objeto (padronizado ou não padronizado).

Para obter as variações do estoque de objetos não padronizados (retalhos), calcula-se o retalho líquido relativo:

Retalho líquido relativo =

no qual o número de objetos retalho em estoque e a quantidade de objetos não padronizados em estoque antes de iniciar o processo de corte. Note que o retalho líquido mostra o balanco do estoque de retalhos. Sendo assim, e natural que a sua redução seja uma medida de interesse para o PCESA.

Para a quantificação dos temos referentes ao retalho líquido relativo, define-se a redução do estoque da seguinte maneira:

• bem significativa: se retalho líquido relativo < ω₁ ;

• pouco significativa: se ω₁ < retalho líquido relativo < ω₂ ;

• estavel: se ω₂ < retalho líquido relativo < ω₃ ;

• ampliado: se retalho líquido relativo > ω₃,

em que os parâmetros ω₁ , ω₂ e ω₃ tambem são definidos pelo usuario, de forma que 0 < ω₁ < ω₂ < ω₃< 1.

Convém ressaltar que o uso do retalho líquido na análise das soluções so deve ser utilizado quando existir uma determinada quantidade de objetos em estoque (pelo menos maior do que 1). Este critério não deve ser utilizado quando, por exemplo, o estoque de retalhos e nulo, pois se apenas um retalho for gerado durante o processo de corte, o retalho líquido relativo serâ infinito.

Para compreender a dificuldade em analisar as soluções do PCESA, considere o exemplo a seguir em que d_i, i = 1, ..., m e a demanda dos itens e e_k, k = 1, ..., K, e a disponibilidade dos objetos em estoque. Neste exemplo ilustrativo, assume-se que toda sobra superior a 4 m (media do comprimento dos itens demandados) e considerada retalho.

Figura 2

Nas três possíveis soluções apresentadas tem-se a mesma sobra total, entretanto, a maneira como estas sobras estão distribuídas nos padrões de corte nos leva a duvida da melhor solução, pois cada uma delas apresenta uma característica diferente em termos de comprimento e quantidade perdida e quantidade de novos retalhos que podem retornar ao estoque. Na solução (a) (Fig. 3), por exemplo, dois retalhos foram gerados, porém, a perda total desta solução é maior do que a perda total da solução(b), que gerou 3 novos retalhos. Embora a solução (c) apresente uma perda total maior do que as demais soluções, ela gera um linico retalho para estoque. Como se pode observar, a escolha da melhor solução não e trivial, pois a relação entre perda, retalho, quantidade de padrões com perda ou retalho podem ser conflitantes, tornando a análise das soluções diflcil.

Para contornar esta difiçuldade, este trabalho propõe a utilização de uma abordagem fuzzy para analisar e qualificar as soluções do PCESA obtidas através dos procedimentos heurísticos desenvolvidos por Cherri et al. (2009). Embora varios procedimentos heurísticos tenham sido desenvolvidos para resolver o PCESA, comparou-se apenas as soluções das heurísticas FFD (First Fit Decreasing), FFD_A , RAG (Residual de Arredondamento Guloso), RAG_A e o algoritmo COLA, desenvolvido por Gradisar et al. (1997).

3 HEURÍSTICAS PARA O PCESA

Os métodos propostos para resolver o PCESA consistem em modificações de procedimentos heurísticos classiços da literatura. Nesta seção, são revisadas as alterações realizadas nas heurísticas classicas FFD e RAG versão 2, que originaram as heurísticas de aproveitamento FFD_A e RAG_A versão 2. Os detalhes destas heurísticas, bem como seus respeçtivos algoritmos, encontram-se em Cherri et al. (2009). Por simplicidade de notação, as heurísticas RAG e RAG_A versão 2 são denominadas apenas RAG e RAG_A .

3.1 Heurística FFD_A

A heurística FFD_A consiste em aplicar o procedimento FFD para obter um padrão de corte e analisar a sobra obtida. Se a sobra for aceitável (por simplicidade, utiliza-se o termo sobra aceitável quando esta for uma perda pequena ou um retalho), o padrão e aceito. Senão, o maior item do padrão e retirado. Assim, para o espaço gerado com a retirada do item e resolvido o problema da mochila (Cherri et al., 2009) çuja capacidade e a sobra no padrão adicionada ao tamanho do item retirado. Depois de resolvido o problema da mochila, a sobra gerada e analisada e se não for aceitável, o segundo maior item do padrão e retirado. Novamente, para o espaço gerado, e resolvido o problema da mochila. Caso se tenha retirado um item de cada comprimento dentre todos que compõem o padrão de çorte, volta-se a retirar o primeiro maior item. Este procedimento e repetido ate que a sobra seja aceitável ou o padrão inicial tenha sido anulado. Neste último caso, o padrão de çorte e gerado pelo problema da mochila.

3.2 Heurística RAG_A

A Heurística RAG_A consiste em encontrar uma solução inteira aproximada a partir da solução da relaxação linear do problema proposto por Gilmore & Gomory (1963):

utilizando a heurística RAG (Poldi & Arenales, 2009). Depois de gerados todos os padrões de corte com a heurística RAG, a sobra em cada padrão e analisada. Se a sobra estiver em limitantes aceitaveis (calculados previamente), o padrão de corte analisado e aceito e armazenado; caso contrario, e rejeitado e em seguida desfeito (demanda e estoque são atualizados). Depois de analisados todos os padrões de corte gerados, aplica-se a heurística FFD_A na demanda residual formada pelos padrões de corte rejeitados.

4 TÉCNICAS DE INFERÊNCIA FUZZY

A lógica Fuzzy e baseada na teoria dos conjuntos fuzzy. Esta e uma generalização da teoria dos conjuntos tradicionais para resolver os paradoxos gerados a partir da classificação "verdadeiro ou falso" da lógica classica. Tradicionalmente, uma proposição lógica tem dois extremos: ou "completamente verdadeira" ou "completamente falsa". Entretanto, na lógica fuzzy, uma premissa varia em grau de verdade de 0 a 1, tornando-a parcialmente verdadeira ou parcialmente falsa.

Para Pedrycz & Gomide (1998), o uso de conjuntos fuzzy produz uma base para um meio sistematico para a manipulação das concepções incertas e vagas. Em particular, pode-se empregar conjuntos fuzzy para representar as variaveis linguísticas. Uma variavel linguística pode ser considerada como qualquer variavel cujo valor e um número fuzzy (os mimeros fuzzy são constituídos de conjuntos fuzzy, definidos em universos de discurso discretos ou contínuos) ou cujos valores são definidos em termos linguísticos. As principais operações entre variaveis linguísticas são realizadas através da utilização dos conectivos "e" (operador de intersecção τ-norma), "ou" (operador de intersecção S-norma) e "não". Assim, dados dois termos A e B de uma determinada variavel linguística, as operações compostas por "A e B" e "A ou B", são definidas em termos dos seus graus de pertinência como:

em que x Є U (universo de discurso).

Utilizando-se para o operador τ-norma a função mínimo (min) e para o operador S-norma a função máximo (max), tem-se:

Para a operação de complemento "não", tem-se a seguinte expressão:

Se x e y forem variaveis linguísticas compostas respectivamente por um conjunto de termos {A₁, A₂, ..., A_n} e {B₁, B₂, ..., B_m} o problema basico do processo de inferência e encontrar uma função de pertinência B' que representa a consequência da aplicação simultanea das regras da forma "se-então".

Normalmente, os processos de inferência fuzzy aplicados em determinadas regras são baseados na regra de Modus Ponens generalizada que e explicitada para um conjunto observavel A' como:

- Fato: x é A';

- Regra: se x é A então y e B;

- Consequência: y e B'.

Logo, se o conjunto A implica diretamente no conjunto B(A → B), então esta operação de implicação pode ser transformada em uma relação de implicação R_A→B (x, y). Desta forma, para obtermos o conjunto B', basta compor o conjunto que denota um fato observavel A' com a relação de implicação R_A→B (x, y) utilizando a operação de composição max-min (Pedrycz & Gomide, 1998), ou seja:

4.1 Relações de implicação

A obtenção da função de pertinência relativa a relação de implicação R_A→B (x, y) pode ser computada utilizando varios operadores de implicação (Pedrycz & Gomide, 1998). Considerando as variaveis linguísticas A e B, a função de pertinência µ R_A→B (x, y) pode ser obtida, por exemplo, através do operador de Mandami, cuja ideia e descrever determinados processos por meio de variaveis linguísticas e usar estas variaveis como entrada para regras de controle. Formalmente, tem-se:

Definição 2:Singleton é um caso particular de conjunto fuzzy normalizado, cujo suporte e um lúnico ponto x Є X com µ(x) = 1.

Os conjuntos singleton são especialmente utilizados para mapear as grandezas de entrada do sistema fuzzy que geralmente são representadas por valores pontuais.

De acordo com Wang (1996), genericamente, um sistema fuzzy e composto de quatro componentes conectados:

Fuzzificadores - A principal função de um fuzzificador e converter os valores reais de entrada em um grau de pertinência a conjuntos fuzzy. Dentre todos os fuzzificadores existentes, um dos mais utilizados e o singleton.

Base de regras fuzzy - A base de regras fuzzy consiste de um conjunto de regras linguísticas "IF-THEN", sendo considerada a parte fundamental de um sistema fuzzy, uma vez que todos os outros componentes são utilizados para implementar as regras de modo eficiente e razoavel.

Inferencia fuzzy - Nesta etapa, as proposições (regras) são definidas e depois são examinadas paralelamente. No processo de inferencia fuzzy, os princípios da lógica fuzzy são usados para combinar as regras fuzzy "IF-THEN" (proposições condicionais) existentes na base de regras com os dados fuzzy de entrada. O resultado final desta combinação e uma regiao fuzzy de saída que esta relacionada com a saída do processo. Os passos para o alcance dessa regiao fuzzy de saída são constituídas por:

• Encontrar todas as regras que estejam ativadas num determinado momento.

• Determinar a saída fuzzy de cada uma das regras ativadas.

• Combinar (agregar) todas as saídas fuzzy calculadas.

Assim, se for considerado um sistema composto por duas entradas e uma saída, com as variaveis linguísticas de entrada x e y compostas por um conjunto de termos fuzzy {A₁, A₂, ..., A_n},{B₁, B₂,..., B_m} e uma variavel de saída z especificada no conjunto de termos {C₁, C₂,... , C _p} , tem-se:

- Fato 1: x é A';

- Fato 2: y é B';

- Regra 1: se (x é A₁) e(y é B₁) então z é C₁;

- Regra 2: se (x e A₂) e (y é B₂) então z é C₂;

- Consequência: z é C'.

Para se obter a relação de implicação R_{A e B→C}, basta aplicar o conectivo lógico "e" em todas as regras ativadas, levando-se em consideração somente a relevancia em termos do grau de ativação e, em seguida, detectar todas as regras ativadas e suas respectivas regiões fuzzy de saída. Utilizando a operação de composição max-min, tem-se para a k-esima regra ativada a relação:

Combinando todas as regioes fuzzy de saída (z), obtem-se uma regiao fuzzy C (z) que representa a agregação (denotada por Ag) de todas as contribuições (z), ou seja, =Ag (, , ..., ), em que k e o número de regras ativadas.

A agregação e a forma de combinar os consequentes (conjuntos fuzzy de saída) gerados a partir das regras ativadas. Normalmente, faz-se a agregação pelo máximo, ou seja, entre os diversos consequentes de um mesmo conjunto gerados na implicação, seleciona-se o de maior grau de pertinência.

Defuzzificadores - O defuzzificador especifica um ponto na saída que melhor representa o conjunto fuzzy. Na escolha de um defuzzificador, os critérios de plausibilidade, simplicidade computacional e de continuidade devem ser considerados. Segundo Wang (1996) os defuzzificadores mais utilizados são: centro de area, media dos máximos e primeiro máximo.

4.2 Metodos de defuzzificação

Os métodos de defuzzificação são frequentemente baseados em ideias heurísticas. Entretanto, esses métodos tambem podem ser caracterizados por suas propriedades (matemáticas) formais. A defuzzificação não e somente relevante para controles fuzzy, mas tambem para outros tipos de problemas.

Para determinar a regiao fuzzy gerada por todas as regras ativadas, deve-se aplicar um método de defuzzificação no conjunto C'(z) resultante da agregação de todos os conjuntos fuzzy de saída Ck (z). Dentre os varios métodos definidos para o processo de defuzzificação, utiliza-se o centro de area (CDA), cuja ideia e agregar as informações sobre possíveis ações de controle que são representadas pela função de pertinência. A solução e um termo comum que combina a contribuição de cada regra ativada das consequências. Formalmente, tem-se:

em que n é o número de discretizações realizadas no universo de discurso de C' e V_k são os valores do universo de discurso de C'.

5 EXPERIMENTOS COMPUTACIONAIS

5.1 Classes de exemplos

Para avaliar os procedimentos heurísticos descritos na Seção 3, 18 classes de exemplos com 50 exemplares cada foram gerados aleatoriamente com base no gerador apresentado em Cherri et al. (2009), que considera:

• Numero de tipos de objetos padronizados: = 2.

• NUmero de tipos de objetos não padronizados: k = 3, 5 e 7.

• NUmero total de objetos disponíveis em estoque: K = 5, 7 e 9.

• Numero de tipos de itens: m = 10, 20 e 40.

• Disponibilidades em estoque dos objetos padronizados: e₁ = e₂ = 100 objetos.

• Disponibilidades em estoque dos objetos não padronizados: e_k, k = 3,..., K são gerados aleatoriamente no intervalo [1, 10].

• Comprimentos dos objetos padronizados: L₁ = 900 e L₂ = 1100.

• Comprimentos dos itens: os itens de comprimento _i são gerados aleatoriamente no intervalo [ν₁L, ν₂L], em que L é o valor medio de L_k, k = 1, 2,ν₁ = 0,001, ν₂ = 0,25 (para itens de comprimento pequenos (P )) e 0,5 (para itens de comprimento variados (V)).

• Tamanho aceitável para o retalho: δ =

• Comprimento dos objetos não padronizados: L_k, k = 3, ..., K são gerados aleatoriamente no intervalo de

• Demanda: d_i é gerada aleatoriamente no intervalo [1, 5].

• Tamanho máximo de perda pequena para os objetos padronizados: 0,005L_k, k = 1, 2.

• Tamanho máximo de perda pequena para os objetos não padronizados: 0,05L_k, k = 3, . . . , K.

Note que a demanda dos itens e baixa, o que reflete uma situação frequente em industrias de pequeno porte (Abuabara & Morabito, 2009). Nos exemplares gerados, definiu-se uma porcentagem de perda aceitável maior para os objetos não padronizados para que estes tenham maior chance de serem utilizados. O retalho foi definido como toda sobra com comprimento superior ou igual a media dos itens demandados.

Combinando os parâmetros K, m, ν₁ e ν₂, foram geradas as classes de exemplos apresentadas na Tabela 1.

Os procedimentos computacionais desenvolvidos foram implementados em Dephi 6.0 e executados em um computador Pentium IV (3 GHz com 2 GB de memoria RAM).

5.2 Resultados

Nesta seção, apresentamos os resultados computacionais obtidos pelos procedimentos heurísticos FFD, FFD_A, RAG e RAG_A . Os exemplares descritos na Seção 5.1 tambem foram resolvidos pelo algoritmo COLA, desenvolvido por Gradisar et al. (1997). A Tabela 2 mostra a media da perda relativa nos objetos padronizados (Media Prop), não padronizados (Media Pronp) e retalho líquido relativo (Media Rlr) para os exemplares de todas as classes. Os maiores e menores valores estão em italico e em negrito, respectivamente. Os resultados medios de cada classe encontramse nas Tabelas A1, ^A2 e ^A3 do ^Apêndice.

Diferentemente dos procedimentos heurísticos utilizados, o algoritmo COLA ordena os objetos de modo não decrescente e, para cada objeto nesta sequencia, constrói um padrâo de corte que prioriza o uso de objetos não padronizados. Assim, o algoritmo consegue reduzir 75% do estoque de objetos não padronizados, aproximadamente. As heurísticas propostas para o problema de aproveitamento reduzem gradativamente o estoque de objetos não padronizados, uma vez que o uso desses objetos e estimulado apenas por permitir que uma perda maior em relação aos objetos padronizados seja gerada.

Em relação as perdas, observa-se que as heurísticas orientadas para o aproveitamento de sobras apresentam soluções superiores ao algoritmo COLA e as heurísticas originais (classicas). Um fato que se deve destacar e que mesmo permitindo uma perda maior nos objetos não padronizados (uma maneira destes terem preferencia) as soluções apresentadas pelas heurísticas específicas para o problema com sobras aproveitaveis são as que apresentam menores perdas. A redução das perdas deve-se ao fato de que sobras indesejaveis são alteradas para se tornarem uma perda pequena ou um retalho (objeto não padronizado futuro). Entretanto, essa redução pode originar um efeito indesejavel para a solução, pois muitos retalhos podem ser gerados. O aumento de objetos não padronizados futuros pode comprometer a qualidade da solução, conforme a Definição 1, tornando uma solução indesejável ou ate mesmo inaceitável.

6 ANÁLISE DOS MÉTODOS DE SOLUÇÃO

A classificação dos métodos de solução e realizada aplicando-se o processo de inferencia fuzzy (Seção 4), visto que varios fatores são considerados simultaneamente na avaliação das soluções.

Para o processo de inferencia fuzzy, utilizou-se o Toolbox Fuzzy Logic do software MatLab 7.1 (Mathworks Inc., 1999). Para a análise dos resultados, foram relacionados os dados da Tabela 2. Estes dados foram escolhidos para a análise da solução final por serem fatores que influenciam diretamente na qualidade da solução, ou seja, o comprimento total perdido esta diretamente relacionado com a quantidade de novos retalhos que retornam ao estoque.

Para os parâmetros definidos na Seção 2, consideramos os valores 0,01 e 0,015 para os parâmetros e , respectivamente, e para os parâmetros e definimos os valores 0,015 e 0,03, respectivamente. Considerando o retalho líquido relativo, definimos ω₁ = 0,5, ω₂ = 0,8 e ω₃ = 1,0.

As variaveis de entrada para o sistema fuzzy proposto são: perda relativa nos objetos padronizados e não padronizados e o retalho líquido relativo. A variavel de saída e a classificação das soluções em ideal (ID), desejável (DE), aceitável (AC), indesejável (IND) e inaceitável (INA), conforme a Definição 1. As funções de pertinência relacionadas a esses dados tem como formato os padrões geometricos mostrados nas Figuras 5 e 6 com os parâmetros: MPE (Muito Pequenas), PE (Pequenas) e G (Grandes) para as perdas relativas e BS (Bem Significativas), PS (Pouco Significativas), E (Estavel) e A (Ampliado) para os retalho líquido relativo. Na Figura 5, para todos os valores referentes a perda relativa nos objetos padronizados e não padronizados e retalho líquido relativo, adicionou-se a media de seus respectivos desvios-padrões, sendo que:

 

• Desvio-padrão medio da perda nos objetos padronizados: 0,008;

• Desvio-padrão medio da perda nos objetos não padronizados: 0,061;

• Desvio-padrão medio do retalho líquido relativo: 0,166.

Desta forma, considerando-se o primeiro valor na Figura 5(b) tem-se que 0,666 foi obtido assumindo ω₁ = 0,5 adicionado do desvio padrão 0,166.

A construção dos padrões geometricos da Figura 5 foi baseada nos valores da Tabela 2. Entretanto, para a construção dos padrões geometricos da Figura 5 (a e c) multiplicou-se os valores obtidos por 100, devido a ordem de grandeza que os mesmos apresentavam.

Os padrões geométricos apresentados na Figura 6 são referentes aos dados de saída estabelecidos para o sistema fuzzy.

Observe que os padrões geometricos apresentados na Figura 6 são igualmente espacados. ísto ocorre porque no problema de reconhecimento de padrões todas as classes devem ter a mesma probabilidade de serem escolhidas. Desta forma, e usual normalizar a saída de dados (entre 0 e 1 ou outro intervalo conveniente). Ressalta-se que o processo de reconhecimento de padrões e qualitativo, ou seja, o que importa e a classe a qual pertence uma dada solução.

O ajuste entre os padrões geometricos e a saída fuzzy e geralmente feito com base na fixação dos consequentes e na alteração dos antecedentes (funções de pertinência).

As regras do sistema fuzzy que representam o conhecimento base para análise das soluções do problema tem o seguinte formato:

Regra 1: Se (a perda relativa nos objetos padronizados for muito pequena) e (a perda relativa nos objetos não padronizados for muito pequena) e (a redução de retalhos for bem significativa), então a solução e ideal.

De maneira simplificada, a Tabela 3 sintetiza as 36 possíveis regras fuzzy. Nesta tabela, consideramos PerdaRelPad e PerdaRelNPad a perda relativa nos objetos padronizados e não padronizados, respectivamente. Bem Signif. e Pouco Signif. são referentes aos termos bem significativa e pouco significativa, respectivamente.

Os operadores utilizados em todo processo de inferencia são:

• Implicação: Mamdami.

• Agregação: Máximo.

• Defuzzificação: Centro de Área (CDA).

• τ-norma: Mínimo.

Para uma melhor compreensão do desenvolvimento do sistema fuzzy utilizado para classificar os métodos de solução para o PCESA, as etapas do processo desenvolvido são ilustradas a seguir. Para esta ilustração, foram consideradas as 36 regras apresentadas na Tabela 3 e os dados de entrada da heurística RAG_A (Tabela 2).

Inicialmente, localizam-se as regras que foram ativadas a partir dos dados de entrada da heurística RAG_A e dos padrões geometricos definidos (Fig. 5). Para os valores fornecidos pela heurística RAG_A , tem-se apenas duas regras ativadas:

Regra 1: Se (a perda relativa nos objetos padronizados for muito pequena) e (a perda relativa nos objetos não padronizados for muito pequena) e (a redução do retalho líquido relativo for bem significativa), então a solução e ideal.

Regra 2: Se (a perda relativa nos objetos padronizados for muito pequena) e (a perda relativa nos objetos não padronizados for muito pequena) e (a redução do retalho líquido relativo for pouco significativa), então a solução e desejável.

A representação geometrica das regras que foram ativadas são apresentadas na Figura 7. Observe que na representação geometrica do retalho líquido relativo duas regras foram ativadas (BS: bem significativa e PS: pouco significativa).

O próximo passo consiste em desmembrar os temos das respectivas funções de pertinência envolvidas com as regras ativadas e verificar suas respectivas regiões fuzzy de saída. Estas regiões de saída são obtidas utilizando os padrões geométricos da Figura 6.

Figura 8

Combinando as duas regioes fuzzy de saída, obtem-se ma regiao fuzzy que representa a agregação das regras ativadas. Para esta agregação, na qual utilizou-se a regra do máximo, tem-se a regiao apresentada na Figura 10.

Após obter a regiao resultante da agregação das regras ativadas, aplica-se um método de defuzzificação, que especifica um ponto na saída que melhor representa o conjunto fuzzy. O ponto localizado e um termo comum que combina a contribuição de cada regra ativada. A solução obtida pelo processo de defuzzificação e um número real que permite ma análise precisa do resultado.

Figura 9

Na Tabela 4, apresenta-se o resultado e a classificação das heurísticas analisadas.

A partir das análises realizadas co o auxílio dos operadores fuzzy, te-s e que as elhores soluções para o problema de corte de estoque com sobras aproveitaveis quando se relaciona a perda relativa nos objetos padronizados e não padronizados e o retalho líquido relativo, foram apresentadas pelas heurísticas Residuais FFD_A e RAG_A . Assim, podemos dizer que essas heurísticas são as mais indicadas para resolver o PCESA ilustrado nesse trabalho. Observe que, embora não seja ideal, ha uma melhora na solução quando comparamos as heurísticas classicas com sua respectiva versão para o aproveitamento de sobras. Com relação ao algoritmo COLA, temos que ele apresenta uma solução indesejavel. Isto ocorre pelo fato deste algoritmo apresentar uma perda relativa grande tanto para os objetos padronizados quanto para os objetos não padronizados.

7 CONCLUSÕES

Neste trabalho, abordou-se o problema de corte de estoque em que as sobras geradas pelo processo produtivo podem ser aproveitadas como objetos não padronizados no atendimento de demandas futuras. Para resolver o PCESA, alguns métodos heurísticos classicos da literatura foram revisados. Entretanto, a análise dos métodos de solução não e trivial, pois varios parâmetros podem concorrer simultaneamente na determinação da melhor solução e, consequentemente, da melhor estrategia para gera-la. Por exemplo, os parâmetros perda total, retalho total e número de padrões de corte com perdas pequenas podem, isoladamente, fornecer soluções diferentes segundo a definição proposta, o que ocasiona uma dificuldade adicional no momento de escolher a melhor estrategia numa determinada situação que considere todos esses parâmetros ao mesmo tempo.

Para lidar com esse problema, utilizou-se um mecanismo de inferência fuzzy com a finalidade de realizar uma análise geral dos métodos de solução. Este mecanismo permite que a contribuição de cada característica de interesse na solução seja considerada simultaneamente. A partir do processo de defuzzificação, um valor pontual foi determinado para cada método heurístico proposto, sendo possível classifica-los de acordo com a definição estabelecida a priori. Com os testes computacionais realizados, verificou-se que os procedimentos heurísticos orientados para o problema de aproveitamento de sobras apresentaram soluções superiores aos procedimentos heurístico classicos, confirmando as conclusões obtidas em Cherri et al. (2009).

Assim, a metodologia fuzzy empregada facilitou a análise dos procedimentos heurísticos desenvolvidos para resolver o PCESA. Apesar da especificidade do PCESA, a metodologia desenvolvida nesse trabalho pode ser aplicada na comparação e classificação de métodos de solução de diversos outros problemas, desde que se tenham varios fatores que concorram na determinação do melhor método ou solução.

Como sugestões de trabalhos futuros, pode-se aplicar a metodologia fuzzy para classificar os métodos heurísticos do PCESA no caso bidimensional. O aproveitamento de sobras em problemas de corte bidimensionais e recente na literatura (Cherri, 2009), entretanto, assim como nos problemas de corte unidimensionais, a determinação da melhor solução envolve a análise simultânea de diversos fatores conflitantes presentes nas soluções.

AGRADECIMENTOS

Os autores agradecem ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico -CNPq - pelo apoio financeiro. Os autores tambem gostariam de agradecer ao professor Marcos Arenales, que contribuiu para o desenvolvimento desse trabalho.

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Recebido em dezembro 2008 / Aceito em julho 2010

APÊNDICE

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Autor correspondente

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  02 Maio 2011
• Data do Fascículo
  Abr 2011

Histórico

• Recebido
  Dez 2008
• Aceito
  Jul 2010