Construção de tábuas de mortalidade de inválidos por meio de modelos estatísticos bayesianos

Construction of Life Boards of invalids using Bayesian statistics

Construcción de tablas de mortalidad de inválidos por medio de modelos estadísticos bayesianos

ARTIGOS

Construction of Life Boards of invalids using Bayesian statistics

Aloísio Joaquim Freitas Ribeiro^I; Edna Afonso Reis^II; Joana Barbabela Barbosa^III

^IDoutor em Demografia, professor adjunto do Departamento de Estatística da UFMG

^IIDoutora em Estatística, professora adjunta do Departamento de Estatística da UFMG

^IIIGraduanda em Ciências Atuariais da UFMG

RESUMO

Este trabalho teve como objetivo a construção de tábuas de mortalidade de inválidos dos segurados de clientela urbana do Regime Geral da Previdência Social. Assumindo que o número de mortes em cada idade segue uma distribuição de Poisson, as taxas de mortalidade por idade simples foram graduadas por meio de métodos estatísticos bayesianos, pelo modelo paramétrico de Gompertz-Makehan, utilizando inferência estatística bayesiana. Foram construídas tábuas de mortalidade para homens e mulheres e intervalos de credibilidade para os parâmetros e componentes do modelo, bem como para as taxas de mortalidade e funções da tábua. Uma aplicação foi feita calculando-se uma anuidade e o passivo atuarial.

Palavras-chave: Tábuas de mortalidade. Estatística bayesiana. MCMC. Modelo Gompertz-Makehan.

RESUMEN

Este trabajo tuvo como objetivo la construcción de tablas de mortalidad de inválidos procedentes de clientela urbana asegurada con el régimen general de la Seguridad Social. Asumiendo que el número de muertes en cada edad sigue una distribución de Poisson, las tasas de mortalidad por edad simple se graduaron mediante métodos estadísticos bayesianos, por el modelo paramétrico de Gompertz-Makehan, utilizando la inferencia estadística bayesiana. Se construyeron tablas de mortalidad para hombres y mujeres e intervalos de credibilidad para los parámetros y componentes del modelo, así como para las tasas de mortalidad y funciones de la tabla. Una aplicación se realizó calculando una anualidad y el pasivo actuarial.

Palabras-clave: Tablas de mortalidad. Estadística bayesiana. MCMC. Modelo Gompertz-Makehan.

ABSTRACT

The objective of this article is to construct life tables of invalids among urban beneficiaries of the General Regime of the National Brazilian Social Security System. Assuming that the number of deaths in each table follows a Poisson distribution, the death rates by simple age were graduated through Bayesian statistical methods, by using the Gompertz-Makehan parametric model and using Bayesian statistical inferences. Life tables were constructed for death rates of men and women, and credibility intervals were set up for the parameters and components of the model, as well as for the death rates and functions of the board. An application was made by calculating an annuity and the actuarial liabilities.

Keywords: Life tables. Bayesian statistics. MCMC. Gompertz-Makehan Model.

Introdução

Com o aumento da expectativa de vida e o crescimento da previdência no Brasil, estudos sobre a estrutura da mortalidade vêm adquirindo cada vez mais importância nas abordagens demográficas. O país é deficitário em estudos sobre mortalidade de grupos específicos, em especial para os aposentados por invalidez.

A invalidez é definida, pela Previdência Social Brasileira, como "a incapacidade do segurado para o trabalho, insuscetível de reabilitação para o exercício de atividade que lhe garanta a subsistência" (BRASIL, 1999). Impossibilitado de trabalhar, o segurado perde sua renda e tem suas despesas aumentadas com gastos de saúde.

Os planos de previdência e os seguros com cobertura para invalidez devem planejar os custos futuros com estes benefícios, sendo necessário o conhecimento do fluxo de beneficiários. O número de inválidos deriva das probabilidades de entrada em invalidez e de transição do estado de inválido para a morte, apresentadas na forma de tábuas.

As probabilidades de morte têm impacto direto sobre o custo estimado dos benefícios de aposentadoria, pois, quanto menores forem, maior será a expectativa de vida do beneficiário e maiores serão os gastos da previdência. Assim, é importante que as probabilidades de morte estejam próximas da realidade dos segurados naquele momento.

Não existe um consenso sobre qual tábua é mais apropriada para ser utilizada, pois o nível e a estrutura de mortalidade são variáveis no tempo e de população para população. No Brasil, há grande diversidade entre as tábuas utilizadas pelas entidades de seguro e previdência, sendo que a própria legislação brasileira indica tábuas que refletem experiências muito antigas ou de outras populações. A Portaria MPAS n. 7.796, de 28 de agosto de 2000, por exemplo, determina que os Regimes Próprios de Previdência Social dos servidores públicos devem utilizar as tábuas: de sobrevivência - AT-49 (MALE), como limite máximo de taxa de mortalidade; de entrada em invalidez - Álvaro Vindas, como limite mínimo de taxa de entrada em invalidez; e de mortalidade de inválidos - experiência IAPC, como limite máximo de taxa de mortalidade.

Segundo Magalhães e Bugarin (2004), a tábua AT-49 foi desenvolvida por Lumsdem, do Mortality Committy (EUA), observando a taxa de sobrevivência e mortalidade no período de 1941 a 1946. A de entrada em invalidez Álvaro Vindas foi construída pelo mesmo, em 1957, para o Departamento Actuarial y Estadístico de la Caja Costarricense de Seguro Social (CCSS). Já a tábua de mortalidade de inválidos IAPC foi elaborada com base nos dados do Instituto de Aposentados e Pensões dos Comerciários, extinto em 1966. Além disso, como exemplificado em Castro (1997), grande parte das mudanças implementadas na legislação até hoje teve como base sugestões e decisões políticas e sociais, desconsiderando a evolução das componentes demográficas, atuariais e econômicas implícitas no sistema.

Este trabalho apresenta tábuas de mortalidade de inválidos construídas a partir das informações dos segurados de clientela urbana do Regime Geral da Previdência Social, que rege a previdência social básica, universal e compulsória dos trabalhadores do setor privado. Foram obtidas as taxas de mortalidade por idade simples e graduadas por meio do modelo paramétrico de Gompertz-Makehan, estimado via inferência estatística bayesiana.

A abordagem bayesiana do processo de graduação trata da estimação estatística dos parâmetros desconhecidos, em que são agregados aos dados conhecimentos iniciais (distribuição a priori) sobre os parâmetros estudados (NEVES; MIGON, 2006). Esses métodos propiciam resultados adicionais àqueles obtidos pela abordagem frequentemente utilizada, destacando-se os intervalos de confiança bayesianos (intervalos de credibilidade) para os parâmetros e componentes do modelo (CONGDON, 2001), bem como para as taxas de mortalidade e funções da tábua de mortalidade. Alguns trabalhos sobre a graduação de taxas de mortalidade utilizando modelos bayesianos já foram publicados, inclusive no Brasil, entre eles: Gordon (1998), Mendonza et al. (2001) e Neves e Migon (2006).

Dados

Os dados utilizados neste estudo, cedidos pelo Ministério da Previdência Social, por meio de convênio com a UFMG, referem-se aos 2.354.135 benefícios de aposentadorias por invalidez, de clientela urbana, que estiveram ativos em algum instante do período entre 01/01/1999 e 31/12/2002. Foram excluídas, da análise, informações de 8.700 beneficiários, por apresentarem inconsistência nas datas de nascimento, início e cessação de benefícios. Dados de mortalidade e tempo de exposição ao risco de 43.698 beneficiários, para os quais não havia indicação de sexo, foram redistribuídos proporcionalmente segundo a composição por sexo dessas variáveis para aqueles que possuíam a informação de sexo.

Para construção das tábuas de mortalidade, o número de mortes e o tempo total de exposição ao risco foram obtidos por idade simples e sexo. Entre os beneficiários, 59,8% eram homens, 38,2% mulheres e 2% apresentavam sexo ignorado. Foram observadas 227.821 mortes entre os beneficiários do sexo masculino, para um tempo total de exposição ao risco igual a 4.612.349,61 pessoas-ano; para as mulheres, foram 94.442 mortes para 3.006.045,42 pessoas-ano. Considerações sobre as limitações dos dados e de como foram obtidas as informações sobre número de mortes e exposição ao risco podem ser vistas em Ribeiro et al. (2007).

Os dados utilizados neste projeto estão separados por sexo e estruturados na forma (x,E_x,d_x), onde x denota a idade do beneficiário, E_x é o tempo (pessoas-ano) de exposição ao risco de morte e d_x é o número de mortes na idade x.

As taxas brutas de mortalidade por idade e sexo, obtidas por são apresentadas no Gráfico 1. Consideram-se, neste estudo, os dados relativos ao intervalo de idade entre 25 e 95 anos. Abaixo dos 25 e acima dos 95 anos, as taxas brutas possuem maior variabilidade, pois o número de expostos é pequeno. Além disso, a taxa de entrada em invalidez para jovens adultos é baixa e, nas idades avançadas, ocorrem mais frequentemente erros de declaração e omissão da idade.

Dentro do intervalo de idade escolhido, as taxas brutas são estimadas individualmente em cada grupo e possuem um comportamento irregular, não variando suavemente com a idade. Para que possam ser utilizadas por um plano de previdência no cálculo de prêmios e reservas, as taxas brutas devem ser suavizadas por meio de um processo chamado de graduação (HABERMAN; RENSHAW, 1996). A graduação é necessária porque a sequência de taxas de mortalidades brutas, em geral, apresenta mudanças bruscas, que não correspondem à hipótese de que as probabilidades de morte para duas idades consecutivas devem ser bem próximas.

Inferência estatística bayesiana

Seja X uma variável de interesse, como, por exemplo, a intensidade de mortes em certa população. Na modelagem estatística, a distribuição de probabilidade de X é descrita por parâmetros, quantidades desconhecidas e não observáveis, denotadas aqui por 0.

A inferência estatística é feita especificando-se a distribuição amostral de X, chamada de função de verossimilhança, indicada por p(x|θ). Essa função associa a cada valor de θ¸ a probabilidade de observar os dados amostrais x.

Na abordagem clássica de inferência, acredita-se que toda a informação sobre o parâmetro está na verossimilhança, ou seja, nos dados observados x. O método clássico mais usado, chamado método de máxima verossimilhança, determina como estimativa de θ o valor que maximiza a função de verossimilhança.

Já na abordagem bayesiana de inferência, assume-se que existe alguma informação sobre a distribuição de θ a priori de qualquer informação sobre este parâmetro dada pela amostra. Esta informação prévia sobre 0 é apresentada na forma de uma distribuição de probabilidade p(θ), chamada de distribuição a priori. Se p(θ) é suficientemente informativa, tem-se a descrição completa da incerteza a respeito de θ. Mas, se p(θ) não é informativa o bastante, deve-se atualizar a informação a respeito de θ, observando uma amostra x e incorporando sua informação através da verossimilhança p(x|θ). Essa atualização é feita pelo Teorema de Bayes, em que:

A inferência bayesiana é baseada em p(θ|x), chamada distribuição a posteriori, que descreve todo o conhecimento que se tem sobre θ disponível pela distribuição a priori e pela amostra.

Note-se que p(x) não depende de θ. Assim, outra forma de se escrever a distribuição a posteriori é:

ou seja, a posteriori é proporcional ao produto da priori pela verossimilhança. Essa forma simplificada do teorema de Bayes é utilizada pela abordagem bayesiana, em que todo o conhecimento que se tem sobre ¸ disponível pela priori é atualizado na posteriori.

A expressão analítica da posteriori é de fácil obtenção apenas em poucos casos, em especial aqueles nos quais a posteriori pertence à mesma família de distribuições que a priori (se diz que elas são conjugadas). A grande dificuldade aparece nos casos em que ¸ é um vetor de parâmetros. Nesses casos, as informações sobre a posteriori podem ser obtidas gerando-se uma amostra dela, por meio de métodos de simulação, em especial os Métodos de Monte Carlo via cadeias de Markov (em inglês, sigla MCMC) (GAMERMAN; LOPES, 2006).

Uma amostra da distribuição a posteriori é obtida quando o número de simulações se aproxima de infinito. Isto é impossível na prática e, assim, as inferências são realizadas a partir de número de simulações finito, suficientemente grande. A determinação do número de simulações suficientes para a convergência das cadeias para a distribuição a posteriori é uma função particular de cada aplicação. Geralmente, dezenas de milhares de iterações são suficientes. Em todos os casos, as primeiras simulações são descartadas em função de reduzir o efeito dos valores iniciais. Um teste de convergência muito útil é obtido rodando várias simulações em paralelo, com diferentes valores iniciais, e depois comparando os resultados. O número de iterações deve ser aumentado se os resultados forem diferentes.

Para a realização dessas técnicas de simulação estocásticas, são utilizados softwares como o WinBUGS (SPIEGELHALTER; THOMAS; BEST, 2003). Como seu propósito básico é programar análises MCMC, sua linguagem de programação é eficiente, resumida e proporciona ferramentas para a análise da convergência.

Os métodos bayesianos baseados em amostragem da distribuição a posteriori fornecem um perfil completo da distribuição do(s) parâmetro(s), permitindo o teste de um amplo conjunto de hipóteses sobre os parâmetros.

Modelo para graduação das taxas de mortalidade

As taxas brutas de mortalidade podem ser graduadas por meio de modelos paramétricos ou não paramétricos. Os modelos paramétricos comumente utilizados na literatura, como em Debón et al. (2005) e Forfar et al. (1988), são funções de sobrevivência baseadas nas Leis de Mortalidade, que têm por objetivo estimar a mortalidade, a sobrevida ou o risco de morte em uma determinada idade.

Em 1825, Benjamim Gompertz observou que a mortalidade humana aumenta exponencialmente com a idade x e propôs um modelo paramétrico que relaciona a força de mortalidade μ_x com a idade. Esse modelo, chamado de Gompertz, é definido por:

Nele, α é um parâmetro de escala que representa o nível geral de mortalidade adulta e β determina como o risco de mortalidade aumenta com a idade.

Mais tarde, Makeham verificou que o modelo de Gompertz não representa adequadamente as intensidades de morte nas idades avançadas e, assim, incluiu o termo constante α₁, que pode ser interpretado como o risco de morte por causas que independem da idade. Esse modelo, chamado de Gompertz-Makeham (GM), é definido por:

supondo-se as seguintes restrições: α₁>0, α₂>- β e β>0.

No modelo GM, α₂ e β têm a mesma interpretação. Para garantir que as intensidades de mortalidade sejam sempre positivas, o parâmetro α₁ é restrito ao intervalo α₁>-α₂. Fazendo temos que e

Assumindo que os segurados com mesma idade morrem independentemente e com mesma probabilidade, o número de mortes na idade x, d_x tem distribuição de Poisson com média , onde os e_x são assumidos conhecidos e são as quantidades a serem estimadas:

onde x_min e x_max são, respectivamente, a menor e a maior idade consideradas.

Assumindo que as intensidades de mortes μ_x crescem com a idade segundo um modelo Gompertz-Makeham e a função de ligação canônica para a distribuição de Poisson, tem-se que:

A especificação do modelo é completada estabelecendo-se as seguintes distribuições de probabilidade a priori para os parâmetros α₁, α₂ e ³:

A escolha das constantes a, b, c e d, que determinam as distribuições dos parâmetros α₁ e α₂, foi feita empiricamente. A média de α₁ foi igualada a zero e, para ser uma distribuição pouco informativa, foi feito d=0,0001. Quando α₁=0, o modelo GM se equipara ao modelo Gompertz, resultando a equação: que foi então ajustada pelo método de mínimos quadrados. Como a esperança e variância de uma Gama (a,b) são iguais a a/b e a/b²; respectivamente, tomou-se b =1 e a igual ao valor estimado de α₂.

O modelo hierárquico pode ser resumido como na Figura 1.

A inferência sobre os parâmetros (α₁,α₂,β) é baseada na sua função densidade de probabilidade a posteriori condicional às estatísticas de mortalidade (d_x e E_x), dada por

Esta função não assume uma forma conhecida e não é analiticamente tratável. Foi necessária, portanto, a geração de uma amostra desta posteriori, pelos métodos de simulação MCMC descritos na seção anterior. Para tanto, utilizamos o programa computacional WinBUGS. A convergência das cadeias foi verificada utilizando-se técnicas de disponíveis no programa CODA (COWLES et al., 1995).

Resultados

As taxas de mortalidade estimadas pelo modelo (1)-(6) são mostradas no Gráfico 2. O intervalo de credibilidade obtido para a intensidade de mortalidade não foi plotado por ser muito pequeno em relação à escala do gráfico, mas pode ser encontrado na Tabela 1 do Anexo.

A partir dos valores de intensidade de mortalidade estimados, foi calculado q_x, que representa a probabilidade de um indivíduo com idade x sobreviver até a idade x+1, e os demais componentes da tábua de mortalidade: l_x, d_x e e_x. Esses componentes são construídos em função de q_x. O símbolo l_x denota o número de sobreviventes à idade x, d_x corresponde ao número de indivíduos que faleceram ao longo da idade x e e_x é a esperança de vida. Por exemplo, a esperança de vida estimada das mulheres inválidas de 60 anos é de 10,87 anos e a dos homens equivale a 9,15 anos. A tábua completa é apresentada na Tabela 2 do Anexo.

Como pode ser visto no Gráfico 2, para o sexo feminino, o Modelo GM superestima as taxas de mortalidade acima dos 90 anos. Este fenômeno é conhecido como desaceleração da mortalidade (HORIUCH; WILMOTH, 1998). Segundo esses autores, uma das possíveis explicações desse fenômeno é a hipótese de heterogeneidade, em que os indivíduos mais frágeis tendem a morrer nas idades mais jovens, sobrevivendo às idades avançadas aqueles com melhores condições de saúde e estilos de vida saudáveis. Uma forma de considerar esta heterogeneidade no modelo é incluir a variável duração da invalidez, pois é conhecido da literatura que, para uma mesma idade, as taxas de mortalidade tendem a diminuir com a duração da invalidez.

O mesmo fenômeno não é observado para o sexo masculino, como é mostrado também no Gráfico 2. Neste caso, o modelo Gompertz-Makeham tende a superestimar as taxas de mortalidade nas idades avançadas. Apesar disso, os modelos ajustados produzem estimativas suaves das taxas de mortalidades, descrevendo satisfatoriamente as taxas brutas.

Como parte do resultado, é mostrada uma possível aplicação atuarial das taxas, no cálculo de anuidades e do passivo atuarial. A aposentadoria por invalidez é um tipo de benefício não programado em que, via de regra, o indivíduo recebe uma renda vitalícia ou por prazo determinado, cujo valor presente dos pagamentos anuais é obtido mediante a multiplicação do seu valor anual por uma anuidade. Anuidade é definida como o valor presente atuarial de uma renda de valor unitário paga periodicamente durante um determinado período de tempo ou vitaliciamente. Vamos considerar o exemplo de que uma renda unitária vitalícia e anual é paga no início de cada período (antecipada) e é denotada por:

onde: _np_x⁽ⁱ⁾ é a probabilidade de uma pessoa inválida de idade x sobreviver até alcançar a idade x + n; v é o fator de desconto financeiro mensal do benefício para uma taxa anual de juros i; e w é a idade máxima considerada na tabela de vida, no caso, igual a 95 anos. O símbolo "(i)" sobreposto é utilizado para enfatizar que a probabilidade de sobrevivência é dada por uma tábua de inválidos.

Denota-se por B_r o valor anual do benefício de aposentadoria por invalidez que o individuo irá receber de forma vitalícia. Considera-se que não há crescimento salarial e B_r será corrigido apenas pela inflação. O valor presente atuarial do benefício é chamado de passivo atuarial (ou, em inglês, actuarial liability - AL_r) e no momento da aposentadoria AL_r = B_r ä_r⁽ⁱ⁾. Isso significa que AL_r é o valor no momento da aposentadoria por invalidez que será, em média, suficiente para pagar a renda anual ao inválido até o seu falecimento.

Essas funções atuariais também foram calculadas com o software WinBUGS. O Gráfico 3 mostra o valor do passivo atuarial variando com a idade de aposentadoria, considerando-se B_r = 12.000 unidades monetárias e i=0,06% ao ano.

Discussão e extensões

O presente trabalho construiu uma tábua de mortalidade para inválidos, segregada por sexo, utilizando a graduação das taxas via o modelo paramétrico de Gompertz-Makehan.

Os parâmetros desse modelo foram estimados via inferência bayesiana. A vantagem da utilização da inferência bayesiana é a fácil obtenção de estimativas intervalares para todos os componentes do modelo. Além disso, todo o conhecimento prévio do pesquisador pode ser incorporado através da distribuição a priori.

É conhecido que os diferenciais de mortalidade tendem a diminuir com a duração da invalidez. O período de tempo durante o qual o efeito de duração é importante é chamado de período de seleção. Em um próximo trabalho pretende-se, utilizando a abordagem bayesiana, incluir no modelo a duração da invalidez, considerando-se a determinação do período de seleção uma característica intrínseca do modelo.

Uma outra extensão deste trabalho seria a avaliação da tabela de vida produzida em relação aos modelos e outras tabelas existentes.

Recebido para publicação em 18/09/2009

Aceito para publicação em 30/03/2010

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Construção de tábuas de mortalidade de inválidos por meio de modelos estatísticos bayesianos

Construcción de tablas de mortalidad de inválidos por medio de modelos estadísticos bayesianos

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  07 Jan 2011
• Data do Fascículo
  Dez 2010

Histórico

• Recebido
  18 Set 2009
• Aceito
  30 Mar 2010