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Revista Brasileira de Meteorologia

Print version ISSN 0102-7786On-line version ISSN 1982-4351

Rev. bras. meteorol. vol.31 no.4 São Paulo Oct./Dec. 2016

http://dx.doi.org/10.1590/0102-778631231420150088 

Artigos

Um Estudo Comparativo Entre Coeficientes de Difusão Verticais na Simulação da Dispersão de Poluentes em uma Camada Limite Convectiva

Comparison Between Vertical Eddy Diffusivities in the Simulation of Pollutant Dispersion in a Convective Boundary Layer

Maria de Fatima Silva Leite1 

Davidson Martins Moreira1  2  * 

1Programa de Pós-Graduação em Engenharia Ambiental, Universidade Federal do Espírito Santo, Vitória, ES, Brasil.

2Programa de Pós-Graduação em Modelagem Computacional e Tecnologia Industrial, Serviço Nacional de Aprendizagem Industrial, Centro Integrado de Manufatura e Tecnologia, Salvador, BA, Brasil.

Resumo

Este trabalho apresenta um estudo comparativo entre diferentes coeficientes de difusão verticais aplicados em um modelo de dispersão para determinação da concentração de poluentes atmosféricos em uma camada limite convectiva. O modelo de dispersão é uma solução semi-analítica da equação de difusão-advecção tridimensional e estacionária, sendo que os resultados das simulações foram confrontados com dados experimentais da literatura. As melhores performances foram obtidas com o coeficiente de difusão proveniente da teoria estatística de Taylor e propriedades espectrais. Entretanto, resultados menos satisfatórios foram obtidos com a parametrização Asymmetric Convective Model version 2 (ACM2), muito usada como uma das opções para camada limite atmosférica no modelo de mesoescala Weather Research and Forecasting (WRF).

Palavras-chave: coeficiente de difusão; equação de difusão-advecção; camada limite convectiva

Abstract

This work presents a comparative study between different vertical eddy diffusivities applied in a dispersion model to determine the concentration of air pollutants in a convective boundary layer. The dispersion model is a semi- analytical solution of stationary three-dimensional advection-diffusion equation and the simulation results were compared with experimental data from literature. The best performances were obtained with the eddy diffusivity from Taylor's statistical theory and spectral properties. However, less satisfactory results were obtained with the parameterization Asymmetric Convective Model version 2 (ACM2), often used as one of the options for the atmospheric boundary layer in the mesoscale model Weather Research and Forecasting (WRF).

Keywords: eddy diffusivity; advection-diffusion equation; convective boundary layer

1. Introdução.

Os processos de industrialização e urbanização têm sido crescentes e constantes, de forma que os grandes centros urbanos vivenciam os impactos que a degradação da qualidade do ar acarreta na qualidade de vida da população e também no meio ambiente de modo geral. Em consequência disto, a comunidade científica vêm buscando meios que visem o entendimento dos processos de dispersão das emissões de poluentes na atmosfera e o seu controle, de forma que os modelos de dispersão surgem como uma alternativa prática e rápida por permitirem estudar a dispersão de poluentes de forma controlada.

A eficácia dos modelos de dispersão Eulerianos (teoria K) está relacionada diretamente a uma adequada parametrização do coeficiente de difusão (K), por estes serem os responsáveis pela descrição do comportamento físico da difusão de poluentes na atmosfera. Vários pesquisadores vêm contribuindo com estudos voltados à modelagem física da camada limite atmosférica (CLA) através do desenvolvimento de novas parametrizações para o coeficiente de difusão. Diante da vasta literatura, citam-se os trabalhos: Hanna (1982), Panofsky e Dutton (1988), Pleim e Chang (1992), Degrazia et al. (1997), Seinfeld e Pandis (1997), Degrazia et al. (2000; 2001), Ulke (2000) e Pleim (2007). Salienta-se que a parametrização de Pleim (2007) é uma das opções do modelo de mesoescala Weather Research and Forecasting (WRF) (ACM2 - Asymmetrical Convective Model 2) quando da escolha da parametrização de CLA. Portanto, na resolução de problemas de difusão atmosférica, a escolha de uma parametrização de turbulência representa um aspecto fundamental também para a modelagem da dispersão de poluentes. A acurácia de cada modelo depende fortemente da maneira com que os parâmetros turbulentos são calculados e está relacionada à atual compreensão da CLA (Mangia et al., 2002). Além disto, cabe ressaltar que a modelagem da CLA durante condições convectivas tem sido a maior fonte de incertezas na modelagem numérica de condições meteorológicas e qualidade do ar. Grande parte da dificuldade decorre da grande gama de escalas de turbulência que são efetivas na camada limite convectiva (CLC).

A dispersão de poluentes na CLA tem chamado a atenção de pesquisadores de muitas formas. Alguns têm trabalhado com o foco no impacto ambiental e análise de riscos; outros têm trabalhado nos vários aspectos da modelagem como condições meteorológicas, mecanismos de dispersão, mecanismos de remoção, características topográficas, etc. Invariavelmente, a modelagem matemática tem sido o caso de muitos destes estudos. A importância e a necessidade de modelagem matemática são bem conhecidas na comunidade científica. Existem várias aproximações que têm sido efetivamente usadas para avaliar a dispersão de poluentes atmosféricos (Zanetti, 1990; Lin e Hildemann, 1997; Arya, 1999; Tirabassi, 2003). Na realidade, o fenômeno de difusão turbulenta na atmosfera não tem uma única formulação, no sentido que nenhuma aproximação que tenha sido proposta tem a capacidade de explicar todos os fenômenos observados (Arya, 1995). Porém, soluções analíticas ou semi-analíticas de equações são de fundamental importância no entendimento e descrição de um fenômeno físico. Além disso, tendo em mente que os erros inerentes ao modelo matemático são devidos à modelagem matemática do fenômeno físico e a solução da equação matemática, se observa que a solução analítica, de alguma maneira, elimina o erro numérico da solução da equação exceto pelo erro de arredondamento. Como consequência, torna possível fazer uma análise mais real do erro que aparece na modelagem matemática do fenômeno físico com menor custo computacional. Neste contexto, a modelagem matemática é uma nova direção científica que usa amplamente a matemática e a computação científica e está orientada ao aproveitamento de métodos matemáticos avançados, os quais podem ser utilizados na solução de problemas de multifísica.

Portanto, o objetivo deste trabalho é realizar uma análise comparativa de diferentes coeficientes de difusão usando uma solução semi-analítica tridimensional da equação de difusão-advecção para simular a dispersão de poluentes na atmosfera, com o intuito de contribuir para o avanço científico em problemas que envolvem a qualidade do ar, com particular atenção na parametrização da turbulência. Para tal fim, este artigo esta organizado da seguinte maneira: na seção 2 é apresentada a solução da equação de difusão-advecção tridimensional estacionária; na seção 3 mostra-se a parametrização utilizada no modelo, incluindo os coeficientes de difusão verticais, o coeficiente de difusão lateral e o perfil de vento; a seção 4 apresenta uma breve descrição dos tradicionais dados do experimento de Copenhagen e resultados das simulações, além da avaliação da convergência numérica do modelo e, finalmente, na seção 5, são mostradas as conclusões do trabalho.

2. Solução da equação tridimensional estacionária

Considerando-se um sistema Cartesiano de coordenadas em que a direção x coincide com a do vento médio, a equação de difusão-advecção transiente pode ser escrita como (Blackadar, 1997):

Ct+uCx+vCy+wCz=x(KxCx)+y(KyCy)+z(KzCz)+S (1)

onde C representa a concentração média dos poluentes; u, v e w são as componentes do vento médio nas direções x, y e z, respectivamente, e Kx, Ky, Kz são os coeficientes de difusão turbulenta nas direções x, y e z, respectivamente; S é o termo fonte/sumidouro.

Considerando-se as seguintes hipóteses simplificativas: estado estacionário; velocidade do vento predominante na direção do eixo x (v = w = 0) e termo fonte/sumidouro nulo, a Eq. (1) pode ser reescrita da seguinte forma:

uCx=x(KxCx)+y(KyCy)+z(KzCz) (2)

para 0 < z < h, 0 < y < Ly e x > 0, onde Ly representa um comprimento na direção y que satisfaça determinada condição de contorno.

A descrição matemática do problema de dispersão da Eq. (2) é completada por condições de contorno. Na direção z, os poluentes são submetidos às condições de contorno de fluxo zero no solo e no topo da CLC:

KzCz=0 em z=0,h (3a)

onde h é altura da CLC. Na direção y, têm-se as condições:

Cy=0 em y=0,Ly. (3b)

Além das condições acima, assume-se uma fonte pontual contínua com taxa de emissão Q na altura Hs, descrita por:

uC(0,y,z)=Qδ(zHs)δ(yy0) em x=0 (3c)

onde δ ι é a função Delta de Dirac, Hs indica a altura da fonte e y0 indica a posição da fonte na direção transversal.

Para resolver a Eq. (2), considerando-se turbulência não homogênea na direção vertical, aplica-se o método ADMM (Moreira e Vilhena, 2009). A idéia desse método consiste em dividir a CLA em subcamadas, ou seja, o domínio da variável z é dividido em vários subdomínios. Os parâmetros que dependem da altura z, tais como os coeficientes de difusão K e o perfil da velocidade do vento u, assumem valores médios constantes em cada subcamada (aproximação stepwise). Esta aproximação de valores médios para o coeficiente de difusão e velocidade do vento pode ser representada pelas seguintes expressões, respectivamente:

Kn=1zn+1znznzn+1Kz(z)dz (4a)
un=1zn+1znznzn+1u(z)dz. (4b)

Salienta-se que Kn e un assumem um valor constante em znz ≤ zn+1 em cada uma das regiões. Desta forma, têm-se N problemas do mesmo tipo, acoplados por condições de continuidade de concentração e fluxo nas interfaces (Eqs. (6)). Assim, considerando-se turbulência não-homogênea, a Eq. (2) é reescrita da seguinte forma:

unCnx=Kxn2Cnx2+Kyn2Cny2+Kzn2Cnz2 (5)

com znzzn+1, x > 0; 0 < y < Ly e n = 1, 2, N, onde N representa o número total de subcamadas e Cn representa a concentração na n-ésima subcamada. Supondo contato perfeito entre as subcamadas nas quais a CLC foi dividida, consideram-se as condições de continuidade de concentração e fluxo nas interfaces internas:

Cn=Cn+1 n=1,2,(N1) (6a)
KznCnz=Kzn+1Cn+1z n=1,2,(N1). (6b)

Neste momento, para obtenção da solução tridimensional, é possível aplicar o método GITT na direção y na Eq. (5). O formalismo do método GITT (Generalized Integral Transform Technique) (Cotta, 1993) começa com a escolha do problema auxiliar que seja similar ao problema original e as suas respectivas condições de contorno. Nesse trabalho, determina-se o problema auxiliar de Sturm-Liouville da seguinte forma:

ψi"(y)+λi2ψi(y)=0 em 0<y<Ly (7a)
ψi'(y)=0 em y=0,Ly. (7b)

A solução é ψi(y) = cos(λiy), onde λi são as raízes positivas da expressão sen(λiLy) = 0. Assim, λ0 = 0 e λi = iπ/Ly. As funções ψi(y) e λi são as autofunções e autovalores, respectivamente, associados ao problema de Sturm-Liouville, satisfazendo a seguinte condição de ortonormalidade:

1Ni1Njvψi(x)ψj(x)dx={0,ij1,i=j (8)

onde Ni é definida como,

Ni=vψi2(x)dx. (9)

O formalismo da GITT postula que Cn(x, y, z) pode ser expresso como uma expansão em série de autofunções ortogonais ψi(y) para a direção y, onde i é a ordem dos correspondentes autovalores λ,

Cn(x,y,z)=i=0Cn(x,z)ψi(y)Ni1/2. (10)

Substituindo-se a Eq. (10) na Eq. (5) obtém-se:

uni=0Cni(x,z)xψi(y)Ni1/2=Kxi=02Cni(x,z)x2ψi(y)Ni1/2+Kyi=0Cni(x,z)ψi"(y)Ni1/2+Kzi=02Cni(x,z)z2ψi(y)Ni1/2 (11)

com (“) indicando derivada de segunda ordem. A partir da Eq. (7a) conclui-se que ψi"(y)=λl2ψl e aplicando-se o operador 0Lyψj(y)Nj12 na Eq. (11), usando a propriedade de ortonormalidade, a Eq. (11) pode ser reescrita da seguinte forma:

2Cni(x,z)z2+KxKz2Cni(x,z)x2unKzCni(x,z)xKyKzλl2Cni(x,z)=0 (12)

Para a condição de fonte (Eq. (3c)),

i=0unCni(0,z)0LyψiψjNi1/2Nj1/2dy=0LyQδ(zHs)δ(yy0)ψjNj1/2dy (13)

Após as devidas substituições e integrações,

Cn(0,z)=Qδ(zHs)ψi(y0)unNi1/2 em x=0 (14)

Para resolver a Eq. (12), aplica-se a transformada de Laplace na variável x, denotando por L{Cn(x,z)}=C^nl(s,z) . A aplicação da transformada de Laplace na Eq. (12),

d2C^nl(s,z)dz2AnC^nl(s,z)=BnQδ(zHs) (15)

onde

An=(unsKxs2+Kyλi2)Kz e Bn=KxsunsunKzψi(y0)Ni1/2.

A Eq. (15) tem solução conhecida. Combinando-se as Eqs. (15) e (10), considerando-se a inversão numérica da transformada de Laplace por quadratura Gaussiana, então a concentração final pode ser escrita da seguinte forma (maiores detalhes no trabalho de Costa et al., 2006):

Cn(x,y,z)=i=1ψi(y)Ni{k=1Mpkxak[C1neGnz+C2neGnz+Q2Ra[eGn(zHs)eGn(zHs)]H(zHs)]} (16)

onde

Gn=1Kz(pkxunβ*+Kyλi2);Fa=Niψi(y0)Kz[(pk/x)unβ*+Kyλi2]β* eβ*=(1pkpe).

H(z - Hs) é a Função Heaviside e Pe=unxKxé o Número de Peclet, que representa a relação entre o transporte difusivo e o transporte advectivo (Moreira et al., 2005); as constantes ak e pk são os pesos e as raízes do esquema de quadratura Gaussiana, tabulados em Stroud e Secrest (1996); M é o número de pontos da quadratura.

3. Parametrizações

3.1. Coeficientes de difusão verticais

A presença de turbulência é a principal característica da CLC, pois é responsável pela alta capacidade difusiva. Esta característica é representada na Eq. (1) pelos coeficientes de difusão. A escolha adequada de uma parametrização turbulenta representa uma decisão fundamental para complementar a modelagem do transporte de poluentes na atmosfera, uma vez que, relacionam-se os fenômenos naturais com os modelos matemáticos, na tentativa de descrever a física envolvida no processo. Para avaliar a importância da difusividade turbulenta vertical ante a solução semi-analítica tridimensional, testam-se neste trabalho cinco parametrizações para uma atmosfera instável.

O primeiro coeficiente de difusão a ser testado foi proposto por Degrazia et al. (1997) e desenvolvido a partir da teoria da difusão estatística de Taylor e do espectro de energia turbulenta, sendo dado por:

Kz=0,22w*h(zh)13(1zh)13[1exp(4zh)0,003exp(8zh)] (17)

onde h é a altura da camada limite convectiva e w* é a escala de velocidade convectiva.

A segunda parametrização testada são as expressões empíricas propostas por Lamb e Durran (Seinfeld e Pandis, 1997), sendo dadas por:

Kz=w*h2,5(kzh)43(115zL)14 0zh<0,05 (18)
Kz=w*h[0,021+0,408(zh)+1,351(zh)24,096(zh)3+2,560(zh)4] 0,05zh0,6 (19)
Kz=w*h0,2exp[610(zh)] 0,6<zh<1,1 (20)
Kz=w*h0,0013 zh>1,1 (21)

onde L é o comprimento de Monin-Obukhov e k ≅ 0,4 é a constante de Von Kármam.

O terceiro coeficiente de difusão testado foi o sugerido por Degrazia et al. (2001), e válido também para grandes tempos de difusão, estimado a partir da Teoria Estatística de Taylor e de propriedades espectrais, dado por:

Kz=0,19w*hφ13[1exp(4zh)0,0003exp(8zh)]43 (22)

onde

φ=1,51,2[(zh)13] (23)

é a taxa de dissipação molecular (Druilhet et al., 1983).

O quarto coeficiente de difusão testado foi desenvolvido por Ulke (2000), e é expresso por:

Kz=ku*h(zh)(1zh)(122hLzh)14 (24)

onde u* é a velocidade de fricção.

Finalmente, a quinta parametrização usada nas simulações está descrita no trabalho de Pleim (2007) (ACM2), a qual foi obtida através da combinação de termos que levam em conta o caráter local e não-local no fechamento da turbulência. A expressão para tal coeficiente de difusão vertical, considerando atmosfera sob condições instáveis é definida como:

Kz=Kz(z)(1fconv) (25)

com

Kz(z)=ku*(zsL)z(1zh)2, (26)
fconv=[1+k230,1a(hL)13]1 (27)
=(116zL)12 (28)

onde a = 7,2; zs = min(z, 0.1h); fconv é o parâmetro que controla o grau de comportamento local vs. não-local.

3.2. Coeficiente de difusão lateral

O coeficiente de difusão lateral foi modelado a partir da expressão proposta por Tangermann (1978), da seguinte forma:

Ky=Kzmax (29)

onde Kz é o coeficiente de dispersão vertical proveniente das expressões anteriores, onde apresenta o seu valor máximo.

Apesar da solução do modelo matemático explicitamente levar em conta a difusão longitudinal, este trabalho não levou em consideração este termo, desprezando-se as condições de vento fraco (Kx = 0).

3.3. Perfil vertical do vento

Neste estudo o perfil vertical da velocidade média do vento é parametrizado de acordo com a equação de similaridade (Panofsky e Dutton, 1988), definida como:

u=u*k[ln(zz0)ψm(z0L)] se zzb (30)

onde z0 é o comprimento de rugosidade do terreno, zb = min[|L|, 0.1h] e Ψm é a função estabilidade expressa por (Paulson, 1970):

ψm(zL)=ln(1+22)+ln(1+2)22arctan+π2 para 1L<0 (31)

com

=(115zL)14. (32)

4. Dados experimentais e Resultados

A fim de verificar-se a consistência física do modelo, o presente trabalho têm como base os tradicionais dados experimentais de Copenhagen descrito nos trabalhos de Gryning e Lyck (2002). Os experimentos foram realizados ao norte da cidade de Copenhagen, onde o gás traçador Hexafluoreto de Enxofre (SF6) foi liberado, sem empuxo, de uma torre de 115 m de altura e coletado ao nível do solo (z ~ 0). As unidades de amostragem foram posicionadas em distâncias de 2-6 km do ponto de lançamento. A liberação do traçador teve início 1 h antes da amostragem e parou ao final do mesmo período de 1 h. A região do experimento era plana com um comprimento de rugosidade de 0,6 m. Cabe ressaltar que poucos trabalhos na literatura apresentam resultados com dados tridimensionais de concentração do experimento de Copenhagen, os quais normalmente usam somente os dados bidimensionais. A Tabela 1 abaixo mostra os dados micrometeorológicos usados nas simulações do presente trabalho.

Tabela 1 Parâmetros micrometeorológicos dos experimentos de Copenhagen. 

Exp. u (m/s) u* (m/s) L (m) w* (m/s) h (m)
1 3,4 ,36 -37 1,8 1980
2 10,6 ,73 -292 1,8 1920
3 5,0 ,38 -71 1,3 1120
4 4,6 ,38 -133 0,7 390
5 6,7 ,45 -444 0,7 820
6 13,2 1,05 -432 2,0 1300
7 7,6 ,64 -104 2,2 1850
8 9,4 ,69 -56 2,2 810
9 10,5 ,75 -289 1,9 2090

Na Tabela 1 a altura da camada limite atmosférica h foi estimada a partir de dados de radiossondagem, as quais foram realizadas próximas da torre de lançamento do traçador. O comprimento de Monin-Obukhov L foi determinado segundo um método idealizado por Golder (1972), no qual conhecendo-se o número de Richardson Ri se pode estimar L através da relação L−1 = Ri/z.

Uma avaliação do vento medido experimentalmente comparado com a Eq. (30) é mostrada na Fig. 1. Uma medida foi obtida a 10 m e outra na altura da fonte, 115 m. Observa-se uma boa concordância dos valores de vento medidos e fornecidos pela Eq. (30).

Figura 1 Perfil de velocidade obtida pela Eq. (30) comparada com a obtida experimentalmente na torre de emissão do traçador. 

A Fig. 2 mostra o gráfico da concentração ao nível do solo em função da distância da fonte usando os dados do Experimento 8 de Copenhagen com as várias parametrizações. Observa-se que para distâncias acima de 5 km a concentração gerada por todas as parametrizações tendem a valores similares. A menor distância em que foi medida a concentração no Experimento de Copenhagen foi 1900 m. Portanto, a concentração máxima para a todas as parametrizações usadas neste trabalho foi obtida para distâncias menores. As parametrizações de Ulke e Degrazia et al. (1997) apresentam comportamentos muito similares, inclusive na localização da concentração máxima (~ 500 m). A parametrização de Lamb e Durran apresenta o valor de concentração máxima similar, porém a localização do máximo é em torno de 100 m. Da mesma forma, a localização do máximo para as parametrizações de Pleim e Degrazia et al. (2001) são similares (~ 100 m), entretanto esta última apresenta o maior valor de concentração de pico.

Figura 2 Concentração ao nível do solo em função da distância da fonte usando dados do Experimento 8 de Copenhagen. 

A Fig. 3 mostra o gráfico de espalhamento dos dados de concentrações observadas (Co) no experimento em comparação com os dados de concentrações preditas (Cp) pelo modelo, normalizadas pela taxa de emissão Q, de acordo com as diferentes parametrizações para o coeficiente de difusão vertical considerando a CLA dividida em regiões de 5 m.

Figura 3 Gráfico de espalhamento dos dados de concentrações observadas (Co) com os dados de concentrações preditas (Cp) pelo modelo para as diferentes parametrizações. 

Observa-se na Fig. 3 uma boa concordância dos resultados obtidos pelo modelo de dispersão com aos coeficientes de difusão propostos por Ulke (2000), Degrazia et al. (1997), Degrazia et al. (2001) e Lamb e Durran (Seinfeld e Pandis, 1997). Os resultados de concentração obtidos com a formulação de Pleim (2007) não apresentaram um bom desempenho, seja por superestimação ou subestimação em alguns casos (resultados fora da linha pontilhada indicam que não estão entre 0,5 e 2).

A comparação entre os dados de concentração simulados no modelo com os dados observados nos experimentos de Copenhagen também pode ser feita a partir da análise de indicadores estatísticos propostos por Hanna (1989), os quais são definidos como:

Nmse (Erro Quadrático Médio Normalizado) =(CoCp)2¯/CoCp¯;Fa2=fração de dados (%) que estão entre 0,5(Cp/Co)2;Cor (coeficiente de correlação)=(CoCo¯)(CpCp¯)/σoσp;Fb=(Co¯Cp¯)/0,5(Co¯Cp¯);Fs=(σoσp)/0,5(σo+σp)

onde Co e Cp são as concentrações observadas e preditas pelo modelo, respectivamente, e σ é o desvio padrão. Os valores ótimos são: Nmse, Fb e Fs iguais a 0 e Fa2 e Cor iguais a 1.

A Tabela 2 apresenta os resultados dos indicadores estatísticos obtidos a partir da solução tridimensional de acordo com os diferentes coeficientes de difusão vertical.

Tabela 2 Indicadores estatísticos de desempenho da solução tridimensional considerando-se as diferentes parametrizações. 

Parametrização Nmse Cor Fa2 Fb Fs
Ulke 0,28 0,86 0,87 0,17 0,74
Degrazia et al. (1997) 0,31 0,89 0,87 0,22 0,76
Lamb e Durran 0,59 0,92 0,74 0,48 0,84
Degrazia et al. (2001) 0,34 0,94 0,91 0,31 0,74
Pleim 0,77 0,47 0,43 0,34 0,18

Através da Tabela 2 é possível observar que os resultados obtidos com a inserção das parametrizações no modelo de dispersão propostas por Degrazia et al. (2001) e Lamb e Durran (Seinfeld e Pandis, 1997) apresentaram forte correlação com os dados experimentais, pois o índice estatístico Cor resultou em valores acima de 0,90 (ou 90%). As parametrizações sugeridas por Ulke (2000) e Degrazia et al. (1997) apresentaram um valor relativamente menor, mas também satisfatório. De forma geral, os resultados estatísticos são comparáveis para quase todas as parametrizações, pois se interceptam no limite de confiança (não mostrado), exceto a parametrização de Pleim (2007).

4.1. Análise da convergência

Uma tarefa importante é a demonstração da convergência da inversão numérica da transformada de Laplace e do somatório do número de autovalores. Neste sentido, a Fig. 4 apresenta o comportamento da convergência da solução do modelo, de acordo com a parametrização proposta por Degrazia et al. (2001), usando dados do experimento número 8 de Copenhagen (detalhes em Gryning e Lyck (2002)). Para tal verificação, foram considerados 4, 8 e 16 pontos (Np) para o esquema de quadratura Gaussiana; NA = 150 autovalores e distâncias da fonte de x = 500 m, x = 3000 m e x = 8000 m. As discretizações verticais testadas foram: Δz = 5 m, Δz = 30 m e Δz = 50 m.

Figura 4 Convergência numérica da solução considerando a parametrização de Degrazia et al. (1997), o experimento 8 de Copenhagen, Np = 4, 8 e 16 e distâncias da fonte 500, 3000 e 8000 m. 

Uma análise geral do processo de convergência da solução atenta para uma dificuldade de se atingir a convergência para posições localizadas mais distantes da fonte. Pode-se observar na Fig. 4, que a convergência da solução ocorre para menores valores de NA mais rapidamente considerando Np = 16, Δz = 5 m e distância x = 500 m. De modo geral, como esperado, a variação da discretização afeta a convergência de acordo com os números de pontos para o esquema de quadratura Gaussiana. Ou seja, para distâncias maiores deve-se ter uma maior resolução (Δz menor) com maior número de pontos da quadratura.

5. Resumo e Conclusões

Neste trabalho, foi investigada a sensibilidade de uma solução semi-analítica da equação de difusão-advecção tridimensional e estacionária na estimativa de concentrações de poluentes para diferentes parametrizações do coeficiente de difusão vertical em condições moderadamente instáveis. As simulações e comparações feitas com o modelo de dispersão sugerem melhores resultados estatísticos para o coeficiente de difusão proposto por Degrazia et al. (2001). Entretanto, as outras parametrizações também apresentam resultados comparáveis, com exceção da parametrização de Pleim (2007). Tal afirmativa é comprovada por indicadores estatísticos, onde é possível observar um melhor coeficiente de correlação (94%) aliado a um maior fator de dois (91%), enquanto a parametrização de Pleim (2007) apresentou o mais baixo coeficiente de correlação (47%), fator de dois (43%) e o mais alto erro quadrático médio normalizado (0,77). Este é um resultado importante devido ao fato que esta parametrização é usada no modelo de mesoescala WRF de forma operacional.

A análise da convergência da solução tridimensional mostrou que melhores resultados são obtidos quando se aumenta a resolução espacial vertical com o aumento do número de pontos da quadratura. É importante frisar que a aproximação stepwise de uma função contínua converge para uma função contínua quando os passos individuais (discretização) se aproximam de zero. Além disto, a solução mostrada é semi-analítica no sentido que as únicas aproximações consideradas ao longo de sua derivação são a aproximação stepwise dos coeficientes e a inversão numérica da transformada de Laplace.

Finalmente, é importante salientar que o modelo proposto obtém a concentração tridimensional para valores praticamente contínuos na direção vertical (dependendo da discretização utilizada). Desta forma, a solução semi-analítica tridimensional da equação de difusão-advecção mostrada neste trabalho, com uma correta parametrização do coeficiente de difusão vertical, é uma poderosa ferramenta para o cálculo de concentrações, possibilitando um melhor entendimento do processo de dispersão de poluentes com o menor esforço computacional devido às características analíticas do modelo.

Agradecimentos

Os autores agradecem ao CNPq e FAPES pelo suporte financeiro deste trabalho.

Referências

ARYA, S.P. Modeling and parameterization of near-source diffusion in weak winds. J. Appl. Meteor., v. 34, p. 1112-1122, 1995. [ Links ]

ARYA, S. Air pollution meteorology and dispersion. Oxford University Press, New York, 1999. [ Links ]

BLACKADAR, A.K., 1997. Turbulence and diffusion in the atmosphere: lectures in Environmental Sciences. Springer-Verlag, 1997. [ Links ]

COSTA, C.P.; VILHENA, M.T.; MOREIRA, D.M.; TIRABASSI, T. Semi-analytical solution of the steady three-dimensional advection-diffusion equation in the planetary boundary layer. Atmos. Environ., v. 40, p. 5659-5669, 2006. [ Links ]

COTTA, R. Integral transforms in computational heat and fluid flow. CRC Press, Boca Raton, 1993. [ Links ]

DEGRAZIA, G.A.; ANFOSSI, D.; CARVALHO, J.C.; MANGIA, C.; TIRABASSI, T.; CAMPOS VELHO, H.F. Turbulence parameterization for PBL dispersion models in all stability conditions. Atmos. Environ., v. 34, p. 3575-3583, 2000. [ Links ]

DEGRAZIA, G.A.; MOREIRA, D.M.; VILHENA, M.T. Derivation of an eddy diffusivity depending on source distance for vertically inhomogeneous turbulence in a convective boundary layer. J. Appl. Meteor., v. 40, p. 1233-1240, 2000. [ Links ]

DEGRAZIA, G.A.; RIZZA, U.; MANGIA, C.; TIRABASSI, T. Validation of a new turbulent parameterization for dispersion models in convective conditions. Boundary-Layer Meteorology, v. 85, p. 243-254, 1997. [ Links ]

DRUILHET, A.; FRANGI, J.; GUEDALIA, D.; FONTAN, J. Experimental studies of the turbulence structure parameters of the convective boundary layer. Journal of Climate and Applied Meteorology, v. 22, p. 594-608, 1983. [ Links ]

GOLDER, D. Relations among stability parameters in the surface layer. Boundary-Layer Meteorology, v. 3, p. 47-58, 1972. [ Links ]

GRYNING, S.E.; LYCK, E. The Copenhagen tracer experiments: reporting of measurements. Riso National Laboratory, 2002. [ Links ]

HANNA, S.R. Applications in Air Pollution Modeling. In: Nieuwstadt. F., Van Dop, H. (Eds). Atmospheric Turbulence and Air Pollution Modeling, D. Reidel Publishing, p. 275-310, 1982. [ Links ]

HANNA, S.R. Confidence limit for air quality models as estimated by bootstrap and jackknife resampling methods. Atmos. Environ., v. 23, p. 1385-1395, 1989. [ Links ]

LIN, J.S.; HILDEMANN, L.M. A generalized mathematical scheme to analytically solve the atmospheric diffusion equation with dry deposition. Atmos. Environ., v. 31, p. 59-71, 1997. [ Links ]

MANGIA, C.; MOREIRA, D.M., SCHIPA, I.; DDEGRAZIA, G.A.; TIRABASSI, T.; RIZZA, U. Evaluation of a new eddy diffusivity parameterisation from turbulent Eulerian spectra in different stability conditions. Atmos. Environ., v. 36, p. 67-76, 2002. [ Links ]

MOREIRA, D.M.; TIRABASSI, T.; CARVALHO, J.C. Plume dispersion simulation in low wind conditions in stable and convective boundary layers. Atmos. Environ., v. 39, p. 3643-3650, 2005. [ Links ]

MOREIRA, D.M.; VILHENA, M.T. Air Pollution and Turbulence: Modeling and Applications. Boca Raton: CRC Press, 2009. [ Links ]

PANOFSKY, H.A.; DUTTON, J.A. Atmospheric Turbulence. John Wiley & Sons, New York, 1988. [ Links ]

PAULSON, C.A. The mathematical representation of wind and temperature profiles in a unstable atmospheric surface layer. J. Appl. Meteor., v. 9, p. 857-861, 1970. [ Links ]

PLEIM, J.E.; CHANG, J.S. A non-local closure model for vertical mixing in the convective boundary layer. Atmos. Environ., v. 26, p. 965-981, 1992. [ Links ]

PLEIM, J.E. A combined local and nonlocal closure model for the atmospheric boundary layer. Part I: model description and testing. Journal of Applied Meteorology and Climatology, v. 46, p. 1383-1395, 2007. [ Links ]

SEINFELD, J.H.; PANDIS, S.N. Atmospheric chemistry and physics: from air pollution to climate change. Hoboken, N. J. J. Wiley, 1997. [ Links ]

STROUD, A.H.; SECREST, D. Gaussian quadrature formulas. Prentice-Hall Inc., Englewood Cliffs, NJ, 1966. [ Links ]

TANGERMANN, G. Numerical simulations of air pollutant dispersion in a stratified planetary boundary layer. Atmos. Environ., v. 12, p. 1365-1369, 1978. [ Links ]

TIRABASSI, T. Operational advanced air pollution modeling. PAGEOPH, v. 160, p. 5-16, 2003. [ Links ]

ULKE, A.G. New turbulent parameterization for a dispersion model in the atmospheric boundary layer. Atmos. Environ., v. 34, p. 1029-1042, 2000. [ Links ]

ZANETTI, P. Air Pollution Modeling. Comp. Mech. Publications, Southampton (UK), 1990. [ Links ]

Received: July 23, 2015; Accepted: December 27, 2015

Autor de correspondência: Davidson Martins Moreira, email: davidson.moreira@fieb.org.br.

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