Problema H2/H<FONT FACE=Symbol>¥</FONT>: soluções aproximadas por meio de expansão em bases

Resumos

Neste artigo apresenta-se um tutorial sobre o Problema de Controle Ótimo H2/H<FONT FACE=Symbol>¥</FONT>, formulando-o a partir dos problemas usuais da Teoria de Controle e Servomecanismos, mostrando as condições de existência, unicidade e regularidade de suas soluções. Apresenta-se também, com certo detalhe, um método direto para a aproximação de sua solução, baseado em expansões de conjuntos geradores redundantes e em um método dual já existente na literatura. Os problemas de otimização aproximantes, convexos e de dimensão finita, exigem o uso de um subgradiente associado à restrição H<FONT FACE=Symbol>¥</FONT>, o que parece não afetar a eficiência numérica do algoritmo proposto, como é mostrado em alguns exemplos de sua aplicação.

Controle robusto; problema H2/H<FONT FACE=Symbol>¥</FONT>; métodos diretos; subgradiente

This paper presents a tutorial on the Mixed H2/H<FONT FACE=Symbol>¥</FONT> Control Problem. It is formulated from the usual problems in the Control Theory and Servomechanisms, showing the existence, uniqueness and regularity conditions of its solutions. Besides, a direct method for approach its solution is showed with a certain detail, based on expansions of redundant generating sets and with the support of a dual method existent in the literature. The finite dimension resultant optimization problems are convex, demanding a subgradient associated to the H<FONT FACE=Symbol>¥</FONT> restriction. It seems non affect the numeric efficiency of the proposed algorithm, as it can be seen in some examples.

Robust control; mixed H2/H<FONT FACE=Symbol>¥</FONT> problem; direct methods; subgradient

Problema H₂/H_¥ - Soluções aproximadas por meio de expansão em bases

Roberto Ades^I; Marcos Azevedo da Silveira^II

^IDepartamento de Engenharia Elétrica, IME

IIDepartamento Engenharia Elétrica, PUC-Rio

^{Endereço para correspondência}

ABSTRACT

This paper presents a tutorial on the Mixed H₂/H_¥ Control Problem. It is formulated from the usual problems in the Control Theory and Servomechanisms, showing the existence, uniqueness and regularity conditions of its solutions. Besides, a direct method for approach its solution is showed with a certain detail, based on expansions of redundant generating sets and with the support of a dual method existent in the literature. The finite dimension resultant optimization problems are convex, demanding a subgradient associated to the H_¥ restriction. It seems non affect the numeric efficiency of the proposed algorithm, as it can be seen in some examples.

Keywords: Robust control, mixed H₂/H_¥ problem, direct methods, subgradient.

RESUMO

Neste artigo apresenta-se um tutorial sobre o Problema de Controle Ótimo H₂/H_¥, formulando-o a partir dos problemas usuais da Teoria de Controle e Servomecanismos, mostrando as condições de existência, unicidade e regularidade de suas soluções. Apresenta-se também, com certo detalhe, um método direto para a aproximação de sua solução, baseado em expansões de conjuntos geradores redundantes e em um método dual já existente na literatura. Os problemas de otimização aproximantes, convexos e de dimensão finita, exigem o uso de um subgradiente associado à restrição H_¥, o que parece não afetar a eficiência numérica do algoritmo proposto, como é mostrado em alguns exemplos de sua aplicação.

Palavras-chave: Controle robusto, problema H₂/H_¥, métodos diretos, subgradiente.

1 INTRODUÇÃO

Este artigo apresenta uma visão geral do chamado problema de controle ótimo H₂/H_¥, partindo da construção dos critérios e restrições que o definem à sua resolução via expansões sobre conjuntos geradores numericamente convenientes, um método derivado daquele de Galerkin (Krasnosel'skii et al., 1972). O objetivo deste artigo é retomar este importante problema como ferramenta de projeto de controladores, facilitando o seu uso, e apresentar, com algum detalhe, os resultados de existência e unicidade de sua solução, bem como a metodologia de resolução desenvolvida em Ades (1999). Esta metodologia, aqui discutida pela primeira vez neste nível de profundidade, permite o cálculo da solução (aproximada) do problema H₂/H_¥ sem modificar seus critérios ou restrições, mantendo assim seu significado original, o que é essencial nos projetos de controladores.

O problema H₂/H_¥ é um problema de controle ótimo sobre sistemas lineares com critérios quadráticos e restrições incorporando a classe de controladores desejada através da parametrização de Youla (e de parametrizações derivadas), acrescido de outras especificações envolvendo normas H₂ e H_¥, entre as quais as de margem de estabilidade do sistema frente à perturbações em sua função de transferência (robustez em estabilidade para perturbações não-estruturadas). A apresentação deste problema e do método de resolução aqui proposto será feita sobre sistemas monovariáveis (SISO), permitindo uma melhor compreensão dos conceitos envolvidos. Sua extensão a sistemas multivariáveis (MIMO), utilizando técnicas canônicas neste contexto, será comentada na última seção do artigo. Na seção 3 será apresentada a construção dos critérios e das restrições mais usuais, incluindo o problema do servomecanismo robusto com especificações transitórias. Na seção 4 serão apresentados os resultados de existência, unicidade e regularidade das soluções do Problema H₂/H_¥. Na seção 5 será discutido o método proposto, e na seção 6 apresentados alguns exemplos de sua aplicação. As notações e definições a serem utilizadas, assim como o contexto matemático dentro do qual será desenvolvida a teoria, serão os assuntos da seção 2. Buscou-se, sempre que possível, citar as referências históricas, conjuntamente com tutoriais ou livros editados em português. A seguir será apresentado um breve histórico do problema, classificando os artigos encontrados na literatura pela forma como colocam (ou recolocam) o problema e pelo tipo de técnica utilizada para sua resolução.

O problema H₂ tem sua origem nos artigos de Youla (1975 e 1976) e sua equipe, sob a denominação de Wiener-Hopf design, onde os critérios quadráticos sobre sistemas lineares foram definidos de tal forma que a variável de otimização passa a ser o controlador linear representado no domínio da freqüência. Para que o critério continuasse quadrático, o conjunto de controladores estabilizantes da planta foi parametrizado de forma afim por matrizes reais, racionais, próprias e estáveis, sendo chamada de parametrização de Youla (ver também Kucera (1975), Desoer et alii (1980) e Vidyasagar (1985)). Os critérios utilizados tinham sua origem em problemas de controle ótimo estocástico, modelando todos os sinais exógenos como processos estocásticos gaussianos estacionários. Youla et alii (1985), Park e Bongiorno (1989 e 1990) estenderam estes resultados a controladores com dois graus de liberdade e a problemas onde os sinais exógenos eram representados como elementos de famílias de funções quadraticamente integráveis, sem, no entanto, lograrem representar as especificações dos servomecanismos assintóticos habituais, onde os sinais exógenos pertencem a famílias de sinais persistentes. Cabe ainda assinalar que, na metodologia usada nestes artigos, não eram permitidas plantas com pólos no eixo imaginário, o que dificultava seriamente a consideração dos sinais de referência ou das perturbações persistentes usuais¹.

Em Silveira e Corrêa (1992), mostrou-se o cálculo de controladores ótimos para a resolução do problema do servomecanismo assintótico para as classes fornecidas de sinais de referência e de perturbação, permitindo a alocação de pólos e zeros no eixo imaginário, mesmo nos sensores, utilizando convenientemente: (i) produtos de Kronecker; (ii) a resolução de equações diofantinas sobre o anel das funções reais, racionais, próprias e estáveis e; (iii) a construção de critérios suficientemente ricos. Em Corrêa e Silveira (1995) apresentou-se critérios definidos a partir de minorantes de funcionais para toda a classe de sinais de referência e de distúrbios considerada. Estes funcionais foram desenvolvidos a partir de especificações transitórias e obtidos a partir das propriedades da transformada de Laplace. Como estes novos critérios obedecem, naturalmente, as condições de existência e unicidade da solução do problema H₂, a demonstração das soluções foi possível em toda a sua generalidade. A combinação dos diversos critérios também foi possível, conforme discutido no artigo citado.

As restrições H_¥ apareceram em Doyle e Stein (1981) e Zames (1981), no contexto do robustecimento da planta face a perturbações, em relação à propriedade de estabilidade, e foram depois exploradas em múltiplas direções. Uma descrição completa deste problema pode ser encontrada em Francis (1987) e Corrêa (1992 e 1994), onde são estudados três casos de interesse, considerando perturbações aditivas, multiplicativas ou nos fatores coprimos da planta, e em Cruz (1996). Outras restrições estacionárias ou transientes podem ser representadas como restrições na norma H_¥, levando à definição de problemas de controle ótimo ditos H_¥, como pode ser visto em Kwakernaak (1986) e Doyle et alii (1992), onde o conjunto de especificações é tratado sob a técnica de loop recovering, e Cruz (1996).

O problema H₂/H_¥, conjugando critérios quadráticos com restrições de robustez em estabilidade na norma H_¥, foi inicialmente proposto em Bernstein e Haddad (1989) e em Glover e Mustafa (1989), gerando, desde então, na literatura uma grande variedade de problemas e diferentes métodos de resolução. Estes podem ser inicialmente classificados em duas categorias distintas, de acordo com o critério de otimização adotado, considerando se o critério quadrático original foi modificado ou não em função das restrições H_¥.

Enquadram-se na primeira classe os métodos propostos em Bernstein e Haddad (1989), Khargonekar e Rotea (1991) e em Glover e Mustafa (1989). Os dois primeiros substituem as equações de Lyapunov do problema H₂ original (sem restrições) por equações algébricas de Riccati (ou de Lyapunov) convenientemente adaptadas graças a um lema de Willems (Willems, 1971), gerando limitantes superiores do critério H₂ englobando as restrições H_¥. O método descrito em Bernstein e Haddad (1989) recai na resolução de um sistema de três equações algébricas de Riccati acopladas, enquanto o de Khargonekar e Rotea (1991) propõe uma mudança de variáveis levando a um problema de otimização convexo em dimensão finita igual a da ordem da planta. Em Glover e Mustafa (1989) modifica-se o problema original, substituindo-se o critério H_¥ pelo da máxima entropia, mantendo a restrição de robustez em estabilidade na norma H_¥. Este problema, embora possuindo uma elegante solução, é, a rigor, distinto daquele aqui discutido. Outros artigos, como Peres et alii (1993), usam critérios convexos que não absorvem com naturalidade as restrições impostas por servomecanismos assintóticos, tratando as restrições H_¥ pela adaptação de equações de Riccati e de Lyapunov na forma citada acima, e diferem, também, do problema aqui discutido.

Os demais métodos apresentados na literatura manipulam o problema H₂/H_¥ usando os critérios originais, podendo ser subdivididos entre aqueles que geram soluções de problemas aproximados de forma direta via espaço primal, aqueles que utilizam desigualdades matriciais lineares (LMIs), e por fim, os que resolvem por dualidade, versões relaxadas do problema original. No primeiro grupo situam-se os métodos de Boyd et alii (1988), Sznaier et alii (1997), Scherer (1993), bem como o apresentado neste trabalho. No segundo grupo enquadram-se os métodos propostos por Safonov e Goh (1994), Scherer (1995), Sales e Corrêa (1998) e em Sales (2000), e no terceiro, o método proposto em Corrêa et alii (1997).

O artigo de Boyd et alii (1988) não trata diretamente da resolução numérica do problema H₂/H_¥, mas propõe algumas idéias básicas referentes à utilização de bases ortogonais do espaço de Hardy , compostas por funções racionais. Em Scherer (1993) comenta-se o uso das conhecidas funções de Laguerre e é proposto um algoritmo teórico para detecção da ordem da solução ótima de um problema H₂/H_¥ multiobjetivo, caso exista esta solução. O trabalho de Sznaier et alii (1997) fornece limitantes inferiores para o valor ótimo do critério com o auxílio das funções de Laguerre. Apesar de interessantes do ponto de vista teórico, as soluções obtidas neste último artigo não produzem bons limitantes, pois o problema original é subdividido em dois subproblemas, sendo a restrição tratada independentemente do funcional de custo quadrático. Os trabalhos de Safonov (1994), Scherer (1995) e de Sales e Corrêa (1998) propõem resolver o problema via desigualdades matriciais lineares (LMIs), porém impondo restrições adicionais que conduzem a controladores não apropriados (cf. (Sales, 2000)). Em particular, Scherer (1995) iguala dois parâmetros independentes, levando a um novo problema com propriedades diversas do original. Em Sales (2000) discute-se problemas de viabilidade a partir da resolução de desigualdades matriciais lineares e bilineares dependentes da freqüência via desenvolvimentos do método proposto por Corrêa et alii (1997).

O método de Corrêa et alii (1997) é baseado na abordagem do problema original de forma dual a partir de uma seqüência de problemas H₂, cujas soluções formam uma seqüência aproximante, fornecendo limitantes inferiores para o valor ótimo do critério adotado no problema original. A seqüência de aproximantes assim obtida é não-viável e possui rápido crescimento de ordem. O artigo sugere a utilização do método de redução de ordem via realizações balanceadas a fim de tratar o efeito mencionado.

Até 1999, em nosso conhecimento, não havia sido demonstrada a existência de solução do problema H₂/H_¥. Sobre suas propriedades, supondo sua existência, Megretski (1994) demonstrara que a solução ótima, caso existisse, seria de dimensão infinita, salvo se a restrição H_¥ fosse obedecida pela solução do problema quadrático sem restrições. Já Corrêa et alii (1997) mostrara que a solução, caso existisse, pertenceria à casca convexa da restrição H_¥. Os demais artigos ou substituíram o problema original por novos problemas em que a solução seria passível de ser determinada, ou construíram seqüências de problemas convergindo em algum sentido para o problema original, não demonstrando sequer que as soluções dos problemas aproximantes formariam uma seqüência aproximante para a solução do problema original.

A demonstração da existência e unicidade da solução do problema H₂/H_¥ em ambiente H_¥ foi anunciada pelos autores (1999) e apresentada em Ades (1999). Um estudo mais profundo desta demonstração (sob hipóteses mais gerais) e da regularidade da solução ótima pode ser encontrado em Silveira e Ades (2000) e em Silveira (2001). O conhecimento da existência da solução ótima e de suas propriedades permitiu refinar o método de Galerkin, levando ao método sugerido nestes trabalhos e apresentado aqui em detalhe.

O método proposto neste artigo tem por fim a obtenção de soluções aproximadas de dimensão finita e viáveis para o problema H₂/H_¥ a partir do método de Galerkin, usando conjuntos geradores previamente escolhidos para o espaço das soluções. Truncando-se o conjunto, determina-se a priori a ordem da solução aproximada a ser calculada, e ajusta-se os coeficientes dos vetores escolhidos com auxílio de um método de otimização apropriado. Pela própria natureza do método, os valores do critério quadrático calculados sobre as soluções aproximadas são limitantes superiores do critério ótimo, sendo estas soluções aproximadas viáveis.

Entre as possíveis bases a serem empregadas, a mais conhecida é a das funções de Laguerre (Hille, 1976). Na seção 5 serão apresentadas outras bases ortogonais que poderão ser utilizadas pelo método proposto, assim como um método geral de construção de conjuntos geradores redundantes mais convenientes para a resolução numérica do problema que as bases ortonormais habituais. O problema de otimização de dimensão finita, encontrado após o truncamento do conjunto gerador, embora convexo, não é diferenciável. Para sua resolução foi utilizado o algoritmo BFGS (Bazaraa e Shetty, 1993) com busca unidimensional realizada pelo método de Wolfe (Bonnans et alii, 1997), complementado pelo uso de um subgradiente da restrição H_¥. O algoritmo assim proposto funcionou de forma surpreendentemente eficaz e regular, apesar do uso de subgradientes, tendo sido testado em vários problemas benchmark, como mostrado por Ades (1999) e na seção 6.

De posse das aproximações calculadas por Corrêa et alii (1997) e daquelas geradas pelo método proposto, tornou-se possível calcular limitantes superiores e inferiores do valor ótimo do critério, permitindo avaliar a precisão da solução obtida.

O histórico acima apresentado foi direcionado em função do método a ser aqui discutido, o que é compreensível por razões de extensão e de foco. Assim, os fortes e belos desenvolvimentos da Teoria de Sistemas Lineares, como mostrados em Zhou et alii (1996), e em especial os relacionados a realimentações de estado, realizações balanceadas, equações de Riccati e de Lyapunov, não foram citados - o que não é fazer justiça à sua relevância. Estes resultados são essenciais aos métodos aqui apresentados, principalmente se for considerado que, como os cálculos polinomiais não são numericamente robustos, obriga-nos a calcular as diversas fatorações usando equações na forma de estado. Mais precisamente, na metodologia aqui desenvolvida, apenas duas seções da obra citada não foram explicitamente utilizadas!

2 NOTAÇÃO E CONCEITOS BÁSICOS

A notação utilizada é a habitual na literatura da área, conforme Zhou et alii (1996). Por representa-se o semiplano aberto complexo à direita (à esquerda) do eixo imaginário. Para uma função de transferência G(s) define-se G^*(s) = G^T(–s). O grau relativo de uma função racional K(s) = N(s)D^–1(s), representado por ¶_rK, é o grau de seu denominador D(s) subtraído do grau de seu numerador N(s), ambos supostos polinomiais. Por L² denota-se o espaço de Hilbert das funções quadraticamente integráveis sobre o eixo imaginário, munido do produto interno:

Por denota-se o subespaço das funções em L² analíticas em , tais que a norma induzida pelo produto interno em (1) nas retas a+iw, w percorrendo os números reais, para todo a>0 (a<0), é finita. Estes espaços são equipados com a norma L², neste caso denominada norma H₂:

A decomposição de uma função f Î L² em parte estável e parte instável será representada como f = [f]₊ + [f]_–, [f]₊ Î , [f]_– Î . [.]₊ e [.]_– denotam as projeções ortogonais de f em e , respectivamente. Cumpre lembrar que estes dois espaços são subespaços fechados e ortogonais de L², conforme a teoria dos espaços de Hardy e , exposta em Hille (1976) e Vidyasagar (1985).

Por L^¥ designa-se o espaço de Banach das funções essencialmente limitadas sobre o eixo imaginário. Por denota-se o subespaço das funções em L^¥ analíticas e limitadas em , equipados com a norma definida em (3), neste caso denominada norma H_¥:

Por L¹ designa-se o espaço das funções absolutamente integráveis (segundo Lebesgue), e por E{.} a esperança matemática da expressão entre colchetes. Com esta notação, serão representadas as seguintes densidades espectrais de potência: F_r(s) = E{r^*(s)r(s)} = (s)f_r(s), F_d(s) = E{d^*(s)d(s)} = (s)f_d(s).

Os espaços de Hardy ponderados de ordem -k, assunto de definições e teoremas na seção 4, serão representados por , onde áf,gñ_k e || f ||_2,k representam o produto interno e a norma nestes espaços.

Supõe-se conhecidos a teoria e os métodos de fatoração coprimas de funções racionais como quocientes de matrizes racionais próprias estáveis e seu uso na resolução de equações diofantinas sobre o anel euclidiano das matrizes polinomiais e o das matrizes reais, racionais próprias estáveis, como exposto em Vidyasagar (1985) e Silveira (1995), por exemplo. O máximo divisor comum de f e g será representado por MDC{f,g}.

As notações relativas ao caso multivariável serão apresentadas diretamente na seção 7.

3 CONSTRUÇÃO DO PROBLEMA H₂/H_¥

Nesta seção será construído, a partir dos problemas de controle que o motivam, o problema H₂/H_¥ a ser tratado. Serão considerados apenas problemas monovariáveis (SISO), dado que são suficientes para compreender as idéias centrais, evitando que sejam encobertas pelas tecnicalidades e pelas notações necessárias ao caso multivariável (MIMO), extensão que será indicada na penúltima seção do artigo.

O problema de controle a ser discutido é, em essência, o problema do servomecanismo assintótico, com imposição do comportamento transiente e da redução (em média quadrática) do efeito de perturbações via minimização de um critério quadrático convenientemente escolhido, adicionando-se a exigência de robustez em estabilidade face a perturbações na planta dentro de um conjunto pré-especificado. Para enfrentar a minimização do critério será preciso parametrizar o conjunto de todos os controladores estabilizantes que resolvem o problema do servomecanismo assintótico. Em seguida, será construído o critério quadrático e, enfim, discutida a robustez em estabilidade e algumas outras especificações, terminando a definição do problema.

3.1 O Problema do Servomecanismo Assintótico e a Parametrização de suas Soluções

Suponha uma planta linear e um controlador com dois graus de liberdade descritos por:

u(s) = C₁(s)r(s) + C₂(s)[z(s) – v(s)] + w(s)

onde f(s) representa a transformada de Laplace da função f(t); y(t) e z(t) representam a saída a ser controlada e a saída medida; u(t) e d(t) representam a variável de controle e o sinal de perturbação sobre a planta; r(t) representa o sinal de referência indicando o comportamento assintótico desejado para y(t); w(t) e v(t) representam ruídos; as funções reais racionais próprias P_kj(s) representam as funções de transferência descrevendo a planta P(s); e as funções reais racionais próprias C_j(s) representam as funções de transferência descrevendo o controlador C(s).

Os conjuntos de sinais de referência e de perturbação são descritos por:

sendo Y_r(s) e Y_d(s) funções reais, racionais, bipróprias e estáveis dadas com todos os seus zeros na região de instabilidade, m_r(s) e m_d(s) funções reais, racionais, estritamente próprias e estáveis variando livremente de forma a descrever as classes de sinais de referências e de distúrbios. Serão supostas conhecidas as fatorações coprimas (no anel euclidiano das funções racionais próprias estáveis) P_kj(s) = N_kj(s)[D_kj(s)]^–1, onde N_kj(s) e D_kj(s) são funções racionais próprias estáveis, com D_kj(s) biprópria. As funções reais racionais próprias estáveis X(s) e Y(s) (a última sendo biprópria) serão definidas pela equação diofantina (Identidade de Bézout):

Um estudo mais aprofundado das equações diofantinas e das fatorações, polinomiais ou sobre o conjunto das funções reais, racionais, próprias e estáveis, pode ser encontrado em Vidyasagar (1985), Corrêa (1992) ou em Silveira (1995), mostrando que (6) possui soluções Y(s) e X(s) se e somente se D₂₁(s) e N₂₁(s) são coprimos. O último texto mostra como calculá-las a partir de soluções da equação polinomial correspondente para fatorações (coprimas) polinomiais de P₂₁(s), seguindo diretamente o caminho encontrado por Youla e sua equipe.

O controlador será suposto na forma [C₁(s) C₂(s)] = [D_c(s)]^–1.[N_c1(s) N_c2(s)], sendo o par {D_c(s) , N_c2(s)} coprimo e D_c(s) bipróprio. Serão supostas as condições de estabilizabilidade da malha (Nett, 1986), isto é, que as funções racionais:

Q_a(s) = P₁₁(s)D₂₁(s)

Q_b(s) = P₂₂(s)D₂₁(s)

Q_c(s) = P₁₂(s) – P₁₁(s)D₂₁(s)X(s)P₂₂(s)

sejam próprias e estáveis. Neste caso, mostra-se por Nett (1986), Silveira (1995) e Corrêa (1992), que o conjunto dos controladores estabilizantes da malha é descrito por:

C₁(s) = [Y(s) + K(s)N₂₁(s)]^–1M(s)

C₂(s) = [Y(s) + K(s)N₂₁(s)]^–1[X(s) – K(s)D₂₁(s)]

para M(s) e K(s) percorrendo o conjunto das funções reais racionais próprias estáveis tais que [Y(s) + K(s)N₂₁(s)] é uma função biprópria. Usando este controlador, pode-se calcular algebricamente o erro e(s) = r(s) – y(s) e o controle u(s), levando a:

e = (1 – Q_aM)m_r – (Q_aKQ_b + Qc)m_d

u = D₂₁Mm_r – (X – D₂₁K)Q_bm_d

onde o argumento complexo ''s'' deixou de ser representado por simplicidade de notação (quando houver risco de confusão, os argumentos ''s'' e ''t'' serão devidamente explicitados). O importante para a construção do problema é que estas expressões sejam funções afins dos parâmetros K e M, funções reais racionais próprias estáveis.

Como e(s) é uma função racional, e(t) ® 0 se t ® ¥ para todo m_r e todo m_d (como definidos) se e somente se (1 – Q_aM) e (Q_aKQ_b + Q_c) são funções estáveis, isto é, possuem todos os seus pólos na região de estabilidade (Corrêa, 1992), (Silveira, 1995). Estas são as condições de rastreamento assintótico de sinais de referência r(s) da classe descrita por m_r e de rejeição assintótica de perturbações d(s) da classe descrita por m_d, conduzindo às equações diofantinas:

solúveis se e somente se o par {Q_a,Y_r} é coprimo e se o MDC{Q_aQ_b,Y_d} divide Q_c. Resolvendo as duas equações em (7), encontra-se que:

M = X_r + GY_r

para toda função racional própria estável G, X_r tal que Q_aX_r + Y_rY_r = 1 (existindo pela coprimicidade pressuposta) e:

K = –X_d + H

Para toda função racional própria estável H tal que [Y + (H – X_d)N₂₁] seja biprópria, e obtidos de Q_aQ_b e de Y_d, respectivamente, dividindo-os por MDC{Q_aQ_b,Y_d},X_d tal que X_d + Y_d = 1 (existindo, pois e são coprimos por construção).

Expressões semelhantes podem ser encontradas para a rejeição assintótica de ruídos v(s) no sensor, onde u(s) = C₁(s)r(s) – C₂(s).[z(s) + v(s)], exigindo novas condições de coprimicidade para a existência de soluções (Silveira e Corrêa, 1992). Controladores com um grau de liberdade podem também ser considerados, fazendo-se C₁(s) = C₂(s), isto é, M = X – KD₂₁, o que exigirá novas condições de coprimicidade. Controladores qualitativamente robustos, isto é, aqueles que mantém as propriedades de rastreamento assintótico para as perturbações na planta suficientemente pequenas e dentro de uma região admissível dada (Silveira, 1996), também levam a parametrizações mais complexas. Finalmente, se y = z (o sinal controlado coincide com o sinal medido), as condições de Nett (1986) recaem no caso clássico onde Q_a e Q_b representam o numerador da planta.

3.2 Construção do Critério Quadrático

A substituição dos valores de K e M na expressão de e(s) e de u(s acima leva, depois de alguns cálculos, a:

onde todas as parcelas de (8) são funções reais racionais próprias estáveis, graças às equações em (7).

Deseja-se construir um critério quadrático sobre e(t) e u(t), considerando todo o conjunto de sinais de referência e de perturbações, isto é, independente de m_r e de m_d. Para isso, seguindo Corrêa e Silveira (1995), será aplicada uma conhecida propriedade da transformada de Fourier (Rudin, 1966, Theorem 9.6) ao erro filtrado (s)= W_r(s)e(s), sendo W_r(s) uma função racional tal que (s) seja estritamente própria e estável. Como a função (t) é contínua e limitada,

onde ||f(.)||₁ representa a norma L¹ da função f(s) restrita ao eixo imaginário. Usando que os termos entre colchetes, m_r(s) e m_d(s) são quadraticamente integráveis sobre o eixo imaginário, e elevando a expressão ao quadrado, pode-se verificar que (usando a desigualdade de Cauchy-Schwarz):

com ||f(.)||₂ representando a norma quadrática de f(s) definida na seção 2. Assim, as minimizações dos termos quadráticos que multiplicam e estão relacionadas com a minimização do valor máximo do módulo do erro (no tempo t) para todos os sinais de referência e de perturbação considerados. As definições dos critérios:

passam a ser naturais, lembrando que estão relacionados com o comportamento transitório do sistema controlado. Um estudo mais aprofundado desta relação encontra-se em Corrêa e Silveira (1995). O uso do filtro W_r é essencial para evitar descontinuidades iniciais nos termos que formam e(t), sem o que impossibilitariam as majorações utilizadas.

A construção de um critério envolvendo u(s) não pode seguir o mesmo caminho, pois, como r(s) é um sinal persistente, donde não pertencente a L², u(s) também será um sinal persistente. A solução consiste em considerar um critério apenas sobre a parte transitória de u(t), retirando-lhe sua parte estacionária. De fato, mostrou-se mais interessante (Corrêa e Silveira, 1995) definir um sinal ponderando convenientemente as duas partes por:

onde W_ru é uma função racional, estritamente própria e estável, tal que o último termo da expressão seja também estável. Cálculos diretos com as integrais definindo as normas quadráticas mostram que, sempre para m_d º 0:

onde M_ro e M_r1 são funções racionais próprias tais que W_ruM_ro e M_r1 são estáveis e as normas quadráticas são finitas para todo G, sendo a norma euclidiana habitual do vetor real formado pelos coeficientes numéricos do numerador de m_r(s). Considerações análogas para o caso em que m_r º 0 e m_d ¹ 0 levam, mutatis mutandis, a uma expressão da forma:

As definições dos critérios:

J_ur(G) = ||W_ruM_ro + M_r1G e

J_ud(H) = ||W_duM_do + M_d1H

passam a ser naturais, observando-se que estão relacionados com o comportamento transitório do sistema controlado para todos os sinais de referência e de perturbação considerados. Um estudo de como a escolha dos filtros de ponderação W_r, W_ru e W_du afeta o regime transitório do sistema controlado aparece em Corrêa e Silveira (1995). Neste trabalho também é demonstrado que a minimização dos critérios compostos:

J_a(G) = J_er(G)+r_aJ_ur(G),J_b(H) = J_ed(H)+r_bJ_ud(H)

sempre possui solução para r_a>0 e r_b>0, com G(s) e H(s) funções racionais próprias estáveis. Este ponto será revisto mais adiante sobre o problema H₂ geral.

Critérios quadráticos como os construídos acima são denominados de ''desempenho quadrático'' na literatura. Outras motivações para critérios deste tipo podem ser encontradas em Chaoubah (1999).

Em problemas de controle ótimo estocástico (LQG) surgem também critérios quadráticos deste tipo quando os sinais de perturbação são modelados como processos estocásticos gaussianos estacionários e de média nula, com densidade espectral de potência conhecida, como nos artigos já citados de Youla e sua equipe. Neste tipo de problema busca-se minimizar uma combinação linear positiva das integrais no tempo das covariâncias do erro e(t) e de u(t). Denotando as densidades espectrais de potência de r(t) e de d(t) por F_r(s) e F_d(s), respectivamente, e sendo r um número real positivo, os cálculos acima mostram que os critérios quadráticos associados podem ser escritos como:

que, após o uso das expressões (8) e das decomposições:

E{r^T(s)r(s)} = F_r(s) = (s)f_r(s)

E{d^T(s)d(s)} = F_d(s) = (s)f_d(s)

(onde f_r(s) e f_d(s) são racionais, próprias, estáveis e de fase mínima), chega-se a:

com r > 0, gerando novos funcionais quadráticos a serem adicionados aos anteriores. Funcionais correspondentes a ruídos como v(t) e a sinais como z(t) são construídos em Silveira e Corrêa (1992) e, um funcional considerando o efeito de primeira ordem em variações na planta é construído em Youla et alii (1976).

A soma destes diversos funcionais quadráticos, após alguns cálculos (que, para sistemas multivariáveis, fazem apelo ao produto de Kronecker), conduz a funcionais do tipo:

J₂(G) = [G^*(s)G(s)G(s) – 2G^*(s)g(s)]_{s = iw}dw+ J₂(0)

onde G(s) = G^*(s) (isto é, G(s) é uma função ''para-hermitiana'') não possui pólos ou zeros no eixo imaginário, sendo fatorável (por um conhecido teorema devido a Youla) como G(s) = F^*(s).F(s), sabendo-se que F(s) é uma função real racional, estável e de fase mínima. De fato, a combinação de diferentes critérios como os descritos acima busca evitar que G(s) tenha zeros ou pólos no eixo imaginário, como discutido em Silveira e Corrêa (1992). Mais ainda, a formação dos termos permite mostrar que g(s) = F^*(s)h(s), onde h(s) não possui pólos no eixo imaginário (embora possa possuir zeros no eixo imaginário e pólos em ).

3.3 Construção das restrições

Como é comum em problemas multicritério, pode-se combinar partes dos funcionais quadráticos já definidos entre si usando combinações lineares positivas, deixando os restantes para serem tratados como restrições, no formato:

com l₂ um número real positivo e maior que o mínimo de (G), de forma que o conjunto assim definido não seja vazio. Essa restrição pode ser vista como uma relaxação da condição de minimizar (G).

Outros funcionais muito utilizados (como critérios a serem otimizados ou para definir novas restrições) empregam a norma do espaço . Uma primeira classe corresponde a problemas de filtragem, onde busca-se fazer o ganho estacionário de alguma das funções de transferência da malha, menor que um valor dado, em uma determinada faixa de freqüências. Por exemplo, se é desejado que o ganho estacionário da perturbação d(s) para o erro e(s) seja inferior a l na faixa de freqüências [w_a, w_b], costuma-se escolher uma função racional W(s) cujo módulo seja aproximadamente unitário em [w_a, w_b] e desprezível fora, buscando funções racionais próprias estáveis H(s) que parametrizam os controladores de interesse tais que:

Restrições deste tipo podem ser escritas englobando as diferentes especificações estacionárias (sobre ''bandas de freqüência''), como o rastreamento assintótico ou a rejeição assintótica de perturbações, trocando a condição de erro nulo em dada freqüência por ganho limitado na banda de freqüências escolhida (para as funções de transferência de r(s) ou de d(s) a e(s), respectivamente). Nesta formulação recupera-se os problemas originais da área de controle devidos a Bode, que são apresentados nos textos clássicos nas áreas de Controle e de Eletrônica Linear (ver Doyle et alii (1992) ou Cruz (1996) para um desenvolvimento mais detalhado). Este tipo de problema aparece naturalmente como uma restrição a ser obedecida, e não como um critério a ser minimizado. Cabe observar que, na formulação tradicional devida a Bode, a parametrização de Youla não é usada, sendo o parâmetro de projeto a função de transferência do controlador C₂(s). Neste caso o funcional (G) deixa de ser quadrático em relação ao parâmetro.

Uma variante deste problema aparece quando há o interesse de aproximar o máximo possível (no sentido do ganho estacionário) uma das funções de transferência do sistema controlado de um filtro dado. Por exemplo, deseja-se que a função de transferência de d(s) a e(s) aproxime ao máximo um filtro para perturbações em uma dada banda de freqüências, digamos o filtro R(s). Neste caso o problema passa a ser o de minimizar a diferença entre os diagramas de Bode das funções R(s) e de [X_d – Q_c – HY_d](s) ao longo da banda de freqüências de interesse, ou seja, minimizar:

onde o filtro de ponderação W(s) só é significativo na banda de freqüências estipulada. Tem-se o chamado model matching problem, que pode gerar uma restrição na forma já estudada, como encontrar H(s) Î tal que:

para l superior ao ínfimo da expressão.

Uma terceira classe de problemas é chamada de problema de desempenho H_¥, onde procura-se minimizar o ganho do sistema controlado, visto como um operador transformando sinais de quadrado integrável. Por exemplo, supondo d(t) de quadrado integrável, com ||d(t)||₂<¥, o ganho L² do operador que relaciona d(t) ao erro e(t) é a menor constante real k tal que ||e(t)||₂ £ k||d(t)||₂, para todo d(t). Esta constante depende do controlador escolhido, e o problema busca escolher o controlador de forma a minimizar k. Denotando a função de transferência que relaciona d(s) a e(s) por H_de(s), o operador de interesse é descrito por:

e(t) = h_de(t – t)d(t)dt Û e(s) = H_de(s)d(s)

Aplicando a transformada de Fourier e o Teorema de Parseval ao cálculo da norma quadrática (no tempo) de e(t), encontra-se:

donde k² £ ||H_de. Por outro lado, suponha que ||H_de||_¥ = |H_de(iw_o)|, para alguma freqüência w_o, e faça de(iw) = 1 para w Î [w_o – e,w_o + e] e nula fora deste intervalo. Neste caso ||de(iw)||₂ < ¥, isto é, d_e(s) é uma função de quadrado integrável. Definindo e_e(s) = H_de(s)d_e(s), é fácil verificar que:

||e_e = ||H_de||d_e + x(e), onde x(e) ® 0 se e ® 0

Assim, a razão ||e_e/||d_e aproxima-se arbitrariamente de ||H_de se e ® 0, o que implica ser o supremo da razão igual a ||H_de, isto é, k = ||H_de||_¥: o ganho do operador sobre o L² associado a H_de(s) é dado exatamente por ||H_de||_¥.

Substituindo a expressão de H_de(s) em função do parâmetro de Youla, dada em (8), e ponderando-a (por conveniência futura do projeto) por um filtro W, o conjunto de parâmetros H que limita o ganho L² com k £ l é descrito pela condição:

||W[X_d – Q_c – HY_d]||_¥ £ l,

a mesma que apareceu no problema de filtragem acima.

Outros funcionais de desempenho H_¥ podem ser definidos, considerando a influência de perturbações e ruídos quadraticamente integráveis, aplicados a diferentes pontos da malha de controle e influenciando diferentes sinais de interesse.

A robustez de estabilidade conduz a uma das mais importantes restrições usando a norma H_¥. O problema consiste em escolher controladores estabilizantes que estabilizem não só a planta nominal, mas também a planta perturbada, para perturbações livres dentro de um conjunto pré-especificado. Será desenvolvida aqui uma medida da robustez de estabilidade para perturbações aditivas não-estruturadas, isto é, quando a planta nominal P₂₁(s) é perturbada para P₂₁(s) + DP₂₁(s),DP₂₁(s) livre no conjunto de funções de transferência DP(s) tais que |DP(iw)| £ m(w), m(w) uma função de tolerância dada. Perturbações multiplicativas ou nos fatores coprimos da planta são estudadas em Corrêa (1992) e em Cruz (1996).

Pelo critério de Nyquist, o controlador C₂ = [D_c2]^–1N_c2 estabiliza a planta nominal P₂₁ se a curva [P₂₁C₂](w) envolve o ponto s = –1 + 0i tantas vezes quanto o número de pólos de P₂₁C₂ no semiplano s aberto à direita do eixo imaginário, no sentido horário. Para que o mesmo controlador C₂ estabilize todas as plantas perturbadas P₂₁ + DP₂₁, dada a estabilidade do sistema controlado nominal, |DP(iw)| £ m(w), a curva [(P₂₁ + DP₂₁)C₂](iw) não deve tocar o ponto s = –1 para qualquer perturbação na classe considerada. Isto é, [(P₂₁ + DP₂₁)C₂](iw) ¹ –1 para |DP(iw)| £ m(w). Ou ainda, 1+[(P₂₁ + DP₂₁)C₂](iw) ¹ 0 para |DP(iw)| £ m(w). Dividindo a equação por 1+[P₂₁C₂](iw), obtém-se a condição:

[1 + DP](iw) ¹ 0, para |DP(iw)| £ m(w),

que será verificada se e somente se:

[](iw) < , para todo w real.

Costuma-se trocar o uso da função m(w) pelo uso de um filtro W(s), próprio e estável, tal que |W(iw)| aproxime m(w) por falta, reescrevendo-se a condição como:

[](iw) < , para todo w,

ou seja, ||||¥ < onde || . ||_¥ representa a norma H_¥. Recalculando a função de transferência à esquerda em função do parâmetro H, encontra-se:

WC₂(1 + P₂₁C₂)^–1 = WD₂₁N_c2 =

WD₂₁[X + X_d

D₂₁ – HD₂₁ ]

Relaxando levemente a desigualdade estrita e transformando-a em uma desigualdade não estrita, chega-se a seguinte condição:

||WD₂₁[X + X_d

D₂₁ – H

D₂₁]||_¥ £ l <

semelhante à restrição de desempenho H_¥.

O uso de perturbações multiplicativas leva a condições semelhantes (trocando WD₁₂ por WN₁₂), assim como o uso de perturbações nos fatores coprimos da planta. Cruz (1996) desenvolve outras restrições deste tipo considerando a robustez de desempenho da planta em relação a perturbações não estruturadas, além de discutir a escolha dos filtros de ponderação W em função dos interesses de projeto. Este assunto também pode ser visto em Chaoubah (1999).

3.4 Formulação do problema H₂/H _¥

A especificação de um problema de controle H₂/H_¥ consiste na escolha de:

• uma classe de controladores parametrizada por funções racionais próprias estáveis (soluções do problema de estabilização, ou de problemas de rastreamento assintótico e/ ou rejeição assintótica de sinais, ou do problema do servomecanismo qualitativamente robusto, ou de outro problema assintótico levando a parametrizações convenientes);

• um conjunto de critérios quadráticos de interesse, como os construídos acima, a ser reunido em um único critério usando combinações lineares positivas:

  J₂(K) = r_a||A_a + B_aK + ¼ + r_n||A_n + B_nK

  onde r_a, ..., r_n são números reais positivos estabelecendo a importância relativa dos diferentes critérios;

• um conjunto de restrições quadráticas sobre o conjunto de parâmetros K construídas da mesma forma que os critérios quadráticos, na forma geral:

  Q_c = {K: ||C_c + D_cK £ m_c}, c = 1, ... ,m

  com m_c superior ao ínfimo do funcional que define Q_c, de forma a que a restrição não seja vazia;

• um conjunto de restrições H_¥ sobre o conjunto de parâmetros construído como acima, na forma geral:

  W_u = {K: ||E_uK + F_u £ l_u}, u = 1, ... ,p

  com l_u superior ao ínfimo do funcional que define W_u, de forma que a restrição não seja vazia;

W_u = {K: ||E_uK + F_u £ l_u}, u = 1, ... ,p

com l_u superior ao ínfimo do funcional que define W_u, de forma que a restrição não seja vazia;

O critério J₂(K) pode ser reescrito, após alguns cálculos, usando a expressão da norma quadrática (e produtos de Kronecker, no caso multivariável), como:

onde G(s), g(s) e J₂(0) são definidos por:

G(s) = r_a(s)B_a(s) +^...+ r_n(s)B_n(s)

g(s) = r_a(s)A_a(s) +^...+ r_n(s)A_n(s)

J₂(0) = r_a||A_a + ^... + r_n||A_n

Definindo os conjuntos W e Q de acordo com: W = Ç_uW_u e Q = Ç_cQ_c, torna-se possível reescrever o problema como o de encontrar tal que:

J₂ () = J₂(K)

Embora no problema construído nesta seção o objetivo seja o de encontrar parâmetros racionais próprios estáveis, levando a controladores próprios de dimensão finita, o problema de otimização resultante somente poderá ser resolvido no completamento do conjunto dos parâmetros na norma induzida pela parte quadrática de J₂(K). Isto é, em geral, o parâmetro ótimo , se existir, poderá ser irracional, não correspondendo a um controlador de dimensão finita. Na próxima seção serão apresentados os espaços naturais para a resolução do problema proposto e enunciados os teoremas de existência, unicidade e regularidade de suas soluções.

Preparando esses resultados, convém observar nas fórmulas acima que, por construção,

• as funções A_a, ... ,A_n e as funções C_c são funções racionais de quadrado integrável, o que equivale a serem funções racionais sem pólos no eixo imaginário e com grau relativo superior ou igual a 1;

• G(s) é uma função racional sem pólos no eixo imaginário e com grau relativo superior ou igual a 2; e g(s) é uma função racional sem pólos no eixo imaginário e com grau relativo também superior ou igual a 2;

• as funções E_u e F_u são funções racionais próprias sem pólos no eixo imaginário, podendo ser bipróprias (grau relativo nulo).

Além disso, pode-se estar interessado em problemas puramente quadráticos (quando W não é considerado), sem ou com restrições, ou em problemas sem restrições H_¥ (quando Q não é considerado), ou, finalmente, no problema completo.

4 EXISTÊNCIA, UNICIDADE E REGULARIDADE DAS SOLUÇÕES DO PROBLEMA H₂/ H_¥

Para estudar a existência, unicidade e regularidade das soluções do problema H₂/H_¥ será necessário introduzir os espaços de Hardy ponderados e suas propriedades, desenvolvidas em Silveira e Ades (2000) e em Silveira (2001). De fato, a resolução do problema H₂/H_¥ exige a definição de espaços funcionais contendo as classes de Hardy e , dentro dos quais os critérios como J₂(K) sejam contínuos e os conjuntos W e Q sejam fechados e limitados. Este é o objeto das próximas definições.

Definição 4.1: Seja F_k(s) = (s + 1)^–k, G_k(s) = F_k(–s)F_k(s). Dadas duas funções f(.) e g(.) de variável complexa s, define-se:

o espaço das funções de variável complexa s, analíticas em , com norma ponderada ||f||_2,k finita sobre toda reta vertical contida em , as normas sobre as diferentes retas uniformemente limitadas.

Como áf,gñ_k coincide com o produto interno de F_kf por F_kg em L² e ||f||_2,k = ||F_kf||₂ (a norma de F_kf em L²), demonstra-se facilmente que áf,g ñ_k é um produto interno, que ||f||_2,k é a norma quadrática associada, e que é um espaço de Hilbert com produto interno áf,g ñ_k e norma ||f||_2,k . Observe que se f(s) é uma função racional, f(s) pertence a se e somente se é estável (donde sem pólos no eixo imaginário) e ¶_rf ³ 1–¶_rF_k. A partir destes fatos e de algumas majorações simples sobre as funções de ponderação G_k(s), e da densidade em L² das funções racionais estritamente próprias e sem pólos no eixo imaginário (Khoan, 1972), demonstra-se o próximo teorema.

Teorema 4.1: Se 0 < k < m, a inclusão = Ì Ì é válida e o operador definido por f(s) (s + 1)^m–kf(s) é uma isometria de em . Em particular, subconjuntos fechados e limitados de também são fechados e limitados em . Além disso, o conjunto das funções racionais estáveis com grau relativo inferior ou igual a 1–¶_rF_k é denso em .

Demonstra-se também, nos artigos citados, a relação entre as topologias de e de .

Teorema 4.2: Conjuntos fechados e limitados em ainda são fechados e limitados em , donde também em , para k ³ 1.

As propriedades do funcional J₂(H) em são apresentadas a seguir.

Teorema 4.3: Se (i) ¶_rg ³ ¶_rF + 1, (ii) ¶_rF = m > 0, (iii) G(s) não possui pólos ou zeros no eixo imaginário e g(s) não possui pólos no eixo imaginário, então:

(a) se 0 £ k £ m, o funcional J₂(K) é contínuo em ;

(b) se k>m e K Î – , J₂(K) = ¥;

(c) J₂(K) é estritamente convexo em .

Graças à densidade das funções racionais próprias estáveis em (ver o Teorema 4.1), o Teorema 4.3 pode ser demonstrado inicialmente supondo todos os dados racionais, levando-se, depois, o resultado ao limite na topologia de . Neste caso, J₂(K) < ¥ se e somente se 2¶_rK + 2¶_rF ³ 2 e ¶_rK + ¶_rg ³ 2, o que é implicado pelas hipóteses do Teorema 4.3 desde que 0 £ k £ m e K Î , pois ¶_rK ³ 1 – k ³ 1 – m. A continuidade de J₂(K) decorre de:

e cálculos análogos para o termo linear do funcional, usando:

K(–iw)g(iw)dw = < F_kK,g >₂,

se k < ¶_rg + 1 £ m + 2. A hipótese (a) é natural para os critérios considerados neste artigo, como pode ser verificado na definição de g(s), comparando seu grau relativo com o de F(s).

O Teorema 4.3 permite estudar a existência, unicidade e regularidade das soluções do problema H₂ (sem restrições) e do problema H₂/H_¥, conforme enunciado no próximo teorema, que coleta o conjunto de resultados relativos ao problema demonstrados em Silveira e Ades (2000), e Silveira (2001).

Teorema 4.4: Suponha válidas as hipóteses do Teorema 4.3. Defina a função racional por = F^–1[(F^*)^–1g]₊, sendo [.]₊ a projeção ortogonal em , aplicável devido à hipótese ¶_rg – ¶_rF ³ 1 e devido à função projetada não possuir pólos no eixo imaginário. Observe que ¶_r ³ 1 – m (donde Î ) e J₂() < ¥. Logo, se p = 1 –¶_r, é o menor dos espaços de Hardy ponderados contendo , e p £ m².

Se k ³ p, então o problema de minimização de J₂(K) sem restrições possui solução em , sendo esta solução única e dada por .

Se 0 £ k < p, então o problema de minimização de J₂(K) sem restrições não possui solução em qualquer espaço , sendo o ínfimo do funcional nestes espaços dado por J₂(),K_n = (s + 1)^k–p Î definindo uma seqüência minimizante em , isto é, J₂(K_n) ® J₂(), onde J₂() é o ínfimo de J₂(K) em (embora Ï).

Se k ³ 1, se as restrições Q_c definem subconjuntos fechados de e se o conjunto de restrições W Ç Q, definido na seção 3, não é vazio, então o problema de minimização de J₂(K) para K Î W Ç Q possui solução única Î Ç . Mais ainda, a solução ótima pertence ao conjunto das funções aproximáveis por funções racionais na norma de (isto é, é contínua no eixo imaginário extendido).

Neste último caso, com k ³ p, o problema pode ser reescrito em como o da minimização de ||F(K – )–||Fsob a condição K Î W Ç Q (um problema chamado, na literatura, de best approximation).

A demonstração do item (c) apoia-se no fato de que funcionais estritamente convexos e contínuos em espaços de Hilbert possuem um único mínimo em conjuntos convexos, fechados e limitados (Ekeland e Temam, 1974, Proposition II.1.2), e no fato de W Ç Q ser um subconjunto convexo, fechado e limitado em , por sua definição e pelos Teoremas 4.1 e 4.2. Com este mesmo argumento pode-se considerar apenas as restrições quadráticas Q_c, ou apenas as restrições definindo W. A demonstração dos itens (a) e (d) decorre do seguinte cálculo:

onde foi utilizado que, se p £ k £ m, todos os termos são finitos, que:

(F^*)^–1g = [(F^*)^–1g]₊ + [ (F^*)^–1g]_– Î L²,

com [ (F^*)^–1g]₊ Î e [ (F^*)^–1g]_– Î ,

e que a parcela instável, sendo ortogonal a FK Î , pode ser retirada do termo linear de J₂(K) (pois e , são subespaços ortogonais de L²).

O item (b) decorre da continuidade de J₂(K) em , de ¶_rK_n = 1 – k e de J₂(K_n) ® J₂(), como demonstrado em Silveira (2001).

No caso particular onde ¶_rF = 1 e ¶_rg = 2, que corresponde ao critério proposto em Corrêa e Silveira (1995), p = m = 1. Donde o problema sem restrições possui solução única em , o valor de J₂(K) sendo infinito no complemento linear desta classe em espaços mais largos.

A figura 2 ilustra as relações entre os espaços e o comportamento de J₂(K) nestes espaços. A figura 3 ilustra através de um diagrama esquemático as relações entre os espaços mencionados na figura 2.

5 UM MÉTODO DE EXPANSÃO EM BASES PRÉ-ESTABELECIDAS

Nesta seção será discutida a resolução numérica do Problema H₂ /H_¥, descrito matematicamente como o seguinte problema de otimização:

sujeito a J_¥(K) = ||EK – F||_¥ £ .

As funções A e B serão supostas reais racionais estáveis e estritamente próprias (donde pertencem a ). As funções E e F devem ser reais, racionais, próprias e estáveis, estabelecidas a partir do problema abordado, sendo escolhido de forma que:

O cálculo de , de acordo com o que foi definido em (10), leva ao chamado Problema de Nehari (Zhou et alii, 1996). Em Sales (1994) mostra-se que a desigualdade na restrição do problema (9) pode ser substituída por uma igualdade, desde que a solução do problema sem restrição, , não verifique a restrição (quando, então, a restrição é inútil). Assim, o problema (9) passa a ser descrito por:

sujeito a J_¥(K) = ||EK – F||_¥ =

O método de Galerkin consiste em, fornecida uma base para o espaço solução do problema original e escolhida uma dimensão n, calcular a solução do problema restrito ao subespaço n-dimensional definido pelos primeiros n vetores da base (truncamento da base). O método faz sentido se for demonstrado que o limite das soluções dos problemas aproximados tende à solução do problema original quando n ® ¥. Por exemplo, usando a base ortonormal de formada pelas funções L_i(s):

usualmente denominadas de ''funções de Laguerre'' (Hille, 1976), onde a é uma constante real e positiva, qualquer função G(s) Î pode ser expandida³ como:

sendo a_i um número real para todo natural i. Truncando a série (13) nos seus primeiros n termos e levando-a a (11), obtém-se o seguinte problema:

Este novo problema de otimização é de dimensão finita, com parâmetro vetorial a, sendo o critério ainda quadrático na nova variável.

Pode-se também utilizar conjuntos geradores do espaço de soluções, mesmo redundantes, desde que as propriedades de convergência sejam preservadas. Por exemplo, será numericamente conveniente complementar o conjunto das funções de Laguerre com a função constante L₀(s) = 1, pois o espaço solução de (11) é , que contém . Este novo conjunto gerador não é mais uma base, mas permite um controle numérico mais apurado da seqüência aproximante, considerando as aproximações do valor em s=¥. Outras bases ou conjuntos geradores podem ser utilizados, em especial aqueles construídos a partir do Teorema de Runge (Ades, 1999).

Outros conjuntos geradores podem ser definidos a partir de bases ortogonais, conforme os autores (1999):

onde n é o grau do polinômio j(s), denominador da função racional B(s) em (14), e:

onde a_f é um número real estritamente positivo para f = 1,2,¼.

A conduta adotada para solucionar o problema em (14) consiste em transformá-lo num novo problema sem restrições via penalidades. Aplica-se então o método de otimização BFGS (Bertsekas, 1995), da classe dos métodos quase-Newton, com busca unidimensional pelo método de Wolfe (Bonnans et alii, 1997), para solucionar o problema:

onde p₁ e p₂ são constantes reais positivas calculadas de acordo com o problema e K é gerado pela base truncada, de acordo com (14). O novo problema possui um único mínimo, pois seu critério é estritamente convexo e a projeção da restrição no subespaço proposto ainda é um conjunto convexo fechado limitado (ver Ades (1999) para uma demonstração detalhada).

Para aplicar o método BFGS será necessário calcular os gradientes das funções envolvidas em (14). O cálculo direto do gradiente de J₂(a) mostra que:

onde

Um cálculo similar para J_¥ não é possível. Em seu lugar deve-se calcular um subgradiente, conforme será discutido adiante. Considerando que G(s) seja uma função real, racional, própria e denotando por w₀ a freqüência em que ocorre o máximo do módulo de G(iw₀), um subgradiente do funcional J_¥(a) poderá ser obtido de acordo com o seguinte desenvolvimento. Seja:

e h(s) = G^*(s)G(s). Assim, por (20):

Usando uma das expansões acima:

De (21):

De (22) e da definição de h(s):

Derivando parcialmente (24) em relação a a_i e calculando em s = iw₀:

Finalmente, substituindo (25) em (23):

É possível agora definir a direção x, vetor real de dimensão n + 1, por:

Lema 5.1: A direção x é um subgradiente de J_¥(a).

A demonstração do Lema 5.1 encontra-se em Ades (1999). O subgradiente em (27) pode ser usado no lugar do gradiente de J_¥(a), viabilizando a utilização do método BFGS/ Wolfe.

O cálculo das normas H₂ e H_¥, exibidas em (2) e (3), respectivamente, é também um ponto importante da metodologia apresentada. Os dois lemas seguintes, demonstrados em Zhou et alii (1996) e aqui apresentados por uma questão de completude do texto, mostram como fazê-lo.

Lema 5.2: Considere a seguinte função de transferência G(s) = C(sI – A)^–1B, sendo A estável. Neste caso:

||G = tr(B^*L_oB) = tr(CL_cC^*)

onde L_c e L_o são os gramianos de controlabilidade e observabilidade, obtidos pela resolução das seguintes equações de Lyapunov:

AL_c + L_cA^* + BB^* = 0

A^*L_o + L_oA + C^*C = 0

Lema 5.3: Seja > 0 e G(s) = C(sI – A)^–1B + D uma função racional própria estável. Então ||G||_¥ < se e somente se (D) < e a matriz D não possui autovalores sobre o eixo imaginário, onde:

A norma H_¥ pode ser calculada por um algoritmo de bisseção, utilizando os limitantes inferior e superior mostrados em Zhou et alii (1996, Lema 6.3) e o Lema 5.3 apresentado acima. Para empregar o subgradiente mencionado no Lema 5.1, resta calcular a freqüência w₀ em (20), que é o conteúdo do próximo resultado.

Lema 5.4: Considere D como em (28), G(s) realizada de acordo com o Lema 5.3 e tal que ||G||_¥ = . A freqüência w₀ em que ocorre o supremo em (20) pode ser calculada como:

w₀ = |iw₀| = |s{D()}|

onde s{.} representa o autovalor do argumento sobre o eixo imaginário.

Demonstração: Seja F(s) = ²I – G^*(s)G(s) e como ||G||_¥ = , suponha que |G(iw₀)| = . Então F(iw) ³ 0 para todo w real e F(iw₀) = 0, ou seja, F(iw) tem um zero sobre o eixo imaginário em w₀. Conseqüentemente F^–1(iw) possui um pólo sobre o eixo imaginário em w₀. Mostra-se por meio de alguns cálculos algébricos que:

F^–1(s) =

donde conclui-se que D possui um autovalor igual a iw₀, que é a freqüência desejada.

Cabe observar em (18) que é possível explicitar a_i nas equações e determinar analiticamente o vetor a_otimo que minimiza o funcional J₂(a). No caso do funcional J_¥(a), também é possível explicitar a_i em (26), mas persiste a dependência com w₀, que por sua vez depende de a, isto é, w₀ = w₀(a). Por fim, um subgradiente do funcional J_p(a) pode ser calculado a partir de sua definição em (17), com o auxílio de (19) e (27), bastando para isto considerar dois casos, ou seja:

A demonstração da convergência deste método, para qualquer conjunto gerador, aparece em Ades (1999) e em Silveira e Ades (2000), sendo os resultados obtidos coletados no próximo teorema.

Teorema 5.5: Suponha válidas as hipóteses do Teorema 4.3. Utilizando as notações do Teorema 4.4, a seqüência de soluções aproximadas obtida pelo método proposto neste artigo converge fracamente em para a solução ótima (e única) do problema H₂/H_¥ original, para k ³ 1. Se k ³ p, a seqüência converge também fortemente.

Na figura 4 mostra-se o diagrama em blocos do sistema computacional que implementa o método proposto. Este sistema se subdivide em três partes, ou seja: programa principal, rotinas de otimização e simulador. O programa principal determina o problema a ser resolvido, definindo as funções A(s), B(s), E(s) e F(s) em (11). Além disso, escolhe a ordem da solução a ser calculada e o ponto inicial a_in do processo de otimização. As rotinas de otimização são compostas pelo método de otimização e pela rotina de busca unidimensional. Os métodos adotados foram, respectivamente, BFGS e Wolfe. O simulador, que é a terceira parte do sistema, calcula o custo de um ponto do espaço de busca fornecido e seu respectivo gradiente.

6 EXEMPLOS NUMÉRICOS

Nesta seção encontram-se apresentados alguns exemplos numéricos de aplicação da metodologia proposta em problemas encontrados na literatura. O método dual descrito em Corrêa et alii (1997) será utilizado para obter minorantes do valor do critério ótimo, permitindo, junto com o método proposto, medir a precisão das soluções obtidas.

Exemplo 1: Consiste de um problema de controle benchmark definido pelo sistema massa-mola de quarta ordem e discutido em Corrêa et alii (1997). Na Figura 5 mostra-se o diagrama do sistema a ser controlado, composto de dois blocos interligados por duas molas. A entrada do sistema é a força F aplicada ao bloco de massa M₁ e a saída é a posição Y₂ do bloco de massa M₂. Os demais parâmetros e variáveis do problema são M₁, Y₁, K₁ e K₂, que representam, respectivamente, a massa do bloco tracionado, a posição do bloco de massa M₁ e as constantes elásticas das molas. Considerou-se que o efeito do atrito é desprezível, M₁ = M₂ = 1, e ainda que K₁ + K₂ = 1.

Equacionando o sistema e aplicando a transformada de Laplace, chega-se às seguintes equações:

De (33):

De (32) + (33):

Aplicando (34) em (35):

Portanto, a função de transferência do sistema é dada por:

Utilizando a parametrização de Youla e formulando o problema de acordo com (11), onde a restrição H_¥ corresponde à imposição da margem de estabilidade para perturbações nos fatores coprimos da planta (Corrêa et alii, 1997), chega-se a:

sabendo-se que:

onde o valor da constante J_F = 26,0144 e as funções racionais A(s), B(s) e F(s) possuem ordens 19, 6 e 4, respectivamente (mostradas no Apêndice). O valor de foi arbitrado a partir da degradação de 10% do valor ótimo da margem de estabilidade relativa a perturbações nos fatores coprimos à direita normalizados de (37), conforme Corrêa et alii (1997, pág. 337). Portanto:

Na tabela 1 encontram-se as figuras de mérito calculadas para alguns controladores de destaque aplicados ao problema. O controlador K_SPQ foi calculado pelo método dual (Seqüência de Problemas Quadráticos de Corrêa et alii (1997)) para = 4,0557.

Para aplicação do método proposto neste artigo, o problema em análise passa a ser:

sujeito a: ||K(s) – F(s)||_¥ £ e K(s) = a_iL_i(s)

Na tabela 2 exibe-se as características dos controladores calculados pelo método proposto, para = 4,0577, adotando as funções de Laguerre completadas com a função constante e fixando os pólos arbitrariamente sobre a posição s = –1:

Pelos resultados apresentados na tabela 2, observa-se que a viabilidade somente é alcançada a partir dos controladores de ordem três. Isto é, só então o conjunto gerador passa a ser rico o suficiente para que a projeção da restrição no subespaço de dimensão finita deixe de ser vazia. Os resultados seguem o comportamento esperado, ou seja, à medida que a ordem do controlador aumenta, o custo J₂ decresce e a margem J_¥ permanece sobre o valor estipulado em (41). À medida que a ordem adotada para solução aproximada aumenta, gera-se um novo limitante superior para o funcional de custo quadrático J₂, ou seja, a solução do problema corrente deverá possuir um custo quadrático menor ou igual ao dos anteriores, já que o subespaço corrente contém os subespaços de dimensão menor.

É também possível concluir que o valor do critério J₂ da solução ótima do Problema H₂/H_¥ em (38) deverá estar no intervalo (39,0197 , 45,8275). Foi observado ainda que, apesar da natureza distinta dos métodos, os diagramas de Bode relativos às funções utilizadas empregando os controladores K_SPQ e K_L9 nas figuras 6, 7 e 8 possuem uma semelhança considerável. Pelo Teorema 5.5, e considerando os graus relativos de A(s), B(s) e F(s), a seqüência de soluções aproximadas converge fortemente em para a solução ótima do problema.

Exemplo 2: Refere-se ao modelo de um veículo controlado remotamente. Foi utilizado em Sales (1994) para ilustrar o método dual (Seqüência de Problemas Quadráticos-SPQ), em Safonov et alii (1981) para ilustrar o projeto LQG e em Safonov e Chiang (1988) para exemplificar o projeto H_¥. Neste caso:

Os fatores espectrais estáveis dos filtros adotados no critério são:

e os demais coeficientes de ponderação que aparecem no critério, escolhidos iguais a um, por simplicidade.

Deseja-se encontrar soluções para o seguinte problema:

sujeito a J_¥(K(s)) = ||K(s) – F(s)||_¥ £ 0,893354

com o valor da restrição sendo arbitrado a partir da degradação de 10% do valor da margem de estabilidade ótima relativa à perturbações aditivas na planta. Além disso, utilizando os dados em (45) a (47) chega-se ao valor da constante J_F = 88,8940963476 em (48), bem como aos modelos A(s), B(s) Î R e F(s) Î R, cujas ordens são de 19, 13 e 4, respectivamente. Estes modelos encontram-se no Apêndice deste trabalho.

Na tabela 3 encontram-se as figuras de mérito calculadas para alguns controladores de destaque aplicados ao problema. O controlador K_SPQ foi calculado pelo método dual (Corrêa et alii, 1997), para = 0,893354.

Na tabela 4 exibe-se as características dos controladores calculados pelo método proposto, para = 0,893354, adotando as funções de Laguerre completadas com a função constante e fixando os pólos arbitrariamente sobre a posição s = –1:

Para a margem de estabilidade em = 0,893354 e considerando as soluções das tabelas 3 e 4, conclui-se que o valor J₂ da solução ótima do problema H₂/H_¥ em (48) deverá estar no intervalo (173,08398 , 176,04137), o que em termos percentuais dá » 1,68%. As figuras 9, 10 e 11 exibem os diagramas de Bode relativos aos controladores K_SPQ e K_L7.

7 EXTENSÃO A PROBLEMAS MIMO

Abaixo será indicada rapidamente a extensão dos resultados e da metodologia a problemas multivariáveis (MIMO), onde P_ij(s), C_i(s), Y_r(s) e Y_d(s) são matrizes racionais de dimensões apropriadas às dos sinais de referência, perturbação, controle, medida e saída controlada. Como anteriormente, supõe-se conhecidos a teoria e os métodos de fatoração coprimas de matrizes racionais como quocientes de matrizes racionais próprias estáveis e seu uso na resolução de equações diofantinas, como exposto em Vidyasagar (1985) e Silveira (1995), por exemplo. Resultados completos e exemplos do caso MIMO serão objetos de trabalhos futuros.

O cálculo dos controladores resolvendo o problema do servomecanismo no caso multivariável estão explicitados em Silveira e Corrêa (1992) e em Corrêa e Silveira (1995), chegando às expressões correspondentes a (8), usando a mesma notação empregada no presente artigo, acrescida de fatores à direita e à esquerda, que tornam-se necessários pela não comutatividade do produto matricial. Estes cálculos, com notação um pouco diferente, também podem ser encontrados em Corrêa (1992) e Silveira (1995). Chega-se assim a critérios e restrições da mesma forma, embora as funções indicadas sejam matriciais. O uso do operador traço e dos produtos de Kronecker permitem formular o problema H₂/H_¥ exatamente como na seção 3.4, sendo G(s) = F^*(s)F(s) uma matriz racional para-hermitiana (i.e., G(s) = G^*(s) sem pólos ou zeros no eixo imaginário), F(s) uma matriz racional estável, de fase mínima, quadrada e inversível; g(s) uma matriz racional sem pólos no eixo imaginário; e K(s) um vetor racional próprio estável.

A extensão do Teorema 4.4 ao caso vetorial, onde K(s) = [K₁(s)K₂(s)...K_n(s)]^T é um vetor racional próprio estável com n coordenadas, usa a noção de multi-índice, onde o multi-índice k = (k₁,k₂,...,k_n), com cada k_j um número inteiro; e exige a definição do grau relativo da í-ésima coluna da matriz racional F(s), denotado por ¶_riF e representando o menor grau relativo das funções racionais da i-ésima coluna da matriz F(s). A expressão ''o grau relativo coluna de F(s) é dado pelo multi-índice a'' indicará que ¶_riF = a_i,i = 1,...,n. O espaço funcional , k um multi-índice com n coordenadas, será o espaço dos vetores n-dimensionais onde a i-ésima coordenada pertence ao espaço de Hardy ponderado . Finalmente, se p e m são dois multi-índices de mesmo tamanho, p £ m indica que p_i £ m_i, para todo i.

As restrições quadráticas estendem-se sem problemas ao caso multivariável, mantendo sua forma ||CK + D £ m, lembrando que a norma quadrática de um vetor é a raiz quadrada da soma dos quadrados das normas das componentes. As restrições H_¥ passam à forma ||(EK + F)||_¥,(.) representando o máximo valor singular do argumento (Corrêa, 1992), (Doyle et alii, 1992), (Zhou et alii, 1996). Adaptando os resultados da seção 4 ao caso vetorial pode-se demonstrar o seguinte teorema.

Teorema 7.1: Se (i) ¶_rg_i³ ¶_riF + 1, (ii) ¶_riF = m_i > 0, (iii) F(s) é matriz racional n × n, estável e de fase mínima, (iv) g(s) é um vetor racional n × 1, sem pólos sobre o eixo imaginário, (v) = F^–1[(F^*)^–1g]₊ , sendo p_i = 1 – ¶_r

_i, i = 1,...,n, (vi) m, p e k são os multi-índices de coordenadas m_i, p_i, k_i respectivamente, então as conclusões do Teorema 4.4 permanecem válidas:

Se m ³ k ³ p, então o problema de minimização de J₂(K) sem restrições possui solução em , sendo esta solução única e dada por .

Se 0 £ k < p, então o problema de minimização de J₂(K) sem restrições não possui solução em qualquer espaço , sendo o ínfimo do funcional nestes espaços dado por J₂(), K_n = (s + 1)^k–p Î definindo uma seqüência minimizante em , isto é, J₂(K_n) ® J₂(), onde J₂() é o ínfimo de J₂(K) em (embora Ï ).

Se k ³ 1, se as restrições Q_c definem subconjuntos fechados de e se o conjunto de restrições W Ç Q, definido na seção 3, não é vazio, então o problema de minimização de J₂(K) para K Î W Ç Q possui solução única Î Ç .

Neste último caso, com m ³ k ³ p, o problema pode ser reescrito em como o da minimização de ||F(K – )– ||Fsob a condição K Î W Ç Q (um problema chamado, na literatura, de best approximation).

Em geral não é possível garantir que p £ m, mesmo sob a hipótese (i). Uma condição suficiente para garantir p £ m é dada pela hipótese (i) reunida à condição ¶_r(detF) = ¶_riF + ¶_r(M_ik) para todo i = 1,...,n, onde M_ik representa o determinante menor associado ao elemento F_ik⁴. Outra condição suficiente é ter J₂(K) = ||FK + B, isto é, o critério pode ser escrito como um único termo quadrático, onde B Î .

Em especial, se k_i ³ 1 para todo i, o problema de minimizar J₂(K) para K Î W Ç Q, sendo Q um conjunto convexo, fechado e limitado em e W um conjunto convexo, fechado e limitado em []ⁿ, possui solução única em , podendo ser reescrito como um problema de melhor aproximação se k_i ³ p_i, para todo i.

A metodologia indicada na seção 5 estende-se a este problema usando conjuntos geradores multivariáveis para os espaços produtos (k um multi-índice) formados pelos produtos dos conjuntos geradores propostos, como por exemplo, {(L_i,L_i,...,L_i) Î , i = 0,1,2...}, L₀(s) = 1 e L_i(s) definido em (12) para i > 0. Tanto os Lemas e o algoritmo proposto na seção 5 (aplicados coordenada a coordenada) quanto o Teorema 5.5 estendem-se de forma imediata, ressalvada a inevitável complexidade combinatória presente na dimensão do vetor de parâmetros K(s), multiplicada pelo número de elementos do conjunto gerador a ser usado, dependente este do controle do erro em cada coordenada de K(s). Este controle de erro pode ser realizado de forma diferenciada para diferentes coordenadas, se for interessante, pelo uso de conjuntos geradores onde a ordem cresce mais rapidamente nas coordenadas exigindo maior precisão.

8 CONCLUSÕES

Neste artigo apresentou-se um tutorial e um método direto de resolução do Problema H₂/H_¥, além de dois exemplos ilustrativos. Entre as vantagens do método proposto, pode-se citar a sua simplicidade e a ordem relativamente baixa das soluções aproximadas obtidas, dados os valores do critério. Com o auxílio do método dual (Corrêa et alii, 1997) torna-se possível medir a precisão da minimização do funcional de custo quadrático.

A apresentação cuidadosa da extensão da metodologia proposta à situação onde os vetores do conjunto gerador são escolhidos de forma a acelerar a convergência da seqüência aproximante, otimizando-se o critério quadrático J₂ sobre as restrições e sobre a posição dos pólos das funções do conjunto gerador, inicialmente apresentada em Ades (1999), será assunto de artigo ora em preparação.

Marcos Azevedo da Silveira Departamento Engenharia Elétrica, PUC-Rio

R. Marquês de São Vicente, 225, Rio de Janeiro, RJ, 22453-900

E-mail: [e-mail]

Artigo submetido em 10/05/01

1a. Revisão em 15/01/02

Aceito sob recomendação do Ed. Assoc. Prof. Liu Hsu

Apêndice 1: Dados dos exemplos.

Exemplo 1: Na tabela 5 encontram-se os coeficientes em ordem decrescente de grau, onde o último coeficiente é o de grau zero, dos polinômios do numerador e do denominador das funções de transferências de A(s), B(s) e F(s) do exemplo 1.

Os controladores reproduzidos na tabela 6, calculados pelo método proposto, podem ser colocados sob a forma de uma FT racional por meio de (50):

onde L₀(s), L₁(s), ... , L_n(s) são as funções de Laguerre, conforme definidas no exemplo 1 e q^t = [ a₀ a₁ ¼ a_n ] contém os coeficientes calculados de cada uma das funções.

Exemplo 2: As tabelas 7 e 8 seguem os mesmos formatos das correspondentes apresentadas para o exemplo 1.

Apêndice 2 : Exemplo onde p > m, isto é, J₂ (

) = ¥, apesar da hipótese (i) do Teorema 7.1 ser verificada.

Faça

F(s) =

e

g(s) =

Um cálculo direto mostra que:

det[(F^*)^–1] = –0,5(1 – s)(2 – s)(3 – s)(4 – s)

onde houve cancelamento de todos os termos de grau maior que zero no denominador do determinante.

Por outro lado, ¶_r(g_i) = 2 ³ 2 = ¶_ri(F) + 1, para i = 1,2. Calculando, mostra-se que [(F^*)^–1g] é estável, mas o grau relativo de suas duas coordenadas iguala -1. Mesmo fatorando [(F^*)^–1g] em , tem-se que

o que pode ser demonstrado formalmente aproximando em por funções K_q pertencentes a (para as quais o critério é finito), donde J₂(K_q) ® J₂() = ¥. Isto é, p > m neste caso.

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¹

A metodologia proposta por Youla e sua equipe difere essencialmente da utilizada no Problema Linear Quadrático (LQP) e no Problema Linear Quadrático Gaussiano (LQG), como apresentada em Athans e Falb (1966) e em Kwakernaak e Sivan (1972), não apenas pela abordagem freqüencial (que reencontra o enfoque original de Wiener), mas pela possibilidade de imposicão direta da estrutura do controlador. O ''problema do servomecanismo ótimo'' tratado no LQP pressupõe ou o rastreamento em média de sinais fixos e de quadrado integrável (donde não-persistentes) ou a adicão do modelo interno da classe de sinais a ser rastreada assintoticamente à planta a ser controlada e a mudanca de parte do controlador para cada novo sinal a ser rastreado assintoticamente. De fato, o controlador passa a ser afim, somando-se à parte linear um sinal, solucão de nova equacão dependente do sinal particular escolhido (Saeks e Murray, 1981). Naturalmente, no caso de rastreamento assintótico de sinais do tipo degrau, esta parte afim reduz-se à multiplicacão do valor assintótico pretendido por uma constante, como já mostrado em Athans e Falb (1966).

²

A demonstracão deste fato apoia-se em que ¶

_r(

) = ¶

_r([(F

^*)

^–1g]

₊) – ¶

_rF = ¶

_r([(F

^*)

^–1g]

₊) –

m, e em ||F

< ¥ Û ¶

_r

³ 1 –

m, donde

J

₂(

) < ¥ Û ||[(F

^*)

^–1g]

₊

< ¥ Û ¶

_r([(F

^*)

^–1g]

₊) ³ 1. Por outro lado, sob a hipótese ¶

_rg ³ ¶

_rF+1, temos que ¶

_r((F

^*)

^–1g) = ¶

_rg – ¶

_rF

^* = ¶

_rg – ¶

_rF ³ ¶

_rF + 1 – ¶

_rF = 1, mostrando que a função racional (F

^*)

^–1gÎ

L

². Assim sua projecão [(F

^*)

^–1g]

₊ pertence ao mesmo espaco, e ¶

_r([(F

^*)

^–1g]

₊) ³ 1. Em conseqüência,

J

₂(

) < ¥, isto é,

p £

m.

³

Lembrando que

é denso em

na topologia deste último (Silveira e Ades, 2000).

⁴

A demonstracão desta observacão pode ser feita completando a observacão ao Teorema 4.4 com o fato de, pelo Teorema de Cramer e pela fórmula de Laplace para o desenvolvimento de determinantes por colunas,

onde foi usada a condicão (i) e a condicão sobre o grau relativo de detF. No Apêndice mostra-se um exemplo onde, apesar da condicão (i) ser verificada,

p >

m, isto é,

J

₂(

) = ¥. A última condicão é conseqüência de g igualar a F

^*B, pois

J

₂(

K) = ||F

K

– 2ò[

K

^*F

^*

B]

_s=i

_w + ||

B

e

||[(F

^*)

^–1g]

₊

= ||[(F

^*)

^–1(F

^*)

B]

₊

= ||[

B]

₊

= ||

B

< ¥, por hipótese.

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  28 Fev 2003
• Data do Fascículo
  Set 2002

Histórico

• Revisado
  15 Jan 2002
• Recebido
  10 Maio 2001