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Sba: Controle & Automação Sociedade Brasileira de Automatica

Print version ISSN 0103-1759

Sba Controle & Automação vol.14 no.4 Campinas Nov./Dec. 2003

http://dx.doi.org/10.1590/S0103-17592003000400011 

Fluxo de potência continuando via equações de injeção de corrent

 

 

Luciano Contin Gomes Leite; Vander Menengoy da Costa

UFJF - Faculdade de Engenharia, Juiz de Fora, MG, Brasil. lucontin@hotmail.com, vandermcosta@uol.com.br

 

 


RESUMO

Este trabalho propõe o estudo do fluxo de potência continuado utilizando a formulação de injeção de corrente em coordenadas retangulares. As principais vantagens desta formulação, frente à metodologia polar convencional, são decorrentes principalmente da estrutura e da montagem da matriz Jacobiana, a qual é formada basicamente pelos elementos da matriz admitância nodal. As simulações realizadas em diversos sistemas testes, de diferentes portes e características, validam a metodologia proposta.

Palavras-chave: Sistemas Elétricos de Potência, Equações de Injeção de Corrente, Fluxo de Potência Continuado.


ABSTRACT

This paper proposes the continuation power flow using the current injection formulation in rectangular coordinates. The main advantages of this new approach, as compared with the polar conventional methodology, are mainly due to the Jacobian matrix structure, composed basically by the nodal admittance matrix elements. The simulations carried out using many different test systems, validate the proposed methodology.

Keywords: Electrical Power Systems, Current Injection Equations, Continuation Power Flow.


 

 

NOMENCLATURA

Vr + jVm coordenadas retangulares de tensão
VÐq coordenadas polares de tensão
g carregamento adicional do
sistema (p.u.)
D Ir + jDIm coordenadas retangulares dos resíduos
de corrente
Pk potência ativa líquida calculada na
barra k
Qk potência reativa líquida calculada na
barra k
potência ativa demandada na
barra k
potência reativa demandada na
barra k
potência ativa gerada na barra k
potência reativa gerada na barra k
D Vr + jDVm coordenadas retangulares dos resíduos
de tensão
F K conjunto de barras adjacentes à
barra k, incluindo a própria barra k
G + jB matriz admitância nodal

As variáveis sublinhadas representam vetores.

 

1 INTRODUÇÃO

A maioria dos estudos nas áreas de planejamento e operação de sitemas elétricos de potência, utiliza o cálculo do fluxo de potência visando, dentre outros objetivos, realizar a análise estática da estabilidade de tensão. Devido ao crescimento contínuo da demanda aliado à problemas ambientais e à falta de investimentos em geração e transmissão de energia elétrica, a estabilidade de tensão vem se tornando um ponto crítico para a operação dos sistemas de potência.

Uma das técnicas empregadas na análise da estabilidade de tensão é a obtenção do perfil das tensões nas barras, através de sucessivas soluções do fluxo de potência, obtidas aumentando-se o carregamento do sistema. O método convencional de solução do fluxo de potência é inadequado na obtenção do ponto de máximo carregamento, devido à singularidade da matriz Jacobiana neste ponto. Para contornar este problema, utiliza-se o método da continuação. A utilização deste método na formulação Newton completa (Cañizares, 1993) e na formulação desacoplada (Bijwe, 1997) tem sido estudada.

Em (Ajjarapu, 1992) é apresentado o modelo matemático do fluxo de potência continuado, utilizando como parâmetros de continuação o carregamento adicional do sistema, o módulo e o ângulo da tensão numa barra. No entanto, outras grandezas do sistema, tais como as perdas, os fluxos de potência em ramos e as gerações das máquinas tem sido utilizadas como parâmetros de continuação (Alves, 2000a e Alves, 2000b). Em (Flueck, 2000) utiliza-se o método da continuação parametrizado pela impedância/admitância de uma linha de transmissão.

Para a solução do fluxo de potência continuado são utilizadas as equações de potência injetada nas barras, expressas em termos das coordenadas polares da tensão. O objetivo principal deste trabalho é desenvolver formulações do mesmo problema utilizando as equações de injeção de corrente expressas em função das coordenadas retangulares da tensão.

 

2 FORMULAÇÃO DE INJEÇÃO DE CORRENTE

Em (Da Costa et alli, 1999) é apresentada uma formulação Newton-Raphson esparsa, na qual são utilizadas equações de injeção de corrente expressas em coordenadas retangulares. A matriz Jacobiana possui a mesma estrutura da matriz admitância nodal.

As componentes real e imaginária das correntes injetadas em uma barra genérica k são dadas por (Da Costa et alli, 1999):

O processo iterativo de Newton-Raphson para solução do fluxo de potência via equações de injeção de corrente, considerando-se um sistema genérico de n barras, sendo a barra l do tipo PV, é dado por (3) (Da Costa et alli, 1999).

Na Equação (3), a matriz Jacobiana de injeção de corrente (JI ) é de ordem (2n + m) x (2n + m), onde m é o número de barras PV. Observa-se também que as componentes imaginária e real do resíduo de corrente de uma barra genérica k, denotados por DImk e DIrk respectivamente, são calculados diferentemente para as barras PQ e PV. Para a barra PV, a potência reativa é tratada como uma variável de estado.

A característica mais importante desta matriz Jacobiana é o fato de que os blocos (2 x 2) fora da diagonal, são constituídos pelos elementos correspondentes da matriz admitância nodal, permanecendo constantes durante todo o processo iterativo. Por outro lado, os blocos (2 x 2) diagonais são atualizados a cada iteração, da seguinte forma:

Para a carga do tipo potência constante, tem-se que:

A atualização na forma polar, correspondente à formulação de injeção de corrente, referente à h-ésima iteração é dada por:

onde (Da Costa et alli, 1999):

A trajetória de convergência da formulação de injeção de corrente é idêntica àquela apresentada pela formulação convencional polar (Da Costa et alli, 1999).

 

3 FLUXO DE POTÊNCIA CONTINUADO VIA INJEÇÃO DE CORRENTE

O perfil de tensão mostrado na Figura 1 é obtido através de sucessivas soluções do problema de fluxo de potência convencional com variações na demanda do sistema, numa direção pré-determinada do crescimento da carga e geração. Porém, utilizando-se apenas o fluxo de potência convencional não é possível obter todo o perfil de tensão, uma vez que a matriz Jacobiana torna-se singular no ponto de colapso, impossibilitando a solução do fluxo de potência convencional nesta região da curva.

 

 

O único ponto de operação com solução única é o ponto de colapso do sistema, correspondente ao carregamento adicional máximo que o sistema suporta sem perder a estabilidade de tensão. A parte inferior da curva, que compreende as soluções abaixo do ponto de colapso, corresponde a pontos de operação instáveis. Um par de soluções de fluxo de potência para uma dada condição de carga pode fornecer informações importantes sobre as condições de estabilidade do sistema (Iba et alli, 1991 e Overbye, 1996).

Na aplicação do método de continuação ao problema de fluxo de potência, o primeiro passo é a inclusão de uma nova variável, que no caso específico é o carregamento adicional do sistema g. Assim, tem-se g = 0 para o caso base e g = gmax para o ponto de carregamento máximo. Incluindo-se esta variável nas equações (1) e (2), considerando-se o modelo de carga do tipo potência constante e a demanda adicional suprida somente pela barra de referência, obtém-se:

Cada nova solução do sistema é calculada através das etapas de predição e correção, mostradas na Figura 1. A partir da solução correta do ponto de operação A, realiza-se a estimativa na direção tangente com o passo de continuação pré-determinado. Obtém-se assim, o ponto estimado B¢ para o processo iterativo referente à próxima solução correta B. Quanto melhor for o processo de predição, menor será o esforço para obter a solução correta.

3.1 Passo Preditor

O processo de predição é feito através do vetor tangente [d dg]t obtido de (14) e (15), considerando o processo convencional de solução do fluxo de potência acrescido de uma variável, correspondente ao parâmetro de continuação. A inserção na matriz Jacobiana, da linha e coluna referentes a esta variável, garante a não singularidade desta matriz no ponto de colapso (Ajjarapu, 1992).

A cada etapa de predição é feita a escolha do parâmetro de continuação. Neste trabalho, esta escolha é feita mediante à análise da variação de cada estado entre os dois últimos pontos corretos (A e B da Figura 1). Aquele estado com maior variação percentual será o próximo parâmetro de continuação.

Enquanto o carregamento do sistema estiver afastado do ponto máximo, o parâmetro de continuação é o carregamento adicional g, por apresentar maior variação percentual em relação à variação de tensão nas barras. Ao se aproximar do ponto de colapso, com o aumento da variação de tensão, o parâmetro de continuação passa a ser o módulo da tensão em uma das barras de tensão variável PQ, sendo a barra aquela que apresentar a maior variação percentual de tensão entre os dois últimos pontos corrigidos da curva.

O processo de predição por carregamento é mostrado em (16), onde a linha adicional na matriz Jacobiana assegura que a variação no carregamento dg deve ser igual ao passo de variação do carregamento pg de forma que gfinal = ginicial ± dg. O sinal será positivo se o ponto de colapso ainda não tiver sido calculado e negativo em caso contrário, indicando a parte inferior da curva.

Os termos e representam, respectivamente, o negativo das derivadas de (14) e (15) em relação a g. Desta forma, considerando-se o modelo de carga do tipo potência constante, tem-se para cada barra k do sistema:

Quando k não possuir carga no caso base, os elementos correspondentes em (17) e (18) serão nulos.

Para o processo de predição por tensão, representado em (19), é necessário determinar primeiramente a barra k com maior variação percentual de tensão entre os dois últimos pontos corrigidos. Por não se ter a tensão de forma explícita nas barras do tipo PV na formulação injeção de corrente, a linha adicional na matriz Jacobiana dada por (12), assegura que a variação de tensão DVk na barra escolhida seja igual ao negativo do passo de variação de tensão pV de forma que = - DVk.

Com o vetor tangente calculado através de (16) ou (19), utiliza-se (12) e (13) de modo a obter este vetor em coordenadas polares. Desta forma, a estimativa B' é obtida a partir do ponto correto A da seguinte forma:

3.2 Passo Corretor

Tendo-se a estimativa B' através da utilização do vetor tangente, a solução correta B é então obtida especificando-se uma das variáveis de estado (valor este anteriormente estimado), e calculando-se o valor das variáveis de estado restantes. A escolha de qualquer uma das variáveis de estado como sendo o parâmetro de continuação resulta numa mesma solução.

A etapa de correção quando o parâmetro de continuação for o carregamento adicional é simplesmente a execução do fluxo de potência convencional aplicado no ponto estimado. De (21) obtém-se então, os valores de DVr e DVm corrigidos mediante um Dg pré-estabelecido.

A etapa de correção por tensão utiliza o processo iterativo de Newton-Raphson como mostrado em (22), onde os elementos e são obtidos da mesma forma que na predição por tensão e por carregamento. A equação adicional (12) deve ser satisfeita para a barra k que possui sua tensão como parâmetro de continuação. As vantagens da formulação de injeção de corrente quanto ao tempo e esforço computacional, multiplicam-se quando aplicada ao fluxo de potência continuado, pois apenas os elementos dos blocos da diagonal, das barras PV e da coluna adicional da matriz Jacobiana são calculados nas etapas de predição e correção. Todos os demais elementos permanecem constantes durante o processo de obtenção do perfil de tensão.

 

4 RESULTADOS

4.1 Sistemas Testes

A Tabela 1 apresenta as principais características dos sistemas testes utilizados. O sistema de 730 barras é um modelo equivalente da região Sudeste brasileira. A carga é do tipo potência constante. Foi adotada uma tolerância de 10 - 5 p.u. para a convergência do processo iterativo.

 

 

4.2 Resultados Básicos

Os resultados apresentados nesta subseção consideram os limites de geração das barras PV desativados e a demanda adicional do sistema suprida apenas pela barra de referência.

A Figura 2 mostra o perfil de tensão da barra 7 do sistema New England, obtido através das formulações convencional polar e injeção de corrente, considerando-se um passo de 10% para os parâmetros de continuação. Esta figura apresenta os pontos corrigidos obtidos durante o fluxo de potência continuado. Observa-se que ambas as formulações apresentam a mesma quantidade de pontos corrigidos e os mesmos valores de tensão em cada um destes pontos.

 

 

As Tabelas de 2 a 4 apresentam a trajetória de convergência de ambas as formulações, no processo de correção de alguns dos pontos mostrados na Figura 2. São apresentados os módulos dos resíduos máximos de potência ativa e reativa a cada iteração. Conforme já esperado, ambas as formulações apresentam características de convergência idênticas.

 

 

 

 

 

 

 

A Tabela 5 mostra os pontos de máximo carregamento, obtidos através da formulação de injeção de corrente. A barra crítica é definida pelas componentes do vetor tangente referentes às tensões nas barras no ponto de máximo carregamento. As Figuras 3 e 4 mostram tais componentes, para os sistemas IEEE 118 e 730 barras. Conforme a Tabela 5, a barra crítica do sistema 730 barras é a 1137, que corresponde à posição 650 da Figura 4. Obviamente, este conjunto de resultados condiz com aqueles obtidos utilizando-se a formulação polar convencional.

 

 

 

 

 

 

A Figura 5 mostra o perfil de tensão da barra 9033 referente ao sistema IEEE 300 barras, considerando-se o limite de geração reativa desativado e a demanda adicional suprida pela barra de referência. Observa-se que o valor do ponto de máximo carregamento coincide com aquele apresentado na Tabela 5.

 

 

4.3 Resultados Gerais

A Figura 6 mostra os perfis de tensão na barra 30 do sistema IEEE 30, considerando-se os limites de geração reativa das barras PV ativados ou não. A demanda adicional é suprida apenas pela barra de referência. Observa-se a importância da consideração destes limites no estudo do fluxo de potência continuado.

 

 

A Tabela 6 apresenta a trajetória de convergência de ambas as formulações no processo de correção do ponto 5 mostrado na Figura 6. Neste ponto, todas as barras do tipo PV apresentam seus limites de geração reativa violados.

 

 

A Figura 7 mostra as curvas de continuação da tensão na barra 47 do sistema IEEE 118, considerando-se que a demanda adicional ativa é suprida pela barra de referência ou por todas as unidades disponíveis. Os limites de geração de reativos estão desativados. Observa-se que a margem de carregamento pode ser aumentada quando a demanda adicional é distribuída entre todas as unidades de geração do sistema.

 

 

A Tabela 7 apresenta a trajetória de convergência de ambas as formulações no processo de correção do ponto 19 mostrado na Figura 7. Conforme esperado e mostrado nas Tabelas 6 e 7, as formulações apresentam características de convergência idênticas.

 

 

A Figura 8 mostra o perfil de tensão da barra 1137 do sistema 730 barras, considerando-se os limites de geração ativados ou não, sendo a demanda adicional suprida pela barra de referência. Observa-se novamente a importância da consideração dos limites de geração de potência reativa nos estudos de fluxo de potência continuado.

 

 

4.4 Eficiência Computacional

A Tabela 8 mostra a relação entre os tempos computacionais apresentados pelas formulações de injeção de corrente () e polar () na obtenção da curva de continuação.

 

 

Analisando a Tabela 8 percebe-se a grande vantagem computacional decorrente da aplicação da formulação de injeção de corrente no problema do fluxo de potência continuado.

 

5 CONCLUSÕES

Neste trabalho foi proposta a utilização da formulação de injeção de corrente na análise do fluxo de potência continuado. A metodologia proposta foi altamente satisfatória, tendo em vista os resultados apresentados.

Além da formulação de injeção de corrente apresentar as mesmas características de convergência da formulação polar convencional, tanto no processo de predição, quanto no de correção do ponto, sua utilização propicia uma grande redução no esforço computacional, devido principalmente ao cálculo da matriz Jacobiana a cada passo do processo iterativo.

Tendo em vista a importância do fluxo de potência continuado nas áreas de planejamento e de operação, a metodologia proposta constitui-se numa ferramenta de grande valia na análise dos problemas atuais concernentes à estabilidade de tensão dos sistemas elétricos de potência.

 

REFERÊNCIAS

Ajjarapu, V. and C. Christy (1992). The Continuation Power Flow: A Tool for Steady State Voltage Stability Analysis. IEEE Transactions on Power Systems, vol. 7, No. 1, February.         [ Links ]

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Da Costa, V. M., N. Martins and J. L. R. Pereira (1999). Developments in the Newton Raphson Power Flow Formulation Based on Current Injections. IEEE Transactions on Power Systems, vol. 14, No. 4:1320-1326, November.         [ Links ]

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Artigo submetido em 20/12/2001
1a. Revisão em 3/6/2002
2a. Revisão 22/11/2002
Aceito sob recomendação do Ed. Assoc. Prof. Glauco N. Taranto