Alocação robusta de pólos através de realimentação de estados dependente de parâmetros

SISTEMAS LINEARES

Alocação robusta de pólos através de realimentação de estados dependente de parâmetros

Valter Júnior de Souza Leite^I; Vinícius Foletto Montagner^II; Pedro Luis Dias Peres^II

^IUnED Divinópolis - CEFET-MG, R. Monte Santo, 319, 35502-036, Divinópolis - MG - Brasil, [e-mail]

^IIFaculdade de Engenharia Elétrica e de Computação, Universidade Estadual de Campinas, CP 6101, 13081-970, Campinas - SP - Brasil, [e-mail], [e-mail]

RESUMO

Uma condição suficiente para a existência de uma realimentação de estados robusta dependente de parâmetros é apresentada neste trabalho. A condição é verificada através do teste de factibilidade de um conjunto de desigualdades matriciais lineares. A realimentação obtida garante ainda a alocação robusta dos pólos de malha fechada de sistemas lineares incertos em uma região circular do plano complexo, através da existência de uma função de Lyapunov dependente de parâmetros. Exemplos ilustram os resultados.

Palavras-chave: Alocação robusta de pólos, realimentação de estados dependente de parâmetros, função de Lyapunov dependente de parâmetros, desigualdades matriciais lineares, incertezas politópicas.

ABSTRACT

A sufficient condition for the existence of a robust parameter dependent state feedback gain is presented. This condition is formulated as a feasibility test of a set of linear matrix inequalities. Moreover, the feedback gain assures to the uncertain closed-loop system a robust pole location inside a prespecified circular region in the complex plane, by means of a parameter dependent Lyapunov function. Examples illustrate the results.

Keywords: Robust pole placement, parameter dependent state feedback, parameter dependent Lyapunov function, linear matrix inequality, polytopic uncertainty.

1 INTRODUÇÃO

Em geral, os processos industriais sofrem ações de fatores externos como temperatura, umidade, pressão, ponto operacional, etc. Esses elementos afetam a dinâmica dos processos e precisam ser considerados no projeto de controladores. Outra situação bastante comum é a dos processos em batelada. Nesses casos, as condições operacionais podem ser completamente diferentes de uma execução para outra. Na maioria das vezes, essa relação entre os elementos que caracterizam a dinâmica do sistema e as condições operacionais do processo pode ser representada por modelos lineares com parâmetros incertos.

Nas últimas décadas, algumas abordagens para a análise e projeto que consideram as incertezas associadas ao sistema têm sido estudadas. Podem ser destacadas abordagens no domínio da freqüência como a análise m (Packard et al., 1993), de controle robusto (Zhou et al., 1996), por análise convexa e otimização utilizando desigualdades matriciais lineares (em inglês, Linear Matrix Inequalities ou LMIs) (Boyd et al., 1994), em controle adaptativo (Åström e Wittenmark, 1995) e as abordagens chamadas algébricas (Barmish, 1994).

Para as abordagens baseadas em controle robusto no espaço de estados, pode-se dizer que o ponto fundamental é a obtenção de uma função de Lyapunov que garanta a estabilidade do sistema. Diversas formulações podem ser encontradas na literatura dependendo da forma pela qual é expresso o conjunto de incertezas do sistema dinâmico. Um problema típico nesses casos é a obtenção de uma lei de controle por realimentação de estados que garanta a estabilidade em malha fechada do sistema incerto (Bernussou et al., 1989), (Boyd et al., 1994). Outra questão imediata é a obtenção de controladores estabilizantes que garantam alguma especificação de desempenho para o sistema em malha fechada, expressa por exemplo através de uma região para a alocação dos pólos (Chilali et al., 1999).

Nessa direção, resultados baseados na estabilidade quadrática (Barmish, 1994) podem ser facilmente encontrados, alguns utilizando as normas

₂ e ¥ como índices de desempenho (Geromel et al., 1993), (Khargonekar e Rotea, 1991). Entretanto, essa abordagem tende a fornecer resultados muito conservadores por utilizar uma única função de Lyapunov fixa para todo o domínio de incertezas do sistema. Isso torna admissível taxas infinitas para as variações paramétricas, o que é pouco razoável do ponto de vista prático. Assim, como forma de obter resultados menos conservadores para a análise de estabilidade e o projeto de controladores, a construção de funções de Lyapunov dependentes de parâmetros é de grande interesse (Feron et al., 1996).

Neste trabalho são considerados os sistemas lineares com parâmetros incertos que não dependem explicitamente do tempo, isto é, as variações dos parâmetros ocorrem devido a alterações nas condições externas ao sistema. Os resultados se aplicam a variações de parâmetros que ocorram com taxas suficientemente pequenas para permitir a acomodação dinâmica do sistema (slowly time-varying parameters (Dahleh e Dahleh, 1991), (Solo, 1994)).

A principal contribuição deste trabalho é a proposição de uma condição suficiente para a obtenção de um ganho de realimentação de estados estabilizante e dependente de parâmetros. O resultado pode ser visto como uma extensão para problemas de síntese da condição de estabilidade robusta proposta em (Ramos e Peres, 2001), (Ramos e Peres, 2002). Esse ganho, baseado em uma função de Lyapunov dependente de parâmetros, garante a alocação dos pólos de malha fechada do sistema no interior de um círculo de raio r e centro em (-d, 0), assegurando portanto além da estabilidade uma especificação de desempenho para todo o sistema incerto. A alocação de pólos em uma região circular permite ao projetista impor especificações de desempenho como fator de amortecimento, limitação da freqüência natural e da freqüência natural amortecida, podendo suprir assim uma grande variedade de exigências práticas.

A condição proposta é apresentada na forma de um teste de factibilidade para um conjunto de desigualdades matriciais lineares descritas nos vértices do politopo de incertezas, que podem estar presentes tanto na matriz dinâmica como na matriz de controle. Exemplos ilustram os resultados, propiciando alocações robustas em situações nas quais não é possível obter um ganho robusto constante derivado da estabilizabilidade quadrática (Bernussou et al., 1989), nem tampouco por uma extensão para alocação em região circular de um resultado recente de controle robusto constante a partir de LMIs e de função de Lyapunov dependente de parâmetros (de Oliveira et al., 1999).

2 PRELIMINARES

Considere um sistema linear contínuo no tempo descrito por

com x Î ⁿ, u Î ^m, A(a) Î ^n×n, B(a) Î ^n×m. Suponha que as matrizes A(a) e B(a) pertençam a um politopo dado por

sendo (A, B)_j, j = 1, ¼, N os vértices desse politopo. O sistema incerto (1) pode possuir parâmetros variantes, embora a não dependa explicitamente do tempo, sendo admitidas taxas de variação suficientemente pequenas de forma a garantir o tempo de acomodação necessário às perturbações oriundas de tais variações.

O objetivo deste trabalho é determinar um ganho dependente de parâmetros K(a) Î ^m×n para a lei de realimentação de estados u(t) = K(a)x(t), de maneira a garantir a alocação robusta dos pólos de malha fechada do sistema (1) no interior de um círculo de raio r e centro em (-d, 0), ilustrado na Figura 1.

Note que essa especificação para os pólos do sistema em malha fechada garante que toda a dinâmica está limitada por exponenciais com decaimento no intervalo -d±r e freqüências (parte imaginária dos pólos) menores ou iguais a r. Em particular, para sistemas de segunda ordem, essa região de alocação garante um fator de amortecimento (no pior caso) dado pelo cosseno do ângulo determinado pela reta que tangencia o círculo e passa pela origem, e máxima freqüência natural amortecida limitada pelo raio do círculo. É importante observar que esses valores de pior caso não ocorrem simultaneamente.

Uma matriz A Î ^n×n, precisamente conhecida, possui todos os seus autovalores localizados no interior de um círculo de raio r e centro em (-d, 0) se e somente se existir W Î ^n×n simétrica definida positiva tal que (veja (Haddad e Bernstein, 1992))

sendo

Se a matriz A for considerada incerta, pertencente a um politopo com vértices A_j, j = 1, ¼, N, uma condição suficiente para garantir a localização de todos os autovalores de A Î é obtida a partir de (3), aplicando-se o complemento de Schur (Albert, 1969) e usando a convexidade da formulação. Assim, se existir uma matriz simétrica definida positiva W Î ^n×n, que satisfaça

em que d é dado por (4) e

então todos os autovalores de estão inteiramente contidos no círculo de raio r e centro (-d, 0). A convexidade de (5) garante (quadraticamente, isto é, através da existência de uma mesma matriz W verificando a condição nos vértices do politopo) a alocação robusta dos pólos das matrizes A Î .

O problema da realimentação de estados com alocação robusta de pólos utilizando desigualdades matriciais lineares é tratado na próxima seção. Inicialmente, duas condições para alocação robusta de pólos (com ganho K constante) são apresentadas. A primeira delas é baseada nos resultados já conhecidos da estabilidade quadrática (Garcia e Bernussou, 1995), e tem sido utilizada amplamente na literatura, inclusive com índices de desempenho baseados em normas ₂ ou ¥, para projetos de controladores e de filtros robustos (Bambang et al., 1993), (Chilali et al., 1999), (Peres, Guaitoli e Umezu, 1994), (Palhares e Peres, 1999), (Peres, Umezu e Guaitoli, 1994). A segunda condição é baseada em um resultado de estabilidade robusta recentemente publicado (de Oliveira et al., 1999), aqui estendido para permitir a alocação de pólos na região desejada. Em seguida, é apresentada a principal contribuição deste trabalho, uma condição suficiente para a existência de um ganho robusto de realimentação de estados, dependente de parâmetro, que aloca os pólos de malha fechada de um sistema incerto em uma região circular como definida pela Figura 1.

3 CONDIÇÕES PARA ALOCAÇÃO ROBUSTA

Utilizando (5) e condições de estabilizabilidade quadrática clássicas da literatura (Bernussou et al., 1989), pode-se formular uma condição para a alocação robusta dos pólos de malha fechada de um sistema.

Lema 1 Se existir uma matriz Z Î ^m×n e uma matriz simétrica definida positiva W Î ^n×n tais que, para j = 1, ¼,N

então¹K = ZW^-1assegura à malha fechada do sistema incerto (A, B)(a) Î a alocação robusta dos pólos na região desejada.

Prova: A equação (7) vem da LMI (5), substituindo A_{d j} pela matriz dinâmica de malha fechada A_j + dI+ B_jK, e fazendo KW = Z.

Uma condição para a análise da estabilidade robusta de sistemas discretos incertos foi proposta em (de Oliveira et al., 1999). A vantagem desta condição em relação ao resultado da estabilizabilidade quadrática está na utilização de uma matriz de Lyapunov dependente de parâmetros. Uma extensão deste resultado, para a alocação robusta de pólos através da realimentação de estados, é apresentada no lema a seguir, que produz resultados menos conservadores do que os do Lema 1.

Lema 2Se existirem N matrizes simétricas definidas positivas P_j Î ^n×n e matrizes L Î ^m×n e G Î ^n×n tais que

então K = LG^-1é um ganho de realimentação robusta de estados e P(a) dado por

é uma matriz de Lyapunov dependente de parâmetros que garante à malha fechada do sistema (A, B)(a) Î alocação robusta de pólos dentro da região especificada na Figura 1.

Prova: Note que, com L = KG e para j = 1, ¼,N (8) é equivalente a

Multiplicada à esquerda por

e à direita por T¢, por a_j e somando em j (veja (de Oliveira et al., 1999) para detalhes) implica em

que, por sua vez, com d = r + d, escreve-se

Substituindo P(a)/r = W(a), tem-se

garantindo, conforme a equação (3), com a função de Lyapunov dependente de parâmetros W(a), a alocação desejada.

Os lemas 1 e 2 apresentam condições suficientes, formuladas em termos de desigualdades matriciais lineares, para a obtenção de um ganho fixo que garante a alocação robusta de pólos. A condição apresentada no Lema 2 fornece resultados menos conservadores que os obtidos através do Lema 1 (baseados na estabilizabilidade quadrática), devido à utilização de uma matriz de Lyapunov dependente de parâmetros. No entanto, existem situações em que um ganho fixo não é capaz de alocar robustamente todo o politopo; nesses casos, a utilização de um ganho dependente de parâmetros pode eventualmente fazer a alocação. O teorema a seguir apresenta uma condição suficiente para a obtenção de um ganho dependente de parâmetros que assegura a alocação robusta de pólos do sistema incerto em malha fechada na região circular da Figura 1.

Teorema 3Se existirem N matrizes simétricas definidas positivas W_j = Î ^n×n e N matrizes Z_j Î ^n×m tais que (13)-(15) sejam satisfeitas,

com

com A_{d j} dado em (6), então o ganho de realimentação de estados dependente de parâmetros dado por

com

e

garante à malha fechada do sistema incerto a alocação de pólos no interior do círculo de raio r e centro em (-d, 0), d = d + r. Além disso, a função de Lyapunov dependente de parâmetros W(a) satisfaz (12) para todo (A, B)(a) Î .

Prova: É claro que W(a) dado por (26)-(27) é uma matriz de Lyapunov definida positiva. Aplicando o complemento de Schur em (12), com K substituído por K(a), e definindo a mudança de variáveis Z(a) = K(a)W(a), é possível escrever (o lado direito foi multiplicado por a_j = 1):

Usando (13)-(15) e lembrando que a _j> 0, tem-se

Essa última relação pode ser verificada notando que

com Q e W definidos como:

4 EXEMPLOS

Alguns exemplos numéricos simples mostram que a alocação robusta nem sempre pode ser realizada por um ganho constante através dos lemas 1 e 2, e que com os resultados do Teorema 3 pode-se obter um ganho dependente de parâmetros que faz a alocação desejada.

Considere primeiramente o sistema incerto contínuo no tempo representado por (1)-(2) com vértices

Note que A₁ e A₂ são instáveis, com autovalores em 2.56, -2.91 (vértice 1) e 1.06 ±3.29i (vértice 2). Deseja-se alocar os pólos do sistema em malha fechada dentro do círculo de raio r = 3 centro em (-10,0) (d = 10, d = 7). As condições dos lemas 1 e 2 revelam-se infactíveis para tal alocação; usando o Teorema 3, os pólos são alocados na região desejada, conforme ilustrado na Figura 2.

As matrizes W₁, W₂, Z₁ e Z₂, solução do problema de factibilidade, são dadas por

e o ganho K(a) escreve-se como em (25) para todo a₁> 0, a₂> 0, a₁ + a₂ = 1. A Figura 3 mostra o comportamento não linear dos elementos k₁₁ e k₁₂ de K(a) em função de a₁.

Se, no entanto, o círculo for centrado em (-4,0) (d = 4, d = 1) a condição do Lema 2 consegue uma alocação robusta com um ganho dado por

Ainda nessa última condição, o Lema 1 permanece infactível. Note que a alocação do círculo com centro nessa posição não proporciona um tempo de acomodação tão rápido quanto o relacionado com o posicionamento de pólos da Figura 2.

Como segundo exemplo, considere o sistema discreto no tempo, com equação dinâmica x_k+1 = Ax_k + Bx_k, (A, B) Î e vértices dados por

Note que A₁ e A₂ são instáveis, com autovalores em -0.1, -1.1 (vértice 1) e 0.2, 1.3 (vértice 2). Como região para alocação dos pólos escolheu-se o círculo de raio r = 0.3 e centro em (0.3, 0) (d = -0.3, d = -0.6). Aplicando o resultado do Teorema 3, encontra-se um ganho dependente de parâmetros que satisfaz a especificação de região (os autovalores do sistema incerto são mostrados na Figura 4); novamente, tanto a condição proposta no Lema 1 (baseada na estabilizabilidade quadrática) quanto a do Lema 2 falham.

O ganho dependente de parâmetros K(a) é calculado através de (25)-(27). O comportamento não linear dos elementos de K(a) é mostrado na Figura 5.

Como terceiro exemplo, um sistema contínuo no tempo de maior complexidade (4 estados) é analisado, tendo 4 vértices definidos pelas matrizes

Os vértices, todos instáveis, possuem autovalores localizados em -87.48, 55.07, 1.37±2.87i (vértice 1), -21.07±52.21i, 1.09±2.50i (vértice 2), -18.70±84.34i, 0.24 ±1.31i (vértice 3), -76.06, 28.39, -2.72 e 4.37 (vértice 4). Deseja-se fazer a alocação em um círculo de raio r = 5, centrado em (-10,0) (d = 10, d = 5). Apenas a condição do Teorema 3 possui uma solução factível, resultando em um ganho dependente de parâmetros que faz a alocação desejada. Na Figura 6 são mostrados os pólos do sistema incerto em malha fechada.

5 CONCLUSÃO

Foi apresentada uma condição suficiente para a alocação robusta de pólos em um círculo no plano complexo utilizando um ganho dependente de parâmetros. Exemplos mostraram que essa condição fornece bons resultados, obtendo ganhos robustos quando outras condições (baseadas em um ganho constante) falham. A condição proposta é verificada por um teste de factibilidade de um conjunto de desigualdades matriciais lineares, descritas apenas nos vértices do politopo de incertezas associado ao sistema, que pode ser resolvido eficientemente por algoritmos de complexidade polinomial.

AGRADECIMENTOS

Os autores agradecem o apoio das agências CAPES, CNPq, FAPEMIG (TEC 1233/98) e FAPESP, e também as sugestões dos revisores anônimos.

Artigo submetido em 26/06/02

1a. Revisão em 26/09/02; 2a. Revisão em 10/04/03

Aceito sob recomendação do Ed. Assoc. Prof. Takashi Yoneyama

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1

O símbolo

denota o transposto do bloco diagonalmente oposto.

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  13 Ago 2004
• Data do Fascículo
  Jun 2004

Histórico

• Aceito
  04 Ago 2003
• Recebido
  12 Abr 2002
• Revisado
  29 Out 2002