Análise de simplificação na modelagem dinâmica aplicada a robôs quadrúpedes

Análise de simplificação na modelagem dinâmica aplicada a robôs quadrúpedes

Tarcísio A. Pizziolo^I; Luiz de S. Martins-Filho^II; Peterson de Resende^III; José Luiz Silvino^III

^IUFV/DEA, Av. P.H. Rolfs s/n 36571-000 Viçosa - MG, [e-mail]

^IIUFOP/DECOM/ICEB, Campus Universitário 35400-000 Ouro Preto - MG, [e-mail]

^IIIUFMG/CPDEE, Av. Antonio Carlos, 6627 - Pampulha 31270-901 Belo Horizonte - MG, [e-mail], [e-mail]

RESUMO

Este trabalho apresenta o estudo da modelagem dinâmica de uma perna de robô quadrúpede utilizando a formulação de Euler-Lagrange, e uma comparação dos modelos com o protótipo do mecanismo construído em laboratório. Na modelagem, destaca-se o efeito das matrizes C(q,dq/dt) e G(q) (forças centrífugas e de Coriolis, e os torques devido às forças gravitacionais, respectivamente). O objetivo é investigar os efeitos de uma simplificação do modelo, desconsiderando essas matrizes no modelo dinâmico desenvolvido para um robô quadrúpede. Esta situação é discutida em função da relevância das massas dos elos e velocidades linear e angular que os elos da perna do robô desenvolvem em seus movimentos. Busca-se propor um modelo dinâmico simplificado, baseado na formulação Euler-Lagrange, para robôs quadrúpedes de pequeno porte. Resultados apresentados em simulações com e sem a aplicação das matrizes C(q,dq/dt) e G(q) mostram respostas com semelhanças significativas quanto à simplificação no modelo dinâmico. Finalizando o trabalho, é feita uma análise dos resultados de simulações numéricas (com e sem simplificação) e dos resultados experimentais obtidos em laboratório.

Palavras-chave: Robôs caminhantes, robótica móvel, modelagem dinâmica.

ABSTRACT

This work presents the application of Euler-Lagrange formulation in dynamics modelling of the quadruped robot leg mechanism, and a comparison of performance between these models with experimental results using a leg prototype. In this formulation, the effects of C(q,dq/dt) and G(q), matrices representing centrifugal and Coriolis forces and gravitational torques, are analyzed. A possible simplification in the Euler-Lagrange formulation is studied concerning the modelling of leg mechanism. This simplification is discussed considering the links mass, and the linear and angular speeds that the leg executes during the walk. The goal is to propose a simplified dynamic model based on the Euler-Lagrange formulation for small quadruped robots. The results obtained by numerical simulations, with and without C(q,dq/dt) and G(q) considered in the model, show similar performances. A comparison and analysis of the simulations results and experimental results close the paper.

Keywords: Walking robots, mobile robotics, dynamics modelling.

1 INTRODUÇÃO

Robôs móveis bem adaptados à locomoção em diferentes ambientes (estruturados e não estruturados) vêm ganhando destaque com o desenvolvimento da robótica de serviço e de intervenção. Nesse sentido, muitas propostas de arquiteturas de controle de robôs móveis têm surgido no sentido de dotá-los de autonomia e capacidade de planejamento de tarefas e/ou reações a eventos e estímulos (e.g. Baroni et al., 1995; Medeiros et al., 1996).

As soluções propostas para afrontar solos muito restritivos e irregulares, no que tange o tipo de locomoção, utilizam desde rodas adaptadas e lagartas até mecanismos de pernas (inspiradas ou não em mamíferos e insetos). A utilização de pernas tem obtido resultados muito promissores para aplicações nos casos mais críticos. É curioso observar que este tipo de locomoção, presente desde as primeiras idéias sobre robótica, volta a ganhar ultimamente o interesse de diversos pesquisadores e laboratórios.

Alguns exemplos de trabalhos significativos envolvendo robôs com pernas: Hirose et al. (1989) - arquitetura de supervisão e controle de marcha; Klein e Kittivatcharapong (1990) - distribuição de forças; Vukobratovic et al. (1990) - dinâmica e controle; Pack e Kang (1995) - controle de marcha; Perrin et al. (1997) - simulação da dinâmica do sistema plataforma/pernas; Tanie (2001) - novos desafios para os robôs caminhantes; Schneider e Schmucker (2001) - controle em força de robô caminhantes.

1.1 Contexto do estudo

Um robô caminhante pode ser visto como sendo um sistema dinâmico multi-corpos articulado, composto de uma plataforma (o corpo do robô) e de mecanismos de pernas que se assemelham a braços robóticos manipuladores. Para o controle de locomoção do robô, uma abordagem muito utilizada é a baseada no controle em força, i.e., esforços são realizados pelas juntas ativas do sistema (torques) produzindo forças de contato entre extremidades de pernas e o solo (Hirose et al., 1989; Martins-Filho e Prajoux, 2000; Schneider e Schmucker 2001). Desta forma obtém-se as acelerações lineares e angulares dos componentes do sistema (a plataforma e os elos das pernas), movimentando o robô para a realização da tarefa de locomoção requerida.

Portanto, nesta abordagem, para controlar a posição e velocidade do robô caminhante, é necessário conhecer o modelo dinâmico deste sistema para determinar os esforços que devem ser produzidos pelos atuadores (Cunha et al., 1999). O modelo dinâmico relaciona as posições, velocidades e acelerações das juntas do robô, com os torques aplicados pelos atuadores, de acordo com a tarefa a ser executada, considerando as características de massa, geometria e inércia do sistema.

As formulações mais utilizadas na obtenção de modelo dinâmico de robôs são: Newton-Euler, Euler-Lagrange e as equações generalizadas de D'Alambert (Craig, 1986; Asada, 1986; Fu et al.,1887). Neste trabalho utilizou-se a formulação de Euler-Lagrange (Spong et al., 1989), que explicita as matrizes que relacionam as forças centrífugas e de Coriolis bem como os torques devido às forças gravitacionais. Essas matrizes, denominadas C(q,dq/dt) e G(q), respectivamente, foram analisadas neste trabalho quanto à possível desconsideração destas no modelo dinâmico desenvolvido para um robô quadrúpede. Essa situação é discutida e investigada em função da relevância das massas dos elos e velocidades linear e angular que os elos da perna do robô desenvolvem em seus movimentos.

O objetivo deste trabalho é analisar os efeitos de uma simplificação na equação dinâmica para robôs quadrúpedes de pequeno porte através de resultados obtidos em simulações com e sem a aplicação das matrizes C(q,dq/dt) e G(q), e resultados experimentais obtidos com o protótipo de mecanismo de perna desenvolvido em laboratório do CPDEE/UFMG.

A Figura 1 mostra a configuração do robô quadrúpede que está sendo desenvolvido, composto por uma plataforma quadrada (denominada corpo do robô) suportada por quatro mecanismos de perna. O protótipo de mecanismo de perna, em sua versão atual, está mostrado na Figura 2.

2 MODELAGEM DINÂMICA DO MECANISMO DE PERNA

O modelo utilizado neste trabalho não leva em conta a dinâmica dos atuadores (motores e caixas de redução), bem como as forças devido a atrito (de Coulomb e viscoso). Além disso, os elos do robô são considerados rígidos. Seja q_i = q_i o ângulo da i-ésima junta de revolução (num total de três), a localização completa de cada perna é dada pelo vetor de coordenadas generalizadas q = [q₁q₂q₃].

Partindo-se das energias cinética e potencial, denominadas E_c e E_p respectivamente, a definição do Lagrangiano de um sistema conservativo fornece:

As equações do movimento deste sistema dinâmico são dadas por:

onde L(q, dq/dt) = E_c - E_p, e Q_i é o vetor de forca generalizada correspondente à coordenada generalizada q_i. Sendo aditiva a energia cinética, a energia cinética total E_c armazenada em cada perna é dada pela soma da energia cinética de cada elo, K_i

Considerando a velocidade linear (do centro de massa) de cada elo, o vetor dp_i / dt, e a velocidade angular w_i, pode-se escrever :

onde = i-ésimos vetores linha da matriz J_3x3 para velocidades lineares dos elos 1, 2 e 3, e = i-ésimos vetores linha da matriz J_3x3 para velocidades angulares dos elos 1, 2 e 3 que compõem a perna. A energia cinética armazenada em cada elo é dada pela soma dos termos de energia cinética translacional e rotacional do elo i:

onde m_i e I_i são massa e o tensor de inércia do centro de massa expresso no sistema de coordenada da base, respectivamente. Substituindo as Equações (31) e (32) na Equação (33) tem-se a equação da energia cinética total para cada perna do robô (com três graus de liberdade).

Definindo a matriz H(q) como uma matriz quadrada simétrica baseada nos tensores de inércia individuais de cada elo obtém-se:

A matriz H(q) contém todas as propriedades de massa da perna e é denominada de matriz tensor de inércia. Seus elementos H_ii(q) representam as inércias efetivas e os elementos H_ij(q), com i ¹ j, as inércias de acoplamento. Assim a Equação (6) pode ser reescrita de forma compacta.

A energia potencial E_p para uma perna rígida é devida unicamente à gravidade. O vetor g representa a aceleração da gravidade. A energia potencial total armazenada em cada perna é então dada por:

onde r_i é a posição do centro de massa de cada elo no sistema de coordenadas da base.

Através da formulação Lagrangiana obtém-se a equação do movimento para o referido sistema dinâmico, o mecanismo de perna, usando as energias cinética e potencial e as forças e momentos que agem na perna, com exceção das forças gravitacionais e inerciais (forças generalizadas). Assim:

Considerando que:

A derivada temporal de H_ij é dada por:

Para a Equação (15), a derivada parcial de r_j com relação a q_i é igual ao elemento j do i-ésimo vetor coluna da matriz Jacobiana J_L (velocidades lineares). Desta maneira pode-se escrever:

Este termo é também denominado termo gravitacional e é representado por G_i.

Substituindo os elementos calculados acima na equação original da formulação de Lagrange, obtém-se:

A Equação (18) pode ser reescrita de uma forma mais compacta como se segue:

D(q) é uma matriz 3x3 representando os torques inerciais, incluindo os torques de interação entre os elos, C(q,dq/dt) é uma matriz de ordem 3x3 que representa as forças centrífugas e de Coriolis e G(q) representa os torques devido às forças gravitacionais. ué um vetor 3x1 de torques para o controle a ser calculado, J(q) é a matriz Jacobiana 3x3 e F_e é o vetor 3x1 de forças/torques generalizados impostos à perna pelo meio ambiente no espaço de trabalho expresso no sistema de coordenadas da base (Asada, 1986; Cunha et al., 1999).

2.1 Cálculo das matrizes D, C e G

Devido ao fato de cada perna do quadrúpede possuir controle e acionamento independentes, o modelo dinâmico do robô é determinado através da integração dos modelos dinâmicos de cada perna e do corpo. Para a determinação do modelo dinâmico de cada perna foi necessário explicitar os elementos das matrizes D(q), C(q,dq/dt) e G(q). Tais matrizes foram montadas através das equações do modelo cinemático proposto para o robô quadrúpede. Pela cinemática direta (adotando-se a convenção de Denavit-Hartenberg) foi obtido o vetor x de posição do pé do robô, x = [x_p y_p z_p]^T. Assim:

onde foi adotada uma notação simplificada: c_i = cos(q_i) , c_ij = cos(q_i+q_j), s_i = sen(q_i) , s_ij = sen(q_i+q_j). A matriz Jacobiana J(q) é determinada como a seguir:

As velocidades lineares e angulares dos elos em relação a seu centro de massa são dadas por:

A matriz D(q) pode então ser determinada como sendo:

onde m₁, m₂ e m₃ são as massas dos elos, e I₁, I₂ e I₃ os momentos de inércia referidos ao centro de massa de cada elo.

A matriz C(q,dq/dt) é composta dos elementos h_ijk que multiplicam o vetor dq/dt. Os elementos h_ijk são calculados a partir da matriz D(q) pela equação h_ijk = (¶D_ij/¶q_k).

Então:

A matriz G(q) é dada por .

Utilizando a equação dinâmica do sistema, pode-se representá-la isolando o vetor de aceleração d²q/dt² para obter a dinâmica direta e conhecer o vetor de estados desenvolvido pelo robô. Assim:

onde a matriz D(q) é inversível (o desenho da perna evita situações de singularidade onde esforços são impossíveis de ser produzidos). Para calcular o vetor de posição q = [q₁ q₂q₃]^T referente aos ângulos de acionamento/posicionamento da perna determina-se dq/dt pela equação anterior e aplica-se um integrador.

3 ANÁLISE DAS MATRIZES C E G

O problema de controle de posição para um sistema representado pela formulação Lagrangiana pode ser resolvido através do uso de um controlador do tipo Proporcional Derivativo (PD). Definindo uma lei de controle em malha fechada, onde u atua como vetor de torques a serem aplicados. A expressão deste controle é (Bucklaew et al., 1999):

onde K_pe K_d são matrizes definidas positivas de valores constantes de ganhos, e = (q_d - q) é o erro de posição.

Aplicando esta lei de controle emd²q/dt² pode-se então determinar o vetor dq/dt e, por integração, calcular o vetor q para a posição desejada. Nesta equação aparecem explicitamente as matrizes C(q,dq/dt) e G(q), as quais devem ser calculadas a cada variação do vetor q. Em se tratando de sistemas com graus de liberdade maior ou igual a três, como nesse caso, o cálculo de C(q,dq/dt) requer um número de operações considerável em termos de processamento. Em se tratando de sistemas que devem atuar em tempo real, o tempo demandado por esse cálculo pode ser um problema.

Os valores dos elementos de C(q,dq/dt) são calculados a partir de D(q). A matriz D(q) depende das massas dos elos, das velocidades lineares e angulares destes e dos momentos de inércia referidos ao centro de massa de cada elo ao se efetuar uma variação no vetor q. Considerando que as massas dos elos utilizados em robôs quadrúpedes de pequenas dimensões (como é o caso deste trabalho) possuem valores pequenos em relação a mecanismos de grandes dimensões, observa-se que se obtém pequenos valores para seus momentos de inércia referidos ao seu centro de massa. As velocidades linear e angular, também são baixas em razão dos movimentos do robô serem controlados para manter a estabilidade de locomoção do robô. Pode-se verificar que, sendo a força de Coriolis dependente da velocidade do elo, devida à rotação da terra, a influência da matriz C(q,dq/dt) é ainda menor em robôs caminhantes de pequeno porte. Com relação à matriz G(q), as análises seguem um raciocínio semelhante.

4 RESULTADOS DE SIMULAÇÕES E EXPERIMENTOS

Para verificar a validade dessa simplificação do modelo dinâmico do mecanismo de perna do robô, foram realizados testes de simulação numérica dos modelos dinâmicos (com e sem simplificação), e experimentos com o protótipo do mecanismo de perna, para o movimento da perna do robô quadrúpede considerando um controle de posição em malha fechada utilizando uma ação de controle PD no vetor de torques a serem controlados nas juntas. As simulações numéricas, assim como as visualizações gráficas dos resultados apresentadas neste trabalho, foram realizadas utilizando o software MATLAB.

Para analisar os efeitos das simplificações, foram consideradas manobras envolvendo as três juntas da perna dentro do seu espaço de trabalho. Os parâmetros do protótipo do mecanismo de perna utilizados nas simulações são mostrados na Tabela 1.

A primeira manobra realizada envolveu a primeira junta, controlando o movimento da perna através do atuador (um servomotor) para passar de uma configuração inicial q_i = [q₁ q₂ q₃]^T = [0^o 0^o 90^o]^T para uma configuração final q_f = [q₁ q₂ q₃]^T = [45^o 0^o 90^o]^T. Os resultados da simulação numérica com e sem simplificação do modelo, assim como os resultados experimentais obtidos com o protótipo da perna são mostrados na Figura 3. Em seguida, realizou-se a manobra inversa, i.e., a perna foi comandada para retornar à configuração inicial q_i, obtendo os resultados mostrados na Figura 4.

A segunda junta foi utilizada na segunda manobra, o movimento da perna foi controlado de forma a passar de uma configuração inicial q_i = [q₁ q₂ q₃]^T = [90^o 0^o 50^o]^T para uma configuração final q_f = [q₁ q₂ q₃]^T =[90^o 30^o 50^o]^T. Os resultados da simulação numérica com e sem simplificação do modelo, assim como os resultados experimentais obtidos com o protótipo da perna, para esse segundo caso são mostrados na Figura 5. Como na primeira manobra, comandou-se a perna para retornar à configuração inicial q_i, obtendo os resultados mostrados na Figura 6.

A última manobra realizada envolveu a terceira junta, controlando o movimento da perna para passar de uma configuração inicial q_i = [q₁ q₂ q₃]^T = [90^o 0^o 90^o]^T para uma configuração final q_f = [q₁ q₂ q₃]^T = [90^o 0^o 45^o]^T. A Figura 7 mostra os resultados da simulação numérica com e sem simplificação do modelo, e também os resultados experimentais obtidos com o protótipo da perna. Os resultados da manobra inversa, o retorno da perna para a configuração inicial q_i, são mostrados na Figura 8.

4.1 Análise dos resultados

Analisando os resultados obtidos (e mostrados nas Figuras 3, 4, 5, 6, 7 e 8), estes apresentam respostas semelhantes quanto à presença ou não das matrizes C(q,dq/dt) e G(q) no modelo dinâmico do robô quadrúpede. A diferença entre resultados de simulação entre modelo completo e simplificado está na ordem de 1 grau em regime (2 graus no pior caso), e um atraso de até 10 graus no transitório. Com relação aos resultados experimentais, como era de se esperar, a diferença é significativa no transitório, mas em regime a resposta é equivalente (diferença de 2 graus no pior caso). A proposta de simplificação da formulação Lagrangiana pode-se ser considerada válida para este caso. Os resultados experimentais mostrados nessas mesmas figuras, obtidos com o protótipo de mecanismo de perna desenvolvido em laboratório, comprovam essa análise. As diferenças entre resultados experimentais e de simulação numérica podem ser creditados às simplificações de modelagem no que concerne a dinâmica dos atuadores e o atrito. Portanto, uma modelagem dinâmica simplificada pode ser utilizada:

e

Assim, tem-se uma redução significativa nos cálculos para a determinação imediata de dq/dt através da integração de d²q/dt². Em termos de tempo de processamento, houve uma redução em cerca de 9%.

5 CONCLUSÕES

Foram apresentadas nesse trabalho análises sobre a simplificação do modelo dinâmico de um mecanismo de perna de um robô caminhante quadrúpede. Baseado no detalhamento da modelagem do mecanismo, e no contexto particular a que se aplica esse modelo, i.e., um protótipo desenvolvido em laboratório, foi proposta uma simplificação que visa diminuir os esforços computacionais nos cálculos das matrizes C(q,dq/dt) e G(q) (forças centrífugas e de Coriolis, e os torques devido às forças gravitacionais, respectivamente). Para analisar a validade dessa simplificação do modelo dinâmico, foram realizadas simulações numéricas de movimentos da perna para as três juntas, com e sem simplificação, e seus resultados foram comparados com os obtidos experimentalmente com o protótipo.

Pode-se observar um desempenho bastante similar nos três casos, i.e. a diferença entre resultados de simulação entre modelo completo e simplificado está na ordem de 1 grau em regime e um atraso de até 10 graus no transitório, em relação aos resultados experimentais, a diferença é significativa no transitório, mas em regime a resposta é equivalente (diferença de 2 graus no pior caso). Isto comprova a validade da proposta de simplificação na modelagem do mecanismo, e permite utilizar esse resultado nos estudos envolvendo o controle de locomoção do robô quadrúpede que vem sendo desenvolvido.

AGRADECIMENTOS

Os autores agradecem o apoio obtido nas diversas fases do projeto, na forma de suporte financeiro, da FPF, FAPEMIG, CAPES e CNPq.

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Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  22 Nov 2004
• Data do Fascículo
  Set 2004