Rastreamento de trajetórias por servovisão adaptativa

Rastreamento de trajetórias por servovisão adaptativa

Antonio C. Leite^I; Liu Hsu^II; Fernando Lizarralde^{I, II}; Alessandro R. L. Zachi^III

^IPrograma de Engenharia Elétrica, COPPE-UFRJ Cx. P. 68504, Rio de Janeiro, 21945-970 RJ, Brasil, [e-mail], [e-mail]

^IIDepartamento de Engenharia Eletrônica e de Computação, POLI Universidade Federal do Rio de Janeiro, [e-mail]

^IIICentro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca, CEFET/RJ, [e-mail]

RESUMO

Neste trabalho, considera-se um sistema robótico servovisual usando câmera fixa e não-calibrada. Dois controladores adaptativos são propostos para rastrear visualmente um alvo em movimento na presença de incertezas nos parâmetros da câmera. A primeira estratégia adaptativa utiliza o método de Hierarquia de Controle para solucionar o problema de controle adaptativo multivariável. A segunda é baseada na simetrização via fatoração da matriz de controle. Os algoritmos adaptativos são robustos na medida em que apresentam reduzida sensibilidade à incertezas cinemáticas. Resultados experimentais com um manipulador em movimento planar ilustram a robustez e a viabilidade dos esquemas propostos.

Palavras-chave: Controle adaptativo, manipuladores robóticos, servovisão.

ABSTRACT

In this work, a robotic visual servoing system using a fixed and uncalibrated camera is considered. Two adaptive controllers are proposed for visually tracking a moving target in the presence of camera parameters uncertainties. The first adaptive strategy uses the Hierarchy of Control method to solve the multivariable adaptive control problem. The second one is based on the symmetrization via factorization of the control matrix. The adaptive algorithms are robust in the sense that they present reduced sensitivity to kinematic uncertainties. Experimental results with a manipulator in a planar motion illustrate the robustness and viability of the proposed schemes.

Keywords: Adaptive control, robotic manipulators, visual servoing.

1 INTRODUÇÃO

O problema de rastreamento de alvos móveis nas coordenadas da imagem de uma câmera fixa e não-calibrada é um assunto de grande interesse sob o ponto de vista da teoria de controle, mesmo para o caso planar (Hutchinson et al., 1996).

Neste enfoque, o objetivo de controle é permitir que o efetuador de um manipulador robótico realize, através de servovisão, tarefas de rastreamento visual ao longo de trajetórias considerando incertos a rotação e os fatores de escala da câmera.

Em (Kelly, 1996) foi mostrado que um controlador PD (com parâmetros fixos) garante a regulação assintótica do sistema em presença de incerteza apenas na rotação da câmera. Sabe-se, inclusive, que o desempenho de controladores tipo PD pode ser melhorado adicionando-se um mecanismo de adaptação na lei de controle (Slotine e Li, 1991, Cap. 9).

Muitos esquemas adaptativos foram propostos para contornar a degradação de desempenho devido às incertezas de modelagem, particularmente com respeito à calibração da câmera (parâmetros intrínsecos) e aos parâmetros do robô (pârametros extrínsecos) (Koivo e Houshangi, 1991; Bishop e Spong, 1997; Hosoda et al., 1998). Entretanto, enquanto alguns trabalhos publicados consideram a interação dessas incertezas com algum algoritmo de calibração on-line justificado apenas de maneira ad hoc, outros requerem o conhecimento prévio dos parâmetros do sistema servovisual. Algumas exceções podem ser encontradas em publicações mais recentes, a saber, (Papanikolopoulos e Khosla, 1993; Hsu e Aquino, 1999; Kelly et al., 1999; Zergeroglu et al., 1999).

No presente trabalho serão apresentadas duas soluções para o rastreamento visual adaptativo direto de manipuladores robóticos planares usando câmera fixa e não-calibrada. Os algoritmos propostos são desenvolvidos para sistemas visuais look-and-move baseados em imagem (Hutchinson et al., 1996) e exigem apenas um reduzido conhecimento a priori dos parâmetros do sistema câmera/espaço de trabalho.

O primeiro esquema, denominado Controle Adaptativo Hierárquico, é baseado em um método proposto recentemente em (Hsu e Aquino, 1999; Hsu e Costa, 1999; Hsu e Lizarralde, 2000) que usa a abordagem da hierarquia de controle para solucionar o problema de controle adaptativo multivariável. O segundo esquema, denominado Controle Adaptativo Simétrico (Hsu e Lizarralde, 2000; Hsu et al., 2002), baseia-se em uma apropriada simetrização da matriz de controle, conduzindo a uma nova parametrização do controlador. Neste último esquema, a análise de estabilidade é bastante simples, porém uma sobre-parametrização é necessária. A eficácia dos métodos adaptativos é verificada através de simulações e ensaios experimentais em um robô manipulador real. Os resultados experimentais são obtidos através de uma Interface Gráfica com o Usuário desenvolvida em Tcl/Tk (Ousterhout, 1993).

2 CONTROLE SERVOVISUAL

Neste trabalho considera-se o problema de controle cinemático. Para este enfoque, a configuração do efetuador x Î Â ^m é dada pela transformação cinemática direta x = F(q), sendo q Î Âⁿ o vetor de ângulos das juntas do manipulador. Assume-se aqui que o manipulador de interesse é planar e não-redundante, isto é, m = n = 2. Generalizações para controle dinâmico poderiam ser feitas como em (Hsu e Aquino, 1999).

A velocidade do efetuador em termos das velocidades das juntas é obtida através da relação:

onde J(q) = Î Â^2×2 é o Jacobiano do manipulador. Então, considerando como sendo a entrada de controle u_i(i = 1, ¼, n), obtém-se o seguinte sistema

A lei de controle cartesiana v pode ser transformada em sinal de controle para as juntas através da seguinte relação:

Utilizando uma câmera CCD monocular, fixa e não-calibrada, com eixo ótico perpendicular (Vide (Hsu et al., 2001) e suas referências para o caso não-perpendicular) ao espaco de trabalho do robô, a transformação câmera/espaço de trabalho pode ser representada por (Hutchinson et al., 1996):

com

onde x_c é a posição do efetuador no sistema de coordenadas da câmera; x_c0 é um termo constante que representa a posição do sistema de coordenadas da câmera em relação ao sistema de coordenadas do robô; K_p é a matriz de transformação do espaço operacional para o espaço da câmera; f é o ângulo de rotação da câmera em torno do eixo ótico; f é a distância focal da câmera; Z < 0 é a profundidade relativa medida entre o plano da imagem e o espaço de trabalho do robô (em geral Z >> f) e a₁, a₂ > 0 são fatores de escala da câmera (pixels/mm). Sem perda de generalidade, considera-se que x_c0 = 0 (Hsu e Aquino, 1999). Portanto, o problema do controle cartesiano no sistema de coordenadas da câmera é descrito por:

onde v^T = [v₁v₂] e K_p é incerto.

3 MRAC SERVOVISUAL

Na abordagem de controle adaptativo por modelo de referência (MRAC) direto, o modelo pode ser especificado por

onde r_c Î Â ² é o sinal de referência, assumido uniformemente limitado "t, e x_cd Π² é a trajetória desejada para o efetuador no plano da câmera. Por simplicidade, assume-se que L = lI.

É possível modificar a estratégia adotada em (Hsu e Aquino, 1999) para introduzir o erro da imagem diretamente na lei de controle, mesmo no caso em que a adaptação esteja desligada. Deste modo, de acordo com (5), a lei de controle ideal v^* que promove o casamento com o modelo (6), é dada por:

Substituindo r_c, obtido a partir de (6), em (7) vem:

Então, de acordo com (2), tem-se que

onde J_v = K_p J(q) é comumente denominado de Jacobiano da imagem (Hutchinson et al., 1996).

A partir de (5) e (6), definindo o erro da imagem e_c = x_c - x_cd, obtém-se o seguinte sistema de erro

ou, ainda,

onde = v - v^*, e K_p = [k_ij] para i, j = 1, 2.

3.1 Adaptação via Hierarquia de Controle

Da expressão de v^* (vide(7)) verifica-se que a parametrização linear usual para a lei de controle é dada por

com P Î Â^2×2 sendo a matriz de parâmetros.

Para o caso de plantas SISO sabe-se que para solucionar o problema de controle adaptativo o sinal do ganho de alta frequência deve ser, em geral, conhecido. A maior dificuldade no caso MIMO é a generalização da condição de conhecimento do sinal, tendo em vista a ocorrência de ganhos matriciais. Os resultados em (Narendra e Annaswamy, 1989; Ioannou Sun, 1996) requerem condições restritivas sobre K_p difíceis de serem atendidas na prática. Em particular, o método apresentado em (Ioannou e Sun, 1996) requer a existência de uma matriz S Î Â^2×2 tal que K_pS = (K_pS)^T > 0, que segundo os mesmos autores é equivalente ao conhecimento do sinal de K_p no caso SISO. No entanto, esta condição de existência é muito restritiva por tratar-se de uma restrição de igualdade. Além disso, tal restrição é não-genérica uma vez que pode ser violada para qualquer incerteza em K_p. No caso do problema de servovisão verifica-se que não existe uma matriz S satisfazendo esta restrição, e consequentemente, o método proposto em (Ioannou e Sun, 1996) não pode ser aplicado.

Por outro lado, aplicando o método de Hierarquia de Controle (HC) introduzido recentemente em (Hsu e Aquino, 1999; Hsu e Costa, 1999; Hsu e Lizarralde, 2000), é possível obter uma parametrização linear conveniente para o vetor de controle v^* em (7). É válido ressaltar que as condições requeridas para a utilização desta estratégia são menos restritivas do que as exigidas em (Narendra e Annaswamy, 1989; Ioannou e Sun, 1996).

O método de Hierarquia de Controle consiste em projetar a lei de controle considerando alguma hierarquia préviamente escolhida. Expandindo (8) elemento a elemento tem-se que:

Assumindo que a hierarquia escolhida¹ é e_c2® e_c1, inicialmente projeta-se v₂ de forma que e_c2 = 0 seja alcançado assintoticamente; em seguida, projeta-se v₁ para que e_c1 = 0 também seja alcançado assintoticamente ou, pelo menos, no sentido de média quadrática. Fazendo e_c2º 0 em (11), o sinal de controle v₂ resultante é dado por:

conferindo à e_c1 a seguinte dinâmica:

Agora, fazendo e_c1º 0 em (13), obtém-se a seguinte lei para v₁

Com base nas equações (12) e (14), a seguinte parametrização é natural:

Os parâmetros ideais associados a parametrização dada por (15) são computados a partir de (12) e (14):

Agora, definem-se os vetores de parâmetros q₁ = [q₁₁q₁₂]^T e q₂ = [q₂₁q₂₂]^T, e os vetores regressores

ou ainda,

onde w_m1 e w_m2 são vetores uniformemente limitados, introduzidos apenas para auxiliar a análise de estabilidade, e . Portanto, a partir das equações (15), (17), e (18), pode-se escrever v₁ = , e obter as equações de erro em uma forma mais compacta:

onde (i = 1, 2) são os vetores de erro paramétrico, k_p1 = det(K_p) e k_p2 = k₂₂. Para o projeto das leis de adaptação, convém notar que a equação de (21) está na forma padrão para a definição de uma lei tipo gradiente pura para a adaptação de q₂. Por outro lado, na equação de há um termo adicional no formato de perturbação de entrada. A fim de evitar a ocorrência de drift nos valores de q₁ e garantir robustez à perturbações, adota-se uma lei gradiente modificada por um operador projeção (Ioannou e Sun, 1996), isto é:

onde g > 0, e o operador de projeção é usado para garantir que o parâmetro q₁ continue uniformemente limitado dentro de algum conjunto compacto convexo contendo o vetor de parâmetros . Por simplicidade, será assumido de agora em diante que esse conjunto é uma esfera fechada com centro na origem do espaço de parâmetros². Note que o operador garante a limitação uniforme de q₁.

3.2 Análise de Estabilidade

A prova de estabilidade do esquema adaptativo hierárquico segue a referência (Hsu e Aquino, 1999). Antes de prosseguir, é necessário definir a seguinte classe de funções:

Definição 1 (Ioannou e Sun, 1996) Seja h:[0, ¥) ® Rⁿ, y:[0, ¥) ® R⁺, onde h Î , y Î e considere a classe de funções

finitas. Diz-se que h é y-pequeno no sentido de média quadrática se h Î (y).

Os seguintes lemas estão relacionados aos problemas de estabilidade de controle adaptativo de plantas SISO com grau relativo 1 com possíveis perturbações de saída, d(t), respectivamente. Considere o sistema adaptativo com lei gradiente

onde e Î Â; f_sÎ Â ^m; l, g > 0; w_s(t) Î é contínuo por parte em t e denota o operador de projeção estendido, ou seja, aquele que engloba o operador identidade (sem projeção).

Lema 1 Considere o sistema (24)-(25) sem perturbação, isto é, d º 0 e sem projeção. Então, as seguintes propriedades de estabilidade são válidas: (1) lim_t®¥e(t) = 0, f_s(t) Î , e(t) Î L₂Ç ; (2) se w_s(t), (t) Î e w_s(t) é persistentemente excitado (PE), então a origem do espaço de erros (e = 0, f_s = 0) é globalmente exponencialmente estável.

Prova: A propriedade 1 é mostrada através da Função de Lyapunov 2V(e, f_s) = , que em virtude de (24), tem derivada no tempo = -le². Para mais detalhes da prova, veja (Ioannou e Sun, 1996, Sec.6.4.1). A propriedade 2 é um resultado padrão (veja (Sastry e Bodson, 1989, Teorema 2.6.5)).

Lema 2 Considere o sistema (24)-(25), com perturbação de saída d(t) uniformemente limitada e operador de projeção com relação a alguma esfera finita contendo f_s = 0. Então, verifica-se as seguintes propriedades de estabilidade: (1) f_s(t) Î , e(t) Î (|d|) Ç ; (2) se w_s(t), (t) Î e w_s(t) é persistentemente excitado (PE), então, para , tem-se o seguinte limitante:

onde "*" denota o operador de convolução. Se, além disso, d Î então todos os componentes de e são também e tendem a zero quando t ® ¥ (prova: vide (Hsu e Aquino, 1999)).

Considere o sistema adaptativo consistindo de (5), com o controlador de rastreamento visual adaptativo definido por (6), (15), (22) e (23). Assume-se que o sinal de referência r_c(t) é contínuo por partes e uniformemente limitado em norma e que o operador de projeção em é definido com relação a uma esfera fechada = {q₁ : q₁Î Â^m, ||q₁|| < M} com M > ||||. Por conveniência, definindo-se uma nova variável z₁ tal que e_c1 = z₁ + ae_c2, onde a = , a partir de (20) e (21) pode-se escrever

Então, o seguinte teorema pode ser enunciado:

Teorema 1 Se o ângulo de rotação f Î (-p/2, p/2) e q₁(0) Î : (1) todos os sinais do sistema são uniformemente limitados e lim_{t ® ¥}e_c2(t) = 0, e_c2(t) Î Ç , e_c1(t) = z₁(t) + ae_c2(t), z₁(t) Î (|e_c2|) Ç , para alguma constante a; (2) se as seguintes hipóteses forem consideradas: (a) r_c, Î ; (b) w_m1 = r_c - x_cd é persistentemente excitado (PE); e (c) w_m2 = [(r_c2 - x_cd2) (^T w_m1)] é persistentemente excitado (PE); então o sistema de erros completo, com estado , é exponencialmente estável em qualquer esfera fechada (finita)³.

Prova: Nota-se primeiro que det(K_p) > 0 e, para |f| < , k_p1, k_p2 > 0. Desde que os vetores regressores w₁, w₂ são não-limitados a priori, e como w₁, w₂ dependem do erro e_c, deve-se mostrar que os mesmos são u.l. para aplicar os Lemas 1 e 2, formulados na seção 3.2.

O sistema (21)(23) é localmente Lipschitz-continuo em toda parte no espaço de estado do erro. Deste modo, a partir de qualquer condição inicial no tempo t₀, existe t_f > 0 tal que a solução do sistema existe em = (t₀, t₀ + t_f), e se a solução não pode ser continuada para t > t₀ + t_f, é dito ser seu máximo intervalo de existência. Então, é conhecido (Michel e Miller, 1982, Corolário 3.2) que se t_f = ¥ ou não, então o estado deve tornar-se ilimitado quando t ® t₀ + t_f. É possível mostrar que para o sistema considerado t_f = ¥, isto é, todos os sinais do sistema são definidos para todo t e também são uniformemente limitados.

Primeiramente, considere o subsistema (21)(23). A função de Lyapunov

tem derivada

< 0 em relação a este subsistema. Segue que e₂ é uniformemente limitado (u.l.) por uma constante independente de t₀, t_f, w₂, "t Î . Por outro lado, considerando o subsistema (22)(26), a função de Lyapunov

tem derivada limitada por (Hsu e Aquino, 1999)

Contudo, w₁ é dado por (17), onde w_m1 é u.l.. Uma vez que já foi mostrado que e_c2 é u.l. e também é u.l. devido a , pode-se completar os quadrados e obter um novo limitante

onde k₁ é uma constante dependente dos limites de e_c2, e w_m1, sendo válido "t Î . Desde que é u.l., da expressão V₁ um limite adicional é obtido

onde k₂ é uma constante, "t Î . Invocando o Lema de Comparação (Khalil, 1996, Lema 2.5), segue imediatamente que V₁ e portanto z₁, e_c1, são todos u.l. em . Portanto, t_f = ¥ e todos os sinais do sistema são u.l. para "t. Então, aplicando os Lemas 1 e 2 ao subsistema (22)(26) e (21)(23) respectivamente, a propriedade 1 está provada.

Com o intuito de provar a propriedade 2, primeiramente deve-se invocar a propriedade 2 do Lema 2 baseada na conclusão que d = ae_c2Î e sobre as hipóteses (a) e (b) de limitação e PE de w_m1. De (17), as hipóteses anteriores implicam que w₁ e também são u.l.. Além disso, da propriedade 1, e_c2Î e e_c1Î S(|e_c2|). Por isso, se w_m1 é PE então w₁ também é PE (ver (Hsu e Costa, 1999)). Do Lema 2, conclui-se que Î , que implica . Assim, de (18) pode-se concluir similarmente que se w_m2 é PE então w₂ também é PE. Portanto, o subsistema (21)(23) é exponencialmente estável, isto é, existe c₂ > 0, l₂ > 0 tal que o estado é limitado por

Por outro lado, notando que |d(t)| < |a| ||e₂(t)||, tem-se a partir da propriedade 2 do Lema 2 aplicado para (22)(26),

onde, c₀, c₁, c₃, l₂ e l₃ são constantes positivas, e₁ : = como definido antes do Teorema 1, e e^T: = sendo o estado completo do sistema (22)(26) e (21)(23). Agora combinando as inequações (32) e (33) obtém-se a propriedade que caracteriza a estabilidade exponencial, a saber, ||e(t)|| < ce^-l3t ||e(0)||. Isto prova a propriedade 2 do Teorema.

É válido notar que a condição PE no Teorema 1 é dada diretamente em função do vetor de referência r_c(t) e da trajetória de referência x_cd(t). De fato, a condição PE foi necessária para w_m1 e w_m2 como definido em (17)(18). Nota-se também que o nível de PE pode ser arbitrariamente pequeno.

Fato 1 Embora o Teorema 1 forneça um resultado de estabilidade global, isto pode não ser verdadeiro quando considera-se a lei de controle dada por (2). O resultado de estabilidade é mantido desde que a configuração do robô permaneça o tempo todo longe das singularidades do Jacobiano.

4 ADAPTAÇÃO VIA SIMETRIZAÇÃO

Um método mais simples, similar ao esquema de controle robusto proposto em (Zergeroglu et al., 1999), consiste na Simetrização de K_p (SK) juntamente com uma apropriada redefinição da parametrização do vetor de controle. Este método baseia-se no fato de que é possível determinar uma matriz triangular superior T tal que (K_pT) = (K_pT)^T = S > 0, desde que k₁₁¹ 0 e det(K_p) ¹ 0 (Hsu et al., 1999). Uma vez que T esteja definida, é possível reescrever na forma:

Se k₁₁ > 0 e det(K_p) > 0, então T (e T^-1) pode ser escolhido com elementos diagonais unitários, ou seja,

Escrevendo S em função dos elementos de K_p,

e avaliando a condição de simetria k₂₁ = k₁₁t₁₂+k₁₂, chega-se à

Substituindo (37) em (36), pode-se reescrever S como

Da mesma forma, sabendo que det(S) = det(K_p), tem-se que

Em particular, esta última expressão será útil na análise de convergência e estabilidade do sistema em malha fechada. Finalmente, substituindo (35) e (39) em (34) e sabendo que = v - v^*, a lei de controle ideal é dada por:

A partir das equações (40) e (41), obtém-se a seguinte parametrização linear:

donde é possível calcular os parâmetros ideais

De (42) é possível definir os vetores de parâmetros por q₁ = [q₁₃q₁₁q₁₂]^T e q₂ = [q₂₁q₂₂]^T e os vetores regressores por

ou ainda, por

sendo w_m1 e w_m2 sinais uniformemente limitados. Nota-se aqui a necessidade de utilizar uma quantidade maior de parâmetros do que a usualmente requerida em (9), dando origem a terminologia sobre-parametrização.

Com base em (42) e (43), a equação de erro (34) pode ser escrita na forma:

onde = q₁ - e = q₂ - , ou, de maneira mais compacta

Analisando a estrutura da equação de erros acima, as leis de adaptação para e são dadas por:

Considere o sistema adaptativo descrito por (5) e (6) com lei de controle dada por (42) e lei de adaptação dada por (50) e (51). Assume-se que o sinal de referência r_c(t) é contínuo por partes e uniformemente limitado em norma. Então, o seguinte teorema pode ser enunciado.

Teorema 2 Se o ângulo de rotação f Î (-p/2, p/2), k₁₁ > 0 e det(K_p) > 0, então todos os sinais do sistema são uniformemente limitados e e_c(t) Î Ç lim_{t® ¥} e_c(t) = 0.

Prova: Considere a função de Lyapunov candidata

Derivando (52) em relação ao tempo, tem-se que:

Avaliando ao longo das trajetórias de (47) e (48), e utilizando as leis de adaptação (50) e (51), vem

A partir (52) e (54) conclui-se que os vetores e e_c são uniformemente limitados (u.l.). Da equação e_c = x_c - x_cd verifica-se que x_c é u.l.. Sabendo que = q_i - (i = 1, 2), e que são constantes, conclui-se que q_i também são u.l.. De (43) tem-se que w₁ e w₂ são u.l. e consequentemente os sinais de controle dados por (42). Deste modo, das equações (47) e (48), conclui-se que também é u.l.. Como V é uniformemente limitada e é uniformemente contínua ( é limitada), então pelo Lema de Barbalat tem-se que lim_{t® ¥}(t) = 0 e consequentemente que lim_{t® ¥}e_c(t) = 0.

5 ROBUSTEZ À INCERTEZAS CINEMÁTICAS

No método apresentado em (Hsu e Aquino, 1999) a posição cartesiana x poderia ser calculada através da transformação cinemática direta, já que os ângulos das juntas são mensuráveis e a cinemática do manipulador é assumida conhecida. Então a relação x = x_c poderia ser usada e v^* seria expressa em termos de x ao invés de x_c, isto é, v^* = lr_c - lx. Entretanto, isso conduz a uma imperfeição na definição do controlador dada a presença de incertezas na cinemática do manipulador.

De fato, mesmo conhecendo perfeitamente K_p (câmera calibrada) e sem adaptação, o erro na cinemática pode levar a servovisão imperfeita, mesmo para tarefas de regulação simples (x_cd º 0). Neste caso, o erro dinâmico pode ser expresso como:

onde representa o Jacobiano nominal e DF é a incerteza cinemática progressiva, isto é, x = F(q) + DF. Expressando K_pJ(q) ((q)K_p)^-1 = I + DA, tem-se que:

onde o termo DF não desaparece e seu efeito não é atenuado por l. A razão principal é que, neste algoritmo, nenhuma realimentação direta do erro da imagem foi utilizada. Nos esquemas das Seções 3.1 e 4, tem-se que a equação do erro é dada por:

e então, para um pequeno DA, o erro da imagem e_c tende exponencialmente para zero.

6 SIMULAÇÕES

Para ilustrar as propriedades de robustez dos controladores adaptativos, são apresentados alguns resultados de simulação obtidos com um robô de dois elos, similar ao manipulador utilizado na implementação experimental. Os comprimentos dos elos são l₁ = 279 [mm] e l₂ = 228 [mm], para os elos 1 e 2, respectivamente. Os parâmetros do robô/controlador são: f = [rad]; h₁ = = 0.7 [pixels/mm]; h₂ = = 0.6 [pixels/mm]; l = 1; g = 0.002; Considerando uma incerteza de 10 % em l₂ e assumindo que f, h₁, h₂ são conhecidos, a Figura 1 descreve o comportamento dos erros de rastreamento para os esquemas adaptativo hierárquico, adaptativo simétrico e hierárquico não-adaptativo, submetidos à mesma condição de incertezas cinemáticas.

7 RESULTADOS EXPERIMENTAIS

Nesta seção, são apresentados os resultados experimentais obtidos com a implementação dos controladores adaptativo hierárquico e adaptativo simétrico, propostos nas seções 3.1 e 4 respectivamente.

7.1 Ambiente de Trabalho

As leis de controle foram implementadas em um manipulador robótico Zebra Zero (IMI Inc.) com 6 graus de liberdade movimentado-se em um plano vertical. Desta forma, são permitidos apenas movimentos das juntas 2 e 3 (ombro e cotovelo).

O sistema servovisual utiliza configuração de câmera fixa no espaço de trabalho: uma câmera CCD KP-D50 (Hitachi Ltd.) com distância focal f = 6 [mm] foi montada em frente ao manipulador (vide Figura 2 para o ponto de vista da câmera). A característica visual extraída é a coordenada da imagem do centróide de um disco branco fixado no punho do robô. As imagens de tamanho 640×480 pixels são capturadas usando uma placa Frame-Grabber Meteor (Matrox Ltd.), com taxa de aquisição de 30 quadros por segundo (FPS) com 256 níveis de cinza. A primeira estimativa das coordenadas do disco branco é realizada off-line usando subtração de imagens. Para garantir que o disco permaneça sempre visível, o processamento de imagem é realizado em uma subjanela de dimensões 50 ×50 pixels.

Os comandos de velocidade das juntas, gerados a partir das leis de controle adaptativas, alimentam a placa de controle (ISA card) do Zebra Zero que fecha a malha de velocidade utilizando um microcontrolador HCTL1100 (HP Inc.), operando em modo de velocidade proporcional com período de amostragem de 0.52 ms.

Para evitar o erro de regime estacionário devido à gravidade, uma compensação de gravidade foi implementada usando um simples modelo (Spong e Vidyasagar, 1989) (g(q) = [p₁ cos(q₂) + p₂ sin(q₂ + q₃), p₂ sin(q₂ + q₃)]) sintonizado experimentalmente.

A profundidade média entre o plano da imagem e o espaço de trabalho do robô foi Z = 1 [m]. Todos os testes foram planejados para evitar as singularidades no Jacobiano.

7.2 Interface Gráfica

Os controladores adaptativos propostos foram codificados em linguagem C e executados em um computador Pentium Pro 200 com Linux OS, através de uma Interface Gráfica com o Usuário desenvolvida em Tcl/Tk (Ousterhout, 1993).

A Interface Gráfica, denominada VServo (vide Figura 2), permite ao usuário configurar os parâmetros do sistema servovisual (controladores e frame-grabber), definir trajetórias de referência sob o ponto de vista da câmera e visualizar a trajetória seguida pelo manipulador após a realização da experiência. Além disso, através de VServo é possível executar rotinas em linguagem C para aquisição de imagens, inicialização do robô, localização do alvo fixado no punho do robô e controle servo visual do manipulador robótico.

7.3 Análise dos Resultados

Os resultados experimentais ilustrados nas Figuras 3-8, foram obtidos sem qualquer calibração prévia da câmera. A orientação da câmera é f » 0. As condições iniciais para os parâmetros adaptativo q₁₁(0) = 2.080 [mm/s.pixels], q₁₂(0) = -0.720 [mm/s.pixels], q₁₃(0) = 0.000, q₂₁(0) = 0.000 [mm/s.pixels], q₂₂(0) = 2.820 [mm/s.pixels] e q₂₃(0) = 0.348, foram obtidas a partir da melhor sintonia para o caso não-adaptativo (i.e. g = 0) com f » . Os parâmetros de controle utilizados foram: g = 0.002, l = 1 e sem projeção nas leis de adaptação (22) e (23).

As trajetórias x_cd desejada (linha cheia) e x_c do centróide (linha pontilhada) são mostradas na Figura 3. As Figuras 3(a) e 3(b) ilustram o rastreamento em regime para os controladores adaptativos hierárquico e simétrico respectivamente. Na Figura 3(c) pode-se observar a degradação do desempenho do sistema quando nenhum mecanismo de adaptação é utilizado no algoritmo de controle hierárquico (i.e. g = 0), no caso em que a câmera não está calibrada.

As Figuras 4, 5 e 6 mostram o erro de rastreamento e_c e o sinal de controle cartesiano v, respectivamente. Pode-se observar que com os controladores adaptativos propostos e_c tende para um pequeno conjunto residual da ordem de 1 pixel.

O comportamento dos parâmetros q para o controlador adaptativo hierárquico é ilustrado na Figura 7, onde é possível observar que os valores tenderam para q₁₁ = 1.02 [mm/s.pixels], q₁₂ = 0.00 [mm/s.pixels], q₂₂ = 1.20 [mm/s.pixels] e q₂₃ = 0.00, após um período de adaptação.

A evolução do vetor de parâmetros q para o controlador adaptativo simétrico é ilustrada na Figura 8, onde pode-se observar que os valores em regime tenderam para q₁₁ = 1.04 [mm/s.pixels], q₁₂ = -0.296 [mm/s.pixels], q₁₃ = 0.288, q₂₁ = -0.136 [mm/s.pixels] e q₂₂ = 1.18 [mm/s.pixels].

Comparando a Figura 3 com a posição do punho obtida através da cinemática direta a partir das medidas dos encoders do manipulador robótico, é possível observar a grande incerteza cinemática do robô utilizado devido à flexibilidade do braço e folga nas engrenagens das juntas.

Contudo, a hipótese que o eixo ótico é perpendicular ao espaço de trabalho do robô não é perfeitamente satisfeita. Apesar das incertezas cinemáticas, os controladores adaptativos propostos garantem excelente desempenho e robustez.

7.4 Comparação entre os métodos

Com relação ao sistema de servovisão abordado, observa-se que o controlador adaptativo, projetado pelo método de Simetrizacão de K_p (SK), apresenta desempenho semelhante ao do controlador projetado pelo método de Hierarquia de Controle (HC). As diferenças entre os dois esquemas propostos podem ser verificadas sob dois aspectos: análise de estabilidade e complexidade⁴ do controlador. A análise de convergência e estabilidade, para o sistema projetado via hierarquia de controle, é mais complexa e envolve análise funcional (Hsu e Costa, 1999); para o sistema projetado via simetrização é possível definir uma simples função de Lyapunov. Contudo, a estrutura obtida para o controlador adaptativo hierárquico é mais simples pois não envolve sobre-parametrização.

Um tópico de pesquisa atual é a comparação dos métodos propostos neste trabalho com um método recentemente proposto em (Astolfi, Hsu, Netto e Ortega, 2002) usando a abordagem I&I (Imersion and Invariance) e um termo PI não-linear, que em princípio não requer sobre-parametrização da lei de controle, projeção na lei de adaptação ou condição de excitação persistente.

8 CONCLUSÕES

Foram propostas duas estratégias adaptativas para rastreamento visual em sistemas robóticos com incertezas nos parâmetros da câmera. A análise de estabilidade e convergência para os sistemas em malha fechada foi apresentada. Resultados experimentais em um manipulador robótico planar ilustram o desempenho equivalente dos esquemas propostos.

Os tópicos de pesquisa no futuro de acordo com as idéias desenvolvidas aqui são: aplicação em navegação autônoma de veículos por servovisão, extensão para os problemas de servovisão stereo 3D com câmera fixa ou em movimento (e.g., a configuração eye-in-hand), generalizações para controle dinâmico do robô e aplicações em controle híbrido de força/visão.

AGRADECIMENTOS

Este trabalho foi parcialmente financiado pelo CNPq.

Artigo submetido em 22/11/02

1a. Revisão em 20/02/03, 2a. Revisão em 18/06/03

Aceito sob recomendação do Ed. Assoc. Prof. Paulo E. Miyagi

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1

A hierarquia deve ser escolhida de forma que os menores principais D

_i (

i = 1, 2), de

K_p sejam diferentes de zero e tenham sinais conhecidos (Hsu e Costa, 1999).

2

É mais conveniente escolher algum vetor de parâmetro nominal para definir o centro da esfera. Entretanto, isto poderia levar a cálculos mais complexos.

3

Vide (Sastry e Bodson, 1989, Teorema 3.8.1) para detalhes sobre a diferença entre este conceito e estabilidade exponencial global.

4

Aqui, a terminologia

complexidade refere-se a quantidade de termos que compõe o controldador.

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  22 Nov 2004
• Data do Fascículo
  Set 2004

Histórico

• Aceito
  18 Jun 2003
• Revisado
  20 Fev 2003
• Recebido
  22 Nov 2002