Condições LMI para estabilidade robusta de politopos de matrizes polinomiais

SISTEMAS LINEARES

Condições LMI para estabilidade robusta de politopos de matrizes polinomiais

Paulo J. de Oliveira^I; Ricardo C. L. F. Oliveira^II; Valter J. S. Leite^III; Pedro L. D. Peres^II

^IDCET - UNEB, Av. Silveira Martins 2555, 41195-001 Salvador - BA - Brasil, [e-mail]

^IIFaculdade de Engenharia Elétrica e de Computação, Universidade Estadual de Campinas CP 6101, 13081-970, Campinas - SP - Brasil, [e-mail], [e-mail]

^IIIUnED Divinópolis - CEFET-MG, R. Monte Santo, 319, 35502-036, Divinópolis - MG - Brasil, [e-mail]

RESUMO

Condições suficientes para a estabilidade robusta de um politopo de matrizes polinomiais são propostas neste artigo. Os testes de estabilidade são baseados em desigualdades matriciais lineares formuladas nos vértices do politopo de incertezas que, se factíveis, fornecem uma função de Lyapunov dependente de parâmetros que garante a estabilidade de qualquer polinômio matricial no domínio de incerteza. São analisados os casos de estabilidade a tempo contínuo (semi-plano esquerdo) e a tempo discreto (círculo unitário). Condições ainda mais abrangentes são também apresentadas, contendo as anteriores como casos particulares, proporcionando um método numérico eficaz para a análise da estabilidade robusta de polinômios matriciais. Experimentos numéricos mostram que as condições propostas produzem resultados menos conservadores quando comparados aos obtidos com a estabilidade quadrática e aos obtidos através de métodos recentes da literatura.

Palavras-chave: Estabilidade robusta, matrizes polinomiais, polinômios incertos, desigualdades matriciais lineares, funções de Lyapunov dependentes de parâmetros.

ABSTRACT

Sufficient conditions for checking the robust stability of a polytope of polynomial matrices are proposed in this paper. Simple feasibility tests performed in a convex set of linear matrix inequalities defined at the vertices of the polytope yield sufficient conditions for the robust stability of the entire domain. Both continuous-time (left half-plane) and discrete-time stability (unit disk) are investigated. Improved sufficient conditions are also presented, containing the previous ones as special cases, providing an efficient numerical method for the robust stability analysis of polytopes of polynomial matrices. Numerical comparisons with quadratic stability and with results obtained from other recent methods in the literature show that the proposed conditions provide less conservative evaluations.

Keywords: Robust stability, polynomial matrices, uncertain polynomials, linear matrix inequalities, parameter dependent Lyapunov functions.

1 INTRODUÇÃO

Matrizes polinomiais constituem um ferramental importante para o estudo de sistemas de controle. A dinâmica de muitos sistemas é descrita de maneira mais natural através de representações lineares fracionárias ou por matrizes cujos coeficientes são polinômios (Karl e Verghese, 1993), e várias abordagens de análise e de controle de sistemas se baseiam em matrizes polinomiais, como por exemplo, as chamadas abordagem polinomial (Kuera, 1979) e abordagem comportamental (Willems, 1991).

Em uma descrição por matrizes fracionárias, a matriz polinomial do denominador fornece informações sobre a dinâmica e a estabilidade do sistema (Kailath, 1980), e as especificações de desempenho estão associadas ao posicionamento dos zeros da matriz polinomial do denominador (Ackermann, 1993).

Na presença de parâmetros incertos, a análise da estabilidade robusta de sistemas dinâmicos passa pela verificação da estabilidade de matrizes polinomiais incertas, e uma das formas mais gerais de representação de incertezas paramétricas é a politópica (Barmish, 1994). Nas duas últimas décadas, inúmeros trabalhos sobre controle robusto de sistemas lineares incertos representados por modelos de estado e também por modelos freqüenciais têm surgido, e uma das metodologias mais empregadas é a baseada em funções de Lyapunov, como pode ser visto em Barmish (1994), Bhattacharyya et al. (1995) e Boyd et al. (1994). Uma boa discussão sobre a importância de matrizes polinomiais, a análise da estabilidade robusta de polinômios e a evolução dos métodos numéricos para a verificação das condições de estabilidade pode ser encontrada em Henrion, Arzelier, Peaucelle e ebek (2001) e em Henrion, Bachelier e ebek (2001). Para um estudo mais aprofundado sobre a natureza e propriedades gerais das matrizes polinomiais recomenda-se Gohberg et al. (1982).

Testes de estabilidade para polinômios têm tido destaque na literatura especializada nos últimos anos, como por exemplo o resultado de Kharitonov (Kharitonov, 1978) para polinômios com coeficientes definidos por intervalos, ou o chamado teorema das bordas (Bartlett et al., 1988) para politopos de polinômios. Veja também Barmish (1994) e Bhattacharyya et al. (1995) e para maiores detalhes sobre estabilidade robusta de polinômios. Entretanto, a extensão desses resultados para tratar politopos de matrizes polinomiais não parece ser imediata, e testes conclusivos sobre a estabilidade de famílias de polinômios cujos coeficientes são funções multilineares dos parâmetros de incertezas são problemas NP-difíceis (Blondel e Tsitsiklis, 2000).

Condições formuladas em termos de desigualdades matriciais lineares (em inglês, LMIs - Linear Matrix Inequalities) recentemente publicadas na literatura para testar a estabilidade de um politopo de matrizes (Geromel et al., 1998), (de Oliveira et al., 1999), (Peaucelle et al., 2000) foram estendidas em Henrion, Arzelier, Peaucelle e ebek (2001) para o caso de politopos de matrizes polinomiais. Mais recentemente, novas condições LMI ainda menos conservadoras foram publicadas para a análise de estabilidade de sistemas lineares discretos (Ramos e Peres, 2001a) e contínuos no tempo (Ramos e Peres, 2001b), (Ramos e Peres, 2002), (Leite et al., 2004). Em Leite e Peres (2003), condições mais abrangentes são apresentadas, também na forma de LMIs, contendo as anteriores como casos particulares e permitindo a análise de estabilidade em relação a uma região genérica do plano complexo.

Neste trabalho, condições suficientes para a estabilidade robusta de politopos de matrizes polinomiais são formuladas em termos de LMIs, obtidas a partir da extensão dos resultados de Ramos e Peres (2001a), Ramos e Peres (2001b), Ramos e Peres (2002). Essas condições produzem resultados menos conservadores que os obtidos com métodos baseados na estabilidade quadrática, e em geral, menos conservadores que os de Henrion, Arzelier, Peaucelle e ebek (2001), principalmente quando a complexidade (isto é, grau, ordem e número de vértices) dos politopos de matrizes polinomiais aumenta, como mostram os testes realizados com polinômios matriciais estáveis na seção de exemplos. Finalmente, estendendo os resultados de Leite e Peres (2003) para a análise de estabilidade robusta de politopos de matrizes polinomiais, condições mais abrangentes que contêm as anteriores como casos particulares são apresentadas. Em todos os lemas e teoremas apresentados, a estabilidade robusta do politopo é assegurada por um simples teste de factibilidade de um conjunto de LMIs definidas nos vértices do domínio de incertezas, realizado de maneira eficiente por algoritmos de complexidade polinomial (Gahinet et al., 1995).

2 PRELIMINARES

Considere uma matriz polinomial quadrada A(s) de dimensão n e grau d com coeficientes complexos que se escreve

Um zero de A(s) pode ser definido (Kailath, 1980) como o valor complexo z para o qual ocorre uma perda de posto da matriz A(s), ou seja, posto A(z) < posto A(s), e pode ser determinado através do cômputo do determinante de A(s).

Definida uma subregião D do plano complexo, o problema de análise da D-estabilidade de A(s) resume-se a determinar condições para que os zeros de A(s) pertençam a D.

Dadas N matrizes polinomiais de coeficientes complexos A₁(s), ... , A_N(s) de dimensão n e grau d, define-se o politopo como sendo o conjunto de todas as matrizes polinomiais que se escrevem como

O objetivo deste trabalho é estabelecer condições que garantam que o politopo seja D-estável, isto é, que todas as matrizes polinomiais A(s,l) sejam D-estáveis. Uma descrição bastante abrangente para domínios de estabilidade D é dada por

com [·]^* representando o conjugado transposto de [·]. A escolha da matriz B = B^* Î define a região a ser estudada. Neste trabalho, as regiões consideradas na seção de exemplos são o semi-plano esquerdo (análise de estabilidade de sistemas contínuos no tempo) e o círculo unitário (estabilidade de sistemas discretos no tempo), descritas respectivamente pelas matrizes

Para detalhes referentes a outras formas de definição de regiões do plano complexo, veja Chilali e Gahinet (1996), Henrion, Arzelier, Peaucelle e ebek (2001), Henrion, Bachelier e ebek (2001), Peaucelle et al. (2000). Por simplicidade, e sem perda de generalidade (Henrion, Bachelier e ebek, 2001), assume-se que não há no politopo matrizes polinomiais com zeros no infinito, e também que o termo de grau d é uma matriz identidade de dimensão n denotada por I_n.

Antes de passar aos resultados de estabilidade de matrizes polinomiais e às condições de estabilidade robusta propostas neste trabalho, defina a matriz constante A_jÎ ^n×(d+1)n como

contendo as matrizes coeficientes associadas com a matriz polinomial

de dimensão n e grau d. Denotando por N_AjÎ ^(d+1)n×dn uma base do espaço nulo à direita da matriz A_j, ou seja, A_jN_Aj = 0, e lembrando que, por hipótese, A^d = I_n, tem-se

Note que, utilizando a estrutura acima para a matriz N_Aj, tem-se que NA(_l) é uma base para o espaço nulo à direita de A(l)

que se escreve

Finalmente, a matriz de projeção R Î ^2dn×(d+1)n é definida como

e Ä representa o produto de Kronecker (Kailath, 1980).

3 CONDIÇÕES PARA A ESTABILIDADE DO POLITOPO

Nesta seção, são apresentadas condições de estabilidade de matrizes polinomiais precisamente conhecidas, e condições de estabilidade robusta de politopos de matrizes polinomiais (estabilidade quadrática e uma condição suficiente de estabilidade robusta) sem especificar a região D investigada (deixando portanto em função da matriz B definida em (3)), conforme apresentado em Henrion, Arzelier, Peaucelle e ebek (2001). A partir desses resultados já conhecidos, serão enunciados os teoremas que constituem a principal contribuição deste trabalho.

LEMA 1 A matriz polinomial precisamente conhecida A_j(s) é estável se e somente se existir uma matriz P_j Î ^dn×dn solução do problema de factibilidade das LMIs

Prova: Veja Henrion, Bachelier e ebek (2001).

LEMA 2 O politopo de matrizes polinomiais é robustamente estável se existirem matrizes P_j Î ^dn×dn, j = 1,¼, N e Q Î ^dn×dn solução do problema de factibilidade das LMIs

Prova: A prova completa pode ser vista em Henrion, Arzelier, Peaucelle e ebek (2001). A idéia principal é explorar a existência da variável Q, que representa um grau de liberdade a mais no problema e que é comum às LMIs dadas na equação (13), para construir uma condição de estabilidade simultaneamente linear em A_j e P_j. Note que (13) pode ser reescrita como

que, multiplicada termo a termo por l_j e somada sobre todos os índices j, fornece

com A(l) dada em (8) e

A partir de (16), tem-se

Usando o resultado do Lema 1, conclui-se que a matriz polinomial A(s,l) dada em (2) é estável para todo l admissível e, portanto, o politopo é estável.

Uma condição mais conservadora para a estabilidade robusta do politopo é obtida quando se exige, no Lema 2, que P = P₁ = P₂ = ¼ = P_N, resultando na condição enunciada no lema a seguir (estabilidade quadrática de politopos de matrizes polinomiais).

LEMA 3 O politopo de matrizes polinomiais é quadraticamente estável se e somente se existirem matrizes P Î ^dn×dnQ Î ^2dn×n solução do problema de factibilidade das LMIs

Prova: A partir dos resultados anteriores e por analogia com o conceito de estabilidade quadrática de sistemas lineares, a prova é imediata (Henrion, Arzelier, Peaucelle e ebek, 2001).

Note que a estabilidade de um politopo de matrizes polinomiais descrito por A(l) pode ser verificada através da expressão que está no lado esquerdo de (3), isto é, se para todo l considerado no domínio de incertezas existir uma matriz P(l) = P(l)^* > 0 verificando

então o politopo é estável.

Usando o Lema 1, pode-se analisar um ponto precisamente conhecido dentro do domínio e, com o Lema 3, constata-se a estabilidade quadrática do politopo. O Lema 2 estabelece uma condição suficiente para que a combinação convexa das matrizes P_j = P_j^* > 0 forneça uma matriz P(l) solução de (21). Através do Lema 2, a condição (21) pode ser testada sem a necessidade de uma discretização exaustiva do espaço de parâmetros l, pois apenas a factibilidade das LMIs descritas nos N vértices do politopo precisa ser verificada. Note também que, para as duas regiões de estabilidade descritas através das matrizes B_c e B_d em (4), a estabilidade quadrática de um politopo de matrizes polinomiais poderia ser investigada diretamente através da existência de uma mesma matriz P = P^* > 0 satisfazendo a expressão (21) nos vértices do politopo, sem a necessidade da matriz Q e da formulação aumentada do Lema 3. De fato, particionando a matriz R NA(_l)Î ^2dn×n em dois blocos

tem-se que X(l) Î

^dn×dn é uma matriz na forma bloco-companheira dada por

e, portanto, para B = B_c e P(l) = P, o lado esquerdo de (21) pode ser reescrito como

A condição acima é definida negativa para todo l no politopo se e somente se

com

De maneira similar, para B = B_d, tem-se a estabilidade de para todo l se e somente se as expressões convexas são verificadas (veja para detalhes)

Os teoremas a seguir fornecem novas condições suficientes para que P(l) dado por (17) satisfaça (21). O resultado é uma extensão de condições recentemente publicadas para análise de estabilidade robusta de politopos de matrizes (Ramos e Peres, 2001a), (Ramos e Peres, 2001b), (Ramos e Peres, 2002).

TEOREMA 1 (caso contínuo): O politopo de matrizes polinomiais é robustamente estável se existirem matrizes P_jÎ ^dn×dn, j = 1,¼, N, solução do problema de factibilidade das LMIs

com B_c, N_Aj e R dados, respectivamente, em (4), (7) e (10). No caso afirmativo, P(l) dada por (17) é definida positiva e satisfaz (21) para todo A(l).

Prova: É claro que P(l) dada por (17) é definida positiva. Utilizando A(l) dado em (8) e desenvolvendo (18) com B_c, N_A(_l) e R dados respectivamente em (4), (9) e (10), tem-se

Impondo as condições (22)-(23) do teorema (note que l_j l_k > 0) tem-se

pois a expressão dentro dos parênteses é sempre maior ou igual a zero. De fato,

Algumas observações podem ser feitas sobre o resultado do Teorema 1. Primeiramente, é importante observar que pode-se impor que o lado esquerdo da condição (22) seja menor que -I sem perda de generalidade, já que a expressão é homogênea em P_j e a estabilidade dos vértices do politopo é condição necessária para a estabilidade do domínio. Essa folga é utilizada na condição (23), à qual se permite que seja até definida positiva. Note também que, para polinômios matriciais precisamente conhecidos (N = 1), apenas a condição (22) precisa ser testada para P₁ = P₁^* > 0, recaindo-se portanto no resultado do Lema 3. Além disso, se uma mesma matriz P = P^* > 0 existe verificando as condições do Lema 3 (ou seja, o politopo é quadraticamente estável), então P = P₁ = P₂ = ¼ = P_N é uma solução factível para (22), o que implica que (23) é sempre verificada neste caso. Como conclusão, as condições do Teorema 1 englobam a estabilidade quadrática como um caso particular. Outra observação interessante é que a condição a_j = 1 não é utilizada no Teorema 3, bastando apenas que os parâmetros a_j sejam todos positivos e que a_j > 0, indicando que, conhecendo-se os vértices A_jdo politopo, pode-se concluir sobre a estabilidade de qualquer combinação positiva a_j A_j.

Em termos de complexidade, métodos de resolução baseados em pontos interiores requerem um número de operações em ponto flutuante da ordem de O(K³L), sendo K o número de variáveis escalares envolvidas no problema e L o número de linhas das LMIs (Boyd et al., 1994), (Gahinet et al., 1995). Embora o número de variáveis escalares envolvidas no Teorema 1 (K_T1 = Ndn(dn+1)/2) seja menor do que no Lema 2 (K_L2 = Ndn(dn+1)/2 + 2dn²), o número de LMIs, dado por L_T1 = N(N+3)/2, cresce com N² e esse fator torna-se preponderante para N grande (N > 20). Finalmente, é interessante observar que, assim como o resultado do Lema 2 recai na análise de estabilidade robusta de sistemas com incerteza politópica (Peaucelle et al., 2000) para A_j(s) = A_j - s I_n, d = 1, as condições do Teorema 1 se reduzem ao resultado de Ramos e Peres (2001b), Ramos e Peres (2002). Nesse caso particular, tem-se

e, portanto, as condições (22)-(23) escrevem-se

TEOREMA 2 (caso discreto): O politopo de matrizes polinomiais é robustamente estável se existirem matrizes P_j Î ^dn×dn, j = 1, ¼, N, soluções do problema de factibilidade das LMIs

com B_d, NA_j e R dados, respectivamente, em (4), (7) e (10). No caso afirmativo, P(l) dada por (17) é definida positiva e satisfaz (21) para todo A(l).

Prova: Claramente, P(l) dada por (17) é definida positiva pois (31) é verificada. Utilizando A(l) dado em (8) e desenvolvendo (21) com B = B_d, N_A(_l) e R dados respectivamente em (4), (9) e (10), tem-se

Impondo as condições (28)-(30) e lembrando que l_j > 0, " j e l _j = 1 tem-se

Para analisar o sinal da expressão dentro dos parênteses acima, usando o resultado de Ramos e Peres (2001a), defina

e compute (N-1) Q+ W > 0, que se escreve

implicando que o termo dentro dos parênteses em (33) é sempre positivo, e que (21) é válida e, portanto, o teorema está provado.

Assim como no caso contínuo, pode-se impor sem perda de generalidade que o lado esquerdo de (28) seja menor que -I (condição necessária para a estabilidade, que define uma pequena folga para os termos cruzados j, k e l, explorada pelo teorema). Note também que o resultado do Teorema 2 engloba a estabilidade quadrática como um caso particular, pois se existe P = P^* = P₁ = P₂ = ¼ = P_N > 0 satisfazendo (28), então (29) e (30) são sempre satisfeitas. Para N = 1, apenas (28) precisa ser verificada, recaindo-se no resultado do Lema 1 e, obviamente, a condição (30) só precisa ser considerada nos casos em que N > 3. Note que, no caso discreto, houve um aumento da complexidade em relação ao resultado do Teorema 1, pois apesar do número de variáveis escalares ter se mantido igual a Ndn(dn+1)/2, o número de LMIs agora é dado por (N³+3N² + 8N)/6. Finalmente, observe que no caso de matrizes polinomiais na forma A_j(s) = A_j - s I_n, as condições do Teorema 2 se reduzem ao resultado de estabilidade robusta de sistemas discretos (Ramos e Peres, 2001a), seguindo desenvolvimento similar ao apresentado para o caso contínuo (veja os comentários após a prova do Teorema 1).

Apesar de apenas o semi-plano esquerdo e o círculo unitário centrado na origem terem sido investigados neste trabalho, outras regiões de estabilidade poderiam ser analisadas, resultando em extensões dos teoremas 1 e 2 para diferentes matrizes B. Por exemplo, a D-estabilidade de politopos de matrizes polinomiais em relação a um círculo de raio r, com centro em (-d-r,0), deslocado de uma distância d à esquerda do eixo imaginário, como descrito em Haddad e Bernstein (1992), poderia ser investigada através das condições do Teorema 2, trocando-se B_d por

O uso de matrizes P(l) dependentes de parâmetros, dadas por (17), permitiu o estabelecimento de condições suficientes para a estabilidade robusta do politopo de matrizes polinomiais . Usando uma extensão do resultado apresentado em Leite e Peres (2003), condições ainda menos conservadoras podem ser obtidas.

LEMA 4 O politopo de matrizes polinomiais é robustamente estável se e somente existirem matrizes P(l) Î ^dn×dn , j = 1,¼, N e Q(l) Î ^2dn×dn solução do problema de factibilidade das LMIs

Prova: Primeiramente, a suficiência. Para l fixo, a condição do Lema 4 pode ser reescrita como

Multiplicando-se à esquerda por (_l) e à direita por N_A(l), tem-se (18), que garante (pelo Lema 1) que a matriz polinomial A(s,l) dada em (2) é estável para todo l admissível e, portanto, o politopo é estável. A necessidade pode ser mostrada pelo Lema de Finsler (de Oliveira e Skelton, 2001). Supondo que (18) é verificada para todo l admissível, então existe m(l) Î tal que R^* (BÄP(l) ) R- m(l) A(l)^*A(l) < 0, que é obtido em (38) com a escolha particular R^*Q(l) = -m(l) A(l)^*/2.

Tal como foi formulado, o Lema 4 é de pouca utilidade numérica, pois o conjunto teria que ser testado para todo l. O teorema a seguir fornece condições suficientes para a estabilidade robusta de em relação a uma região genérica do plano complexo definida pela matriz B, a partir de um número finito de desigualdades matriciais lineares que usam somente as informações dos vértices.

TEOREMA 3 O politopo de matrizes polinomiais é robustamente estável se existirem matrizes P_j Î ^dn×dn e matrizes Q_j Î ^dn×dn, j = 1, ¼, N, soluções do problema de factibilidade das LMIs

com N_Aj e R dados, respectivamente, em (7) e (10). No caso afirmativo, P(l) dada por (17) é definida positiva e satisfaz (36) com

para todo A(l).

Prova: Segue passos similares aos da prova do Teorema 2 (caso discreto). O lado esquerdo da equação (36) (ou, equivalentemente, de (38)) pode ser escrito como uma soma ponderada por coeficientes positivos dos termos que aparecem no lado esquerdo das desigualdades do Teorema 3. Impondo-se as condições (39)-(42) tem-se que P(l) = P(l)^* > 0 e Q(l) dado por (43) verificam as condições do Lema 4, garantindo a estabilidade do politopo .

O Teorema 3 contém os resultados anteriores como casos particulares e fornece avaliações bem menos conservadoras da estabilidade robusta. Fazendo Q_j = Q, j = 1,¼, N, do teorema recuperam-se as condições do Lema 2. As condições do Teorema 1 são recuperadas pré-multiplicando (39), (40) e (41) respectivamente por

Mais precisamente, recupera-se uma formulação mais geral do que a do Teorema 1, que pode ser obtida a partir da equação (25) multiplicada por l _j = 1. As condições do Teorema 2 são recuperadas de forma similar. O número de LMIs do Teorema 3 é o mesmo do Teorema 2, mas o número de variáveis escalares é maior, dado por K_T3 = Ndn(dn+2n-1)/2.

4 EXEMPLOS

Embora a formulação teórica contemple polinômios matriciais com coeficientes complexos, nesta seção apenas o caso real é considerado. Uma comparação numérica utilizando-se valores de n Î [1,4], d Î [2,4] e N Î [2,5] foi realizada para os casos contínuo e discreto no tempo. Para cada situação 100 politopos de matrizes polinomiais foram gerados (no caso escalar, isto é, n = 1, foram 1000 politopos de polinômios para d Î [2,7] e N Î [2,7]) adotando-se o seguinte procedimento: i) Os vértices do politopo são gerados com matrizes cujos elementos são números reais uniformemente distribuídos no intervalo [-1,1]; ii) Para cada vértice, é garantido inicialmente pelo menos um zero com parte real no intervalo [-5×10^-2, -1 ×10^-5] (caso contínuo) ou valor absoluto no intervalo [0.95, 0.98] (caso discreto). iii) Os zeros dos politopos são calculados através de uma varredura fina e determina-se o zero com maior parte real s_max(caso contínuo) ou maior valor absoluto r_max (caso discreto). Em seguida todo o politopo é deslocado de maneira a garantir que exista pelo menos um zero com parte real no intervalo [-0.001, -1 ×10^-5] (caso contínuo) ou com valor absoluto no intervalo [0.98, 0.999] (caso discreto). O deslocamento é feito substituindo-se s por s+s_max+e (caso contínuo) ou s por s/(r_max/e) (caso discreto).

As tabelas 1 e ³ mostram os resultados para o caso contínuo. A condição do Lema 3 (L3) é sem dúvida a mais conservadora (de fato, o Lema 2 e o Teorema 1 englobam os resultados de L3). Em geral, o Teorema 1 (T1) fornece resultados menos conservadores do que o Lema 2 (L2). Embora L2 forneça resultados um pouco melhores do que T1 para casos de dimensões pequenas, com o aumento da complexidade essa tendência se inverte. Para o caso escalar (n = 1), T1 identifica mais politopos estáveis do que L2 em 18 dos 36 casos (12 empates), com percentagens relativas de 0.1% a 22.7% (média de 5.0%). Quando L2 ganha (somente 6 casos) as percentagens vão de 0.5% a 6.8% (média de 3.1%). Para n = [2,4], L2 identifica mais politopos estáveis somente em 3 casos, com percentagens relativas de 1.0% a 4.0% com média de 2.8%. T1 ganha em 26 casos (7 empates), com percentagens relativas de 2.1% a 72.4% (média de 35.1%). Teorema 3 (T3) contém os demais resultados como casos particulares, fornecendo avaliações positivas sempre que um dos métodos obtém sucesso, apresentando um desempenho bem próximo da necessidade. De maneira geral, T3 reconhece mais de 95% dos politopos estáveis, mantendo esse patamar mesmo quando as dimensões do problema crescem.

Os resultados para o caso discreto são similares, como mostrado nas tabelas 2 e 4. Novamente, L3 constitui-se no teste mais conservador. L2 fornece resultados levemente melhores no caso escalar (n = 1), identificando mais politopos estáveis em 14 dos 36 experimentos (11 empates), com percentagens relativas de 0.1% a 5.1% (média de 1.2%). O Teorema 2 (T2) acerta em 11 casos, com percentagens relativas de 0.1% a 2.2% (média de 0.9%). T2 torna-se mais efetivo nas avaliações quando a complexidade dos testes aumenta, vencendo, para n = [2,4], em 23 casos dos 36 pesquisados (2 empates), com percentagens relativas de 1.0% a 34.2% (média de 10.2%). Já L2 fornece resultados positivos em 11 casos, com percentagens relativas de 1.0% a 5.1% (média de 2.2%). Como no caso contínuo, o desempenho de T3 é bem superior ao dos demais métodos.

Alguns exemplos particulares foram também investigados. No primeiro, foi gerado um polinômio escalar (n = 1) com coeficientes confinados a determinados intervalos. O objetivo deste exemplo é mostrar que com o aumento da complexidade do problema (associada ao aumento do número de vértices do politopo), a condição apresentada em L2 pode falhar, enquanto que T1 (e também T3) confirmam a estabilidade do politopo. O politopo de polinômios escalares sob análise é descrito como

com coeficientes a_i, i = 0, ¼, 3, pertencendo ao hipercubo

Usando-se o resultado de Kharitonov (Kharitonov, 1978), sabe-se que para concluir sobre a estabilidade do politopo considerado é necessário e suficiente testar apenas os quatro polinômios

Tanto L2 quanto T1 e T3 concluem positivamente sobre a estabilidade do politopo formado pelos polinômios {a₁(s),a₂(s),a₃(s),a₄(s)}. Entretanto, L2 falha ao serem considerados todos os N = 16 vértices existentes no problema, o que não ocorre com T1 e T3.

Como segundo exemplo, foi considerado um politopo de matrizes polinomiais, caso contínuo no tempo, de dimensão n = 2, grau d = 2 e vértices N = 3 dados por

Os testes baseados na estabilidade quadrática (L3) e na estabilidade robusta de L2 falharam, mas T1 e T3 obtiveram soluções factíveis, garantindo a estabilidade robusta do politopo, como pode ser verificado na figura 1.

Para o terceiro exemplo, como ilustração do caso discreto, foi gerado um politopo de matrizes polinomiais com n = 2, d = 2 e N = 3 vértices dados por

O lugar das raízes está mostrado na figura 2. Também nesse caso, falharam os testes de L2 e L3, e apenas T2 e T3 forneceram solução factível.

É importante ressaltar que, embora as condições L2 e as propostas neste trabalho (T1, T2 e T3) contenham o teste de estabilidade quadrática (L3) como um caso particular, L2 e T1/T2 são condições suficientes independentes, ambas contidas na condição T3. Em outras palavras, podem existir politopos estáveis identificados por T1/T2 mas não por L2 e vice-versa. A análise numérica apresentada mostra que, com o aumento na complexidade dos testes (n, d e N crescentes), as condições T1/T2 reconhecem mais politopos estáveis do que L2.

As condições mais abrangentes do Teorema 3 (T3) forneceram avaliações positivas sempre que um dos testes foi positivo, identificando inúmeros politopos de matrizes polinomiais estáveis em situações nas quais os demais métodos falharam. Por exemplo, o polinômio de matrizes polinomiais (sistemas contínuos, n = 2, d = 2 e N = 3 vértices) dado abaixo é estável, como pode ser visto na Figura 3, porém apenas o Teorema 3 conseguiu a identificação correta (os demais testes falharam).

De maneira similar, o politopo de matrizes polinomiais descrito pelas matrizes abaixo (caso discreto) apenas foi identificado como estável (veja a Figura 4) pelo Teorema 3. Os demais testes nada concluíram.

Os testes foram realizados em um Pentium IV 2.6 GHz com 512 Mbytes de memória RAM usando MATLAB e o pacote LMI Control Toolbox (Gahinet et al., 1995). O tempo médio de CPU gasto em cada teste de politopo é mostrado na Tabela 5 para sistemas contínuos (esquerda) e para sistemas discretos (direita), considerando somente as avaliações factíveis nas quais o tempo gasto foi maior ou igual a 0.1 segundos (''-'' indica tempos menores do que 0.1 segundos). O tempo médio gasto pela condição L3, sempre inferior ao tempo dos demais testes, não é apresentado.

5 CONCLUSÃO

Neste trabalho, foram apresentadas novas condições suficientes para análise de estabilidade de politopos de matrizes polinomiais que se mostraram menos conservadoras que as existentes na literatura. A estabilidade robusta do politopo é verificada através de um teste de factibilidade de LMIs descritas apenas em função dos vértices do politopo, que pode ser realizado de maneira eficiente por métodos numéricos de complexidade polinomial.

AGRADECIMENTOS

Os autores agradecem o apoio das agências CAPES, CNPq, FAPEMIG e FAPESP, bem como os comentários e sugestões dos revisores.

Artigo submetido em 30/04/2002

1a. Revisão em 30/03/04; 2a. Revisão 24/07/04

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Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  11 Fev 2005
• Data do Fascículo
  Dez 2004

Histórico

• Aceito
  24 Jul 2004
• Recebido
  30 Abr 2002
• Revisado
  30 Mar 2004