Representação de linhas de transmissão por meio de variáveis de estado levando em consideração o efeito da freqüência sobre os parâmetros longitudinais

Resumos

O objetivo deste trabalho é determinar as matrizes de estado que representam uma linha de transmissão cujos parâmetros são considerados variáveis em relação à freqüência. Inicialmente a linha é representada por meio de uma cascata de circuitos pi, sendo que o efeito da freqüência sobre os parâmetros longitudinais da linha é sintetizado por meio de uma associação série e paralela de resistores e indutores que é inserida em cada um dos circuitos pi. Esta cascata é então descrita por meio de variáveis de estado. O modelo será utilizado para representar uma linha monofásica, levando em consideração que os parâmetros da mesma são dependentes da freqüência. As simulações serão realizadas no ambiente Matlab. Para conferir a regra de formação das matrizes de estado, os resultados obtidos com a representação proposta serão comparados com os resultados obtidos com o Microtran.

Transitórios eletromagnéticos; Parâmetros dependentes da freqüência; Domínio do tempo; Modelos de linhas de transmissão

The main objective of this paper is to show the formulation rule of state matrices when the state-space approach is used to represent a transmission line taking into account its frequency dependent parameters. First, the line is represented through a cascade of pi circuits and the frequency dependence of the longitudinal parameters is synthesized with series and parallel resistors and inductors that are inserted in each pi circuit. After that the cascade is described through state equations. The model will be used to represent a single-phase line taking into account that its parameters are frequency dependents. The simulations are carried out by using Matlab and the results obtained will be compared with results obtained with Microtran.

Electromagnetic transients; Frequency dependence parameters; Time domain; Transmission line models

SISTEMAS DE POTÊNCIA

Representação de linhas de transmissão por meio de variáveis de estado levando em consideração o efeito da freqüência sobre os parâmetros longitudinais

Sérgio Kurokawa^I; Fábio Norio Razé Yamanaka^I; Afonso José do Prado^I; Luiz Fernando Bovolato^I; José Pissolato^II

^IDepartamento de Engenharia Elétrica, Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira, UNESP, CP 31, CEP 15385-000, Ilha Solteira, SP, Brasil [e-mail], [e-mail], [e-mail], [e-mail]

^IIDepartamento de Sistemas e Controle de Energia, Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação, UNICAMP, CP 6101, CEP 13081-970, Campinas, SP, Brasil [e-mail]

RESUMO

O objetivo deste trabalho é determinar as matrizes de estado que representam uma linha de transmissão cujos parâmetros são considerados variáveis em relação à freqüência. Inicialmente a linha é representada por meio de uma cascata de circuitos p, sendo que o efeito da freqüência sobre os parâmetros longitudinais da linha é sintetizado por meio de uma associação série e paralela de resistores e indutores que é inserida em cada um dos circuitos p. Esta cascata é então descrita por meio de variáveis de estado. O modelo será utilizado para representar uma linha monofásica, levando em consideração que os parâmetros da mesma são dependentes da freqüência. As simulações serão realizadas no ambiente Matlab. Para conferir a regra de formação das matrizes de estado, os resultados obtidos com a representação proposta serão comparados com os resultados obtidos com o Microtran.

Palavras-chave: Transitórios eletromagnéticos, Parâmetros dependentes da freqüência, Domínio do tempo, Modelos de linhas de transmissão.

ABSTRACT

The main objective of this paper is to show the formulation rule of state matrices when the state-space approach is used to represent a transmission line taking into account its frequency dependent parameters. First, the line is represented through a cascade of p circuits and the frequency dependence of the longitudinal parameters is synthesized with series and parallel resistors and inductors that are inserted in each p circuit. After that the cascade is described through state equations. The model will be used to represent a single-phase line taking into account that its parameters are frequency dependents. The simulations are carried out by using Matlab and the results obtained will be compared with results obtained with Microtran.

Keywords: Electromagnetic transients, Frequency dependence parameters, Time domain, Transmission line models.

1 INTRODUÇÃO

Os modelos de linhas de transmissão de energia elétrica podem ser desenvolvidos no domínio do tempo ou no domínio da freqüência, sendo que a mesma é mais facilmente representada no domínio da freqüência.

No entanto o sistema elétrico, no qual as linhas de transmissão estão inseridas, possui diversos elementos não lineares que são de difícil representação no domínio da freqüência. Deste modo dá-se preferência por modelos de linha que são desenvolvidos diretamente no domínio do tempo (Marti, 1988).

Um outro fato que faz com que os modelos de linhas desenvolvidos diretamente no domínio do tempo serem mais utilizados, é que a maioria dos programas que realizam simulações de transitórios eletromagnéticos em sistemas elétricos requerem que os componentes do sistema estejam representados no domínio do tempo.

Um dos primeiros modelos a representar a linha de transmissão diretamente no domínio do tempo foi desenvolvido por H. W. Dommel e baseou-se no método das características ou método de Bergeron e consiste em combinar o método das características com o método numérico de integração trapezoidal, resultando em um algoritmo que é capaz de simular transitórios eletromagnéticos em redes cujos parâmetros são discretos ou distribuídos (Dommel, 1969). Este algoritmo sofreu sucessivas evoluções e atualmente é conhecido como Eletromagnetic Transients Program, ou simplesmente EMTP (Dommel, 1986).

Em situações em que se deseja simular a propagação de ondas eletromagnéticas resultantes de operações de manobras e chaveamento realizadas nas linhas de transmissão, pode-se representar a mesma como sendo uma cascata de circuitos p. Nesse modelo cada segmento é constituído de uma associação série e paralela de resistores e indutores que resultam em uma resistência e uma indutância, variáveis em função da freqüência, que representam o efeito solo e o efeito pelicular (Tavares et alii, 1999). Este modelo, que é desenvolvido diretamente no domínio do tempo, é então implementado em softwares do tipo EMTP.

Devido ao fato de que programas do tipo EMTP não são de fácil utilização, diversos autores tais como Nelms et alii (1989), Mamis (2003), Mamis e Nacaroglu (2003) e Mácias et alii (2005) sugerem descrever as correntes e tensões na cascata de circuitos p por meio de variáveis de estado. As equações de estado são então transformadas em equações de diferenças e podem ser resolvidas utilizando qualquer linguagem computacional.

A representação da linha por meio de variáveis de estado pode ser utilizada no ensino de conceitos básicos de propagação de ondas em linhas de transmissão (Nelms et alii, 1989), na análise da distribuição de correntes e tensões ao longo da linha (Mamis e Nacaroglu, 2003) e na simulação de transitórios eletromagnéticos em linhas de transmissão que tenham elementos não lineares (Mamis, 2003).

Apesar da técnica de variáveis de estado ser amplamente utilizada na representação de linhas de transmissão, pode-se verificar em publicações recentes (Mamis, 2003; Mamis e Nacaroglu, 2003; Mácias et alii, 2005) que a mesma somente foi utilizada, até o presente momento, para representar linhas cujos parâmetros longitudinais possam ser considerados constantes e independentes da freqüência.

No entanto, reconhece-se atualmente que a utilização de parâmetros constantes para representar a linha em toda a faixa de freqüência, presente nos sinais durante a ocorrência de distúrbios na mesma, pode resultar em respostas em que as componentes harmônicas de alta freqüência possuam amplitudes maiores do que são na realidade (Marti, 1982).

Deste modo, este artigo pretende inserir o efeito da freqüência em uma linha representada através de circuitos p conectados em cascata e obter as correntes e tensões na linha a partir da utilização da técnica de variáveis de estado.

O método será aplicado em uma linha monofásica em que se considera a presença dos efeitos solo e pelicular.

Esta linha será aproximada por uma cascata de circuitos p que, e em seguida, será representada por meio de equações de estado. As equações de estado, que são as tensões e correntes ao longo da linha, serão então simuladas no ambiente Matlab. A cascata também será implementada no Microtran (Dommel, 1986), que que é um software do tipo EMTP utilizado para simulações de transitórios eletromagnéticos em sistemas de potência. Em seguida os resultados obtidos com o Matlab e com o Microtran serão comparados entre sí.

2 EFEITO DA FREQÜÊNCIA SOBRE OS PARÂMETROS DA LINHA

Os parâmetros longitudinais de linhas de transmissão com retorno através do solo são fortemente dependentes da freqüência. A descrição do efeito solo foi desenvolvida por Carson e por Pollaczek (Dommel, 1986). Ambos modelos apresentam resultados iguais quando aplicados em linhas aéreas. No entanto, em se tratando de cabos subterrâneos, as equações de Pollaczek apresentam melhores resultados.

A impedância interna resulta do efeito do campo eletromagnético no interior do condutor. Esta impedância própria é constituída de uma resistência e de uma indutância cujos comportamentos em função da freqüência pode ser calculada através de fórmulas derivadas das equações de Bessel. Devido ao efeito pelicular, o valor desta resistência aumenta à medida que a freqüência aumenta enquanto que a indutância diminui com o aumento da freqüência (Marti, 1983).

3 LINHAS DE TRANSMISÃO

Sabe-se que uma linha de transmissão, cujos parâmetros possam ser considerados independentes da freqüência, pode ser representada, de maneira aproximada e obedecendo a uma série de restrições, como sendo uma cascata de circuitos p (Nelms et alii, 1989; Mácias et alii, 2005).

A figura 1 mostra uma linha de transmissão monofásica de comprimento d representada através de n circuitos p conectados em cascata.

Na figura 1 os parâmetros R e L são, respectivamente, a resistência e a indutância longitudinais da linha e os parâmetros G e C são, respectivamente, a condutância e a capacitância transversais. Estes parâmetros são escritos como sendo:

Nas equações (1) e (2) os termos R', L', G' e C' são os parâmetros, da linha, por unidade de comprimento.

A representação da linha por meio de uma cascata de circuitos p, conforme mostrado na figura 1, permite que as correntes e tensões ao longo da linha sejam calculadas diretamente no domínio do tempo.

Quando se leva em conta os efeitos solo e pelicular, os parâmetros longitudinais, por unidade de comprimento, de um segmento de uma linha de transmissão resulta em uma impedância Z(w) escrita como sendo:

Na equação (3) R(w) e L(w) são, respectivamente, a resistência e a indutância longitudinal do segmento de linha.

Geralmente não existe uma função que descreva a impedância Z(w) pois os parâmetros R(w) e L(w) são obtidos por meio de séries numéricas. No entanto, a impedância Z(w) pode ser descrita, de maneira aproximada, por meio de uma função racional F(w) cujos pólos são todos reais negativos e os resíduos são números reais positivos. Deste modo, a impedância Z(w) pode ser escrita como sendo (Sarto et alii, 2001):

Na equação (4) têm-se:

Sendo p_i e r_i os pólos e os resíduos, respectivamente, da função racional F(w).

A função F(w) mostrada na equação (4) descreve a impedância do circuito mostrado na figura 2.

Na figura 2 R₀, R₁, R₂, ..., R_m são resistores enquanto que L₀, L₁, L₂, ..., L_m são indutores.

Sarto et alii (2001) mostra que a impedância equivalente do circuito mostrado na figura 2 é dada por:

sendo

Portanto, se os valores dos resistores e indutores do circuito mostrado na figura 2 forem escolhidos adequadamente, este circuito pode representar a impedância longitudinal de uma linha de transmissão. Neste caso, diz-se que os parâmetros da linha foram sintetizados pelo circuito mostrado na figura 2.

Conforme mostrado em Sarto et alii (2001) e em Lima et alii (2005), existem diversos métodos que podem ser utilizados para determinar os resistores e indutores do circuito mostrado na figura 2. No entanto, estes métodos de ajustes não serão explorados neste artigo.

Considerando que os parâmetros de uma linha de transmissão podem ser sintetizados por meio de um circuito do tipo mostrado na figura 2, pode-se utilizar uma cascata de circuitos p para representar uma linha de transmissão levando em conta o efeito da freqüência sobre os parâmetros longitudinais da mesma.

A figura 3 mostra um circuito p de uma cascata que representa uma linha de transmissão, quando se considera o efeito da freqüência sobre os parâmetros longitudinais da mesma.

Na figura 3 as associações RL paralelas são tantas quantas forem necessárias para representar a variação dos parâmetros em cada década de freqüência que será considerada.

A representação de linhas de transmissão por meio de cascatas de circuitos p geralmente é utilizada nas simulações de transitórios eletromagnéticos oriundos de operações de manobras e chaveamento de linhas (Tavares et alii, 1999).

4 REPRESENTAÇÃO DA LINHA POR MEIO DE VARIÁVEIS DE ESTADO

A representação de linhas de transmissão por meio de cascatas de circuitos p, levando em consideração o efeito da freqüência, geralmente é implementado em programas do tipo EMTP. No entanto o EMTP é um programa de custo elevado cuja utilização requer por parte do usuário um vasto conhecimento referente a análise de sistemas de potência.

Um outro inconveniente dos programas do tipo EMTP é que os mesmos limitam a quantidade de circuitos p que podem ser utilizados para representar a linha. Deste modo, dependendo do comprimento da linha a ser representada, a qualidade dos resultados obtidos a partir das simulações podem ficar comprometidos.

Para contornar as dificuldades mencionadas nos dois parágrafos anteriores, Nelms et alii (1989), Mamis (2003) e Mamis e Nagaroclu (2003) sugeriram descrever a cascata de circuitos p por meio de equações de estado. No entanto, estes autores desprezaram o efeito da freqüência sobre os parâmetros longitudinais da linha.

Este artigo têm como principal objetivo tornar o modelo proposto por Nelms et alii (1989), Mamis (2003) e Mamis e Nagaroclu (2003) mais completo, inserindo no mesmo o efeito da freqüência sobre os parâmetros longitudinais da linha.

O efeito da freqüência sobre os parâmetros longitudinais da linha será representado, em cada um dos circuitos p da cascata que representa a linha, por meio de um circuito do tipo mostrado na figura 2. Em seguida, as correntes e tensões ao longo da linha serão escritas na forma equações de estado. As soluções das equações de estado poderão então ser obtidas por meio de métodos numéricos, sem o uso de programas do tipo EMTP.

Inicialmente serão mostradas as matrizes de estado para uma linha representada por um único circuito p, considerando que o efeito da freqüência é sintetizado por meio de m associações RL conforme mostrado na figura 2. Em seguida, os resultados serão estendidos para uma linha representada por meio de uma cascata de n circuitos p, considerando m associações RL para sintetizar o efeito da freqüência.

4.1 Linha representada por um circuito p

Antes de determinarmos as equações de estado para uma linha representada por uma cascata de n circuitos p, vamos mostrar detalhadamente o desenvolvimento das equações de estado considerando somente um circuito p. Em seguida, o desenvolvimento feito para um único elemento p poderá ser estendido para uma cascata com uma quantidade genérica de circuitos p.

Considere, conforme mostrado na figura 4, uma linha de transmissão representada por meio de um único circuito p, onde o efeito da freqüência sobre os parâmetros longitudinais é representado por meio de m associações RL.

Na linha mostrada na figura 4 as tensões nos terminais A e B são u(t) e v₁(t), respectivamente. Considere também que nos indutores L₀, L₁, L₂, ..., L_m circulam as correntes i₁₀(t), i₁₁(t), ..., i_1m(t), respectivamente.

A partir das correntes e tensões definidas nos elementos do circuito mostrado na figura 4 é possível escrever:

Nas equações (8)-(12) os termos i₁₀, i₁₁, ..., i_1m são notações simplificadas para as correntes i₁₀(t), i₁₁(t), ..., i_1m(t), respectivamente.

As equações (8)-(12), que descrevem o circuito mostrado na figura 4, podem ser escritas na forma:

sendo

Nas equações (15) e (16) [B]^T e [X]^T correspondem a [B] e [X] transpostos, respectivamente.

Os resultados obtidos mostram que o vetor [X] possui (m+2) elementos e que a matriz [A] é uma matriz quadrada de ordem (m+2).

4.2 Linha representada por n circuitos p

Os resultados obtidos para a linha representada por um único circuito p podem ser estendidos para a linha representada por uma cascata de n circuitos p. Neste caso, a matriz [A] será uma matriz de ordem n(m+2) e o vetor [X] terá dimensão n(m+2) e serão escritos na forma:

Na equação (18) [A] é uma matriz tridiagonal cujos elementos são matrizes quadradas de ordem (m+2). Um elemento [A_kk] genérico da diagonal principal da matriz [A] é escrito sob a forma:

Um elemento qualquer da subdiagonal superior na equação (18) é uma matriz quadrada de ordem (m+2) cujo único elemento não nulo se situa na primeira coluna da última linha e possui valor ().

Os elementos da subdiagonal inferior na equação (18) são matrizes quadradas de ordem (m+2). Estas matrizes possuem um único elemento não nulo que se situa na última coluna da primeira linha cujo valor é ().

Considerando que a linha é representada por uma cascata de n circuitos p, o vetor [B] possui dimensão n(m+2). Para o caso de u(t) ser uma fonte de tensão conectada no início da linha [B] possui um único elemento não nulo, que é o primeiro elemento da matriz, e possui valor ().

Um vetor [X_k] genérico, na equação (19), é escrito como sendo:

Na equação (21), os elementos do vetor [X_k] são:

i_k0 Corrente no indutor L₀, do k-ésimo circuito p

i_k1 Corrente no indutor L₁, do k-ésimo circuito p

i_k2 Corrente no indutor L₂, do k-ésimo circuito p

i_km Corrente no indutor L_m, do k-ésimo circuito p

v_k Tensão no capacitor no lado direito do k-ésimo circuito p

A equação de estado, que descreve uma linha representada por uma cascata de n circuitos p, pode então ser resolvida por meio de métodos numéricos.

5 TESTE DO MODELO

Para verificar a performance do modelo desenvolvido,o mesmo foi utilizado para simular a energização da linha monofásica mostrada na figura 5.

A linha mostrada na figura 5 é uma linha monofásica de 10 km de comprimento. No terminal A desta linha é aplicado uma tensão constante de 20 kV no instante de tempo t = 0.

Está sendo considerado que os parâmetros longitudinais da linha, por unidade de comprimento, podem ser perfeitamente sintetizados por um circuito constituído de um bloco RL série conectado em série com 4 blocos RL paralelos, conforme mostra a figura 6.

Os valores dos elementos R e L utilizados para sintetizar o efeito da freqüência sobre os parâmetros longitudinais da linha foram obtidos utilizando o método proposto por Tavares (1998) e são mostrados na tabela 1.

Neste artigo foi considerado que os elementos mostrados na tabela 1 sintetizam perfeitamente os parâmetros unitários da linha. Portanto, não estão sendo levados em conta os erros entre as curvas que descrevem o comportamento dos parâmetros e as curvas sintetizadas com as associações R e L.

Os parâmetros transversais unitários da linha mostrada na figura 5 são G' = 0,556 mS / km e C' = 11,11hF / km.

As figuras 7 e 8 mostram os parâmetros unitários da linha que foram sintetizados pelo circuito mostrado na figura 6.

Utilizando os dados mostrados na tabela 1 é possível montar a cascata de circuitos p que representa a linha mostrada na figura 5.

5.1 Comparação com o Microtran

Uma vez que os valores dos elementos R e L da cascata de circuitos p que descrevem a linha são conhecidos, pode-se montar as equações de estado que descrevem o comportamento das correntes e tensões ao longo da mesma. Estas equações de estado constituem então o modelo que está sendo proposto neste artigo.

A mesma cascata de circuitos p foi também inserida no Microtran. Deste modo foi possível comparar os resultados obtidos com o modelo proposto com os resultados obtidos a partir de um programa de referência que é o Microtran.

As simulações utilizando o modelo proposto neste artigo foram realizadas no ambiente Matlab, utilizando o método de integração trapezoidal (Nelms, 1989).

A versão do Microtran que foi utilizada permitiu a utilização de somente 166 circuitos p para representar a linha mostrada na figura 5. Portanto, neste teste foram utilizados 166 circuitos p para representar a linha.

Então, substituindo os dados da tabela 1 na equação (1), é possível determinar os valores dos elementos R e L que constituem cada um dos 166 circuitos p que representam a linha.

A tabela 2 mostra os valores dos elementos R e L que constituem cada um dos 166 circuitos p utilizados para representar a linha.

A energização da linha ocorreu em duas situações: Na primeira situação considerou-se que o terminal B da linha estava em aberto (conforme mostra a figura 5) e, na segunda situação considerou-se que o terminal B da linha estava conectado a um transformador em vazio.

Em estudos de transitórios eletromagnéticos resultantes de operações de manobras e chaveamentos de linhas de transmissão, um transformador pode ser representado por uma capacitância conectada entre a linha e o solo (Nelms, 1989) conforme mostra a figura 9.

Foi utilizado um transformador que, durante as operações de manobras e chaveamentos da linha, pode ser representado por uma capacitância C_T = 6 hF (Nelms, 1989).

As figuras 10 e 11 mostram a tensão no terminal B da linha aberta e da linha conectada a um transformador em vazio, respectivamente, durante o processo de energização da mesma. A curva 1 mostra os resultados obtidos com o modelo desenvolvido e a curva 2 mostra os resultados obtidos com o Microtran.

Observa-se, nas figuras 10 e 11, que os resultados obtido com o modelo proposto são praticamente coincidentes com os resultados obtidos com o Microtran. Este fato constata que o modelo proposto está correto.

5.2 Visualização da propagação de ondas

Para que seja possível visualizar a propagação da onda de tensão ao longo da linha, deve-se mostrar, em um dado instante de tempo, o valor da tensão em cada ponto da linha, sendo que, para que se tenha uma boa visualização do fenômeno, é necessário a utilização de uma grande quantidade de circuitos p. No entanto, os programas computacionais do tipo EMTP limitam a quantidade de circuitos p que podem ser implementados sendo que, para o caso de linhas longas, nem sempre é possível mostrar, com boa resolução, a distribuição da tensão ao longo da linha.

Uma vez que o modelo proposto no artigo não restringe a quantidade de circuitos p a ser utilizada, o mesmo poderia ser utilizado para mostrar a distribuição da onda de tensão ao longo da linha.

Como ilustração o modelo desenvolvido foi utilizado para mostrar a distribuição da tensão ao longo da linha em aberta, mostrada na figura 5, durante o processo de energização da mesma. Neste caso, a linha foi representada por meio de 500 circuitos p.

A tabela 3 mostra os valores dos elementos R e L que constituem cada um dos 500 circuitos p utilizados para representar a linha. Estes valores foram obtidos a partir da substituição dos dados da tabela 1 na equação (1).

Os valores da condutância G e da capacitância C em cada um dos 500 circuitos p, calculados a partir da equação (2), são G = 0,01112 mS e C = 0,2222 hF, respectivamente.

Serão mostrados somente os resultados obtidos com o modelo desenvolvido pois o Microtran permite a utilização de somente 166 circuitos p.

A figura 12 mostra a distribuição da tensão ao longo da linha nos instantes de tempo t = 15 ms, t = 25 ms, t = 35 ms e t = 45 ms após a energização da linha com uma tensão de 20 kV.

A figura 12 mostra que decorridos um intervalo de tempo de 15 ms após a energização as posições ao longo da linha que encontram se a menos de 3 km (aproximadamente) medidos em relação ao terminal A encontram energizados, enquanto que as posições situadas a mais de 3 km em relação ao terminal A possuem tensão nula. Decorridos 25 ms após o fechamento da chave, observa-se que a tensão propagou-se até a posição 5 km (aproximadamente). Após 35 ms a onda de tensão encontra-se a 7 km medidos em relação ao ponto A e após 45 ms, um trecho de 9 km de linha já se encontra energizado. A onda continuará sua propagação até alcançar o terminal B da linha, com uma amplitude de 20 kV.

A figura 13 mostra a distribuição da tensão ao longo da linha nos instantes de tempo t = 65 ms, t = 75 ms, t = 85 ms e t = 95 ms após a energização da linha.

A figura 13 mostra que após a onda de tensão alcançar o terminal B da linha a mesma retorna para o terminal A, tendo seu valor aumentado. Decorridos um tempo de 65 ms, após a energização da linha, a onda de tensão já alcançou o terminal B e agora se encontra a 7 km (aproximadamente) do terminal A. Em um tempo t = 75 ms a onda de tensão está na posição 5 km em relação ao terminal A. No instante de tempo t = 85 ms a onda de tensão se encontra a 3 km do terminal A e no instante de tempo t = 95 ms a onda se encontra a uma distância de 1 km do terminal A.

6 CONCLUSÕES

Neste trabalho os autores se propõem a representar a cascata de circuitos p que representa uma linha de transmissão, cujos parâmetros são considerados variáveis em relação à freqüência, por meio de variáveis de estado. Este modelo é então implementado no Matlab.

Para verificar o desempenho do modelo proposto, uma linha monofásica de 10 km foi representada por uma cascata de circuitos p. Esta cascata foi descrita por variáveis de estado e também foi inserida no Microtran que é um programa do tipo EMTP. Foi feito então a simulação da energização da linha utilizando o Matlab e o Microtran e verificou-se que os resultados são praticamente idênticos.

A vantagem do modelo proposto é que o mesmo dispensa o uso de programas do tipo EMTP, podendo ser facilmente implementado no Matlab que é um aplicativo mais amigável que o Microtran. A representação por meio de variáveis de estado pode ser utilizada no ensino de conceitos básicos de propagação de ondas em linhas de transmissão, na análise da distribuição de correntes e tensões ao longo da linha e na simulação de transitórios eletromagnéticos em linhas de transmissão que tenham elementos não lineares.Uma outra vantagem é que o Matlab permite o uso de uma quantidade de circuitos p maior que o permitido pelo Microtran. Esta maior capacidade do Matlab permite representar linhas trifásicas (decompostas em seus modos) de grande comprimento.

A quantidade de circuitos p utilizada provavelmente pode ser aumentada se o modelo for implementado em linguagens como FORTRAN ou C.

AGRADECIMENTOS

Os autores agradecem à FAPESP (Fundação de Amparo à pesquisa) a concessão verbas para compra de equipamentos e de bolsas de estudos (de Iniciação Científica e de Pós-Doutorado) que possibilitaram o desenvolvimento deste trabalho.

Artigo submetido em 14/09/2006

1a. Revisão em 23/11/2006

2a. Revisão em 27/03/2007

Aceito sob recomendação do Editor Associado Prof. Denis Vinicius Coury

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Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  24 Jan 2008
• Data do Fascículo
  Set 2007

Histórico

• Recebido
  14 Set 2006
• Revisado
  27 Mar 2007