Controlador em modo dual adaptativo robusto para plantas com grau relativo arbitrário

SISTEMAS DE CONTROLE

Controlador em modo dual adaptativo robusto para plantas com grau relativo arbitrário

Caio D. Cunha^I; Aldayr D. Araújo^I; Francisco C. Mota^II

^IDepartamento de Engenharia Elétrica - UFRN - CEP: 59.072-970 Natal-RN, fone 84 3215 3731-fax [phone]. [e-mail]; [e-mail]

^IIDepartamento de Engenharia da Computação e Automação - UFRN - CEP: 59.072-970 Natal-RN, fone 84 3215 3771-fax [phone]. [e-mail]

RESUMO

Neste artigo é apresentado o Controlador em Modo Dual Adaptativo Robusto (DMARC). O DMARC é um sistema de controle que combina as estratégias de Controle Adaptativo por Modelo de Referência (MRAC) com leis integrais de adaptação e o Controle Adaptativo por Modelo de Referência e Estrutura Variável (VS-MRAC) com leis chaveadas de acordo com a teoria de sistemas com estrutura variável. A idéia básica é incorporar as vantagens de desempenho transitório de um VS-MRAC, com as propriedades de regime permanente de um MRAC convencional. Desta forma, obtém-se um sistema de controle robusto a incertezas paramétricas e perturbações externas, com desempenho rápido e pouco oscilatório durante o transitório e um sinal de controle suave em regime permanente.

Palavras-chave: Controle em Modo Dual, Controle Adaptativo, Sistemas com Estrutura Variável.

ABSTRACT

In this paper the Dual-Mode Adaptive Robust Controller (DMARC) is presented. The DMARC is a control strategy which interpolates the Model Reference Adaptive Control (MRAC) and the Variable Structure Model Reference Adaptive Control ( VS-MRAC). The main idea is to develop a robust controller to parametric uncertainties and external disturbances with good transient characteristics (fast response and small oscillations) as in a VS-MRAC and good steady-state characteristics (smooth control signal) as in a conventional MRAC.

Keywords: Dual Mode Control, Adaptive Control, Variable Structure Systems.

1 INTRODUÇÃO

O Controlador em Modo Dual Adaptativo Robusto teve sua motivação a partir do artigo de Hsu e Costa (1989), onde os autores propuseram uma lei de controle que, dependendo da escolha de um parâmetro, podia se comportar como o Controlador MRAC ou como o Controlador VS-MRAC e suas versões intermediárias.

No MRAC convencional, que usa leis integrais de adaptação, a saída da planta segue um modelo de referência especificado (Ioannou e Sun (1996), Åström e Wittenmark (1995), Sastry e Bodson (1989) e Narendra e Annaswamy (1989)). Mesmo com as modificações para aumentar a robustez do algoritmo convencional (fator σ, normalização, etc.), em geral o transitório é lento e oscilatório.

No VS-MRAC, utiliza-se a estrutura do controle por modelo de referência do MRAC. As leis integrais de adaptação são substituídas por leis chaveadas, resultando em um sinal de controle chaveado, como nos sistemas a estrutura variável (ver seção 4) (Hsu e Costa (1989), Hsu, Araújo e Costa (1994), Hsu, Lizarralde e Araújo (1997), Cunha e outros (2003)). Apesar do bom desempenho transitório, em geral tem-se a presença do fenômeno de "chattering".

A partir da teoria de controle binário desenvolvida por Emelyanov (1987), Hsu e Costa propuseram um Controlador Binário Adaptativo por Modelo de Referência (B-MRAC) (Hsu e Costa (1990) e (Hsu e Costa (1994)). De acordo com o princípio binário, existem variáveis que são denominadas coordenadas (sofrem transformações) e variáveis que são denominadas operadores (definem as transformações aplicadas às coordenadas), e são todas tratadas como variáveis de estado do sistema (Andrievskii, Stotskii e Fradkov (1988) e Hsu e Costa (1994)). No B-MRAC é proposta uma combinação de um sistema com estrutura variável e um algoritmo de adaptação paramétrica. Utiliza-se uma lei gradiente de adaptação de alto ganho com projeção, a qual com um parâmetro (operador, segundo o princípio binário) suficientemente elevado faz o controlador tender ao VS-MRAC.

O DMARC faz uma ligação entre o VS-MRAC e o MRAC convencional. O objetivo é conseguir um sistema robusto, com desempenho rápido e pouco oscilatório (características do VS-MRAC), e sinal de controle suave em regime permanente (características do MRAC). A transição entre as duas estratégias de controle é feita, em tempo real, através de um parâmetro (operador) que varia em função do erro entre a saída da planta e a saída do modelo de referência.

A estrutura do controlador, aqui utilizada, baseia-se no VS-MRAC generalizado proposto por Araújo e Hsu, (1990) e do B-MRAC proposto por Hsu e Costa (1994).

2 FORMULAÇÃO DO PROBLEMA

Considere uma planta linear, com parâmetros incertos, monovariável e invariante no tempo, com entrada u e saída y, com função de transferência

Considere, também, o modelo de referência tendo a entrada r e a saída y_m, caracterizado pela função de transferência

Tem-se como objetivo determinar u tal que o erro de saída

tenda a zero assintoticamente para condições iniciais arbitrárias e sinais de referência r(t) uniformemente limitados e contínuos por partes.

As seguintes hipóteses convencionais são feitas (Sastry e Bodson (1989), p. 103-104):

a. A planta é controlável e observável com grau [D_p(s)]= n e grau [N_p(s)]= m, n e m conhecidos;

b. sinal(k_p) = sinal(k_m), positivos por simplicidade;

c. N_p(s) é Hurwitz (W(s) é de fase mínima);

d. O modelo de referência tem o mesmo grau relativo da planta (n* = n - m);

e. Somente a entrada e a saída da planta são usadas para gerar u.

São usados os seguintes filtros de entrada e saída da planta

onde v₁ e v₂ pertencem ao , e Λ é escolhido tal que N_m(s) é um fator de det (sI - Λ). Define-se o vetor regressor como . O controle é, então, definido como

onde é o vetor de parâmetros adaptativos (Ioannou e Sun (1996), p. 384).

Sabe-se que, sob as hipóteses acima, existe um único vetor constante θ^* tal que a função de transferência da planta em malha fechada (com u = θ*^Tω), de r para y, é M (s) (condição de "Matching"). Obviamente θ^* somente pode ser conhecido se a planta for conhecida . Quando isto não é o caso, θ (t) é adaptado até que e₀ (t) 0 quando t e, eventualmente sob alguma condição de riqueza de sinal, θ (t) θ^*(Ioannou e Sun (1996). p. 177).

Seja [A, b, h^T] uma realização mínima da planta e x o respectivo vetor de estado. Então, a planta com os filtros podem ser representados como

onde ,

Nota-se que com

Tem-se, então,

onde

[A_c, b_c, h_c]^T é uma realização não mínima e estável de M(s) (Sastry, (1984)), ou seja, o modelo de referência pode ser representado como

Definindo o vetor de erro por e = x_c - x_cm, tem-se a seguinte equação de erro

e, na forma entrada saída,

Observe que nenhuma restrição foi feita em relação ao grau relativo da planta.

3 MRAC CONVENCIONAL

Considere um polinômio L(s) de grau N = n* - 1 escolhido de forma que M(s)L(s)seja ERP (Estritamente Real Positiva).

Seja o sinal auxiliar

onde θ_2n+1 e θ são estimativas para 1/θ^*_2n e θ^* (parâmetros de "Matching"), respectivamente. O erro aumentado é definido como

Para garantir a estabilidade global do sistema adaptativo, Narendra, Lin e Valavani (1980) propuseram a seguinte modificação em y_a

Para atualizar θ (t) e θ_2n+1 (t) são usadas as seguintes leis integrais de adaptação

Assim, o MRAC convencional pode ser resumido na Tabela 1.

Ioannou e Kokotovic (1984) contribuiram significativamente para o controle adaptativo de sistemas com grau relativo unitário, introduzindo o fator σ na lei de adaptação

a qual garante no mínimo estabilidade local na presença de dinâmica não modelada e/ou distúrbios externos. O primeiro termo do lado direito da igualdade pode ser interpretado como um fator de esquecimento e o segundo termo, um fator de aprendizagem. A introdução do fator σ , entretanto, pode levar ao aparecimento de "bursting" como verificado por Hsu e Costa (1987). Narendra e Annaswammi (1987) propuseram a utilização de um fator de esquecimento variável, substituindo o parâmetro sigma pelo módulo do erro de saída eliminando o efeito de "bursting".

A estabilidade global e a eliminação de "bursting" do algoritmo com modificação sigma foram obtidas depois por Ioannou e Tsakalis (1986), retendo a modificação sigma e introduzindo normalização no termo e₀ω .

A introdução da normalização pode levar a transitórios de adaptação demasiadamente lentos e mesmo com a excitação rica em freqüências, a qualidade do transitório de adaptação (quando θ(t) está distante de θ^*) não é uniforme e a convergência dos parâmetros adaptativos é muito lenta. Apesar do comportamento transitório não ser totalmente aceitável, em algumas situações, o sinal de controle é suave, tornando-o adequado para a condição de regime permanente.

4 VS-MRAC

O VS-MRAC foi desenvolvido por Hsu e Costa (1989) no intuito de buscar um controlador robusto em relação às incertezas da planta e com um desempenho transitório significativamente melhor que os obtidos com os algoritmos baseados em identificação de parâmetros. Para o caso de n^* = 1,a solução foi substituir as leis integrais de adaptação por leis de adaptação a estrutura variável, tornando o erro de saída e₀ (t)0 uma superfície deslizante no espaço de estado do erro do sistema. A lei de adaptação é dada por

onde .

Para o caso de n^* > 2 (Hsu (1990), Hsu Araújo e Costa(1994)), foi necessária a introdução de uma cadeia de erros auxiliares para o rastreamento do modelo. O algoritmo apresentado em Hsu (1990) foi modificado por Araújo e Hsu (1990), diminuindo o número de relés e possibilitando a obtenção de um melhor desempenho transitório.

Aqui será apresentada a versão compacta do VS-MRAC proposta por Araújo e Hsu (1990), denominada de VS-MRAC compacto.

Sejam os seguintes sinais filtrados

onde

Define-se os limitantes superiores

onde θ_nom é um vetor de parâmetros nominais obtido com algum modelo nominal da planta (idealmente θ_j,nom = θ^*), (idealmente ρ = 1), e k_nom é um valor nominal para k^* = 1/θ^*_2n (assume-se knom 0). Além disso tem-se u_nom = θ_^Tnomω .

O algoritmo de controle encontra-se resumido na Tabela 2.

As leis de adaptação a estrutura variável são escolhidas de forma que os erros auxiliares e^'_i (i =0,1,...,N) atinjam modos deslizantes em um tempo finito. Os controles equivalentes ((ui)^*_eq) são obtidos assintoticamente de (u_i) por meio de um filtro passa-baixas com freqüência de corte suficientemente elevada.

5 DMARC

5.1 caso n*=1

No DMARC é feita uma ligação entre o MRAC e o VS-MRAC através da variação em tempo real de um parâmetro na lei de adaptação. Considere a seguinte lei de adaptação

onde

Quando μ 0, nota-se que a equação (17) se resume a (16), ou seja, ao algoritmo VS-MRAC. A equação (17) pode ser reescrita como

Novamente, quando μ 0, observa-se que o fator de esquecimento tende a infinito, implicando que o VS-MRAC não tem memória. O termo de aprendizagem também cresce ilimitadamente, de onde conclui-se que no VS-MRAC a adaptação é instantânea.

Quando μ = 1, a equação (17) se resume a

que é a lei de adaptação do MRAC com fator σ e uma normalização no termo de aprendizagem.

5.2 caso n^* > 2

De forma similar ao artigo de Hsu e Costa (1994), usa-se a estrutura do VS-MRAC, descrita na Tabela 2, que é aplicável para n^* 2. Utiliza-se o DMARC na última malha responsável pela geração do sinal de controle u_N (ver Figura 1).

O algoritmo de controle é apresentado na Tabela 3. Na Figura 1, o bloco pontilhado que representa o relé regido pela função de modulação fN é substituido por leis adaptativas ou chaveadas (geradas pelo DMARC) de forma que u_N é determinado pelas expressões

onde

Analisando as duas últimas expressões da Tabela 3, vê-se que quando μ 0

e, como ξ_N = ω tem-se para u_N

que é o resultado das duas últimas expressões do VS-MRAC da Tabela 2.

6 OBTENÇÃO DO PARÂMETRO μ

Para o ajuste do DMARC é importante que as transições entre os controladores MRAC e VS-MRAC se dêem de uma forma suave e contínua. No artigo de Cunha e outros (2005) foi utilizado o DMARC no controle de velocidade de um motor de indução trifásico. O cálculo do parâmetro µ, da lei de adaptação do DMARC, foi feito com a utilização de lógica nebulosa, pelo modelo de inferência Mandani, sendo as variáveis lingüísticas de entrada, o erro de saída e a sua derivada. No artigo Mota e Araújo (2002), o parâmetro µ foi usado no sinal de controle, ponderando a ação de cada controlador (MRAC e VS-MRAC). Na determinação do parâmetro µfoi usada a lógica nebulosa com modelo de inferência Takagi-Sugeno (Takagi e Sugeno (1985)), tendo apenas o erro de saída como variável lingüística de entrada.

Nesse trabalho, para plantas com n^* = 1, a determinação do parâmetro é feita, usando a expressão

onde e₀ é o erro de saída e é um parâmetro a ser ajustado. Essa expressão é similar às usadas como função de pertinência por Mota e Araújo (2002). Observa-se, da equação (23), que quando e₀ 0 , μ 1 aproximando-se do MRAC. Quando e₀ se torna razoavelmente elevado μ assume um valor suficientemente pequeno tendendo ao VS-MRAC. O parâmetro tem a importante função de determinar a forma como se dá a transição entre o MRAC e o VS-MRAC. Quanto menor o valor de maior a ação do VS-MRAC em função de e₀, como visto na Figura 2.

A forma como é feita a transição do VS-MRAC para o MRAC, ou seja, o compromisso entre rapidez de resposta (VS-MRAC) e sinal suave em regime permanente (MRAC) fica a critério da escolha do parâmetro .

Analisando a derivada da equação (23) tem-se

Sendo e₀ = 0 a superfície de deslizamento e e₀é₀ < 0, a condição de escorregamento para o VS-MRAC, vê-se que o parâmetro µsó pode crescer (tendendo ao MRAC) quando a condição de escorregamento for satisfeita. Se a condição de escorregamento não for satisfeita o μ decresce (tendendo ao VS-MRAC) tão mais rápido quanto menor for o parâmetro . Com um valor de suficientemente pequeno, o algoritmo de controle funciona como VS-MRAC até um valor bem pequeno de e₀, permitindo uma resposta transitória muito rápida.

Tem-se, então, a análise apresentada na Tabela 4.

7 ANÁLISE DE ESTABILIDADE PARA PLANTAS DE PRIMEIRA ORDEM

Considere um exemplo simples onde a planta e o modelo de referência são dados , respectivamente, por

onde a é o único parâmetro desconhecido.

A lei de adaptação do DMARC (17) é

com μ dado por (23). A lei de controle é

No modo regulação (r = 0), y_m = 0, e₀ = y e uma realização para o erro de saída é escrita como segue

Nota-se que o sistema possui um ponto de equilíbrio em (e₀ = 0, θ = 0), cuja análise linearizada, em torno desse ponto de equilíbrio, caracteriza-o como um nó estável.

Definindo a função de Lyapunov

tem-se para sua derivada

Analisando (31), nota-se que para tem-se .

Considerando , tem-se que . Assim para implica que e, conseqüentemente, . Ainda, a partir de (31) tem-se

No intervalo , o segundo termo do lado direito de (32) é positivo. Porém, a função possui um máximo em . Desta forma, reescreve-se (32) como

Com esse resultado, de (29) e (31), vê-se que apenas no ponto (e₀ = 0, ) e para todo espaço em torno dele. Como é radialmente ilimitada, conclui-se que (e₀ = 0, ) é globalmente assintoticamente estável. Devido à estabilidade assintótica global da origem no espaço de estado, conclui-se que para esse controlador não há possibilidade do surgimento do fenômeno de "bursting".

Na Figura 3 é apresentado o plano de fase para r = 0, com cinco condições iniciais distintas. Observa-se a convergência para (e₀ = 0, ) independente da condição inicial. Os dados utilizados na simulação foram: a = - 2, a_m =1, = 3,2, = 0,1 e σ = 0,1. Os resultados das simulações para r = 0 encontram-se na Figura 3.

Com os mesmos dados anteriores foram feitas simulações para r = 1 e os resultados encontram-se na Figura 4. Nesse caso, como a referência é persistentemente excitante, observam-se as convergências de θ para θ^* e do erro de saída para zero.

A análise de estabilidade, para plantas com n* > 1, pode ser feita a partir da análise de plantas com n^* = 1, seguindo Hsu (1990) e Hsu e Costa (1994). Uma vez que e^'_N é governado por uma função de transferência estritamente real positiva (ver Figura 1 e Tabela 3) é sugerido o uso da lei de adaptação do DMARC para n^* = 1, no bloco pontilhado da Figura 1, onde é gerado u_N. Desde que seja garantido que θ_N é uniformemente limitado, todos os sinais do sistema serão uniformemente limitados. Assim, independente da forma como é feita a modificação em θ_N, a convergência exponencial dos erros auxiliares e_i (i =0,1,...,N - 1) para zero permanece válida (Hsu (1990) e Hsu e Costa (1994)).

8 RESULTADOS DE SIMULAÇÕES

Foi escolhido o controle de posição de um motor CC cuja função de transferência é um sistema de ordem e grau relativo, ambos, iguais a 3 (Feller e Benz (1987)). A função de transferência da planta é

onde varia entre 2,5 e 10, tornando o ganho de alta freqüência conhecido com incertezas.

O modelo de referência é especificado por

e os sinais v₁ e v₂ com a mesma dinâmica do modelo, ou seja

Foi escolhido o polinômio L(s) como

tornando, assim, mais simples o operador ML.

Para gerar os controles equivalentes foram usados os seguintes filtros de segunda ordem

Os parâmetros do controlador para o VS-MRAC compacto determinados a partir de θ^* e da incerteza em são

Inicialmente foram feitas simulações com o MRAC Convencional e o VS-MRAC compacto com = 5 e r(t) = 0,1 mantidos constantes. As condições iniciais foram tais que y(0) = 2.10^-3 . Os resultados dessas simulações com o MRAC encontram-se na Figura 5 e com o VS-MRAC na Figura 6.

Verifica-se no MRAC um transitório demasiadamente longo e oscilatório (comparado com o VS-MRAC), porém com sinal de controle suave. No VS-MRAC o transitório é rápido, pouco oscilatório, mas com o sinal de controle de alta freqüência.

Nas simulações subseqüentes, foram feitas as modificações mostradas na Tabela 5.

Para sintonizar o DMARC utilizou-se a expressão para o parâmetro μ

onde é um parâmetro a ser ajustado.

Nessas novas condições foram escolhidos os parâmetros σ = 0,05 e = 5.10^-9 para o DMARC.

Os resultados das simulações com o VS-MRAC e com o DMARC são apresentados nas Figuras 7 e 8, respectivamente. Nota-se que tanto o VS-MRAC como o DMARC apresentam uma pequena oscilação, atingindo o regime permanente em um tempo consideravelmente pequeno, com robustez em relação à variação paramétrica e à perturbação externa. Entretanto, o sinal de controle do DMARC apresenta uma boa suavização, em relação ao sinal do VS-MRAC, e pequena magnitude em regime permanente.

A análise de e^'_N em (34) é semelhante à análise feita para e₀ em (23), para o caso n^* = 1, uma vez que a malha na qual se encontra e^'_N é representada por um sistema de primeira ordem;

9 CONCLUSÕES

Neste artigo é proposto um DMARC para o controle de uma planta com grau relativo arbitrário. Utilizou-se a estrutura do VS-MRAC compacto proposta por Araújo e Hsu (1990). Conforme pode ser verificado pelas simulações, o algoritmo em Modo Dual Adaptativo Robusto proporcionou um transitório rápido e praticamente sem oscilações e um desempenho em regime permanente com sinal de controle com boa suavização. Adicionalmente apresentou robustez a incertezas paramétricas e distúrbios. Uma análise de estabilidade é feita para o caso particular de uma planta de primeira ordem. A análise generalizada, para plantas com grau relativo arbitrário, poderá ser feita seguindo Hsu (1990) e Hsu e Costa (1994), considerando-se que na Figura 1 o DMARC é aplicado na última malha, a um sistema de primeira ordem.

Artigo submetido em 16/12/2004 (Id:608)

Revisado em 19/07/2006, em 10/04/2008 e em 27/11/2008

Aceito sob recomendação do Editor Associado Prof. Liu Hsu

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Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  27 Fev 2009
• Data do Fascículo
  Mar 2009

Histórico

• Aceito
  27 Nov 2008
• Recebido
  16 Dez 2004
• Revisado
  10 Abr 2008