Rastreamento global via controle por modos deslizantes e observador com ganho dinâmico

Global tracking via sliding mode control and dynamic gain observer

TEORIA DE CONTROLE

Rastreamento global via controle por modos deslizantes e observador com ganho dinâmico

Global tracking via sliding mode control and dynamic gain observer

Alessandro Jacoud Peixoto^I; Liu Hsuz^II; Tiago Roux Oliveira^III

^IDep. de Engenharia Eletrônica e de Computação -DEL, Universidade Federal do Rio de Janeiro -UFRJ, Rio de Janeiro, RJ, Brasil. [e-mail]

^IIPrograma de Engenharia Elétrica -PEE/COPPE, Universidade Federal do Rio de Janeiro -UFRJ, Rio de Janeiro, RJ, Brasil. [e-mail]

^IIIDep. de Engenharia Eletrônica e Telecomunicações -DETEL, Universidade do Estado do Rio de Janeiro -UERJ, Rio de Janeiro, RJ, Brasil. [e-mail]

RESUMO

Uma nova estratégia de controle por modos deslizantes via realimentação de saída é proposta para uma classe de sistemas não-lineares incertos, monovariáveis e variantes no tempo, para a qual um observador da norma do estado possa ser implementado. Esta classe inclui sistemas de fase-mínima com não-linearidades limitadas de modo afim nos estados não-medidos e com taxa de crescimento dependendo não-linearmente da saída medida e de estados internos relacionados com a dinâmica dos zeros. A superfície de deslizamento é gerada utilizando-se os estados de um observador de alto ganho (HGO), enquanto que a amplitude de controle livre de peaking é obtida a partir de um observador da norma do estado. Diferentemente das outras soluções semi-globais encontradas na literatura de controle por modos deslizantes disponíveis para a classe de plantas considerada aqui, o esquema proposto é livre de peaking e alcança o rastreamento global com respeito a um pequeno conjunto residual. A idéia chave é projetar um HGO com ganho variável, implementado a partir de sinais medidos.

Palavras-chave: sistemas não-lineares incertos, controle por modos deslizantes, realimentação de saída, rastreamento global, observador de alto ganho e da norma.

ABSTRACT

A novel output-feedback sliding mode control (SMC) strategy is proposed for a class of single-input-singleoutput (SISO) uncertain time-varying nonlinear systems for which a norm state estimator can be implemented. Such a class encompasses minimum-phase systems with nonlinearities afinely norm bounded by unmeasured states with growth rate depending nonlinearly on the measured system output and on the internal states related with the zero-dynamics. The sliding surface is generated by using the state of a high gain observer (HGO) while a peaking free control amplitude is obtained via norm observer. In contrast to the existing semi-global SMC solutions available in the literature for the class of plants considered here, the proposed scheme is free of peaking and achieves global tracking with respect to a small residual set. The key idea is to design a time-varying HGO gain implementable only from measurable signals.

Keywords: uncertain nonlinear systems, sliding mode control, output-feedback, global tracking, high gain and norm observer.

1 INTRODUÇÃO

Diversas abordagens para lidar com o problema de rastreamento via controle por modos deslizantes e realimentação de saída (output-feedback sliding mode (OFSM) control) para sistemas incertos com grau relativo arbitrário vêm sendo propostas na literatura de controle (Yu & Xu, 2002; Edwards et al., 2006; Sabanovic et al., 2004; Hsu et al., 2002; Hsu et al., 2006). Dentre essas estratégias, destacam-se aquelas que utilizam HGOs (Oh & Khalil, 1997; Cunha et al., 2009) no projeto de controle. Outras abordagens baseadas no controle por modos deslizantes de alta ordem (higher order sliding mode -HOSM) conseguem atingir rastreamento exato através dos bem conhecidos diferenciadores robustos e exatos (robust exact differentiators - RED) de Levant (2003). Contudo, propriedades de estabilidade e/ou convergência desses esquemas de controle são garantidas apenas localmente. Como discutido na introdução deste artigo, a maioria das estratégias baseadas em OFSM obtém resultados globais apenas sob severas hipóteses tais como campos vetoriais limitados linearmente ou uniformemente limitados (Hsu et al., 2002; Hsu et al., 2006; Cunha et al., 2009).

Plantas não-lineares mais gerais foram tratadas em (Hsu et al., 2006; Oh & Khalil, 1997; Esfandiari & Khalil, 1992; Oliveira et al., 2007; Oliveira et al., 2010a), entretanto apenas rastreamento semi-global pôde ser concluído. Isto não é surpreendente visto que, como mostrado em (Mazenc et al., 1994), para sistemas com não-linearidades polinomiais nos estados não-medidos, o problema de estabilização ou rastreamento global via realimentação de saída pode não ter solução. Além do controle por modos deslizantes, muitas outras abordagens para solucionar este problema foram propostos baseados em backstepping, HGOs com ganho variável (Praly, 2001; Krishnamurthy et al., 2002; Krishnamurthy et al., 2003; Lei & Lin, 2005; Ahrens & Khalil, 2007), homogeneidade (Andrieu et al., 2007; Andrieu et al., 2009) ou algum tipo de adaptação (Marino & Tomei, 1995). Contudo, nenhum resultado global foi apresentado para a classe de sistemas considerada no presente artigo no domínio de OFSM, onde a robustez e a possibilidade de obter excelentes respostas transitórias são vantagens reconhecidas e importantes.

Acredita-se que a classe de sistemas abordada aqui está no estado da arte do controle por realimentação de saída com resultados globais comumente considerada por outros autores (Praly, 2001; Lei & Lin, 2005; Andrieu et al., 2007; Andrieu et al., 2009; Praly & Jiang, 2004; Kaliora et al., 2006). Nós tratamos de plantas não-lineares variantes no tempo, de fase mínima, afins no controle, transformáveis para a forma normal e para as quais é possível implementar um observador da norma do estado. Essa classe inclui sistemas nas formas output-feedback e parametric strict feedback, sistemas triangulares com condição de crescimento linear no estado nãomedido e taxa de crescimento possivelmente dependente de estados da dinâmica interna, da saída e do tempo. Não-linearidades polinomiais nos estados não-medidos da dinâmica interna e da saída da planta são também permitidas.

Neste artigo, nós estendemos a aplicabilidade dos resultados utilizando HGO com ganho dinâmico originalmente propostos por Peixoto et al. (2007), e anteriormente restritos a sistemas com crescimento linear nos estados não-medidos e taxa de crescimento constante e conhecida, para uma classe mais ampla de nãolinearidades. O resultado principal é mostrar que o controle por OFSM baseado em um HGO com ganho dinâmico pode também ser usado para a classe no estado da arte de sistemas não-lineares, garantindo rastreamento global e prático. Para obter este novo resultado, a principal modificação com relação ao esquema proposto em Peixoto et al. (2007) reside na capacidade de se obter um majorante para a norma do estado da classe de sistemas não-lineares mais geral considerada neste trabalho, por meio de uma nova formulação de um estima-dor para a norma do estado. Isto permite desenvolver uma novo projeto para o ganho variante no tempo do HGO. Note que, diferentemente da maioria dos esquemas existentes, o ganho do HGO não é atualizado através da solução da equação de Riccati (Praly, 2001; Andrieu et al., 2007; Kaliora et al., 2006) mas, ao contrário, nós utilizamos funções simples (e.g., polinomiais) baseadas em sinais medidos, além de técnicas de majoraçãodominação (domination) (Lei & Lin, 2005; Andrieu et al., 2007; Andrieu et al., 2009). Aparentemente, esse é o primeiro trabalho a conseguir esses resultados em OFSM para a classe de plantas aqui considerada.

Uma desvantagem das estratégias de controle baseadas em HGO é o fenômeno de peaking (Sussmann & Kokotović, 1991), que pode degradar o desempenho do sistema ou mesmo levar à instabilidade. Técnicas para se evitar o peaking através de saturação do sinal de controle já haviam sido propostas em (Oh & Khalil, 1997; Esfandiari & Khalil, 1992), porém essa abordagem leva apenas a resultados locais ou semi-globais. Aqui, seguindo (Cunha et al., 2009), o peaking no sinal de controle é evitado utilizando-se sinais medidos que não são baseados em alto ganho para gerar a magnitude da lei de controle por modos deslizantes. As estimativas do HGO são utilizadas apenas para formar a superfície de deslizamento. Desta forma, um eventual peaking (Sussmann & Kokotović, 1991) na variável de deslizamento é bloqueado pela convencional função sinal utilizada para implementar o sinal de controle por modos deslizantes, visto que a magnitude do sinal de controle é função apenas de sinais disponíveis bem condicionados (sem peaking ).

Estabilidade global com respeito a um conjunto compacto e convergência exponencial para um conjunto residual pequeno no espaço de estado do erro são provadas. Exemplos acadêmicos ilustram a classe de sistemas e o comportamento dinâmico do ganho do HGO.

2 PRELIMINARES

As seguintes notações e terminologia serão utilizadas ao longo do texto:

• A norma-2 (Euclidiana) de um vetor x = [x₁x₂ ··· x_n]^Te a correspondente norma induzida de uma matriz A são denotadas por |x| e |A|, respectivamente. O símbolo λ[A] denota o espectro de A e λ_m[A]= – maxi{Re{λ[A]}}.

• A norma

  
  _∞e de um sinal x(t) ∈ ⁿé definida como ║x_t║ :=sup_{0 < t < t} |x(t)|.

• Funções classe e_∞ são definidas de acordo com (Khalil, 2002, p. 144). ISS, OSS e IOSS significam Input-State-Stable (ou Stability), Output-State-Stable (ou Stability) e Input-Output-State-Stable, respectivamente (Sontag & Wang, 1995).

• (i) α denota funções classe-; (ii) β denota funções classe-_∞; (iii) π denota funções classe-; (iv) Ψ denota funções classe- conhecidas; (v) φ e denotam funções não-negativas conhecidas.

Considere sistemas não-lineares SISO da forma

onde u∈ é a entrada de controle (descontínua), y ∈ é a saída medida, x é o estado e as funções incertas f(·, ·),g(·, ·) e h(·, ·) são suficientemente suaves para garantir existência local e unicidade de solução a partir de qualquer condição inicial (x₀,t₀). Para cada solução de (1) existe um intervalo de tempo máximo de definição dado por [0,t_M ), onde t_M pode ser finito ou infinito.

Portanto, o escape em tempo finito não pode ser excluído a priori. A definição de solução de Filippov é adotada (Filippov, 1964), assim como o conceito de controle equivalente estendido (Hsu et al., 2002, Section 2.3). Denota-se o sinal de controle equivalente (contínuo por partes) simplesmente por u(t).

Nossa estratégia de realimentação de saída conta com a implementação de um observador ou estimador da norma do estado da planta x. Na definição a seguir:

(i) seja u a entrada da planta;

(ii) y é a saída da planta;

(iii) γ₀ é uma função suave;

(iv) φ₀(·, ·,t)e ₀(·,t) são funções não-negativas, contínuas por partes e limitadas em t (como definido em (Kaliora et al., 2006)), além de serem contínuas em seus outros argumentos.

Definição 1 Um observador da norma para o sistema (1)–(2) é um sistema dinâmico de ordem-m da forma:

com estados ω₁∈ , ω₂∈ ^m–1 e constantes positivas φ1,φ2 tais que para τ ∈ [0,τ_M ):

(i) se |φ₀| é uniformemente limitada por uma constante c_o > 0, então |ω₂| pode escapar no máximo exponencialmente e existe (C_o) tal que a dinâmica ω₂ é BIBS (Bounded-Input-Bounded-State) estável w.r.t. φ_o para τ₂ ∃ ;

(ii) para cada x(0), ω1(0), ω2(0), existe ₀ tal que

onde π_o := β₀(|ω₁(0)| + |ω₂(0)| + |x(0)|)e^-λOT com β_o ∈ _∞ e constante positiva λ_o.

3 FORMULAÇÃO DO PROBLEMA

Considera-se o problema de rastreamento global de sistemas da forma (1)–(2) transformáveis para a forma normal (Khalil, 2002):

onde o estado transformado é definido como

O subsistema-η representa a dinâmica interna com η ∈

^n–pe o estado da dinâmica externa (ξ) é dado por

O par (A_p, b_p) está na forma canônica de Brunovsky, i.e,

e c_p =[1 0 ··· 0], além disso, d(x, t) é considerada como uma perturbação não-linear casada e k_p(x, t) é o ganho de alta frequência (high frequency gain - HFG) da planta assumido não-nulo. Note que é assumido, portanto, que a planta (1)–(2) tem um grau relativo ρ forte¹.

Na seguinte hipótese, formula-se as restrições impostas sobre T (x, t), k_p(x, t)e d(x, t), onde a dependência em y = h(x, t) é explicitamente dada a fim de obtermos majorantes menos conservadores. Antes de tudo, para i =1, 2, 3, sejam:

(a) φ_i (|x|, y, t) funções não-negativas, crescentes e contínuas em |x|, contínuas em y, limitadas (majoradas) e contínuas por partes em t;

(b)

_i(y, t) funções não-negativas contínuas em y e limitadas e contínuas por partes em t;

(c) α_i(|x|) funções classe-localmente Lipschitz.

Hipótese 1 Existem funções conhecidas φ_i, _i , α_i e uma constante positiva conhecida cp tais que as seguintes desigualdades são verificadas ∀x,y , ∀t ∈ [0,tM ):

onde φ_i satisfaz φ_i (|x|, y, t) < α_i(|x|)+ _i(y, t), β_T é alguma função classe-_∞ e γ_T é uma função escalar não-negativa e contínua em y e contínua por partes e uniformemente limitada em t.

O limitante inferior para |T| assegura que se estiver limitado, então x também estará e o limitante inferior para k_p garante que ele é positivo (sem perda de generalidade)² . Por outro lado, as funções que limitam superiormente ou majoram T, k_p e d são utilizadas para obtermos limitantes em norma implementáveis para ξ, k_p e d a partir do vetor de estado ω do observador da norma (3)–(4). Vale ressaltar que a transformação T (x, t) não é utilizada para obter ω. De modo geral, os majorantes dados na Hipótese 1 impõem restrições significativas apenas com respeito a dependência no tempo, visto que f(x, t), g(x, t) e h(x, t) são suficientemente suaves (por hipótese) para que T, k_p e d sejam contínuos em x.

Observação 1 (Forma Normal) Para plantas invariantes no tempo, a hipótese de grau relativo uniforme (Khalil, 2002; Isidori, 1995) é uma condição necessária e suficiente para a existência de uma mudança de coordenadas local (difeomorfismo local) que transforma (1)–(2) em (6)–(7). Aqui, não é requerido que o mapeamento T (x, t) (8) seja invertível, mas somente uma transformação global. Uma condição suficiente para assegurar que a planta variante no tempo (1)–(2) seja transformável na forma normal é dada no ^{Apêndice A}.

Adicionalmente, assume-se que:

Hipótese 2 (Fase Mínima) Existe uma função de armazenamento V (η) satisfazendo β(|η|) < V (η) < (|η|) com β, ∈ _∞, tal que:

∀x, y , ∀t ∈ [0,t_M ), para algum β₀∈ K_∞ e alguma função escalar não-negativa φ₀ (|ξ|,t), contínua em |e| e contínua por partes e limitada em t.

A Hipótese 2 garante que a dinâmica interna (6) tem uma propriedade semelhante

a ISS com respeito a uma função apropriada de ξ e t. Por essa razão, isso corresponde à uma generalização do conceito de plantas de fase mínima e possibilita concluirmos que se ξ estiver uniformemente limitado, então η também estará.

Hipótese 3 (Observabilidade da Norma) A planta (1)–(2) admite um observador da norma (Definição 1) para funções γ₀, φ₀, ₀ conhecidas e constantes τ₁, τ₂ > 0.

E bem conhecido da literatura que, no caso invariante no tempo, se a planta (1)–(2) for IOSS (Sontag & Wang, 1997) então ela admite um observador da norma de acordo com a Hipótese 3. Na Seção 8, apresenta-se uma classe mais geral de plantas não-lineares e variantes no tempo para a qual é possível encontrarmos um observador da norma como (3)–(4). Tal classe engloba plantas com condição de crescimento linear nos estados nãomedidos e taxa de crescimento possivelmente dependente de η, y e t. E importante salientar que não-linearidades fortes (polinomiais) em η e y são permitidas.

3.1 Problema de Rastreamento Global

O objetivo é encontrar uma lei de controle dinâmica u via realimentação de saída para levar o erro de rastreamento ou de saída

exponencialmente para zero ou alguma vizinhança pequena de zero (rastreamento prático), partindo-se de quaisquer condições iniciais da planta e do controlador e mantendo todos os sinais da malha-fechada limitados uniformemente, apesar das incertezas do sistema. A trajetória desejada y_m(t) é assumida ser gerada pelo seguinte modelo de referência:

onde em é constante, K_m∈ ^1×p é tal que A_m seja Hurwitz e r(t) é assumida contínua por partes e uniformemente limitada.

3.2 Do Rastreamento para a Regulação

Subtraindo (12) de (7) tem-se

onde ξ_e := ξ – ξ_m é o estado do erro de rastreamento, = [1 0 ··· 0] (então e = ξ₁ - ξ_m1 = y – y_m) e a perturbação equivalente de entrada d_e é definida por

O problema de rastreamento pode ser formulado como um problema de regulação que consiste em encontrar uma lei de controle por modos deslizantes via realimentação de saída (OFSM) u tal que e seja regulado globalmente para uma vizinhança de zero (rastreamento prático). Note que, projetar u apenas para assegurar a convergência de e para uma vizinhança de zero não garante que os sinais em malha fechada estejam uniformemente limitados. O problema de rastreamento prático é projetar u (OFSM) de tal forma que, para quaisquer condições x(0),ω₁(0),ω₂(0): (i) as soluções de (3), (4), (6) e (7) sejam uniformemente limitadas e (ii) a saída e = ξ₁ – ξ_m1 de (13), i.e., o erro de rastreamento (11), tenda para uma vizinhança de zero quando t → ∞.

3.3 Limitantes Auxiliares via Observador da Norma

Os seguintes majorantes para ξ, k_p e d são obtidos, a menos de termos exponencialmente decrescentes, a partir das funções limitantes dadas na Hipótese 1 e do observador da norma formulado na Definição 1:

onde ψ_i(ω, t) := φ_i(2₀, y, t)+ _i(y, t)(i =1, 2, 3) e π = β₁ (|ω(0)| + |x(0)|)e^–λot com algum β₁∈ _∞ e λ₀ na Definição 1 (detalhes no ^{Apêndice C}). Assim, com c_p definido na Hipótese 1 e a partir de (14) pode-se verificar que |d_e|<|d|+(|K_m||ξ|+k_m|r|)/c_p. Além disso, de (15) e (17), a seguinte desigualdade se verifica:

onde δ é uma constante não-negativa arbitrária,

e π₂ := |K_m|π₁/c_p + π₁.

4 LEI DE CONTROLE POR MODOS DESLIZANTES E REALIMENTAçÃO DE SAIDA

Quando apenas y está disponível para realimentação, pode-se escolher

como a superfície de deslizamento, onde S é tal que (A_m,b_p,S) é estritamente real positivo (strictly positive real -SPR) e é uma estimativa de ξ (9) fornecida pelo HGO. A lei de controle u é dada por

Assim, definindo o erro de estimação como

o seguinte lema pode ser enunciado.

Lema 1 (Propriedade ISS de || para ξ_e) Considere a dinâmica que governa ξ_e em (13) com saída = Sξ_e –S, u dado em (21), em (19) e d_e em (14). Então, (13) é ISS com respeito a e^˜e e a seguinte desigualdade se verifica

sendo π_e := β_e(|ω(0)| + |x(0)| + |ξ_e(0)|)e^-λet, β_e ∈ _∞, 0 < λ_e < min{λ_m[A_m],λ₀}, λ₀ dada na Definição 1 e k_e > 0 uma constante apropriada.

Prova: Ver Apêndice

Nosso objetivo é fornecer uma estimativa por meio de um HGO tal que a norma do erro de observação |(t)| seja arbitrariamente pequena e utilizar o Lema 1 para concluir o rastreamento prático e global. Como demonstrado em (Peixoto, 2007), um HGO com ganho constante não é capaz de atender de forma global o objetivo traçado para uma classe geral de plantas nãolineares e desta forma, seguindo a filosofia apresentada em (Peixoto et al., 2007), nós iremos adotar um HGO com ganho variável para atingirmos o rastreamento global.

Um eventual peaking (Sussmann & Kokotović, 1991) em é bloqueado pela função sgn(·) em (21) e o sinal de controle u é livre de peaking visto que (ω, t) é implementado utilizando-se apenas sinais disponíveis bem condicionados (sem peaking). O esquema proposto é representado na Fig. 1.

5 OBSERVADOR DE ALTO GANHO (HGO) COM GANHO VARIÁVEL

O HGO é dado por

onde L_o e H_µ são dados por

O ganho do observador L_o é tal que s^p+l₁s^p-1+...+ l_p é Hurwitz. Neste artigo, ao invés de usarmos um parâmetro µ constante, introduzimos um parâmetro µ = µ(t) ≠ 0, ∀t ∈ [0,t_M ) variável, da forma

onde ψ_µ, chamada função de dominação, é uma função não-negativa (a ser definida) contínua em seus argumentos e >0 é uma constante de projeto.

Para cada trajetória do sistema, µ é absolutamente contínua e µ < . Note que µ é limitada para t em qualquer sub-intervalo finito de [0,t_M ). Portanto,

para algum t_*∈ [0,t_M ) e µ ∈ (0,).

Conside a planta SISO não-linear (1)–(2) transformável na forma normal (6)–(7) sob as Hipóteses 1–3, lei de controle (21), com ∂ dado por (19) e observador de alto ganho (23) com µ sendo dado por (25) e função de dominação apropriada ψ. Então, para constantes τ₂ > 0 suficientemente pequenas, são garantidas estabilidade assintótica global (global asymptotic stability GAS) do sistema do erro com respeito a um conjunto compacto e convergência exponencial do estado do sistema do erro para um conjunto residual de ordem , com ambos os conjuntos sendo independentes das condições iniciais do sistema. Além disso, todos os sinais do sistema em malha fechada são uniformemente limitados. A análise de estabilidade detalhada e o enunciado formal do resultado principal (Teorema 1) serão apresentados posteriormente na Seção 6.

5.1 Dinâmica do Erro de Observação

A transformação (Cunha et al., 2009; Oh & Khalil, 1997)

é fundamental para representar a dinâmica de em um sistema de coordenadas conveniente que nos permite mostrar que fica arbitrariamente pequeno, a menos de termos exponencialmente decrescentes. Primeiro, a partir de (10), (24) e (27), note que:

onde

A_o :=A_p –L_oc_p e Δ:=diag(1 – p, 2 – p, . . . , 0) .

Em seguida, subtraindo-se (23) de (7) e aplicando-se as relações acima, a dinâmica de (22) na nova coordenada ζ (27) é dada por:

5.2 Projeto da Função de Dominação

O ganho do HGO é inversamente proporcional ao pequeno parâmetro µ, e é permitido ser variante no tempo a fim de garantir o rastreamento global. Nesta seção, nossa tarefa é estabelecer as propriedades que a função e dominação ψ_µ(ω, t) em (25) deve possuir para que µ|υ| e || sejam suficientemente pequenas, ao menos após um um intervalo de tempo finito. Consequentemente, após um tempo finito, não afeta a estabilidade de A_o em (31) e ζ ou podem ser feitos arbitrariamente pequenos, a menos de termos exponencialmente decrescentes.

5.2.1 Limitantes Superiores Auxiliares

Note que, a partir de (21), tem-se |µ(t)|< ( ω, t). Assim, a partir dos limitantes superiores (16) e (17), o sinal υ (32) satisfaz

onde ψυ := ψ₂ + + + ψ2ψ3 + + é conhecido e π₃ := . Então, de (25) e (33), pode-se escrever

Com o intuito de desenvolver um majorante para ||, nós precisaremos de um limitante superior para ||. A partir de (9), tem-se ||<|ξ| e, de (15), pode-se verificar que ||< ψ₁(ω, t)+ π₁. Além disso, da Definição 1 e de (21), ₁ e ₂ satisfazem τ₁|₁|<|₁| + (ω, t) e τ₂|₂|<|γ_o(η₂)| + τ₂|φ_o|, respectivamente. Portanto, pode-se concluir que

onde ψ_ω(ω, t) := ψ₁ + |ω₁|/τ₁ + /τ₁ + |γ_o|/τ₂ + |φ_o| é conhecido. Finalmente, multiplicando-se (25) e (35), conseguimos

5.2.2 Propriedades da Função de Dominação

Nós começamos escolhendo a função de dominação ψ_µ em (25) para que as seguintes propriedades sejam satisfeitas com ψ_υ em (33) e ψ_ω em (35):

(P0)ψ_υ<c_µ0(1 + ψ_µ) and ψ_ω<c_µ0(1 + ψ_µ), ∀t ∈ [0,t_M ), sendo c_µ0> 0 uma constante conhecida.

Se ψ_µ satisfaz (P0) então, a partir de 34) e (36), µ|υ| e µ|| podem ser limitadas por

A fim de obtermos um majorante para ||, pode ser calculado diferenciando-se (25):

Note que, é um sinal contínuo por partes que pode ser limitado superiormente por

Nossa estratégia é projetar ψ_µ(ω, t) tal que a seguinte propriedade adicional seja satisfeita:

(P1) || < c_µ1 (1+ψ_µ) and || < c_µ1 (1+ψ_µ), ∀t ∈ [0,t_M ), sendo c_µ1> 0 uma constante conhecida.

Essa propriedade é trivialmente satisfeita por uma função polinomial ψ_µ com coeficientes positivos (vide Seção 5.2.3).

Agora, com ψ_µ satisfazendo (P1), tem-se que:

Consequentemente, de (41), (37) e (38) a seguinte desigualdade pode ser obtida:

onde π₄ := c_µ1π₁ + π₃.

Note que, a partir de (5) e da Hipótese 1, se qualquer sinal do sistema em malha fechada escapa em tempo finito, então ω também escapa. Realmente, de acordo com a Hipótese 3, o sistema goza da propriedade denominada unboundedness observability (UO) (Angeli & Sontag, 1999). Nós usaremos este fato para projetar ψ_µ(ω, t) de modo que se ω escapa em algum tempo finito então ψ_µ(ω, t) também escapa não posteriormente a este instante. A partir de (25), isso irá garantir que o segundo termo no lado direito de (42) será de ordem (), antes de qualquer eventual escape em tempo finito.

Com essa finalidade, ψ_µ deve ser projetado para satisfazer a propriedade:

(P2) ║ω_t║e^-λµtψ_µ (ω, t), ∀ω, ∀t ∈ [0,t_M ), sendo λ_µ uma constante positiva de projeto.

O termo exponencial com taxa λ_µ atua como um fator de esquecimento que permite um projeto para ψ_µ menos conservador. Relembrando que π₄ pode ser escrito como π₄ = β₄ (|ω(0)| + |x(0)|)e^-λ4t, com β₄∈ _∞ e λ₄ sendo uma constante positiva, então, se ψ_µ satisfaz (P2), a seguinte relação pode ser obtida

∀t ∈ [0,t_M ). Pode-se mostrar que (vide Section C) o lado direito de (43) é majorado por , ao menos após algum tempo finito (t_µ> 0). Finalmente, se ψ_µ é projetado para que (P0)–(P2)

com algum β₅∈ _∞. Para compreender que (44) e (45) são satisfeitas, veja o ^{Apêndice C}.

5.2.3 Um Projeto Específico para o Ganho Dinâmico

A hipótese a seguir é útil para determinar ao menos uma classe específica de µ's variantes no tempo, satisfazendo as propriedades listadas acima.

Hipótese 4 Existe um polinômio _µ (|ω|) em |ω|, com coeficientes reais positivos, tal que as funções φ_o,_o (Hipótese 3) e as funções limitantes φ_i,_i (Hipótese 1) satisfazem (i =1, 2, 3):

Agora, relembrando que ψ_υ (ω, t) em (33) e ψ_ω (ω, t) em (35) são dadas por ψ_υ (ω, t)= ψ₂ + + + ψ₂ψ₃ + + e ψ_ω(ω, t)= ψ₁ + |ω₁|/τ₁ + /τ₁ + |γ_o|/τ₂ + |φ_o|, respectivamente, onde ψ_i = φ_i (2 , y, t)+ _i (y, t)(i = 1, 2, 3) em (15)–(17). Então, com a Hipótese 4, pode-se facilmente obter um polinômio p_µ(|ω|) em |ω|, com coeficiente reais positivos, tal que:

Aqui, nós escolhemos ψ_υ como:

onde λ_µ > 0 é uma constante de projeto. Não é difícil verificar que (47) satisfaz (P0) e (P2). Para compreender como (P1) também é satisfeita, veja o ^{Apêndice C}.

De acordo com a Hipótese 4, assume-se a existência de um mesmo polinômio como função de majoração para as funções φ_o,_o,φ_i e _i, o que pode ser conservador no sentido de se obter valores muito conservadores de pµ e, consequentemente, valores muito pequenos para µ(t). Vale ressaltar que essa hipótese não é tão restritiva visto que apenas condições de crescimento polinomial são impostas à φ_o, _o, γ_o, φ_i, _i.

6 ANÁLISE DE ESTABILIDADE E RESULTADOS PRINCIPAIS

A fim de considerar todas as condições iniciais de todos os sinais envolvidos no sistema do erro (13) e (31), seja:

na qual Z⁰ (0) := [η^T(0) ω^T(0)] e λ > 0 é uma constante genérica. A análise de estabilidade do controlador em malha fechada é conduzida no ^{Apêndice D} através dos seguintes passos:

Passo-1 Primeiramente, nós demonstramos que |z(t)| é uniformemente limitado por uma função classe-_∞ de |Z(0)|, ∀t ∈ [0,t_µ).

Passo-2 Depois, para t ∈ [t_µ,t_M ) nós provamos que a norma do erro de observação é limitada por |(t)| < β_z1 (|Z(0)|)e^-λz1t + (), onde λ_z1 > 0 é uma constante e β_z1∈ _∞, desde que seja escolhido suficientemente pequeno e (P0)–(P1) sejam satisfeitas.

Passo-3 Aplicando-se o Lema 1, pode-se também verificar que |ξ_e| , |z(t)| < β_z2 (|z(0)|)e^-λz2t + (), onde λ_z2 > 0 é uma constante e β_z2∈ _∞. Além disso, z(t) não pode escapar em tempo finito.

Passo-4 Finalmente, verifica-se que nenhum sinal da malha fechada pode escapar em tempo finito e que são uniformemente limitados ∀t, contanto que τ₂ (na Definição 1) seja escolhido suficientemente pequeno.

O seguinte teorema resume o resultado principal.

Teorema 1 Considere a planta não-linear SISO (1)–(2) transformável na forma normal (6)–(7) sob as Hipóteses 1–3. Seja a lei de controle dada por (21), com em (19) e considere o observador de alto ganho (23) com µ dado por (25) e a função de dominação ψ_µ projetada tal que as propriedades (P0)–(P2) sejam verificadas. Então, para constantes τ₂, > 0 suficientemente pequenas, existem β_z(·) ∈ _∞ e constantes positivas a, b tais que o estado completo do erro z (48) satisfaz

∀t > 0 e ∀z(0), i.e., GAS uniforme do sistema do erro com respeito ao conjunto compacto {z : |z| < b} e convergência exponencial de z(t) para um conjunto residual de ordem () são garantidas, com ambos os conjuntos sendo independentes das condições iniciais. Além disso, todos os sinais do sistema em malha fechada são uniformemente limitados.

Prova: Ver ^{Apêndice D}.

O fenômeno de chattering de frequência finita (Edwards & Spurgeon, 1998) é evitado e um modo deslizante ideal é produzido graças a uma malha de deslizamento ideal formada em torno da função relé (vide Fig. 1), de acordo com o seguinte corolário.

Corolário 1 (Modo Deslizante Ideal)

Adicionalmente as hipóteses do Teorema 1, se

> |K_m||ξ_m| + |k_m||r| + δ com δ > 0, então o modo deslizante = 0 é alcançado em tempo finito.

Prova: Ver ^{Apêndice D}.

Observação 2 (Chattering no Controle)

A importância da existência do modo deslizante ideal já foi discutida em vários trabalhos, e.g., (Utkin, 1992; Bondarev et al., 1985; Hsu, 1997). Isto se deve porque, na ausência de ruído, a frequência do chattering pode ser arbitrariamente aumentada reduzindo-se o período de amostragem na implementação digital em tempo real do esquema de controle. Em muitas aplicações, como em conversores ou acionamentos elétricos, o chattering com frequência suficientemente alta é aceitável e preserva as vantagens do controle por modos deslizantes. Ao contrário, quando filtros diferenciadores causais lineares são utilizados para reconstruir os estados requeridos na função de chaveamento , pequenos e inevitáveis atrasos são introduzidos na malha de alta frequência e isso geralmente leva ao chattering com frequência limitada, independentemente do período de amostragem, o que deteriora o desempenho do controle por modos deslizantes.

Observação 3 (Ausência de Peaking) Pode-se concluir que ξ_e é livre de peaking notando-se que (13) é ISS com respeito a u e que a função sgn(·) em u (21) bloqueia qualquer eventual peaking presente em para u.

7 ALGORITMO DO CONTROLADOR

O projeto completo do controlador é resumido na Tabela 1. Os parâmetros de projeto podem ser obtidos como a seguir.

Primeiramente, nós projetamos o observador da norma para a o estado da planta x, de acordo com a Definição 1, e transformamos o sistema original para a forma normal. A partir da funções limitantes _o, φ_i, _i (i =1, 2, 3), dadas nas Hipóteses 1–3, obtém-se: as funções ψ_i, a função de modulação (ganho de controle) (19) e as funções limitantes ψ_ω e ψ_υ .

Depois, projeta-se a função de dominação ψ_µ satisfazendo as propriedades (P0)–(P2). A constante λµ > 0 é arbitrária e L_o é tal que s^p+l₁s^p-1+...+lβ seja Hurwitz. O HGO pode ser implementado a partir de (23). Assim, a lei de controle (21) é implementada com superfície de deslizamento (20) escolhida para que (A_m,b_p,S) seja SPR.

A partir das funções φ_o,γ_o e da constante τ₁ dada na Hipótese 3, implementa-se o observador da norma. Finalmente, por simulação, nós iniciamos o algoritmo com valores não tão pequenos de , τ₂ e depois diminuímos até que um rastreamento aceitável seja obtido. Posteriormente, nós diminuímos τ₂ a fim de assegurar que ω₂ seja limitado (vide Definição 1). Note que a análise de estabilidade (Teorema 1) assegura a existência de e τ₂ suficientemente pequenos para se obter rastreamento aceitável e todos os sinais em malha fechada limitados uniformemente, independentemente das condições iniciais. Entretanto, vale ressaltar que uma determinada sintonia de , τ₂ pode ser válida apenas para as condições iniciais utilizadas no procedimento de sintonia descrito.

O projeto da função de modulação pode ser conservador no sentido de gerar amplitudes elevadas do sinal de controle, podendo eventualmente saturar o atuador durante um transitório em um experimento real. Além disso, valores muito pequenos de e τ₂ pode inviabilizar a implementação digital do HGO e do estimador da norma, respectivamente. Por outro lado, de acordo com o Teorema 1, o erro de rastreamento converge para um conjunto residual de ordem () uma vez escolhidos valores de e τ₂ suficientemente pequenos e uma função de modulação apropriada. Portanto, fica evidente os impactos do conservadorismo sobre o rastreamento.

8 UMA CLASSE ILUSTRATIVA DE PLANTAS NÃO-LINEARES

Nós podemos controlar plantas (1)–(2) da forma

transformáveis para a forma normal (vide Observação 1) satisfazendo a Hipótese 1. O estado x é particionado em x^T:= [ η^T υ], com υ ∈ ^p ,e k_µ > 0 sendo uma constante. Note que esse sistema não está nem na forma triangular nem é invariante no tempo como em (Praly & Jiang, 2004).

Agora, nós formularemos condições suficientes para Φ^T = [Φ₁ ... Φ_p] tais que (50)–(51) satisfaça a hipótese de fase mínima (Hipótese 2) e a hipótese sobre a existência de um observador da norma (Hipótese 3).

Assim como em (Qian & Lin, 2002; Praly & Jiang, 2004; Choi & Lim, 2005), considera-se que:

(C0) (Condição de Triangularidade) Para i =1,..., ρ:

|Φ_i| < φ_r(|η|, y, t)(|υ₁| + ... + |υ_i|)+ φ_υ(|η|, y, t) ,

∀t ∈ [0,t_M ), onde _r, _υ são funções conhecidas nãonegativas, contínuas em y e contínuas por partes e limitadas em t satisfazendo φ_r(|η|, y, t) < Ψ_r(|η|)+ _r(y, t) e φ_υ(|η|, y, t) < Ψ_υ(|η|)+ _υ(y, t) com funções Ψ_r, Ψ_υ ∈ localmente Lipschitz também conhecidas.

Para o subsistema η, nós admitimos que pode-se obter uma função de armazenamento V (η) satisfazendo α (|η|) < V (η) < (|η|), com α (σ) = λσ², (σ) = σ² e λ, λ conhecidos de modo que a seguinte condição é verificada.

(C1) Existem funções conhecidas não-negativas φ_η(y, t), contínuas em y, contínuas por partes e limitadas em t e um α ∈ também conhecido tal que ∀t ∈ [0,t_M ):

onde a função classe-α o ^-1 é stiffening³ no intervalo (0, ∞).

Note que, (C1) implica na Hipótese 2. Além disso, (C0) e (C1) nos permitem implementar o seguinte observador da norma de 3ªordem para x:

que está em concordância com a Definição 1. A dinâmica de ω₂₁ fornece um majorante para |η|, enquanto que a dinâmica de ω₂₂ provê um majorante para |υ|, de modo que:

sendo c₀, c₁, c₂ constantes não-negativas, π := β0(|ω(0)| + |x(0)|)e^–λot e τ₁,τ₂,λ_o constantes positivas de projeto. No ^{Apêndice B}, são dados os passos necessários para obtermos as funções φ₁,φ₂, φ₃ e φ₄ do observador da norma. A seguir, ilustra-se a classe de sistemas através de um exemplo acadêmico não-trivial.

Exemplo 1 (Classe de Sistemas) Considere a seguinte planta não-linear de 4ª ordem e grau relativo ρ = 3:

. O termo cruzado

No próximo exemplo, nós focamos apenas em observar o comportamento variante no tempo de µ(t).

Exemplo 2 (Comportamento do Parâmetro µ)

Considere o caso simples, sem dinâmica dos zeros e grau relativo dois (ρ=2), onde (50)–(51) é reduzido para:

A planta já está na forma normal (6)–(7) (com T = I), na qual ξ = x, k_p = k_u e k_pd = – δ₁ξ₂ + δ₂y² + δ₃ sen(2πδ4t). A Hipótese 1 é satisfeita com: φ₁ = γ_T = ₁ = 1, α₁ = β_T = 0, c_p = 1, φ₂ = ₂ = 2, α₂ = 0, α₃ =3|x|, ₃ =3y² +2 e α₃ = α₃ + ₃.

Os parâmetros incertos são: 1 < k_u < 2, 1 < δ1 ,δ2 < 3,0.5 < δ3 < 2 e 8 < δ4 < 10. Os parâmetros reais da planta, assumidos desconhecidos, são k_u = 2, δ₁ = 2, δ₂ =1, δ₃ =0.7e δ₄ =10.

Naturalmente, a Hipótese 2 (e (C1)) são inexistentes neste caso. Além disso, visto que δ₁ > 0, não é difícil verificar que a Hipótese 3 é satisfeita com o observador da norma de 2ªordem da Tabela 1, sendo: τ₁ = τ₂ = 1, γ_o = –ω₂, φ_o =8|ω₁| +3y² +2 e o =2|ω₁| + |ω₂| + |y|. Note que, como υ₁ = y é medido, apenas um limitante para a norma de υ₂ = y˙é necessário.

Na Tabela 1, o par (A_p,b_p) está na forma canônica de Brunovsky (com p = 2) e a trajetória desejada y_m é gerada com k_m = 4, A_m = A_p + b_pK_m, K_m =[ –4 –2] e r = sgn(sen(0.5πt)). As funções de modulação e dominação são dadas por = 15|ω1| +7.4|ω2| +4.4|y| + 3y² +4|r| +2.1 e ψ_µ = 56|ω₁|+28|ω₂| +13|y| +15y² +22, respectivamente. Além disso, o HGO e a superfície de deslizamento são implementados com l₁ = 2, l₂ =1e S =[ 2 1].

Para y(0) =0 e (0) = 0, com um constante e grande valor de µ(t)= =1, uma aparente degradação na precisão do rastreamento em malha fechada (y nem mesmo converge para y_m) é observado na Fig. 2 (a). Além disso, para y(0)=5 e (0) = 0, a saída da planta escapa em t ≈ 1.79s (curva não mostrada). Por outro lado, quando o parâmetro µ(t) variante no tempo é implementado com o mesmo grande valor em = 1, a saída da planta converge para a trajetória desejada a partir de y(0) = 5, como mostrado na Fig. 2 (b). Neste caso, a evolução de µ(t) ao longo do tempo é mostrada na Fig. 2 (c), a partir da qual pode-se verificar que uma constante µ = = 0.0005 poderia ser usada. Entretanto, esse valor não é conhecido a priori. Além do mais, muito cuidado deve ser tomado ao reduzir , visto que existe um compromisso entre robustez a ruído de medição e a precisão do rastreamento. Até o presente momento, não existe estratégia de controle por modos deslizantes que seja imune a ruído de medição. Isto ainda é mais crítico em esquemas via realimentação de saída baseados em diferenciadores e observadores de alto ganho, como é caso do esquema proposto neste trabalho. Por outro lado, os testes experimentais realizados com esquemas também baseados em alto ganho (Cunha et al., 2005) indicam que a robustez do algoritmo proposto com respeito à ruído de medição é, até certo ponto, aceitável. Apesar disso, uma melhor avaliação da influência do ruído de medição no desempenho do sistema de controle se faz necessária.

é apresentada. A

9 CONCLUSÕES

O desafiador problema de rastreamento global para sistemas SISO não-lineares incertos e variantes no tempo foi resolvido através do controle por modos deslizantes utilizando somente realimentação de saída. Foi considerada uma ampla classe de plantas que incluem não-linearidades majoradas de forma afim no estado não-medido com taxa de crescimento dependente nãolinearmente de estados internos e da saída medida. Este artigo mostra que é possível aplicar técnicas de dominação e projetar um HGO com ganho dinâmico a fim de obter rastreamento global e prático via controle por modos deslizantes e realimentação de saída, livre de peaking. Acreditamos que esse seja o primeiro resultado global no contexto de SMC para a classe de sistemas considerada.

AGRADECIMENTOS

Este trabalho contou com o apoio financeiro da FAPERJ, da CAPES e do CNPq.

Artigo submetido em 29/03/2010 (Id.: 01122)

Revisado em 20/09/2010

Aceito sob recomendação do Editor Associado Prof. Luis Fernando Alves Pereira

Neste apêndice, considera-se sistemas na forma (50)–(51) satisfazendo (C0) e (C1) da Seção 8. A seguir, nós fornecemos os passos para a obtenção do observador da norma (53)–(55), de acordo com a Definição 1.

• Limitante para |η|:

  obtendo

  c

  ₀

  e

  φ

  ₁

  em (54)

onde φ₁ = φ_η + c₀∈ + α₁(ε), c₀ = λ são conhecidos e o operador * denota a convolução pura. Relembrando que λ|η|² < V , então pode-se obter |η|< + π₀, com ω₂₁ em (54) e π₀ sendo um termo exponencialmente decrescente dependente de |η(0)| e |ω₂₁(0)|.

• Limitante para |

  υ|:

  obtendo φ

  ₂

  e φ

  ₃

  em (55)

Será util reescrever (51) na forma compacta

onde (A_p, b_p) é o par canônico de Brunovsky e aplicar a mudança de variável = υ – b_pk_uτ₁ω₁ para obtermos:

Pela observabilidade do par (A_p,c_p), onde c_p = [1 0 ... 0], existe uma matriz P = P^T > 0 e um vetor coluna arbitrário L satisfazendo + PA_L = –I, sendo A_L = A_p – Lc_p uma matriz Hurwitz.

Agora, considerando T₁ := diag(1, ε, ε²,...,ε^p–1) e uma constante ε > 0 qualquer, as seguintes propriedades podem ser checadas: (i) T₁A_p = ε^–1A_p, (ii) c_p = c_p e (iii) T₁b_p = b_pε^p–1 . Assim, somando e subtraindo o termo (εT₁)^–1Lc_p na dinâmica de , pode-se escrever = [A_p – (εT₁)^–1 Lc_p] + b_pk_uω₁ + ϕ +(εT₁)^–1Ly. Além disso, aplicando-se a transformação = T₁ e considerando as propriedades (i)–(iii) acima, tem-se que

O passo chave é notar que, devido à condição de triangularidade (C0):

onde k é independente de ε. Em seguida, utilizando-se a derivada de Dini

onde π₁ é um termo exponencialmente decrescente e a função não-negativa ₁, assim como, as constantes nãonegativas c₁,c₂ são todas conhecidas, satisfazendo c₁< 1/(2λ_max(P)), c₂< |P|k_v/λ_min(P) e [|b_pε^p–1k_uω₁ + ε^–1Ly| + φ_v] c₃ < ₁ + π₁, com c₃< |P|.

Portanto, dado qualquer V , ou

Agora, considere

com as funções não-negativas φ₂, φ₃ em (55) a serem determinadas. Assim, (55) pode ser escrita como

como γ(σ) := 1 – e^-σ. Consequentemente, utilizando-se a função limitante Ψ_r, dada em (C0), devemos escolher ₄ em (61) (e as funções φ₂, φ₃) a fim de satisfazer:

• Limitante para |

  υ|

O limitante para o subsistema-υ pode ser obtido considerando-se dois casos para a taxa de crescimento φ_r (|η|, y, t): φ_r > k_r e φr < k_r, onde k_r = 3/(c₂τ₂) e τ₂ é a constante positiva de projeto em (62).

Caso 1: Neste caso, tem-se 3/τ₂< c₂k_r +1 < c₂φ_r + 1 < ₄. Deste modo, pode-se verificar que

Agora, considere W := ln(V + 1) (Kaliora et al., 2006). Então, = / (V + 1) e, a partir de (60), pode-se escrever

com ε = c₁τ₂, ₃ := ₁|ε=c₁τ₂ e notando-se que V/(V + 1) , 1/(V + 1) < 1.

Agora, dado qualquer W , temos duas possibilidades: W < ω₂₂ ou W > ω₂₂. Considerando o último caso, pode-se escrever –γ(ω22) > –γ(W ), visto que γ é uma função crescente. Por essa razão, a partir de (64) e (62), tem-se que ₂₂> – π₁. Além do mais, de (63), ₂₂ também satisfaz ₂₂> 1/τ₂. Consequentemente, somando as duas ultimas desigualdades obtém-se

Recordando que π₁ = β₁e^-λ1τ e fazendo = W + π₁/λ₁, para alguma constante positiva λ1 e β1 ∈ _∞. Então, tem-se – 2ω₂₂< , a partir do qual pode-se concluir que, < 2ω₂₂ – T/τ₂ + |(0) – 2ω₂₂(0)|. Note que, é sempre possível encontrar um termo exponencialmente decrescente que seja um majorante para a função afim no tempo acima, i.e., –t/τ₂ +|(0)–2ω₂₂(0)| < π₂, onde π₂ := β₂(|(0)| + |ω₂₂(0)|)e^–λ2t, com β₂∈ _∞ e alguma constante λ₂ > 0. Finalmente, dado W , pode-se concluir que W < 2|ω₂₂| + π₂ + π₁/λ₁ e, utilizando o Teorema da Comparação (Khalil, 2002) e relembrando que V = e^W – 1, podemos escrever

sendo π₃ um termo exponencial decrescente.

Caso 2: Assuma que φ_r< k_r e faça ε = c₁/(c₂k_r + 2) em (60). Desta forma, pode-se escrever:

na qual

₂ = ₁|ε=c₁/(c₂ k_r+2). Neste caso, somando os dois limitantes obtidos de (66), podemos escrever também

sendo π₄ um termo exponencial decrescente. Assim, a partir de (65) e (67) tem-se

com ε = c₁/(3/τ₂ + 2) e utilizando-se a desigualdade de Rayleigh, pode-se obter um limitante superior para υ.

Finalmente, juntando-se os majorantes para |υ| e |η|, podemos obter a função não-negativa φ₄ e as constantes não-negativas em (56).

• Demonstrações das Desigualdades (15), (16) e (17)

• Demonstrações das Desigualdades (44) e (45)

. Agora, considere que β

• Provando que (47) Satisfaz (P1)

|

• Prova do Lema 1

com k₁ > 0 sendo uma constante e π₁ = β₁(|ξ_e(0)|) e^-λmt um termo exponencialmente decrescente com alguma função β₁∈ _∞ e 0 < λm < λm[Am]. Note que, para todo , ou |Sξ_e|<|S| ou |Sξ_e| > |S|. Sendo assim, ou |Sξ_e|<|S| ou sgn() = sgn(Sξ_e). Considere o último caso.

Utilizando-se a função de energia V = Pξ_e, onde P = P^T > 0 é a solução de P + PA_m = –I, pode-se assegurar que a derivada temporal de V ao longo das soluções de (13) satisfaz

em (19) satisfaz (18), tem-se que

• Prova do Teorema 1

Passo-1: A partir da Definição 1, da Hipótese 1 e de (44), pode-se verificar que |z(t)| > β₁(|z(0)|) + K₁, ∀t ∈ [0, t_µ], onde β₁∈ _∞ e K₁> 0 é uma constante.

Passo-2: Considere a dinâmica-ζ (31) e a função de armazenamento V = ζ^TPζ, onde P = P^T > 0 é a solução de P + PA_o = –I. Então, a derivada temporal de V ao longo das trajetórias de (31) satisfaz µ= –|ζ|² +()[2ζ^TPΔζ]+(µν)[2ζ^TPb_p]. Agora, projetando para satisfazer (P0)–(P2), (45) é válida e a seguinte desigualdade é verificada ∀t ∈ [t_µ,t_M): µ

< –|ζ|² + ()k₁|ζ|² + ()k₂|ζ|, sendo k₁ := 2|P ||Δ| e k₂ := 2|P||b_p|. Além disso, visto que ab < a² + b², para quaisquer números a, b reais positivos, então

da qual pode-se concluir que µ

< –λ₁V + (), com uma constante apropriada λ₁ > 0. Agora, seja V < 2()/λ₁ ou µ< –µ₁V/2. Considere o ultimo caso. Como µ <, logo < –λ₁V/(2). Consequentemente, conclui-se que |ζ| , || < β₂(|ζ(0)|)e^–λ2t + (), ∀t ∈ [t_µ,t_M ), com uma constante apropriada λ₂ > 0 e algum β₂∈ _∞. Na ultima desigualdade, o limitante para || foi obtido notando-se que = ζ implica em || < |ζ|, visto que || < 1 para µ<1.

Passo-3: A partir do Lema 1, existe uma propriedade ISS de || para ξ_e e, considerando o majorante dado no Passo-1, pode-se concluir que |ξ_e|, |z(t)| < [β₃(|z(0)|)+ k₃]e^-λ3t + (), ∀t ∈ [0,t_M ), com constantes apropriadas λ₃ > 0, k₃> 0 e algum β₃∈ _∞. Assim, |z(t)| não pode escapar em tempo finito, sendo uniformemente limitado em := [0,t_M ) (UB).

Passo-4: Uma vez que z(t) é UB, então ξ_e, σ = Sξ_e, ζ e ξ = ξ_e + ξ_m são UB e, a partir da Hipótese 2, η, são também UB. Além disso, de acordo com o limitante inferior para |T (x, t)| dado na Hipótese 1 tem-se que x é UB. Assim, as funções limitantes superiores dadas na Hipótese 1 garantem que d, k_p,de são também UB. Agora, reescrevendo (13) na forma normal, pode-se escrever = –λ₄σ + k₄(u + d_e), para algumas constantes λ₄, k₄ > 0. Além disso, pela linearidade da solução da ultima equação, pode-se tamém escrever σ = σ₁ + σ₂, onde ₁= –λ₄σ₁ + k₄u e ₂ = –λ₄σ₂ +k₄d_e, com condições iniciais apropriadas. Portanto, visto que σ e d_e são UB, σ₂ e σ₁ também são. Neste caso, qualquer sinal satisfazendo ₃ = –λ₅σ₃ +k₅u, onde λ₅,k₅ > 0 são constantes, é também UB, em particular, ω₁ definido em (3). Como y, ω₁ são UB e φ_o é contínuo por partes em seus argumentos, então a dinâmica-ω₂, na Definição 1, não pode escapar em tempo finito. Finalmente, pode-se concluir que todos os sinais do sistema não podem escapar em tempo finito, i.e., t_M→ ∞. Assim sendo, a partir do Passo-3, pode-se verificar diretamente que o sistema do erro é GAS com respeito a um conjunto compacto {z : |z|< b} e que z(t) é exponencialmente convergente para um conjunto residual de ordem ().

(|

• Prova do Corolário 1

=

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Apêndice A

+ para (+β

A fim de considerar explicitamente a dependência do tempo de f(x, t) em (1), seja: β_k := L_f β_k–1 + + para K ∈ {1,...,p} e β₀ := 0. Uma condição suficiente para garantir que a planta variante no tempo (1)–(2) é transformável para a forma normal é dada por: L_g[h + β_k] ≡ 0 (k ∈ {0,...,p – 2}), onde a derivada de Lie de uma função h ao longo de um campo vetorial f é denotada por L_f h, como em (Khalil, 2002, pp. 510). Neste caso, a transformação T (x, t)=[η^T (x, t)] é tal que T_ξ := [h+β₀, L_f h+β₁, ... h+β_p–1]^T. Adicionalmente, o HFG da planta k_p(x, t)= L_g[h+β_p–1], a perturbação de entrada d(x, t)=(+β_p) / k_p T devem satisfazer a Hipótese 1.

Apêndice B

A partir de (C1), a função α₁ é stiffening. Isso garante que α₁(σ) > λσ, ∀σ > ε, para qualquer ε > 0 e 0 < λ < α1 (ε) / ε. Além disso, de (52), pode-se escrever < –α1(V)+ φ_η(y, t) ou, equivalentemente, ^˙< –λV +[λV – α1(V)] + φ_η(y, t). Agora, dado qualquer V , ou V < ε ou V > ε. Consequentemente, ou ^˙< –λV +[λε + α1(ε)] + φ_η ou ^˙< – λV + φ_η, o que nos faz concluir que V^˙< – λV +[λε+α₁(ε)]+φ_η. Portanto, usando o Teorema da Comparação (Khalil, 2002), obtém-se

Apêndice C

Apêndice D

Introduzindo a transformação de coordenadas

_e = T_nξ_e, com ξn :=[ I S^T ]^T, o sistema (13) pode ser levado para a forma normal. Logo, pode-se concluir que (13) é OSS com respeito à saída de grau relativo unitário Sξ, ou seja, ξ_e e e satisfazem

1

Esta terminologia é utilizada em (Diao & Passino, 2001), onde a dependência do tempo é considerada na então chamada"derivada de Lie modificada".

2

O caso com sgn(kp) desconhecido (direção de controle desconhecida) poderia ser considerado utilizando-se a generalização da técnica de funções de monitoração para grau relativo arbitrário introduzida em (Oliveira et al., 2007).

3

Assim como em (Arcak et al., 2002), nós dizemos que α

₁ (σ) é stiffening se para todo λ > 0, existe ε > 0 tal que σ

> ε ⇒ α

₁ (σ)

> λ σ. Uma condição menos conservadora sobre α o

^-1 tal qual a condição ULLB (ultimately linearly lower bounded) introduzida em (Oliveira et al., 2010b; Oliveira et al., 2009) poderia ser utilizada ao invés da restrição

stiffening.

⁴ Para evitarmos a derivada de Dini, poderíamos ter utilizado a relação ab : a

² + b

², válida 'a,b > 0, à custa de algum conservadorismo.

⁴

e o limitante superior ψ

_υ dado em (C0), a derivada temporal de V :=

ao longo da solução da dinâmica de ν satisfaz

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  19 Jul 2011
• Data do Fascículo
  Jun 2011

Histórico

• Aceito
  20 Set 2010
• Recebido
  29 Mar 2010