Movimiento: Elemento Consustancial al Desarrollo del Pensamiento de Estudiantes de Educación Escolar Media en un Curso de Cálculo

Movimento: Elemento Consubstancial ao Desenvolvimento do Pensamento de Estudantes do Ensino Médio num Curso de Cálculo

Resumen

El propósito de este artículo es analizar una manera en la que tres estudiantes de educación escolar media pueden alcanzar otro nivel en el desarrollo de su pensamiento , al abordar el concepto de movimiento en un curso de cálculo. Presentamos, inicialmente, aspectos generales de la metodología de la investigación. Una investigación concebida bajo un paradigma cualitativo, desde un enfoque crítico-dialéctico, realizada en una institución educativa de carácter oficial de la ciudad de Medellín (Colombia). Planeamos Actividades Orientadoras de Enseñanza (AOE) como estrategia teórico-metodológica del trabajo en el aula, en el marco de la Teoría de la Actividad . Las protagonistas de la investigación fueron tres estudiantes que cursaban el grado undécimo. Luego, planteamos el movimiento a partir del materialismo dialéctico, como elemento consustancial al desarrollo del pensamiento de las estudiantes protagonistas de la investigación. A manera de conclusión, comprendemos que el nivel de desarrollo del pensamiento alcanzado por las estudiantes se produjo acorde con el proceso histórico-cultural del desarrollo del pensamiento del ser humano, en general a través de la actividad . Un nivel en el que las estudiantes profundizaron en el estudio de los objetos abordados. En esa línea, comprendemos que la actividad en la que las estudiantes se sumergieron, a través de las AOE realizadas, posibilitó el movimiento particular del pensamiento de cada una de ellas, en el proceso de su aproximación consciente a algunos objetos del cálculo escolar cuya esencia es el movimiento mismo.

Actividades Orientadoras de Enseñanza; Teoría de la Actividad; Materialismo Dialéctico; Consciencia; Nivel de Desarrollo

Resumo

O propósito deste artigo é analisar a maneira pela qual três estudantes do ensino médio podem alcançar outro nível no desenvolvimento do seu pensamento , ao abordar o conceito de movimento num curso de cálculo. Apresentamos, inicialmente, aspectos gerais da metodologia da pesquisa. Uma pesquisa concebida sob um paradigma qualitativo, desde um enfoque crítico-dialético, realizada numa instituição educativa pública, da cidade de Medellín (Colômbia). Planejamos Atividades Orientadoras de Ensino (AOE) como estratégia teórico-metodológica do trabalho na sala de aula, no marco da Teoria da Atividade . As protagonistas da pesquisa foram três estudantes que cursavam o segundo grau do ensino médio. Depois, expusemos o movimento a partir do materialismo dialético, como elemento consubstancial ao desenvolvimento do pensamento das estudantes protagonistas da pesquisa. À maneira de conclusão, compreendemos, que o nível de desenvolvimento do pensamento conseguido pelas estudantes produziu-se de acordo com o processo histórico-cultural do desenvolvimento do pensamento do ser humano, em geral, através da atividade . Um nível no qual as estudantes se aprofundaram no estudo dos objetos abordados. Apontamos que a atividade sobre a qual as estudantes se debruçaram, através das AOE realizadas, possibilitou o movimento particular do pensamento de cada uma delas, no processo de sua aproximação consciente a alguns objetos do cálculo escolar cuja essência é o movimento mesmo.

Atividades Orientadoras de Ensino; Teoria da Atividade; Materialismo Dialético; Consciência; Nível de Desenvolvimento

1 Introducción

Desde el materialismo dialéctico, el movimiento ¹ es “una modalidad o atributo de la materia” ( ENGELS, 1961 , p. 47); es condición sine qua non de la existencia y funcionamiento mismo de las cosas. Bajo esa perspectiva, el movimiento es un aspecto esencial de la materia – realidad objetiva existente – cuyo elemento consustancial es el cambio . Es este uno de los elementos fundamentales de nuestra apuesta epistemológica, gnoseológica y ontológica – enmarcada en una perspectiva histórico-cultural de la educación matemática – y que ampliamos a lo largo del presente artículo. En esa línea abordamos, principalmente, dos formas del movimiento: el movimiento mecánico y el movimiento del pensamiento . Este último como esencia del desarrollo del pensamiento mismo.

Comprendemos el desarrollo del pensamiento del ser humano como un proceso histórico-cultural derivado de su actividad . Nos referimos a la actividad en el sentido de la Teoría de la Actividad ( LEONTIEV, 1984 ). Esto es, la actividad entendida como un proceso de humanización, a través del cual el sujeto identifica las necesidades que surgen de su relación con su entorno. De esta manera, para satisfacer sus necesidades, el ser humano transforma el entorno y, en un acto de superación de la inmediatez de su interacción, se transforma a sí mismo por medio de la actividad , la cual es realizada en colectivo con aquellos con quienes se constituye como un ser social.

La actividad considerada en la escuela por autores como Moura (2001 , 2016 ) es una resignificación de la Teoría de la Actividad en prácticas sociales como la educación y, específicamente, en la educación matemática. Como resultado de esta resignificación, este autor propone las Actividades Orientadoras de Enseñanza ( AOE) para la constitución de la actividad de enseñanza en dialéctica con la actividad de aprendizaje en la clase de matemáticas.

En la literatura se reporta que la enseñanza de conceptos del cálculo en la educación escolar media² , desde el formalismo propio del análisis matemático, dificulta su aprendizaje por parte de los estudiantes ( CANTORAL, 1995 ; BLÁZQUEZ et al ., 2006 ; MOLFINO; BUENDÍA, 2010 ; QUINTERO; JARAMILLO, 2013 ; QUINTERO; JARAMILLO, 2015 ; QUINTERO, 2018 ; QUINTERO; JARAMILLO, 2020 , entre otros). Así, identificamos que enseñar el cálculo escolar de esa manera dificulta, de un lado, la apropiación de la esencia de los objetos que le son propios, y, de otro, el desarrollo del pensamiento de los estudiantes. Por ello, consideramos que la enseñanza de conceptos del cálculo debe discutirse desde otras apuestas dirigidas hacia una enseñanza entendida como actividad , de manera tal que genere en los estudiantes la necesidad del aprendizaje y que fomente el desarrollo de su pensamiento .

De acuerdo con lo anteriormente expuesto, el propósito de este artículo es analizar una manera en la que tres estudiantes de educación escolar media pueden alcanzar otro nivel en el desarrollo de su pensamiento, al abordar el concepto de movimiento en un curso de cálculo .

Además de la introducción, el presente artículo está organizado en tres secciones. En la primera sección, presentamos aspectos generales de la metodología de investigación de donde surgió este artículo. Una investigación concebida en un paradigma cualitativo ( DENZIN; LINCOLN, 2012 ), bajo un enfoque crítico-dialéctico ( SÁNCHEZ, 1998 ), realizada en una institución educativa de carácter oficial de la ciudad de Medellín (Colombia). Presentamos también, en esta sección, las Actividades Orientadoras de Enseñanza (AOE) como estrategia teórico-metodológica del trabajo en el aula, en el marco de la Teoría de la Actividad .

En la segunda sección, presentamos el análisis de algunos resultados de la investigación en diálogo con algunos elementos teóricos. Así, presentamos el concepto de movimiento desde el materialismo dialéctico ( ENGELS, 1961 ; KOPNIN, 1978 ); y, a partir de los datos, mostramos que el movimiento se tornó elemento consustancial al desarrollo del pensamiento de las estudiantes protagonistas de la investigación. En la tercera sección concluimos que el nivel de desarrollo del pensamiento alcanzado por las estudiantes protagonistas de la investigación se produjo acorde con el proceso histórico-cultural del desarrollo del pensamiento del ser humano, en general: a través de la actividad – práctica y mental. Un nivel en el que las estudiantes profundizaron en el estudio de los objetos abordados. En esa línea, comprendimos que la actividad en la que las estudiantes se sumergieron – a través de las AOE realizadas – posibilitó el movimiento particular del pensamiento de cada una de ellas, en el proceso de su aproximación consciente a algunos objetos del cálculo escolar cuya esencia es el movimiento mismo.

2 Sobre la Metodología

El presente artículo es derivado de una investigación doctoral intitulada Desarrollo del pensamiento teórico de estudiantes del grado undécimo en un proceso de objetivación del concepto de límite de una función ( QUINTERO, 2018³ ). La investigación fue concebida en un paradigma cualitativo ( DENZIN; LINCOLN, 2012 ), bajo un enfoque crítico-dialéctico ( SÁNCHEZ, 1998 ). A la luz de este enfoque, nos basamos en el concepto de dialéctica asumido por Kopnin (1978) ; esto es, la dialéctica como un método de conocimiento de la esencia de los fenómenos de la realidad – naturales y sociales – que están en permanente interrelación, movimiento y cambio .

Para la producción conjunta de registros y datos de la investigación planeamos ocho AOE ( MOURA, 2001 , 2016 ). Estas AOE fueron desarrolladas por un grupo de estudiantes de grado úndecimo (45 estudiantes mujeres), de un curso de cálculo , de una institución de carácter oficial de la ciudad de Medellín (Colombia). Para el análisis de la investigación consideramos las actividades realizadas por tres estudiantes, Dana, Ana y Eliza⁴ . Hicimos un análisis a partir de una triangulación entre los datos, nuestra mirada como investigadores y algunos referentes teóricos propios de la perspectiva histórico-cultural de la educación matemática.

Las AOE propuestas por Moura (2001 , 2016 ) se fundamentan en la Teoría de la Actividad ( LEONTIEV, 1984 ). La actividad es entendida, aquí, como un proceso de humanización a través del cual el sujeto identifica las necesidades que surgen de su relación con el entorno. La actividad contiene aspectos como: una necesidad, un motivo, unas acciones y unas operaciones. La necesidad surge desde y en la cultura y, a su vez, genera un motivo. Las operaciones concretizan las acciones y posibilitan alcanzar el objetivo. En las AOE tanto el maestro como el estudiante son sujetos de la actividad misma, pero con necesidades y, por ende, motivos y objetivos diferentes. Así, mientras el maestro se sumerge en actividad de enseñanza, el estudiante se sumerge en actividad de aprendizaje.

En el artículo presente nos referimos, específicamente, a dos AOE realizadas. Como parte de la organización de cada una de las AOE, sugerimos a las estudiantes del curso que conformaran equipos de trabajo, en línea con nuestra apuesta epistemológica, gnoseológica y ontológica sobre el aprendizaje. Es decir, el aprendizaje entendido como un proceso social en el que se da un “encuentro consciente” ( RADFORD, 2013 , p. 39) entre el individuo y el objeto cultural a partir de su interacción con el otro. Un otro concebido como aquel que no soy yo ( BAJTÍN, 2004 , 2009 ); un yo que, en términos bajtinianos, no puede concebirse sino con la presencia activa del otro, pues su esencia es completamente social. Es decir, un yo que se constituye a partir de las diferentes voces de los otros ; otros que, de alguna manera, le posibilitan a ese yo aprender.

Cada una de las AOE constó de dos momentos. El primer momento fue de carácter experimental; en él tuvimos la intencionalidad que las estudiantes reflexionaran sobre un objeto en forma concreto-sensorial, como una fuente de conocimiento, para posibilitar el movimiento de su pensamiento . Nos referimos a lo concreto-sensorial (o sensorial-concreto) en el sentido del planteamiento de Kopnin (1978) ; esto es, como uno de los momentos del desarrollo del pensamiento en el cual el sujeto tiene un encuentro directo con el objeto. Un encuentro sensorial cuyo resultado inmediato es no racional, pero, se transforma en el fundamento para el proceso del conocimiento. Lo sensorial y lo racional son solo dos momentos que están concatenados durante todo el proceso de desarrollo del pensamiento. El segundo momento constó de las respuestas que las estudiantes dieron a las preguntas planteadas, por escrito, en sus respectivos grupos de trabajo para socializarlas, después, en el aula, ante toda la clase.

3 El Movimiento como Elemento Consustancial al Desarrollo del Pensamiento

Como lo expresamos en la introducción, comprendemos el movimiento – desde la perspectiva histórico-cultural y, particularmente, desde el materialismo dialéctico – como un aspecto esencial de la materia cuyo elemento consustancial es el cambio ; es impensable el movimiento sin el cambio (y viceversa). En ese mismo sentido, comprendemos el movimiento como el cambio de estado de la materia – realidad objetiva existente.

Respecto al movimiento , Engels (1961 , p. 47) afirma que:

El movimiento, en el sentido más general de la palabra, concebido como una modalidad o un atributo de la materia, abarca todos y cada uno de los cambios y procesos que se operan en el universo, desde el simple desplazamiento de lugar hasta el pensamiento .

Así, todo en nuestro mundo y fuera de él se encuentra en permanente movimiento y cambio . Todo proceso o fenómeno, bien sea de tamaño macroscópico o microscópico, bien sea de carácter natural o social, se encuentra en permanente cambio , en permanente movimiento . De esta manera, el movimiento y el cambio existen en el universo determinando el desarrollo de todas las cosas y, por lo tanto, de nuestro pensamiento .

Una de las formas de movimiento de la materia es el movimiento mecánico; el cambio de lugar de los cuerpos; comprendiendo por cuerpos “todas las existencias materiales” ( Engels, 1961 , p. 48). En este artículo, abordamos el movimiento mecánico contenido, en las dos AOE aquí presentadas, en dialéctica con el movimiento del pensamiento de las protagonistas de la investigación.

Así, en el presente artículo tomamos como eje central el movimiento , en general – y el movimiento mecánico en particular – a partir de la dialéctica materialista, toda vez que ésta, como Teoría de Conocimiento⁵ , nos posibilita comprender la concatenación entre el movimiento y factores asociados a la naturaleza cambiante del desarrollo del pensamiento de las estudiantes sumergidas en actividad de aprendizaje.

Bajo esas consideraciones de movimiento, analizamos un segmento de la AOE que denominamos “Determinación de un móvil en un instante dado” ( QUINTERO, 2018 , p. 51). Esta actividad fue propiciada por una situación desencadenadora de aprendizaje cuyo motivo fue determinar la posición exacta de un móvil en un instante dado⁶ . Una situación desencadenadora de aprendizaje es una situación planteada por el maestro – en el marco de la AOE – con el propósito de motivar acciones en el estudiante que le posibiliten solucionar el problema involucrado en dicha situación. Además, con el propósito de que – en ese proceso de búsqueda de la solución al problema – el estudiante se aproxime al concepto contenido en la situación desencadenadora de aprendizaje, y a un modo general, de aproximarse a tal concepto ( MOURA, 2001 , 2016 ).

En la AOE en mención, tuvimos como objetivo posibilitar a las estudiantes la concatenación entre el movimiento – mecánico – y el cambio . Durante el desarrollo de la parte experimental de dicha AOE (ver Figura 1 ), le preguntamos a cada uno de los subgrupos conformados sobre el fenómeno físico principal que identificaban en el sistema burbuja-manguera construido por ellas.

Figura 1
Determinación de la posición de un móvil en un instante dado. Las estudiantes hallando la posición de la burbuja en su recorrido por la manguera (11 de julio de 2017)

En las siguientes líneas presentamos un fragmento del diálogo con los dos subgrupos de los que hicieron parte las estudiantes Dana, Ana y Eliza, veamos.

Maestra: ¿Cuál, piensas tú, que es el fenómeno físico principal que podemos observar?

Dana: La distancia.

Ana: La velocidad de la burbuja.

Maestra: ¿Por qué? — Dirigiéndose a ambas estudiantes.

Dana: Porque es la distancia que está recorriendo la burbuja. Eh…el tiempo también, pues el tiempo siempre nos acompaña, el tiempo no se detiene.

Ana: Sí, también el tiempo, entonces es la velocidad. Tiene tiempo y distancia.

Dana: Sí, la velocidad.

Maestra: Y, ¿cómo la están analizando?, ¿qué están teniendo en cuenta para saber con qué velocidad va la burbuja?

Ana: Uhm…no sé. Ah, no, eso no es. Es el movimiento.

Maestra: ¿Por qué?

Ana: Porque es lo que estamos viendo. La burbujita se desplaza por la manguera.

Dana: Ah, sí, sí. Pero también tiene velocidad, ¿cierto? —dirigiéndose a la maestra.

Maestra: ¿Qué dices Ana?

Ana: Obvio. Pero lo principal, lo que vemos, es que la burbuja se está moviendo.

Maestra: Listo. Continúen, por favor. En un momento vuelvo (Diálogo entre la maestra, Dana y Ana, 2017)

El diálogo en el subgrupo del que Eliza hizo parte fue:

Maestra: ¿Cuál, piensas tú, que es el fenómeno físico principal que podemos observar?

Eliza: El movimiento de la burbuja.

Maestra: ¿Por qué?

Eliza: Porque es el cambio que la burbuja hace en su recorrido. En ningún momento, la burbuja para.

Maestra: Cuando dices cambio de la burbuja, ¿a qué te refieres?

Eliza: Pues a que la burbuja no está siempre en la misma parte, se mueve hasta que llega a la parte final de la manguera (Diálogo entre la maestra, y Eliza, 2017)

Mediante la pregunta formulada por la maestra – ¿Cuál, piensas tú, que es el fenómeno físico principal que podemos observar? – las estudiantes se enfrentaron al objeto de saber de una manera activa, de tal forma que reflexionaron sobre un fenómeno – el movimiento rectilíneo – que no habían descubierto. En ese momento, la voz de la maestra adquirió un carácter mediador entre las estudiantes – sujetos de la actividad – y el fenómeno – objeto de la actividad. Ante la necesidad de responder la pregunta, el objeto se transformó en un objeto de conocimiento que, en consecuencia, introdujo a las estudiantes en una actividad mental. Es decir, en las estudiantes hubo una movilización de una de las funciones psíquicas superiores: el pensamiento .

Luria (1984 , p. 305) afirma que el pensamiento es “una forma compleja de actividad cognitiva” que es orientada a un fin y que se adapta a las diversas situaciones cambiantes del entorno social del sujeto. De tal manera, el pensamiento es un proceso intelectual selectivo que surge cuando el sujeto tiene un motivo generado por la necesidad de hallar solución a determinada situación resultante de la interacción activa con la realidad objetiva. En palabras de Kopnin (1978 , p. 121), el pensamiento es “el reflejo de la realidad […] es un modo de conocimiento de la realidad objetiva, por el hombre”. Dicho reflejo, de acuerdo con el mismo autor, es uno de los resultados de la actividad del ser humano que posibilita comprender las propiedades de cierto objeto o fenómeno en movimiento .

El pensamiento es, además, una actividad mental que resulta de la actividad práctica – en la experiencia sensorial inmediata – del ser humano. Es por esta razón que el producto principal del pensamiento es la formación de ideas, las cuales se producen acordes a la particularidad del desarrollo del pensamiento . Esto es, como lo expresa Kopnin (1978 , p. 129), “el movimiento del pensamiento consiste en el desarrollo de la imagen cognitiva, en el movimiento de lo desconocido a lo conocido”.

En los diálogos anteriores se evidencia que Dana y Ana crearon una idea individual del objeto de estudio a partir de la actividad práctica grupal; ellas formaron “ideas matemáticas” ( VERGEL, 2014 , p.10) motivadas por la necesidad de responder la pregunta formulada por la maestra. Así, en su interacción con el objeto y permeada por las voces de su maestra y de sus compañeras de grupo, cada estudiante formó una imagen cognitiva del objeto material. Ante la pregunta sobre el fenómeno principal observado, la respuesta de Dana – la distancia – posiblemente se debió a un resultado surgido de la contemplación directa, derivada de una de las operaciones que las estudiantes debían realizar según la guía escrita.

Sin embargo, ante las respuestas dadas por Ana y una nueva solicitud de su maestra de una argumentación, Dana hizo un movimiento mental entre el objeto contemplado y su percepción sobre él, generando una nueva reflexión que la llevó a expresar: Ah, sí, sí. Es decir, Dana creó una nueva imagen cognitiva a partir de las voces de su maestra y de su compañera de grupo. Así mismo, cuando Dana expresó, pero también tiene velocidad, ¿cierto?, ella relacionó la nueva imagen creada con un concepto perteneciente al campo de la física – la velocidad de un cuerpo en trayectoria rectilínea – construido en un momento histórico anterior a su reflexión.

En el segundo momento de la AOE, en las respuestas que las estudiantes dieron por escrito a las preguntas planteadas en sus respectivos grupos de trabajo, Ana evidenció el movimiento de su pensamiento entre un antes y un después de abordar el objeto de estudio en un momento colectivo. Nuestra afirmación se corrobora a través de la Figura 2 , que exponemos a continuación.

Figura 2
Respuesta de Ana (18 de julio de 2017)

La actividad en la que Ana se sumergió le propició el movimiento de su pensamiento de un momento perceptivo a otro momento, producto de la reflexión sobre ciertos nexos entre algunos aspectos del objeto. Así, por ejemplo, en el primer momento de la AOE, Ana expresó: es el movimiento […] Porque es lo que estamos viendo; la burbujita se desplaza por la manguera ; ella enunció el producto de su percepción por medio de la cual identificó un solo aspecto del fenómeno: el desplazamiento. Sin embargo, en el segundo momento de la AOE en el que no existía contacto directo con el objeto, la respuesta de Ana fue: es el movimiento ya que cada vez que se voltea y la burbuja queda en su punto inicial o mínimo (0,0), comienza un recorrido constante hasta su altura máxima.

En esta respuesta Ana confirmó lo percibido inicialmente, pero, por medio de una observación más profunda, motivada ya no por su interacción directa con el fenómeno, sino como producto de su reflexión. En su argumentación, Ana comenzó a hacer algunas conexiones de ciertos aspectos del fenómeno al asociar el movimiento con el cambio de posición, su punto inicial o mínimo (0,0) […] hasta su altura máxima, y al expresar ese cambio mediante el uso de un lenguaje que, nuevamente, denotó su formación de ideas matemáticas.

De forma similar, Eliza identificó el movimiento como fenómeno principal manifiesto en la actividad , al parecer, con mayor claridad que Dana y Ana, pues respondió, el movimiento de la burbuja, justo después de la formulación de la pregunta. Al igual que Ana, Eliza relacionó el cambio como condición de la existencia del movimiento ; reflexión que se evidenció cuando explicó el sentido que cobró para ella el cambio en el desplazamiento de la burbuja.

En sus palabras: la burbuja no está siempre en la misma parte, se mueve hasta que llega a la parte final de la manguera. Así, Dana, Ana y Eliza manifestaron sus formas individuales de actividad mental, a partir del desarrollo de una actividad práctica grupal en torno a un concepto que ha sido elaborado en el devenir histórico – el movimiento rectilíneo –; un concepto que se transformó en objeto de estudio. De esta manera, el movimiento , aquí, cobró un doble significado: como objeto de estudio ( movimiento mecánico) y como dinamizador del desarrollo del pensamiento .

La segunda AOE que presentamos en este artículo es la nombrada ¿Cómo ha sido el desarrollo de tu estatura? ( QUINTERO, 2018 , p. 55). En ella el movimiento está presente, tanto en uno de los aspectos del desarrollo físico de las estudiantes, como en su actividad mental durante la realización de la AOE propuesta. Variable y función de variable entera⁷ fueron los objetos matemáticos a los que pretendimos aproximar a las estudiantes mediante esta AOE – de una manera más profunda –, buscando posibilitar el desarrollo de su pensamiento y, a su vez, brindarles herramientas teóricas para el posterior estudio de objetos matemáticos de mayor complejidad.

Así, para la AOE en mención trazamos como objetivo posibilitar a las estudiantes una forma de aproximarse a un fenómeno natural particular – el desarrollo de sus estaturas – desde un saber matemático depositado en la cultura – variable y función de variable entera. Por lo tanto, dispusimos las condiciones materiales que generaran, en las estudiantes, un movimiento entre el significado social e históricamente construido de dicho saber, y un sentido hallado por cada una de ellas desde su experiencia vital y personal.

En esta línea, tuvimos la intencionalidad de generar en las estudiantes la necesidad de problematizar, a la luz de conceptos del cálculo – como variable y función de variable entera – un aspecto de sus vidas y dotarlo de significado y sentido. Planteamos las acciones correspondientes, en el sentido de D’Ambrosio (2005) y Jaramillo (2011) , para comprender las matemáticas como un objeto que, en realidad, no está aislado de las prácticas sociales, prácticas en las que nos constituimos como sujetos.

Dentro de las acciones que planteamos, con miras a alcanzar el objetivo de la AOE, estuvo la de realizar las curvas del crecimiento físico de cada estudiante y, a partir de estas, explicar el desarrollo de sus estaturas a lo largo de sus vidas. Tales acciones hicieron parte de una situación desencadenadora, mediante la cual cada estudiante se encontró ante una actividad perteneciente al contexto de sus vidas y preexistente a su nacimiento, el control del crecimiento y desarrollo de niños y niñas como programa de las entidades de salud de la ciudad que ellas habitan. Dicha actividad, adaptada a la vida escolar como actividad de enseñanza debía, de alguna manera, plasmar un aspecto de la vida de cada estudiante en la que se entretejía su rol como estudiante, como hija y como ser humano en crecimiento y, por lo tanto, en movimiento .

Previo al encuentro en el aula, en el que trazaron e interpretaron las respectivas curvas de crecimiento, cada estudiante realizó una tabla, en compañía de sus familiares, en la que registró la medida de sus estaturas desde el momento de nacimiento hasta el momento de la realización de la AOE . A continuación, y a modo de ejemplo, presentamos, en la Figura 3 , la tabla realizada por Ana.

Figura 3
Tabla con los registros de la estatura de Ana desde su nacimiento hasta su edad actual (11 de agosto de 2017)

La AOE generó motivaciones desde sus experiencias vitales y comenzó a cobrar sentido para las estudiantes al reconocerse, de forma inconsciente, como seres históricos; cada una con una historia determinada por condiciones biológicas, familiares, históricas y culturales.

Los sujetos se encuentran, ineluctablemente, inmersos en contextos histórico-culturales en permanente cambio . En dichos contextos, los sujetos o individuos son vistos como emergentes de una “experiencia historizada” ( ALCOFF, 1988 , p. 431). En esa línea, no concebimos al individuo como aquel que está movido por cierta autorregulación cuyos significados emanan de sí mismo (posición teórica de individuo proveniente de la filosofía de la Ilustración). Nuestra posición se apoya en la idea según la cual siempre hay en el individuo – en cada una de las estudiantes, en este caso – una historicidad en sus formas de pensar y de actuar.

En los siguientes extractos, y en las Figuras 4 , 5 y 6 presentamos las operaciones que Dana, Ana y Eliza realizaron, considerando algunas de las acciones planteadas en la AOE en mención.

Figura 4
Curva de crecimiento de Dana (11 de agosto de 2017)

Figura 5
Curva de crecimiento de Ana (11 de agosto de 2017)

Figura 6
Curva de crecimiento de Eliza (11 de agosto de 2017)

Extracto 1. En la gráfica podemos observar que siempre hay cambio. También que de los 0 a los 10 años tuve un crecimiento veloz, por decirlo de alguna manera, y de los 11 años a la edad actual (17 años) mi crecimiento fue casi nada. O sea, de 0 a 4 años crecí de manera veloz, de 4 a 6 años fue muy muy poco el crecimiento, de 6 a 8 tuve crecimiento rápido, de 8 a 11 seguí con un crecimiento casi constante y de 11 a los 17 años que tengo, no he crecido casi (Dana, 11 de agosto de 2017).

Extracto 2. Desarrollo de mi estatura: En el primer año de vida el crecimiento fue el más notable y de los 2 a los 10 años el crecimiento fue casi constante y poco [refiriéndose a la variación de la curva] . En el intervalo de 10 a 11 años fue poco comparado con los años anteriores. De 11 a 14 años se vuelve veloz y de 14 a 17 años el crecimiento fue disminuyendo (Ana, 11 de agosto de 2017).

Extracto 3. El desarrollo de mi estatura tiene un índice de crecimiento considerable de 0 a 13 años, el siguiente año siguió aumentando, pero muy poco (un centímetro aproximadamente). A los 15, 16 y 17 fue casi constante, es decir, mantuvo casi el mismo valor (Eliza, 11 de agosto de 2017).

A partir de un constructo teórico existente en la cultura – la curva de crecimiento⁸ –, Dana, Ana y Eliza se situaron en cada una de sus particularidades, como seres cambiantes, desde el momento mismo de llegar al mundo hasta el momento del desarrollo de la AOE . Cada una de ellas identificó el cambio en las curvas resultantes del desarrollo de sus estaturas. Sus observaciones, a partir de expresiones como poco, muy poco, veloz, casi constante , entre otras, denotaron la sola descripción del objeto y, por lo tanto, una aproximación cualitativa a la variable y al cambio presente en el fenómeno natural estudiado. Sin embargo, esa primera aproximación al objeto no impidió que las estudiantes se interesaran en su estudio ni que comenzaran a visibilizar un concepto teórico – la curva de crecimiento – y a hacerlo parte de una construcción mental en sus consciencias.

En esa línea, Davídov (1988 , p. 45) plantea que la consciencia es el nivel superior de la psiquis humana, siendo, por lo tanto,

[...] la reproducción por el individuo de la imagen de su actividad tendiente a una finalidad y de la representación ideal en ella de las posiciones de las otras personas. La actividad consciente del hombre está mediatizada por el colectivo; durante su realización el hombre toma en cuenta las posiciones de los otros miembros del colectivo.

Al respecto, Marx y Engels (1974 , p. 31) plantean que cuando se supera la inmediatez ante el entorno físico y biológico, la consciencia – que es “de antemano un producto social” – alcanza un nivel de creación, superando, así, el plano de la consciencia práctica de la existencia humana. De esta forma, la consciencia – como nivel superior de la psiquis – le posibilita al sujeto formar imágenes del mundo material y comprender su entorno y su realidad a través de las comprensiones de los otros sujetos con quienes construye dicha realidad, con quienes se comunica de forma verbal. Es claro, entonces, que a través de la consciencia los individuos reflexionan sobre el mundo y se orientan en él. La consciencia se encuentra directamente relacionada con la actividad del individuo; al decir de Leontiev (1984 , p. 96) “la actividad del individuo constituye la substancia de su consciencia ”.

Dana, Ana y Eliza, por medio de la actividad en que las involucramos, elevaron su psiquis a otro nivel , de manera que lo que para ellas era un fenómeno característico de su niñez y adolescencia – el desarrollo de sus estaturas – se transformó en un objeto matemático a estudiar – representación gráfica de una función – como parte de la relación tejida con su maestra y como producto de una construcción histórico-cultural, como todo objeto matemático. Así, las estudiantes se hicieron conscientes tanto de un significado presente en la cultura como del uso de herramientas matemáticas para el estudio de un fragmento de sus vidas, y lo expresaron a través de la palabra escrita como medio de conexión con los demás.

Como parte de la AOE a la que nos hemos referido, sugerimos otra acción que dotó a las estudiantes de un nuevo sentido al relacionar una función de variable entera con la curva de su crecimiento. A continuación, presentamos las respuestas de las protagonistas a la pregunta: ¿Cuáles variables identificas en la curva de tu crecimiento? ¿Piensas que existe una función entre las variables identificadas? Argumenta.

Identifico las variables edad y estatura, ya que obviamente no son las mismas desde que nací hasta ahora. (Dana, 11 de agosto de 2017).

Las variables identificadas en mi crecimiento son la edad y la estatura, pues han cambiado en mis 17 años. (Ana, 11 de agosto de 2017).

Las variables identificadas son (estatura) y (edad) porque estas dos agrupan el conjunto de valores que varían, es decir el fenómeno cambiante (Eliza, 11 de agosto de 2017).

Nuevamente, un concepto teórico cobró un sentido personal para las estudiantes a través de la actividad; actividad de aprendizaje en este caso. Dana, Ana y Eliza se reconocieron como seres en movimiento , a través de la identificación del cambio en el aspecto biológico de sus vidas, el cual relacionaron con el concepto de variable . Así, por ejemplo, cuando Dana expresó Identifico las variables edad y estatura, ya que obviamente no son las mismas desde que nací hasta ahora, el uso del adverbio obviamente denota claridad en la esencia del objeto matemático variable presente en su proceso de crecimiento. Variable es concebida, aquí, como la representación de cualquiera de los elementos del conjunto de valores de un fenómeno mutable. Igualmente, la respuesta dada por Ana, Las variables identificadas en mi crecimiento son la edad y la estatura, pues han cambiado en mis 17 años, denota claridad en la esencia cambiante de las variables ; claridad manifiesta en la conjunción pues que emplea para argumentar su respuesta.

Así mismo, la respuesta de Eliza, las variables identificadas son (estatura) y (edad) porque estas dos agrupan el conjunto de valores que varían, es decir el fenómeno cambiante, dio cuenta del uso del concepto matemático variable en su proceso de argumentación. Pero, a diferencia de Dana y Ana, Eliza no solamente nombró las magnitudes que consideró de carácter variable, sino que, al parecer, destacó su importancia por medio del empleo de paréntesis. A su vez, ella identificó la imbricación existente entre una variable y el fenómeno cambiante que representa. Las tres estudiantes, por medio de la actividad y concretamente por medio de la acción sugerida, pasaron de la sola descripción inicial del fenómeno observado a la interpretación mediante la conexión entre aspectos de dicho fenómeno con elementos teóricos; esto es, pasaron de la descripción de la curva de crecimiento de cada una al concepto de variable . En esa línea, consideramos que las estudiantes denotaron un movimiento mental que les posibilitó un cambio de nivel de pensamiento ⁹ .

Las respuestas de las tres estudiantes, y especialmente la de Eliza, están alineadas con el planteamiento de Caraça (1951 , p. 127) sobre el concepto de variable; el cual lo enuncia así:

Sea E un conjunto cualquiera de números —finito o infinito— y como convención, representemos a cualquiera de sus elementos por un símbolo, por ejemplo x. A este símbolo, representativo de cualquiera de sus elementos del conjunto 𝐸, lo llamamos variable (…). Es el símbolo de la vida colectiva del conjunto, vida que se nutre de la vida individual de cada uno de sus miembros, mas no se reduce a ella.

Así, en la búsqueda de la respuesta a la pregunta orientadora de la AOE , las estudiantes realizaron un movimiento mental y se hicieron conscientes de su esencia cambiante, lejos del estatismo. Ellas tomaron consciencia de algunas de las transformaciones fisiológicas que han tenido desde su nacimiento hasta sus dieciséis o diecisiete años, transformaciones humanas en un espacio y en un tiempo que también son cambiantes. Las tres estudiantes alcanzaron un nivel de pensamiento , un nivel de creación como lo enuncian Marx y Engels (1974) , y establecieron relaciones entre un fenómeno natural (sus cambio s fisiológicos) y un objeto matemático ( variable entera). Ellas transformaron, en sus consciencias , una imagen de su mundo material a una idea matemática.

Consideramos importante explicar, aquí, nuestra apuesta epistemológica sobre el concepto de función . Desde la perspectiva histórico-cultural, comprendemos el concepto de función en el sentido de Caraça (1951) y de Aleksandrov (1976) . Esto es, la función como un instrumento matemático cuya esencia es la correspondencia entre variables que poseen una relación de dependencia. Un instrumento matemático construido – socialmente a través de un devenir histórico – a partir de la necesidad imperante de hallar regularidades observables en la manifestación del fenómeno de estudio; un instrumento que posibilita estudiar leyes cuantitativas ( CADAVID; QUINTERO; JARAMILLO, 2010 ; CADAVID; QUINTERO, 2011 ).

En ese sentido, Caraça (1951 , p. 129) define función de la siguiente manera:

Sean 𝑥 y 𝑦 dos variables representativas de conjuntos de números; se dice que 𝑦 es función de 𝑥 y se escribe: 𝑦 = 𝑓(𝑥) , si entre las dos variables existe una correspondencia unívoca en el sentido 𝑥 → 𝑦. A 𝑥 se le llama variable independiente y a 𝑦, variable dependiente.

En el sentido del concepto de función expuesto, planificamos la segunda pregunta de la acción sugerida: ¿Piensas que existe una función entre las variables identificadas? Esta pregunta contenía el concepto de función de manera explícita.

Las respuestas expresadas por Dana y Ana fueron:

Pienso que hay una función entre esas variables, ya que existe una correspondencia unívoca en el caso de mi edad, porque a un valor de mi estatura le corresponde un año determinado (Dana, 11 de agosto de 2017).

Yo digo que sí existe una función entre estas variables, puesto que hay correspondencia unívoca entre la variable independiente, que es la edad, y la variable dependiente que es la estatura, (según mi edad era la estatura ) (Ana, 11 de agosto de 2017).

La respuesta de Eliza la presentamos en la Figura 7 .

Figura 7
Respuesta de Eliza sobre la existencia de función en su curva de crecimiento (11 de agosto de 2017)

Las tres estudiantes no sólo relacionaron aspectos de su desarrollo físico con el concepto de variable , sino que, además, identificaron un tipo de relación entre las variables: una función . Mientras que Eliza estableció una relación de dependencia entre las variables edad y estatura, Dana argumentó la existencia de una función por medio de la correspondencia unívoca entre dichas variables . Eliza, al parecer, empleó el término relación en la primera parte de la oración en vez de escribir función . Nos atrevemos a hacer esta última interpretación porque, en sesiones anteriores a la de la AOE referida, Eliza identificó la función como un tipo de relación. Por su parte, Ana hizo un análisis más amplio al argumentar la existencia de la función , tanto desde la relación de dependencia entre las variables como desde la correspondencia unívoca.

De esta manera, Dana, Ana y Eliza identificaron una variación – cualitativa – de dos aspectos cambiantes en su desarrollo físico: la edad y la estatura. Y, en línea con esta variación, las estudiantes identificaron, especialmente Ana, la dependencia y la correspondencia unívoca entre estas variables ; elementos esenciales del concepto de función.

4 A Modo de Conclusión

Tal como lo hemos planteado a lo largo del artículo, desde nuestra postura epistemológica, consideramos el movimiento – en concatenación con el cambio – como elemento consustancial a los procesos existentes en el universo, ya sean de naturaleza física, biológica, mental o social. Una de las formas del movimiento es el mecánico. Este tipo de movimiento fue identificado por las estudiantes en las dos AOE aquí presentadas y analizadas.

Un primer ejemplo de lo anteriormente expresado es en la AOE nombrada Determinación de la posición de un cuerpo en un instante dado . En ella, ante la pregunta sobre el fenómeno físico principal identificado por las estudiantes en el sistema burbuja-manguera, Eliza y Ana respondieron:

Es el movimiento…Porque es lo que estamos viendo. La burbujita se desplaza por la manguera (Ana, 18 de julio de 2017).

El movimiento de la burbuja…Porque es el cambio que la burbuja hace en su recorrido. En ningún momento, la burbuja para (Eliza, 18 de julio de 2017).

Ambas estudiantes identificaron el movimiento mecánico como fenómeno principal manifiesto en la AOE en mención, lo que dio cuenta del reflejo del objeto en sus consciencias , como producto de su actividad mental en dialéctica con la actividad práctica.

El segundo ejemplo en el que las estudiantes identificaron el movimiento fue en la AOE, ¿Cómo ha sido el desarrollo de tu estatura? En ella, el movimiento estuvo presente, tanto en uno de los aspectos cambiantes del desarrollo físico de las estudiantes como en su actividad mental durante la realización de la AOE . Cada una de las estudiantes, desde su consciencia , identificó el cambio en las curvas resultantes del desarrollo de sus estaturas.

El hecho de analizar cómo se habían desarrollado sus estaturas, les posibilitó a las estudiantes dar un sentido personal a un significado construido socialmente: una representación gráfica de un fenómeno en un determinado contexto. Además, este hecho les posibilitó a las estudiantes, un movimiento en su pensamiento tal que trascendieron de la sola descripción del fenómeno observado en un nivel intuitivo a otro nivel por medio del cual establecieron conexiones entre lo inicialmente contemplado, con objetos culturales preexistentes, tales como variable y función de variable entera.

Desde el materialismo histórico-dialéctico, el desarrollo del pensamiento no puede abordarse en términos absolutistas; él admite gradaciones. Gradaciones (no lineales) que obedecen al mismo carácter dialéctico del desarrollo de todo fenómeno (natural o social). En ese sentido, y basándonos en los dos ejemplos expuestos en los párrafos anteriores, nos es posible afirmar que cada una de las estudiantes alcanzó un nivel de desarrollo de su pensamiento que les posibilitó profundizar en el estudio de los objetos culturales abordados. Un nivel – inacabado – determinado por las condiciones individuales de cada estudiante (en una dialéctica yo/ otro ) y, por lo tanto, por sus formas particulares de aproximarse a los objetos estudiados.

Así, comprendemos que el nivel de desarrollo del pensamiento alcanzado por las estudiantes protagonistas de la investigación se produjo acorde con el proceso histórico-cultural del desarrollo del pensamiento del ser humano, en general: a través de la actividad – práctica y mental. Un nivel en el que las estudiantes profundizaron en el estudio de los objetos abordados. En esa línea, comprendemos que la actividad en la que las estudiantes se sumergieron – a través de las AOE realizadas – posibilitó el movimiento particular del pensamiento de cada una ellas, en el proceso de su aproximación consciente a algunos objetos del cálculo escolar cuya esencia es el movimiento mismo.

Referencias

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• 1
  Presentamos algunos términos en letra cursiva para resaltar la importancia que ellos cobran, para nosotros, conceptualmente a lo largo del artículo.
• 2
  El sistema educativo colombiano está conformado por: la educación inicial, la educación preescolar, la educación básica (primaria cinco grados y secundaria cuatro grados), la educación media (dos grados y culmina con el título de bachiller), y la educación superior ( MINISTERIO DE EDUCACIÓN NACIONAL, 2019 ).
• 3
  Esta investigación tuvo el apoyo financiero de la Agencia de Educación Superior de Medellín-Sapiencia (Medellín, Colombia).
• 4
  Empleamos seudónimos para nombrar a las estudiantes.
• 5
  Nos apoyamos en Kopnin (1978) , cuando él plantea que la dialéctica como Teoría del Conocimiento es un método del pensamiento científico que posibilita conocer la esencia del fenómeno mediante el análisis de las leyes objetivas de la realidad y su reproducción en forma de concepto.
• 6
  Este fue un problema con el que se enfrentaron los científicos del siglo XVII ante una tradición científica que consideraba el movimiento mecánico como una “sucesión de estados particulares de un móvil” ( CARAÇA, 1951 , p. 215).
• 7
  Consideramos importante aclarar que en el grado décimo y antes de iniciar la investigación en el grado undécimo, las estudiantes abordaron los objetos variable y función. Este hecho facilitó el proceso de apropiación de los objetos matemáticos aquí tratados y, a su vez, el desarrollo del pensamiento de cada una de ellas.
• 8
  En las Figuras 4 , 5 y 6 la curva de crecimiento de cada estudiante es la coloreada, respectivamente. Las otras curvas, las de color negro, tienen el significado de parámetro para trazar la curva de cada estudiante. Vale aclarar que estas curvas de crecimiento en color negro son preestablecidas por asociaciones nacionales de pediatría, considerando variables como edad, estatura y peso.
• 9
  Nos referimos al nivel de pensamiento en línea con los planteamientos del materialismo dialéctico y de Rubinstein (1974) . Esto es, comprender que, en primer lugar, el desarrollo del pensamiento se da como el desarrollo de todo fenómeno natural o social: un proceso que admite gradaciones – niveles – mas no de una forma continua ni lineal. Un proceso donde pueden presentarse retrocesos y saltos, pues, dicho proceso está determinado por el permanente movimiento y concatenación de los diferentes aspectos que conforman el fenómeno. En segundo lugar, comprender, como lo enuncia Rubinstein (1974 , p. 441), que según “el nivel de desarrollo” que ha alcanzado su entendimiento teórico, el niño y el adolescente van profundizando en la generalización del fenómeno, acorde a la relación recíproca que van identificando entre los diferentes aspectos al interior del objeto estudiado.

Fechas de Publicación

• Publicación en esta colección
  04 Mayo 2022
• Fecha del número
  Jan-Apr 2022

Histórico

• Recibido
  03 Dic 2020
• Acepto
  22 Nov 2021