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Print version ISSN 0103-6513On-line version ISSN 1980-5411

Prod. vol.13 no.1 São Paulo  2003

http://dx.doi.org/10.1590/S0103-65132003000100004 

Um índice de capacidade para especificações unilaterais

 

Process capability index for one-sided specification limit

 

 

Gladys D. Cacsire BarrigaI; Linda Lee HoII; Wagner Sousa BorgesIII

IDra. Eng. Produção PRO - POLI - USP
IIProfa. Dra. PRO - POLI - USP. Caixa Postal 61548, 05424-970
IIIProf. Dr IME-USP. Caixa Postal 66281, 05315-970

 

 


RESUMO

Nos últimos anos, índices de capacidade de processos têm sido usados freqüentemente para determinar se um processo é capaz de produzir itens em conformidade com a tolerância especificada. No entanto, poucos estudos têm sido feitos acerca de índices de capacidade para situações em que há apenas um limite de especificação. Neste trabalho, um índice para situações em que há apenas um limite de especificação é apresentado. Ele é invariante com respeito à fração não-conforme do processo e "calibrado" pelo índice Cpk,. São desenvolvidos também aspectos inferenciais, do ponto de vista bayesiano, para amostragem binomial.

Palavras-chave: Índices de capacidade, fração não-conforme, especificação unilateral, estatística bayesiana.


ABSTRACT

Process capability indices have become popular tools to describe how well a process can meet specified tolerances. However, little attention has been given to the study of these indices when the specified tolerances are one-sided. In this work we present an index for such situations. The proposed index is invariant with respect to process fraction non-conforming and it is "Cpk calibrated". Bayesian inference procedure under a binomial sampling is also developed and described for the proposed index.

Key words: Process capability indices; Non-conforming fraction; One-sided specification limit; Bayesian analysis.


 

 

INTRODUÇÃO

As indústrias, de uma maneira geral, têm optado por utilizar índices de capacidade para quantificar a fração não-conforme de processos. Neste sentido, informações são avaliadas para determinar se seus processos são capazes de gerar produtos que atendam às especificações exigidas por clientes internos ou externos. Nos últimos anos, o uso de índices de capacidade nas indústrias de manufatura tem-se intensificado, além disso, esse procedimento tem recebido uma atenção substancial na literatura estatística voltada para o controle de qualidade. Veja, por exemplo, os trabalhos de Bissel (1990), Boyles (1991), Spiring (1991), Johnson (1992), Kotz; Pearn & Johnson (1993), Pearn; Kotz & Johnson (1992), Pearn & Kotz (1994), Chen (1994-95), Choi; Nam & Park (1996), Gupta & Kotz (1997), Pearn & Chen (1997), Kaminsky et al. (1998), Wang & Chen (1998-99), Bothe (1999), Wen & Mergen (1999), Borges & Ho (2000, 2001) e muitos outros autores. Os índices mais freqüentemente usados para avaliar a capacidade do processo são Cp e Cpk, definidos respectivamente por:

onde V denota o limite superior de especificação, L o limite inferior de especificação, m a média do processo e s o desvio padrão do processo.

Seja X1, ...,Xn uma amostra aleatória do processo, os estimadores naturais destes índices são respectivamente:

em que e são utilizados como estimadores de m e s. Propriedades das distribuições amostrais de e para processos normais foram estudadas por diversos autores, tais como Kane (1986), Chou & Owen (1989). Uma abordagem completa pode ser encontrada em Kotz & Johnson (1993).

O índice Cpk pode ainda ser utilizado para processos que tenham somente um limite de especificação. Para tanto, basta considerar L® - ¥ ou V® ¥. Se existe apenas o limite inferior de especificação, tem-se

Da mesma forma, se existe apenas o limite superior de especificação, tem-se

Índices de capacidade como Cp, Cpk e outros, entretanto, são fortemente influenciados pela forma da distribuição da variável de interesse X, como ressaltam Borges & Ho (2000, 2001). Neste trabalho, o índice de capacidade Ces é proposto. Tal índice é invariante com relação a mudanças na forma da distribuição de X e para situações em que existe apenas um limite superior de especificação. Ele baseia-se na fração não-conforme do processo e é calibrado por Cpks. Os resultados apresentados podem ser facilmente adaptados para situações em que existe apenas um limite inferior de especificação.

Na Seção 2, procedimento de inferência bayesiana e um teste de demonstração de capacidade para o índice proposto são desenvolvidos com base na amostragem binomial. Outras abordagens bayesianas distintas da apresentada neste trabalho podem ser encontradas em Cheng & Spiring (1989) e Bernardo & Irony (1996).

Considere um processo com limite superior de especificação V e X uma variável de interesse que obedece a uma distribuição normal com média m e variância s2, então a fração não-conforme do processo à direita do limite superior de especificação, denotada por gs é definida como:

conseqüentemente

Esta igualdade sugere que um índice de capacidade pode ser definido com base na fração não-conforme do processo como:

onde F(.) denota a função de distribuição acumulada da normal padrão.

 

INFERÊNCIA BAYESIANA DE CES COM AMOSTRAS BINOMIAIS

Seja X1,...,Xn uma amostra aleatória do processo e considerem-se as variáveis aleatórias de Bernoulli definidas por:

com probabilidade de sucesso P(Xi > V) = gs. Para desenvolver aspectos inferenciais segundo uma abordagem bayesiana, considere que a incerteza acerca de gs seja descrita por uma distribuição a priori Beta de parâmetros a e b. Utilizando resultados da teoria bayesiana tem-se que a distribuição a posteriori de gs segue também uma distribuição Beta de parâmetros (n-t+b) e (a+t), onde , sendo n o tamanho da amostra. A demonstração destes resultados pode ser encontrada no Apêndice A. E utilizando uma função perda quadrática não é difícil mostrar que o estimador de Bayes de Ces é dado por:

em que U~ Beta(n+b-t, a+t).(Para maiores detalhes veja Apêndice A.) Fundamentada na Lei Forte dos Grandes Números, um valor aproximado de E[F-1 (U)] em (6) pode ser obtido por integração numérica ou ainda por uma estimativa de Monte Carlo dada por:

em que U1,...,Um é uma amostra aleatória suficientemente grande da distribuição Beta(n+b-t,a+t). Esta possibilidade constitui uma alternativa atraente em vista dos recursos computacionais hoje disponíveis. Veja isto através de um exemplo numérico.

Exemplo - Num processo de usinagem, uma parada de máquina é geralmente um evento crítico do ponto de vista da produtividade. O processo é considerado adequado se o número de paradas de máquina em cada semana for no máximo quatro (limite superior de especificação para N paradas de máquina). Para monitorar esta variável suponha que uma carta de controle C tenha sido utilizada e em condição de controle, N tem distribuição do Poisson com média 1. Na Tabela 1 estão resumidos os resultados de 36 semanas coletados nesta condição.

 

 

De acordo com a Tabela 1 observou-se . Utilizando uma distribuição a priori não informativa Beta(1,1) e com base em 100 observações simuladas de [F -1 (U)] , U sendo uma distribuição Beta(37,1), um valor aproximado de foi obtido. Com este procedimento é possível estudar a variabilidade desta estimativa através de simulação. Em 50 amostras de 100 observações simuladas de

U ~ Beta (37,1), as seguintes estatísticas descritivas de foram calculadas:

• valor médio = 0,77568;

• mediana = 0,77799;

• desvio padrão s= 0,01574;

• mínimo = 0,73758;

• máximo = 0,81209.

Observe que em condição estável gs = P ( N>4 ) = 0,0036598, o que equivale a um Ces = 0,893979. Para melhorar as estimativas podem-se observar e incorporar novos dados, recalibrando a distribuição a priori a partir da distribuição Beta(37,1). Veja o que ocorre com a incorporação de 12 observações de paradas semanais de máquina simuladas de uma distribuição de Poisson com média igual a 1, especificamente: {0;0;0;1;1;1;1;2;2;0;0;1}. Tomando como base 100 observações geradas de uma distribuição Beta(49,1), uma nova estimava = 0,81 foi obtida. Note que este valor é bem mais próximo de 0,89. Esse procedimento de recalibrar a incerteza pode ser repetido à medida que novos dados estejam disponíveis, permitindo que se melhore a precisão da estimativa de Ces .

Intervalos de confiança bayesiana também podem ser facilmente obtidos. O problema consiste em determinar t1 e t2, (t1 < t2), tais que

com g fixado. Utilizando uma relação entre a distribuição Beta e F de Fisher & Snedecor, um intervalo de confiança bayesiano ( t1 , t2) para Ces com coeficiente de confiança 1-g é dado por

onde f1 é tal P(F<f1)=g1, f2 é tal P(F>f2)=g2 , g1+g2=g e F~Fisher-Snedecor [2(n+b-t), 2(a+t)]. A demonstração deste resultado se encontra no Apêndice B.

Considere os dados da Tabela 1; g1 = g2 = 0,01; a = b = 1; n=36 e t = 0, os valores de f1 e f2 podem ser determinados: f1 = 0,2039; f2 = 99,4856 e o respectivo intervalo de confiança bayesiano é dado por (t1,t2) = (0,3966; 1,15283).

Um problema comumente encontrado na indústria é a demonstração de que seus processos são capazes de atender às especificações estabelecidas pelos clientes, isto é, de que os processos alcancem a capacidade desejada. A seguir um teste de capacidade sob uma perspectiva bayesiana será apresentado.

Sejam C0 e C1, 0 < C1 < C0, os valores desejável e aceitável de Ces para um processo. Um teste de demonstração de capacidade é um procedimento estatístico definido por um par (n,d) de números inteiros, d< n, segundo o qual, dadas as observações Y1=y1,...,Yn=y n, considera-se demonstrado que Ces > C0 se

O par (n,d) é escolhido de tal forma que

onde g e d são probabilidades especificadas. As probabilidades dadas em (7) e (8) são chamadas riscos a posteriori do produtor e do consumidor respectivamente. Para o caso particular de gs com uma distribuição a priori não informativa Beta(1,1), valem os seguintes resultados:

A demonstração destes resultados encontra-se no Apêndice C. Para processos altamente capazes, existe um grande interesse em considerar testes com d=0. Neste caso, as equações (9) e (10) se reduzem a :

O tamanho da amostra n deve ser escolhido satisfazendo (11) ou (12). Note que a determinação de n a partir de (11) será mais trabalhosa, ao passo que a partir de (12) pode-se determinar facilmente o número n, de ensaios. Especificamente,

A título de ilustração, considere como valor desejável de C0, C1=1 e um risco de consumidor d=0,1. Para demonstrar que o processo apresenta este índice de capacidade, serão necessário observar conformidade em 73 ensaios. Diminuindo o risco para d=0,05 e mantendo C1=1 , deve-se observar conformidade em 2217 ensaios. Caso adote C1=1,33 e d=0,1, deve-se ter conformidade em 69664 ensaios. Intuitivamente é natural necessitar de muitos ensaios para demonstrar que os processos são capazes de atender às especificações estabelecidas pelo cliente, principalmente quando se trata de processos de alta capacidade. Para demonstrar que um processo tem valores aceitáveis C1=2 como valor de referência requerido em programas Seis Sigma, será necessário observar conformidade em 2.302.585.092 ensaios. Este número é coerente quando comparado com o índice tradicionalmente utilizado para processos normais e bilaterais. Para alcançar um valor de Cp=2, espera-se ter em média 0,002 itens não-conformes em um milhão de ensaios. Obviamente todos estes valores de ensaios determinados a partir (12) podem sofrer alterações, pois eles foram calculados assumindo uma distribuição a priori não informativa e d=0.

 

CONCLUSÕES

A possibilidade de trabalhar com índices de capacidade baseados na fração não conforme do processo e que coincidem com os índices tradicionais quando aplicados a processos normais resolve um problema sério da aplicação desses últimos na análise de capacidade: a sua dependência da forma da distribuição da característica de qualidade X.

Para processo de alta capacidade, entretanto, a estimação desses índices com base no histórico de não-conformidades do processo esbarra no problema da necessidade de estimar com base em amostras em que não há não-conformidades. A inferência bayesiana nesta situação permite-nos tirar conclusões racionais através de procedimentos bastante simples, isto é, envolvendo apenas um mecanismo para simular observações de uma distribuição Beta. Além disto, por ser esta distribuição conjugada para a amostragem binomial, estas estimativas podem ser recalibradas periodicamente à medida que novos dados se tornem disponíveis.

A escolha de outras distribuições além da Beta como distribuição a priori é certamente uma outra alternativa a ser empregada. No entanto, a propriedade de distribuição conjugada passa a não valer, o que viria dificultar a obtenção da distribuição a posteriori, requerendo maiores esforços computacionais.

Atualmente existe uma expressiva tendência de as empresas adotarem o programa Seis Sigma com o objetivo de melhorar a produtividade de seus processos. No entanto, deve-se salientar que para tais processos alcançarem os valores de referência como Ces=1,5 ou Ces=2, conforme exige o programa Seis Sigma, demandará das empresas recursos monetários e de disponibilidade de tempo que nem sempre são facilmente acessíveis.

 

Agradecimentos

Os autores agradecem as valiosas sugestões dadas pelos anônimos avaliadores.

 

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Artigo recebido em 1/08/2002
Revisado em 17/12/2002
Aprovado para publicação em 21/02/2003

 

 

APÊNDICE

 

Apêndice A Distribuição a priori e a posteriori de Ces

As proposições (A.1) e (A.2}) têm importância fundamental na inferência Bayesiana para o índice de capacidade unilateral superior Ces.

Proposição A.1 Se gs tem distribuição a priori Beta(a,b), então a distribuição a priori induzida para Ces é dada por:

H(q)=1-BI[(1-F(3q)),a,b], -¥ < q < ¥

que é absolutamente contínua com função de densidade

onde BI(x,a,b) denota P(U < x), U~ Beta(a,b) e f(.) é a função de densidade da distribuição normal padrão.

Prova: Como gs tem distribuição Beta(a,b)

Proposição A.2 A distribuição a posteriori de Ces dado Y1 = y1 ,... , Yn =yn tem função densidade

onde

Prova: A função de verossimilhança de q dada a amostra observada y1,...,yn satisfaz

onde gs=1-F(3q). Considerando (A.3), e a função densidade a priori dada na proposição (A.1), pode-se mostrar que a função densidade a posteriori de q é dada por:

onde

Fazendo u=1-[1-F(3q)] a integral acima se reduz a

Da proposição (A.2) resulta o seguinte corolário.

Corolário A.1 O estimador de Bayes de Ces é dado por:

em que U~ Beta(n+b-t, a+t).

Prova: Sob perda quadrática o estimador de Bayes de Ces é dado por:

em que h(q|y1,...,yn) é a densidade da distribuição a posteriori de Ces da proposição (A.2). Fazendo a mudança de variáveis u=1-[1-F(3q)] a integral acima.

Apêndice B Intervalo de confiança bayesiano para Ces

O problema consiste em determinar t1 e t2, (t1 < t2) tais que

P(t1<Ces<t2 |Y1=y1,…,Yn=y n )=1-g

com g fixado. Isto é equivalente a

em que h(q|Y1=y1,...,Yn=yn) é a distribuição a posteriori de Ces dada em (A.2) e g1+g2=g. Quando g1= g2= g/2, (t1 , t2) é um intervalo de confiança bayesiano simétrico para Ces.

Proposição B.1 O intervalo de confiança bayesiano (t1,t2) para Ces com coeficiente de confiança 1- g é dado por

onde f1 é tal P(F<f1)=g1, f2 é tal PF>f2)=g2 , g1+g2=g e F~Fisher-Snedecor [2(n+b-t), 2(a+t)].

Prova: Fazendo a mudança de variáveis u=1-[1-F(3q)] em (A.2) determinam-se t1 e t2 de (B.1) e (B.2) tais que

em que U~ Beta(n+b-t,a+t). Para resolver as equações acima em t1 e t2, a seguinte relação entre as distribuições Beta e F de Fisher-Snedecor foi empregada. Se W ~ Beta(p,q) e F~ F(2p,2q) então:

Como U~ Beta(n+b-t,a+t) segue-se de (B.3) que

onde F~Fisher-Snedecor [2(n+b-t), 2(a+t)]. Conseqüentemente, temos

onde f1 é tal que P(F<f1). Resolvendo (B.4) em t1, obtém-se

Similarmente, temos

onde f2 é tal que P(F>f2). Resolvendo esta última equação em t2, obtém-se

Apêndice C Teste de demonstração de capacidade

Proposição C.1 Para valores fixados de g e q, o par (n,d) satisfaz as seguintes equações:

com gsi=1-F(3Ci ), i=0,1.

Prova: A probabilidade dada em (7) pode ser expressa como

em que gs=1-F(3Ces)=1- F(3v) e p(v)=3f(3v) é a priori induzida dada na proposição A.1. Fazendo a mudança de variáveis u=F(3v), a expressão acima se reduz a

Analogamente,

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