Gráfico de controle de VMAX para o monitoramento da matriz de covariâncias

The VMAX control chart for monitoring the covariance matrix

Gráfico de controle de VMAX para o monitoramento da matriz de covariâncias

The VMAX control chart for monitoring the covariance matrix

Marcela Aparecida Guerreiro Machado^I; Maysa Sacramento de Magalhães^II; Antônio Fernando Branco Costa^I

^IFEG/UNESP

^IIENCE/IBGE

RESUMO

Neste artigo é proposto, para o monitoramento de processos normais bivariados, um gráfico de controle baseado nas variâncias amostrais de duas características de qualidade. Os pontos plotados no gráfico correspondem ao valor da maior variância amostral. O gráfico proposto, denominado gráfico de VMAX, tem um desempenho superior ao do gráfico da variância amostral generalizada |S| e, além disso, tem uma melhor capacidade de diagnóstico, ou seja, com ele é mais fácil identificar a variável que teve sua variabilidade alterada pela ocorrência da causa especial. Quando a amostragem dupla está em uso o gráfico proposto também tem um desempenho superior ao do gráfico de |S|, exceto em alguns casos em que o tamanho da segunda amostra é muito grande.

Palavras-chave: Gráficos de controle de VMAX, matriz de covariâncias, processos bivariados, amostragem dupla.

ABSTRACT

In this paper a control chart based on sample variances from two quality characteristics for monitoring bivariate normal processes is proposed. The points plotted on the chart are the maximum of the values of these two statistics. The proposed chart (VMAX chart) detects process disturbances faster than the generalized variance |S| chart and has a better diagnostic feature, that is, with the VMAX chart it is easier to relate an out-of-control signal to the variable whose variability has moved away from its in-control state. When the double sampling scheme is used the proposed chart has also a better performance, except in a few cases in which the size of the samples at the second stage is very large.

Key words: VMAX control chart, covariance matrix, bivariate processes, double sampling.

1. INTRODUÇÃO

O gráfico de controle tem sido a principal ferramenta estatística utilizada no monitoramento de processos, graças a sua simplicidade operacional. De acordo com os fundamentos de Shewhart, sempre que um ponto é plotado na região de ação do gráfico, deve-se ir à procura de possíveis causas especiais que estejam afetando a qualidade do processo. Entretanto, a simplicidade operacional faz do gráfico de controle de Shewhart uma ferramenta lenta na detecção de pequenas a moderadas alterações no parâmetro do processo que está sendo monitorado. Diante disso, não têm sido poucas as inovações sugeridas ao trabalho original de Shewhart, como por exemplo, gráficos de somas acumuladas (PAGE, 1954; HAWKINS; OLWELL, 1998; REYNOLDS; STOUMBOS, 2005), gráficos de médias móveis ponderadas exponencialmente (LUCAS; SACCUCCI, 1990; DOMANGUE; PATCH, 1991; CHEN et al., 2001; COSTA; RAHIM, 2006), gráficos adaptativos (COSTA, 1994, 1999; De MAGALHÃES et al., 2002, 2006) e gráficos de controle com amostragem dupla (CROASDALE, 1974; DAUDIN, 1992; IRIANTO; SHINOZAKI, 1998; CAROT et al., 2002; HE et al., 2002; HE; GRIGORYAN, 2002, 2006; COSTA et al., 2005a).

A adoção de gráficos de controle com amostragem dupla para o monitoramento do vetor de médias de processos multivariados tem sido objeto de pesquisa recente. He e Grigoryan (2005) avaliaram o desempenho dos gráficos multivariados com amostragem dupla por meio de simulação. Alternativamente, Machado (2006) e Costa e Machado (2007) desenvolveram expressões para obtenção das propriedades dos gráficos bivariados com amostragem dupla.

Assim como é importante monitorar o vetor de médias de um processo, é também importante monitorar a sua matriz de covariâncias (YEH et al., 2003, 2004, 2005; SURTIHADI et al., 2004; GRIGORYAN; HE, 2005).

O primeiro gráfico de controle utilizado no monitoramento da matriz de covariâncias Σ se baseou na estatística obtida do teste da razão de máxima verossimilhança generalizada (ALT, 1985). Para o caso bivariado, Alt (1985) propôs o uso da variância amostral generalizada |S| para controlar a matriz de covariâncias Σ. É importante salientar que os testes estatísticos para igualdade de matrizes de covariâncias foram propostos bem antes de serem utilizados no monitoramento de processos. Em Anderson (2003), os leitores interessados encontrarão detalhes destes testes.

Aparisi et al. (1999) estenderam a aplicação da estatística |S| para o caso em que o número de variáveis do processo sob monitoramento é maior do que dois (p>2) e, considerando esta mesma estatística, propuseram um gráfico de controle bivariado com tamanho de amostra variável (APARISI et al., 2001). Grigoryan e He (2005) propuseram o gráfico de controle multivariado com amostragem dupla para o monitoramento da matriz de covariâncias. Uma revisão recente de gráficos de controle para o monitoramento da matriz de covariâncias foi elaborada por Yeh et al. (2006). Chang e Zhang (2007) apresentaram uma metodologia para o monitoramento da variabilidade de processos multivariados autocorrelacionados.

Neste artigo é proposto, para o monitoramento de processos bivariados, um gráfico de controle baseado nas variâncias amostrais de duas características de qualidade. Os pontos plotados no gráfico correspondem ao valor da maior variância. O gráfico proposto, denominado gráfico de VMAX, ou seja, da maior variância, tem um desempenho superior ao do gráfico da variância amostral generalizada |S|. Além do gráfico de VMAX, também é proposto o gráfico de VMAX com amostragem dupla. Este gráfico tem também um desempenho superior ao do gráfico da variância amostral generalizada |S|, exceto em alguns casos em que o tamanho da segunda amostra é muito grande. Nos ^{Apêndices I} e ^II são apresentadas as expressões para a obtenção das propriedades dos gráficos de VMAX e de VMAX com amostragem dupla, respectivamente. A principal vantagem do gráfico de VMAX em relação aos gráficos de controle multivariados é que ele possui uma melhor capacidade de diagnóstico, ou seja, com ele é mais fácil identificar a variável que teve sua variabilidade alterada pela ocorrência de uma causa especial.

2. GRÁFICOS UNIVARIADOS PARA O MONITORAMENTO DE PROCESSOS MULTIVARIADOS

Uma dificuldade encontrada ao se lidar com qualquer gráfico de controle multivariado é a interpretação prática de um sinal de fora de controle. Especificamente, não se sabe ao certo qual das variáveis (suponha p variáveis) ou qual subconjunto delas é responsável pelo sinal. Na literatura encontramos muitas maneiras para resolver este problema, desde métodos gráficos até técnicas mais analíticas. A técnica de decomposição é uma das de maior sucesso (MASON, YOUNG, 2002). Uma outra alternativa consiste em plotar gráficos univariados para controlar cada característica de qualidade de um processo normal multivariado (SEREL et al., 2000).

Como um exemplo de como controlar diferentes variáveis com gráficos de S², considere duas características de qualidade, representadas pelas variáveis normalmente distribuídas X e Y. Primeiramente considere o caso em que as duas características são independentes e monitoradas separadamente por dois gráficos de S² univariados com limites de controle de 4 desvios-padrão. Para amostras de tamanho cinco, cada ponto amostral tem uma probabilidade do erro do tipo I igual a 0,004 (ou seja, α =0,004) de exceder os limites de controle de 4 desvios-padrão. A probabilidade de que as variâncias amostrais estejam dentro dos limites quando o processo está em controle é igual a (1-0,004)(1-0,004). Então a probabilidade do erro total do tipo I (denotada por α'), para este caso, é dada por α' = 1-(1-0,004)(1-0,004)=1-0,992=0,008. No caso de p características de qualidade estatisticamente independentes, a probabilidade do erro total do tipo I será dada por,

Caso se deseje manter controlada a probabilidade do erro do tipo I para um processo p-variado com variáveis aleatórias independentes, a equação (1) pode ser utilizada para calcular a probabilidade do erro do tipo I de cada gráfico (MONTGOMERY, 2004). Conseqüentemente, obtém-se o coeficiente de abertura dos limites de controle de cada gráfico. É importante ressaltar que quando se trabalha com um número grande de variáveis, a probabilidade do erro do tipo I de cada gráfico separadamente é muito pequena e o fator de abertura dos limites de controle é muito grande, reduzindo, assim, a sensibilidade do gráfico de controle em detectar desajustes do processo.

Se as variáveis são dependentes, que é o caso mais comum, a obtenção dos limites de controle de cada gráfico deixa de ser trivial. Para simplificar, considere o caso bivariado em que as variáveis seguem uma distribuição normal e que a matriz de covariâncias com o processo em controle é dada

por , onde ρ é o coeficiente de correlação entre as variáveis X e Y. Se gráficos de S² univariados são utilizados para controlar cada característica de qualidade, então a' será dado por:

Para o cálculo do fator de abertura do limite de controle, LC, foi necessário obter a expressão (A1) do ^{Apêndice I}.

3. GRÁFICO DE CONTROLE DA MAIOR VARIÂNCIA (GRÁFICO DE VMAX)

Nesta seção apresenta-se o gráfico de controle proposto para o monitoramento da matriz de covariâncias Σ de um processo bivariado. Supõe-se que o vetor de médias µ não sofre alterações.

A estatística de monitoramento corresponde ao maior valor das variâncias amostrais e , sendo X e Y duas características de qualidade que seguem uma distribuição normal bivariada. Sem perda de generalidade, supõe-se que com o processo em controle a matriz de covariâncias é dada por , sendo Σ_xy e Σ_yx as covariâncias entre X e Y. Na prática, o mais comum é encontrar variáveis com variâncias diferentes entre si e não necessariamente iguais a 1. Contudo, a análise de sensibilidade apresentada neste trabalho permanece válida, uma vez que o efeito da causa especial, que resulta em aumento da variabilidade, é sempre expresso em unidades das variâncias iniciais de X e Y, isto é, variâncias de X e Y estimadas com o processo em controle.

Outro ponto importante sobre a matriz de covariâncias Σ₀ que merece atenção é a escolha do estimador a ser utilizado em sua estimação. De acordo com Djauhari (2005) e, segundo estudos que datam da década de 50 (ANDERSON, 2003), o estimador é viesado, sendo a média das matrizes de covariâncias amostrais S_i, i = 1,2,...,m, das m amostras de tamanho n utilizadas na estimação de ₀. Segue que ~ {|Σ₀|/[m(n-1)]^p} Z_k, onde Z_k são independentes e Z_k ~ , k = 1,2,..., p. Para eliminar o viés, o estimador deve ser dividido por uma constante b₃ que é função de m, n e p. É interessante mencionar que Djauhari (2005) usou a distribuição normal como aproximação da distribuição do determinante da matriz de covariâncias. Neste artigo, porém, o monitoramento é realizado com base nas variâncias amostrais, as quais têm distribuição de Qui-quadrado.

Analogamente a Surtihadi et al. (2004), assume-se duas possíveis maneiras de uma causa especial alterar a matriz de covariâncias, resultando na matriz .

Uma possibilidade (caso I) supõe que a causa especial afeta somente a variância da variável aleatória X, isto é, a = c e b = 1, ou somente a variância da variável aleatória Y, isto é, b = c e a = 1. A outra possibilidade (caso II) supõe que a causa especial altera tanto a variância de X como a de Y e, neste caso, a = b = √c, sendo c a magnitude da perturbação (c > 1). Em ambos os casos, a correlação entre X e Y, dada por , não é afetada pela causa especial. Da maneira como Σ₀ foi definida, tem-se que Σ_0x = Σ_0y = 1 e, conseqüentemente, ρ = σ_xy = σ_yx.

Quando o gráfico de VMAX está em uso, amostras de tamanho n são retiradas do processo em intervalos de tempo regulares. Duas características de qualidade (X_i, Y_i) das n unidades da amostra são medidas e a estatística é calculada, sendo as variâncias amostrais de (X_i, Y_i).

Se a estatística VMAX for maior do que o limite de controle LC, o gráfico sinaliza um desajuste do processo. Após a ocorrência do sinal, o usuário pode imediatamente examinar as variâncias amostrais de X e Y para descobrir quais variáveis são responsáveis pelo desajuste do processo, ou seja, aquelas cujas variâncias amostrais são maiores que LC. Este diagnóstico deve ser feito com cautela, pois uma causa especial pode aumentar a variabilidade de X e Y e, para a amostra que sinaliza, não necessariamente, as variâncias amostrais de X e Y serão maiores que o limite de controle. O limite de controle LC do gráfico de VMAX é obtido utilizando a expressão (A1) do ^{Apêndice I}. A Figura 1 apresenta o gráfico proposto.

A eficiência de um gráfico de controle em detectar uma alteração no processo pode ser medida pelo número médio de amostras até o sinal (NMA), ver Costa et al. (2005). Durante o período em controle o NMA=1/α e é denominado NMA₀. Quando um processo está sob controle é desejável que o número médio de amostras retiradas do processo desde o início do monitoramento até o sinal (NMA₀) seja grande, de modo a garantir poucos alarmes falsos. Quando um processo está fora de controle é desejável que o número médio de amostras retiradas desde a ocorrência de uma causa especial até o sinal (NMA) seja pequeno, de modo a garantir uma rápida detecção de alterações no processo. No ^{Apêndice I} é desenvolvida a expressão para obtenção do NMA para o gráfico de VMAX.

O desempenho do gráfico proposto é comparado com o do gráfico da variância amostral generalizada |S|, onde tem distribuição de qui-quadrado com 2n - 4 graus de liberdade (ALT, 1985). A matriz de covariâncias S é dada por , sendo s_xx e s_yy as variâncias amostrais de X e Y respectivamente e s_xy e s_yx as covariâncias amostrais. O limite de controle para o gráfico de |S| é dado por:

A magnitude da perturbação é dada por c², onde c² é a razão entre |Σ₁| e |Σ₀|. Sendo assim, o gráfico de |S| terá o mesmo poder de detecção para qualquer perturbação na matriz de covariâncias que resulte no mesmo valor de c², independente da causa especial afetar apenas a variável X ou apenas a variável Y (caso I), ou ambas (caso II). De acordo com a expressão (4) do NMA para o gráfico de |S|, o desempenho deste gráfico independe da correlação (APARISI et al., 2001):

O coeficiente de correlação ρ tem uma certa influência nas propriedades do gráfico de VMAX, ver Tabela 1. Desta forma, escolheu-se um valor de ρ intermediário para a obtenção das propriedades do gráfico de VMAX. De acordo com a Tabela 2, construída para ρ=0,5, o gráfico de VMAX é sempre mais eficiente que o gráfico da variância amostral generalizada |S|. Para uma mesma magnitude de perturbação (mesmo valor de c²), o gráfico de VMAX é mais sensível se a perturbação afetar apenas uma das variáveis (caso I). Isto se explica pelo fato da estatística de VMAX ser o valor da maior variância amostral. Para o caso I, o gráfico de VMAX tem um desempenho bem superior ao do gráfico de controle proposto por Alt (1985). Os gráficos de controle em todas as tabelas que seguem foram planejados com base em um erro do tipo I da ordem de 0,5%, ou seja, um NMA₀ = 200,0.

4. DESCRIÇÃO DO GRÁFICO DE VMAX COM AMOSTRAGEM DUPLA

Suponha que o gráfico de controle de VMAX com amostragem dupla seja empregado no monitoramento da matriz de covariâncias Σ de duas características de qualidade (X_i , Y_i), descritas por uma distribuição normal bivariada.

Similarmente ao gráfico de controle de Shewhart, amostras de tamanho n = n₁+ n₂ são retiradas do processo em intervalos de tempo regulares. A amostragem é realizada em dois estágios. No primeiro estágio n₁ unidades são inspecionadas, as duas características de qualidade são medidas e a estatística é calculada, sendo e as variâncias amostrais de (X_i , Y_i) da subamostra de tamanho n₁.

Se VMAX₁ for menor do que o limite de advertência, LA, a amostragem é interrompida. Se VMAX₁ for maior do que o limite de controle do primeiro estágio, LC₁, o gráfico de controle sinaliza um desajuste do processo. Se LA < VMAX₁< LC₁, a amostragem vai para o segundo estágio, onde as n₂ unidades restantes são inspecionadas e a estatística é calculada, sendo e as variâncias amostrais de (X_i , Y_i) levando em consideração a amostra de tamanho n. O gráfico também sinaliza um desajuste do processo quando VMAX₂ > LC₂, sendo LC₂ o limite de controle do segundo estágio.

A região dada por (LA, LC₁) corresponde a região de advertência. A região acima de LC₁ é a região de ação do primeiro estágio e a região acima de LC₂ é a região de ação do segundo estágio.

Se um ponto cai na região de ação com o processo em controle, isto é, quando Σ = Σ₀, tem-se um alarme falso. Em outras palavras, o gráfico de controle sinaliza erroneamente a existência de uma causa especial. No primeiro estágio a probabilidade de se ter um alarme falso é dada por α₁ e, no segundo estágio, por α₂.

Se um ponto cai na região de ação após a ocorrência da causa especial, isto é, quando Σ ≠ Σ₀, tem-se um alarme verdadeiro. No primeiro estágio a probabilidade de se ter um alarme verdadeiro é dada por p₁ e, no segundo estágio, por p₂.

Deste modo, α = α₁ + α₂ é a probabilidade de se ter um alarme falso quando a amostragem dupla está em uso e p = p₁ + p₂ é o poder de detecção do gráfico de VMAX.

Durante o período em controle, o número médio de itens inspecionado por amostragem, , é dado por

onde p₀ é a probabilidade de que a amostragem seja interrompida no primeiro estágio. Os valores de , n₁ e n₂ são especificados pelo usuário, onde n₁ < < n₂. Por exemplo, se = 5, n₁ = 2 e n₂ = 10, fazendo-se uso da expressão (5) tem-se que p₀ = 0,7, ou seja, com o processo em controle, 70% das vezes a amostragem é interrompida no primeiro estágio.

A Figura 2 mostra um gráfico de VMAX com os valores de VMAX₁ e VMAX₂ plotados. O gráfico de controle dá um sinal quando VMAX₁ > LC₁ ou quando VMAX₂ > LC₂. Os pontos amostrais VMAX₁, ao caírem na região de advertência, disparam a inspeção de toda a amostra, e, nestes casos, a estatística VMAX₂ é calculada e comparada com LC₂. Para evitar o uso de dois gráficos, um para o primeiro estágio e outro para o segundo estágio, o usuário pode construir o gráfico de VMAX com duas escalas, uma do lado esquerdo e uma do lado direito, como ilustrado na Figura 2. Os valores VMAX₁ correspondem aos pontos pretos que são plotados considerando a escala da esquerda e os valores VMAX₂ correspondem aos pontos brancos que são plotados considerando a escala da direita.

5. PROPRIEDADES DO GRÁFICO DE VMAX COM AMOSTRAGEM DUPLA

Com a amostragem dupla, a eficiência do gráfico de controle em detectar uma alteração no processo é medida também pelo NMA, número médio de amostras até o sinal. A expressão do NMA para o gráfico de VMAX com amostragem dupla encontra-se no ^{Apêndice II}.

As tabelas desta seção foram obtidas fixando LC₁ = ∞, ou seja, α₁ = 0. Neste caso, o gráfico de controle dá um sinal somente quando VMAX₂ > LC₂. Os pontos amostrais VMAX₁, ao caírem na região de advertência, que para o caso em que LC₁ = ∞ corresponde à região acima de LA, disparam a inspeção de toda a amostra, e, nestes casos, a estatística VMAX₂ é calculada e comparada com LC₂. Em geral, o desempenho do gráfico de VMAX tende a piorar sempre que se adotam valores de α₁ > 0, ver Tabela 3.

A Tabela 4 compara os gráficos de VMAX e de |S| com amostragem dupla. Os valores da Tabela 4 para o gráfico de |S| com amostragem dupla foram obtidos por Grigoryan e He (2005) por meio de simulações, ver ^{Apêndice III}. De acordo com a Tabela 4, observa-se que quando a amostragem dupla está em uso o gráfico proposto tem, em geral, um desempenho superior ao do gráfico de |S|.

As Tabelas de 5 a 7 contêm os valores do NMA para o gráfico de VMAX com amostragem dupla. Nestas tabelas n₁ é fixo enquanto n₂ assume diferentes valores. Quando n₂ aumenta, o gráfico de VMAX se torna mais ágil na detecção de pequenas alterações; porém, se torna lento na detecção de grandes alterações. Por exemplo, da Tabela 5 observa-se que para c² = 1,3 o NMA diminui de 46,1 para 37,4 quando n₂ aumenta de 8 para 16 (caso I). Por outro lado, para c² = 5, o NMA aumenta de 1,53 para 1,67 quando n₂ passa de 8 para 16 (caso I).

 

O efeito da escolha de n₁ na velocidade com que o gráfico de VMAX sinaliza o desajuste pode ser observado comparando os NMAs das Tabelas 6 e 7. Quando n₂ é pequeno e n₁ aumenta de 3 para 4 o gráfico de VMAX se mostra mais ágil. Por exemplo, observa-se que para c² = 1,1 e n₂ =10, o NMA diminui de 65,6 para 65,0 quando n₁ passa de 3 para 4 (caso I). Para a mesma perturbação, porém para n₂ grande (n₂ =20), o NMA aumenta de 73,8 para 75,3 quando n₁ passa de 3 para 4. As Tabelas de 5 a 7 apresentam também os NMAs para o gráfico de |S| com amostragem dupla. Quando a amostragem dupla está em uso e apenas umas das variáveis é afetada pela causa especial (caso I), o gráfico de VMAX é sempre mais eficiente na detecção da perturbação do que o gráfico de |S|. Porém, se as duas variáveis são afetadas pela causa especial (caso II) e o valor de n₂ é grande, o gráfico de VMAX tem desempenho inferior ao do gráfico de |S|, exceto para grandes perturbações. Vale salientar que nesses casos, os desempenhos dos dois gráficos não são substancialmente diferentes e que o gráfico de VMAX é bem mais simples de ser utilizado, pois o usuário está muito mais familiarizado com o cálculo das variâncias amostrais do que com o do determinante de uma matriz de covariâncias.

6. EXEMPLO ILUSTRATIVO

Nesta seção, considera-se o exemplo citado por Aparisi et al. (2001) para explicar o uso do gráfico de controle com amostragem dupla baseado na estatística VMAX ou na estatística |S|.

A peça da Figura 3 tem duas dimensões a serem controladas, X (distância entre centros de dois furos interiores) e Y (distância entre dois centros de furos laterais). As duas características de qualidade são correlacionadas, sendo ρ = 0,7

Quando o processo está em controle, o vetor de médias e a matriz de covariâncias do processo são conhecidos:

.

Inicialmente foram geradas 10 amostras com o processo em controle, onde = 4, n₁ = 3 e n₂ = 8. A última amostra foi gerada sob a condição do caso I ter ocorrido, em que a causa especial aumenta somente a variabilidade da primeira variável X, sendo c² = 3,0. Portanto, . Na Tabela 8 estão os dados de (X_i , Y_i) e na Tabela 9 estão as variâncias amostrais , , e e as estatísticas VMAX₁, VMAX₂, |S₁| e |S₂|. É importante salientar que |S₁| é o determinante de S considerando uma amostra de tamanho n₁ e |S₂| de tamanho n, e que os valores plotados no gráfico de |S| são os das estatísticas |S₁| e |S₂| e não seus valores padronizados. Para a obtenção do limite de controle LC₂ =1,103 e do limite de advertência LA =1,063 do gráfico de VMAX foi utilizada a expressão (5) e as expressões (A2) e (A5) do ^{Apêndice II}, para a = b = 1,0. O limite de controle LC₂ =0,230 e o limite de advertência LA =0,099 do gráfico de |S| foram obtidos por simulação, de acordo com o esquema de amostragem dupla. Neste exemplo, adotou-se α =0,005 e LC₁ = ∞.

As Figuras 4 e 5 apresentam os gráficos de VMAX e de |S| com amostragem dupla. O gráfico de VMAX sinaliza já na 1ª amostra após a ocorrência da causa especial. Entretanto, o mesmo não ocorre com o gráfico de |S|.

7. CONCLUSÕES

Neste artigo, considerou-se um gráfico de controle baseado nas variâncias amostrais de duas características de qualidade. Os pontos plotados no gráfico correspondem ao valor da maior variância. A principal razão em considerar o gráfico proposto é que ele possui uma melhor capacidade de diagnóstico, ou seja, com ele é mais fácil identificar a variável que teve sua variabilidade alterada pela ocorrência da causa especial.

O gráfico proposto é sempre mais eficiente que o gráfico da variância amostral generalizada |S|. Quando a amostragem dupla está em uso, observa-se que o gráfico proposto também é mais rápido do que o gráfico de |S|, exceto em alguns casos em que o tamanho da amostra no segundo estágio é muito grande.

Com a crescente informatização dos controles "on-line", tornou-se usual acompanhar as condições do processo por meio do monitoramento simultâneo de muitos parâmetros de qualidade. Sendo assim, a extensão natural do presente trabalho é a criação de um gráfico de VMAX para o monitoramento de processos com p variáveis de qualidade, sendo p>2. Os autores já estão trabalhando nesta direção. Uma alternativa para o controle de processos multivariados consiste em se reduzir o número de variáveis a serem monitoradas, através, por exemplo, da aplicação da técnica de análise de componentes principais (SOUZA; RIGÃO, 2005).

AGRADECIMENTOS

Os autores agradecem aos dois revisores anônimos pelos úteis comentários e sugestões. Esta pesquisa contou com o apoio da FAPESP e do CNPq.

Artigo recebido em 15/07/2007

Aprovado para publicação em 04/03/2008

SOBRE OS AUTORES

Marcela Aparecida Guerreiro Machado

Departamento de Produção/FEG/UNESP,

End.: Avenida Ariberto Pereira da Cunha, 333 - CEP 12516-410 - Bairro Pedregulho - Guaratinguetá - SP.

E-mail: [e-mail]

Maysa Sacramento de Magalhães

ENCE/IBGE

End.: Rua André Cavalcanti, 106 - CEP 20231-050 - Santa Teresa - Rio de Janeiro - RJ.

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Antônio Fernando Branco Costa

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End.: Avenida Ariberto Pereira da Cunha, 333 - CEP 12516-410 - Bairro Pedregulho - Guaratinguetá - SP.

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Apêndices I

Apêndice III

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  05 Set 2008
• Data do Fascículo
  2008

Histórico

• Recebido
  15 Jul 2007
• Aceito
  04 Mar 2008