Controle multivariado de processos em batelada com duração variável

Multivariate statistical control of unsynchronized batch processes

Controle multivariado de processos em batelada com duração variável

Multivariate statistical control of unsynchronized batch processes

Flávio S. Fogliatto^I; Ndèye Niang^II

^IUFRGS

^IICNAM/Paris

RESUMO

Processos em batelada são utilizados em diversos setores industriais (por exemplo, na manufatura de alimentos e fármacos). Nesses processos, matérias-primas são carregadas em uma unidade de processamento e submetidas a uma série de transformações até a obtenção do produto final. O desempenho do processo é descrito por variáveis, monitoradas ao longo da batelada. Dados resultantes desses processos tendem a apresentar uma estrutura de correlação e autocorrelação significativa, sendo usualmente monitorados usando cartas de controle baseadas na análise de componentes principais (CCPs). Neste artigo, investiga-se o caso especial, bastante freqüente na prática, de bateladas com duração variável, as quais não podem ser diretamente monitoradas através das CCPs. Para tanto, propõe-se uma nova estratégia de controle multivariado da qualidade. No procedimento proposto, bateladas não são alinhadas ou time warped relativamente a suas trajetórias, mas completadas utilizando um esquema de fácil implementação prática. Desta forma, preserva-se toda a informação sobre a variabilidade ao longo do eixo do tempo nos perfis das variáveis de processo. O conjunto de dados completados é analisado utilizando o método Statis e o monitoramento do desempenho da batelada é realizado diretamente nos gráficos de planos fatoriais, a partir dos quais cartas de controle não-paramétricas são derivadas. Um exemplo utilizando dados simulados ilustra a proposta metodológica.

Palavras-chave: Bateladas não-sincronizadas, CEP multivariado, método Statis.

ABSTRACT

Batch processes are widely used in several industrial sectors, such as food and pharmaceutical manufacturing. In a typical batch, raw materials are loaded in the processing unit and submitted to a series of transformations, yielding the final product. Process performance is described by variables which are monitored as the batch progresses. Data arising from such processes are likely to display a strong correlation-autocorrelation structure, and are usually monitored using control charts based on multiway principal components analysis (MPCA charts). In this paper we investigate the special (and rather frequent) case of batches with varying duration, which cannot be directly monitored using MPCA charts. We propose a new quality control strategy for monitoring such batches. In our proposition, batches are not aligned or time warped with respect to their trajectories, but are rather completed using a straightforward scheme. Thus all information on the variability in batch profiles along the time axis is preserved. The data set completed is reduced using the Statis method and monitoring of batch performance is accomplished directly on principal plane graphs, from which non-parametric control charts are derived. A simulated example illustrates the proposed method.

Key words: Unsynchronized batches, Multivariate quality control, Statis method.

1. INTRODUÇÃO

Cartas de controle (CCs) univariadas de Shewhart são utilizadas comumente no controle estatístico de processos industriais (MONTGOMERY, 2001). Tal estratégia de controle univariado, acrescida de algumas suposições, pode ser estendida para o caso multivariado. CCs multivariadas são indicadas em situações onde variáveis de processo ou produto são monitoradas simultaneamente. Os resultados apresentados por CCs multivariadas e univariadas são particularmente diferentes quando as variáveis monitoradas apresentam-se correlacionadas; nestes casos o uso de CCs multivariadas é fortemente recomendado. O tipo de CC multivariada de utilização mais comum é a carta de Hotelling, ou carta T². Outros tipos de CCs multivariadas são apresentados por Jackson (1991) e revisados por Wierda (1994), Lowry e Montgomery (1995), Harris, Seppala e Desborough (1999).

Algumas situações especiais dificultam ou impossibilitam a utilização das CCs tradicionais. Por exemplo, as CCs multivariadas (assim como as univariadas) pressupõem independência entre pontos amostrais, dificilmente verificada em processos monitorados com coleta automatizada de dados. Outra situação especial ocorre quando a variação natural de uma variável monitorada ao longo do tempo é descrita por um perfil (e não por uma variação aleatória em torno de um valor médio). CCs univariadas não podem ser aplicadas nessa situação, já que pressupõem variáveis com média constante. A alternativa mais utilizada, nesses casos, para o monitoramento de processos são as cartas de controle multivariadas baseadas em componentes principais multidirecionais (CCPs).

CCPs são operacionalizadas utilizando análise de componentes principais multidirecionais e CCs multivariadas de Hotelling. Essas cartas admitem pontos amostrais sucessivos dependentes, variáveis com estrutura de correlação linear significativa, além de permitir o monitoramento de variáveis que não apresentam valores fixos de média ao longo do tempo. CCPs são particularmente eficientes no monitoramento de processos discretos (tais como os que ocorrem em bateladas) e contínuos, quando um grande número de variáveis de processo estiver envolvido. O desenvolvimento das CCPs deve-se a Jackson e Mudholkar (1979), Kourti e MacGregor (1996) e MacGregor (1997). Aplicações das CCPs no monitoramento de processos podem ser encontradas na literatura nos trabalhos de Flores-Cerrillo e MacGregor (2002) e Kourti (2003), entre outros.

Duas das suposições que restringem a utilização das CCPs no monitoramento de alguns processos em bateladas são de interesse neste artigo. A primeira diz respeito à duração da batelada. Para aplicar CCPs no monitoramento de processos em bateladas, todas as bateladas consideradas na análise devem apresentar uma mesma duração, além de estarem alinhadas em relação aos estágios do processo. Quando tal suposição não se verifica, as CCPs devem ser adaptadas de forma a considerar diferenças na duração das bateladas. Entretanto, as propostas de solução para o problema disponíveis na literatura nem sempre são eficientes, conforme discutido na Seção 2. A segunda suposição está relacionada à distribuição que caracteriza os dados de processo analisados na CCP. Para um correto uso da carta T² no monitoramento do conjunto de dados reduzidos, estes devem ser caracterizados por uma distribuição normal multivariada. Quando tal suposição não se verificar, o uso de cartas de controle não-paramétricas deveria ser considerado.

Neste artigo, propõe-se uma nova estratégia para o monitoramento de processos em bateladas com duração variável. Nessa proposta, bateladas não são alinhadas ou time warped em relação a suas trajetórias; como alternativa, completam-se bateladas de curta duração através de um procedimento simplificado e de fácil implementação prática. Assim, toda a informação acerca da variabilidade das bateladas ao longo do eixo do tempo é preservada. O conjunto de dados completados é então reduzido utilizando o método Statis (LAVIT et al., 1994). Duas representações sumárias das bateladas tornam-se disponíveis: uma, que permite verificar a adequação da progressão da batelada à trajetória de referência de suas variáveis de controle, e outra, que resume as trajetórias das variáveis em cada instante da batelada, permitindo detectar desvios significativos em seu comportamento esperado ao longo do eixo do tempo. O monitoramento do desempenho da batelada com relação às duas representações acima é realizado diretamente em gráficos de planos fatoriais, a partir dos quais CCs não-paramétricas são derivadas. O método proposto é ilustrado utilizando dados simulados disponíveis em Rosa (2005).

A proposta aqui apresentada é uma extensão do trabalho de Scepi (2002), onde o uso do método Statis no controle multivariado da qualidade foi inicialmente proposto. Entretanto, ao menos duas contribuições distinguem o presente trabalho da proposta em Scepi (2002): (i) o método aqui proposto permite o monitoramento de bateladas com duração variada, não discutido pela autora; e (ii) este trabalho apresenta o desenvolvimento de cartas de controle e estratégias para complementação de dados adequados para o monitoramento on line de processos em batelada. Os métodos apresentados em Scepi (2002) aplicam-se diretamente no controle off line de processos.

O restante do artigo está organizado em cinco seções. Na Seção 2, apresenta-se uma revisão de literatura sobre monitoramento multivariado de processos em bateladas com duração variável. Na Seção 3, apresenta-se a estratégia de controle multivariado da qualidade proposta. A seção é subdividida em três partes: inicialmente apresenta-se o esquema de complementação de bateladas; na seqüência, detalha-se a utilização do método Statis na redução da dimensionalidade dos dados de processo; por fim, cartas de controle não-paramétricas para o monitoramento off-line e on-line de processos em batelada são apresentadas. Na Seção 4 apresenta-se um exemplo numérico onde a aplicação das cartas de controle propostas é ilustrada. A Seção 5 apresenta a conclusão do artigo.

2. REFERENCIAL TEÓRICO

A aplicação de CCPs no monitoramento de processos em batelada de duração constante foi inicialmente proposta por Jackson e Mudholkar (1979), sendo posteriormente investigada por Nomikos e MacGregor (1995), Kourti e MacGregor (1996) e MacGregor (1997). Aplicações de CCPs no monitoramento de processos em batelada podem ser encontradas em Kourti (2003), entre outros.

De forma resumida, o monitoramento de processos em batelada através de CCPs é conduzido a partir da análise de duas CCs. A primeira é uma CC do tipo T² onde se plotam os escores obtidos projetando bateladas futuras sobre os q componentes principais retidos na distribuição de referência. Tal distribuição é obtida rodando-se uma ACPM (Análise de Componentes Principais Multidirecionais). Ao contrário da análise tradicional de componentes principais, a ACPM permite a análise de matrizes tridimensionais de dados (para um comparativo entre técnicas, ver Jolliffe, 2004, p. 397) sobre dados obtidos a partir de bateladas conformes emergentes do processo. A segunda é uma CC do tipo Q para os resíduos do modelo de referência. A primeira CC permite monitorar o comportamento de fontes conhecidas de variabilidade no processo; a segunda permite detectar eventos atípicos que possam perturbar a estrutura de correlação/autocorrelação das variáveis em monitoramento.

No esquema de monitoramento baseado em CCPs, pressupõem-se bateladas sincronizadas e com a mesma duração; isto é, todos os vetores de dados da distribuição de referência, bem como aqueles obtidos em bateladas futuras, têm a mesma dimensão. De outra forma, têm-se bateladas não alinhadas no eixo do tempo, não permitindo a utilização direta do procedimento descrito anteriormente. Tal situação especial foi inicialmente identificada por Nomikos (1995), que sugeriu o uso de uma variável indexadora alternativa (isto é, outra que não o tempo) para monitorar a progressão temporal da batelada. Tal variável deve (i) ser diretamente mensurável no processo, (ii) crescer monotonicamente com o tempo e (iii) apresentar os mesmos valores iniciais e finais em cada batelada. Apesar de serem bastante restritivos, tais requisitos foram satisfeitos nas aplicações reportadas por Kourti et al. (1996) e Neogi e Schlags (1998).

Kassidas et al. (1998) propuseram uma abordagem alternativa para o problema de bateladas com duração distinta, onde bateladas são alinhadas usando algoritmos de deflexão temporal dinâmica (dynamic time warping - DTW). Dados oriundos das bateladas alinhadas são então analisados usando ACPM, sendo o processo monitorado através de CCPs. Os algoritmos DTW, entretanto, apresentam algumas limitações intrínsecas. Por exemplo, trajetórias são alinhadas aos pares, o que pode resultar: (i) em uma trajetória comum diferente para cada par de bateladas (no caso de algoritmos simétricos), ou (ii) em trajetórias alinhadas para coincidir com uma trajetória de referência comum a todos os pares de trajetórias (no caso de algoritmos assimétricos). Na situação (i) o banco de dados resultante será ainda constituído de trajetórias com durações distintas, não resolvendo o problema inicial; na situação (ii) permite-se que dados sejam desconsiderados durante o alinhamento de algumas bateladas possibilitando, assim, que a duração dos pares de bateladas coincida com a trajetória de referência. Neste caso em particular, os autores propõem uma solução de compromisso, em que conjuntos de pontos são reduzidos a um valor de média e nenhum dado é ignorado durante o procedimento de alinhamento. Entretanto, a maior limitação no procedimento de Kassidas et al. (1998) diz respeito à representação da variação das bateladas ao longo do eixo do tempo, a qual é alterada quando estágios do processo em batelada são sincronizados.

Kaistha et al. (2004) utilizam um algoritmo DTW ad hoc para alinhar bateladas de diferentes durações. Em sua abordagem, supõe-se que a progressão das bateladas possa ser dividida em etapas distintas. Pontos de referência em cada etapa (tais como o seu início e término) são utilizados como pontos de âncora em um procedimento simplificado de interpolação, resultando em bateladas que são sincronizadas etapa a etapa. Uma vez alinhados, os dados das bateladas são analisados usando ACPM e CCPs, com pequenas modificações.

Finalmente, Castagliola & Rosa (2006) investigaram o problema de processos em batelada com duração distinta a partir de uma nova abordagem analítica, sem a utilização de técnicas para o alinhamento de bateladas e de redução dimensional de dados. Os autores propõem o uso da distância de Hausdorf como medida de similaridade entre bateladas e uma batelada de referência (contendo a trajetória nominal das variáveis de processo). Tal distância corresponde à mediana do quadrado das distâncias euclidianas entre pontos em uma dada trajetória e todos os pontos na trajetória de referência. A distribuição de referência usada no monitoramento da batelada é baseada nas distâncias de Hausdorf. Apesar de sua simplicidade e dos bons resultados obtidos na aplicação do método a um conjunto de dados simulados, não se tem evidência de que a referida distância capture a estrutura de correlação/autocorrelação presente nas variáveis originais.

3. MÉTODO PROPOSTO

Seja N o número total de bateladas (b = 1,...,N) usadas na amostra de referência, a partir da qual será determinada uma distribuição de referência a ser utilizada no monitoramento de bateladas futuras. A amostra de referência deve incluir somente bateladas que resultaram em produtos conformes com as especificações. No caso de bateladas fortemente desalinhadas e com durações muito distintas, N deve ser suficientemente grande para que todos os perfis e durações já observados no processo sob controle estejam bem representados na amostra de referência.

Associada a cada batelada existe uma tabela de dados descrevendo o desempenho de variáveis de processo ao longo da batelada. Um total de P variáveis de processo são observadas em T momentos no tempo. Dados coletados a partir da batelada b são organizados em uma matriz X^b de dimensão (T × P) ; cada elemento (t = 1,...,T; p = 1,...,P) da matriz traz uma observação da p-ésima variável de processo no instante t. Seja T_min a duração da batelada mais curta e T_max a duração da batelada mais longa.

O método aqui proposto é operacionalizado em três etapas: (i) tratamento inicial das bateladas de referência, onde matrizes de dados provenientes de bateladas com duração total T < T_max (ou seja, bateladas mais curtas do que a batelada mais longa na amostra de referência) são completadas de forma a apresentar a mesma duração [isto é, todas as matrizes de dados X^b, b = 1,...,N, passam a ter dimensão (T_max × P) ]; (ii) redução da dimensionalidade dos dados usando o método Statis; e (iii) desenvolvimento de cartas de controle para o monitoramento off-line e on-line das bateladas futuras. Nas próximas subseções, cada etapa é detalhada.

3.1 Tratamento inicial de dados nas bateladas de referência

O objetivo nesta etapa é completar bateladas na amostra de referência de modo que todas passem a apresentar a duração da batelada mais longa (T _max). Este procedimento se justifica, já que matrizes de dados de mesma dimensão são necessárias para a operacionalização da etapa seguinte do método, baseada no método Statis. Optando-se por matrizes de dimensão (T_max × P), isto é, com duração igual à da batelada mais longa, nenhuma informação sobre o comportamento das variáveis nas bateladas da amostra de referência é descartada.

Uma das abordagens mais utilizadas para completar dados faltantes em bateladas, oriunda da proposta de monitoramento on-line de processos de Nomikos & MacGregor (1995), consiste em substituir valores faltantes pelo último valor observado de cada variável de processo. Por exemplo, se T_max = 25, a duração total observada em uma determinada batelada b for T = 20 e X_20,1 = 3,5, X_20,1 a X_25,1 apresentariam valor igual a 3,5. Tal procedimento, utilizado devido à sua simplicidade, traz como desvantagem um potencial amortecimento e descaracterização da variabilidade nos tempos para os quais as variáveis de processo forem completadas na matriz de dados. A proposta apresentada na seqüência contorna este problema.

Inicialmente, calculam-se os desvios-padrão amostrais S_t,p de cada variável p (p = 1,...,P) em todos os momentos no tempo t para os quais t < T_min, através das expressões:

Para cada variável p existirão T_min desvios-padrão, calculados a partir das observações da variável em questão nas bateladas da amostra de referência em cada instante do tempo. Seja s_p um vetor de dimensão (T_min × 1) contendo os desvios-padrão amostrais associados à p-ésima variável, ordenados de S_1,p até S_{T min,p}. Propõe-se ajustar um modelo de previsão à série temporal de observações de S_p e utilizá-lo para prever os valores S_t,p de t = T_{min + 1} a t = T_max. Caso os desvios-padrão não sejam modeláveis como função do tempo, a média dos desvios em s_p passa a ser usada como estimativa de S_t,p de t = T_{min + 1} a t = T_max.

Seja n_t o número de bateladas na amostra de referência com tempo de término T > t. Quando t = T_min, n_t = N, isto é, o número total de bateladas na amostra de referência; para valores de t > T_min, n_t < N . Utilizando a eq. (2), com somatório adaptado ao número de bateladas disponíveis, é possível calcular as médias amostrais da variável p a partir das observações da variável somente em bateladas que finalizaram após o tempo T_min; isto é _t,p, t > T_min. Analogamente, utilizando uma adaptação da eq. (1) é possível calcular os desvios-padrão amostrais da variável p a partir de suas observações somente em bateladas que finalizam após o tempo T_min; isto é S_t,p, t > T_min. Cabe salientar que o número de observações incluídas no cálculo de _t,p e S_t,p será variável, dependendo do número de bateladas cujo término ocorre após T_min.

Na seqüência, propõe-se calcular um desvio-padrão combinado utilizando a seguinte expressão:

onde designa os valores previstos de S_t,p a partir do modelo de previsão determinado anteriormente. Trata-se de uma média ponderada de duas estimativas de desvio-padrão para a variável p no tempo t, onde o elemento ponderador considera o número de bateladas finalizadas em t.

A partir dos desenvolvimentos acima, para cada tempo encontram-se disponíveis pares de parâmetros, os quais são então utilizados para simular observações de (T_max - T_min) variáveis aleatórias normalmente distribuídas. Assim, para um dado tempo t* > T_min, serão geradas (N - n_t*) realizações de uma variável aleatória normalmente distribuída, com média _t*,p e desvio-padrão . Tais valores simulados são utilizados no preenchimento das (N - n_t*) matrizes de dados para as quais não se dispõem de observações da p-ésima variável no tempo t*. O mesmo procedimento é então repetido para as demais variáveis monitoradas nas bateladas.

3.2 Redução dimensional dos dados na amostra de referência usando o método Statis

O método Statis (ESCOUFIER, 1987; LAVIT et al., 1994) é uma técnica de análise de dados multivariados que permite reduzir a dimensionalidade de arranjos tridimensionais de dados, a partir da utilização de uma medida de similaridade baseada na distância Euclidiana entre matrizes bidimensionais de dados que compõem o arranjo, duas a duas. A Figura 1 ilustra o arranjo tridimensional (e suas matrizes bidimensionais componentes) no contexto da aplicação aqui proposta.

Ao contrário da ACPM, a utilização do Statis em dados oriundos de bateladas preserva a informação sobre a variabilidade do processo no eixo do tempo. Variáveis de processo monitoradas ao longo de uma batelada são variáveis de natureza funcional, cuja evolução é função do tempo. Na ACPM, uma variável de processo observada no tempo t é tratada como uma variável aleatória cujas realizações encontram-se disponíveis nas bateladas da amostra de referência, no tempo t em questão. Sendo assim, uma mesma variável observada em T instantes no tempo é tratada como T variáveis aleatórias distintas. No método Statis, a natureza funcional das variáveis é considerada na medida em que suas realizações são indexadas no tempo e a informação sobre o comportamento de sua evolução temporal é um dos principais resultados da análise de dados realizada.

O método Statis foi originalmente proposto por Escoufier (1973). Sua utilização no controle da qualidade encontra-se restrita à proposição em Scepi (2002). O método Statis é delineado na seqüência, contextualizado à presente aplicação.

A redução de dimensionalidade promovida pelo Statis cumpre dois objetivos: (i) permitir uma representação sumária de matrizes de dados obtidas a partir de situações de interesse e (ii) oferecer uma representação da trajetória (ou comportamento) de variáveis de interesse no decorrer do tempo. O objetivo (i) é realizado através da análise da interestrutura, ao passo que o objetivo (ii), através da análise da intra-estrutura.

A lógica da análise da interestrutura, de forma resumida, é a seguinte: calculam-se as distâncias entre matrizes de dados, duas a duas, oriundas das diferentes bateladas (isto é, as matrizes X^b); tais resultados são organizados em uma matriz de distâncias a qual é diagonalizada via análise de componentes principais (ACP), sendo retidos os componentes relevantes na sua representação. Finalmente, as matrizes X^b são projetadas nos planos fatoriais associados aos componentes retidos na ACP. O estudo da inter-estrutura não permite visualizar o comportamento das variáveis em um dado instante no tempo, mas o seu comportamento geral, considerado sobre todos os instantes de tempo.

A análise da intra-estrutura utiliza elementos da análise da interestrutura, apresentando a seguinte lógica: matrizes de dados X^b são combinadas em uma matriz única, denominada matriz de compromisso. Essa matriz é obtida através do cálculo da média ponderada das matrizes X^b, utilizando como elementos ponderadores os valores do autovetor principal obtido na ACP da análise da inter-estrutura. A matriz de compromisso é então diagonalizada via ACP, sendo retidos os componentes relevantes na sua representação. Finalmente, as observações de X^b em cada instante do tempo são projetadas nos planos fatoriais formados pelos componentes retidos na ACP. O estudo da intraestrutura permite comparar a trajetória das variáveis em X^b em cada instante do tempo com a trajetória de compromisso (que corresponde à sua trajetória esperada).

Nas próximas subseções são detalhados os passos operacionais dos estudos de interestrutura e intra-estrutura. Pressupõe-se a existência de N matrizes de dados X^b (b=1,...,N), já submetidas ao procedimento na seção 3.1, sendo seus dados centralizados e reduzidos para a análise que se segue.

Análise da interestrutura

A análise da interestrutura está baseada na definição de uma medida de similaridade entre matrizes de dados X^b, tendo seus passos operacionais esquematizados na Figura 2. Inicialmente, reescrevem-se as matrizes X^b como matrizes quadradas W^b, de dimensão (T_max × T_max), obtidas através da seguinte operação:

onde (X^b)' designa a transposta de X^b. Cabe ressaltar que na ACP tradicional, as matrizes padronizadas de dados X^b seriam submetidas a uma operação matricial do tipo (X^b)'X^b , resultando na matriz de correlações entre variáveis, de dimensão (P × P). A operação na eq. (4), por outro lado, é apropriada para variáveis funcionais cujas realizações são indexadas no tempo, já que gera como resultado uma matriz onde a correlação entre as variáveis é explicitada em cada instante t.

Calcula-se, na seqüência, uma medida de similaridade entre matrizes W^b, duas a duas. A medida de similaridade utilizada é função do produto escalar de Hilbert-Schmidt, dado por:

onde i e j referem-se a duas bateladas quaisquer da amostra de referência, Tr(*) é o operador de traço matricial, e D é uma matriz de pesos de importância para os instantes do tempo, com a seguinte configuração:

e elemento dado por:

tal que A lógica da utilização da matriz D é atribuir um maior peso de importância a instantes no tempo presentes em um maior número de bateladas na amostra de referência. Caso se deseje atribuir o mesmo peso de importância para todos os instantes do tempo, independentemente da quantidade de informação neles disponíveis sobre as variáveis de processo, então D = I, onde I é uma matriz identidade de mesma dimensão de D.

Se variáveis em Xⁱ e X^j não apresentam correlação significativa em nenhum instante nas bateladas. Usualmente utilizam-se matrizes W^b normalizadas na eq. (5); tais matrizes são obtidas através da operação . Nesse caso, a eq. (5) fornece coeficientes de correlação vetorial (coeficientes RV) entre matrizes de dados como resultado. No desenvolvimento que se segue, pressupõe-se a utilização de matrizes W^b normalizadas.

Os coeficientes RV devem ser organizados em uma matriz S, a qual, após multiplicada por uma matriz Δ de pesos de importância para as bateladas, é diagonalizada através de uma ACP. A matriz Δ, de dimensão (N × N), é determinada analisando a conformidade do produto resultante de cada batelada com as suas especificações técnicas, tal que bateladas gerando produtos próximos dos valores-alvo das especificações recebam pesos mais altos de importância. Caso tais informações não estejam disponíveis, recomenda-se atribuir o mesmo peso de importância a todas as bateladas, ou seja, Δ = I/N.

N componentes principais (CPs), caracterizados por pares de autovalores (λ_b) e autovetores (u_b), resultam da ACP realizada na matriz SΔ. A percentagem da variância em SΔ explicada pelo j-ésimo CP é dada por × 100. Analisando a capacidade explicativa de cada CP, é possível determinar o número ideal de CPs a serem retidos na representação da interestrutura das bateladas, seja através de opinião de especialistas conhecedores do processo ou utilizando o conjunto de critérios apresentado em Mingoti (2005; p. 89).

As distâncias entre matrizes W^b, calculadas através da eq. (5), podem ser visualizadas de forma agregada ao projetar-se as matrizes W^b nos eixos fatoriais retidos na representação da inter-estrutura, através da expressão:

onde a_b,i é a coordenada da batelada b no i-ésimo eixo fatorial, λ_i é o autovalor associado ao i-ésimo CP de SΔ e u_b,i é o b-ésimo elemento do autovetor u_i associado ao i-ésimo CP de SΔ. Tipicamente, é possível obter uma boa representação gráfica das bateladas projetando suas respectivas matrizes W^b nos eixos fatoriais derivados dos dois primeiros CPs (isto é, aqueles com maiores valores de λ_b).

Análise da intra-estrutura

A análise da intra-estrutura está baseada na determinação de uma matriz de compromisso formada pela soma ponderada das matrizes. Ao contrário da matriz de distâncias S, a matriz W^CO preserva o indexador temporal. Assim, a partir de sua diagonalização, é possível obter projeções gráficas do comportamento das bateladas em cada instante do tempo. Um resumo dos passos operacionais da análise da intra-estrutura vem apresentado na Figura 3.

A matriz W^CO é obtida através da seguinte expressão:

Os pesos α_b são definidos utilizando elementos do auto-par (i.e., autovalor e autovetor) principal de SD e da matriz de pesos Δ; isto é:

onde π_b é o b-ésimo elemento da diagonal principal da matriz Δ, λ₁ é o autovalor principal de SΔ e u_b,1 é o b-ésimo elemento do autovetor principal de SΔ.

A representação da intra-estrutura das variáveis analisadas pode ser obtida de duas formas. A primeira consiste em uma representação espacial das trajetórias de compromisso das variáveis analisadas, conforme exemplificado na Figura 10. Tal representação é dada pela projeção da matriz W^CO nos planos fatoriais associados aos CPs retidos na ACP aplicada à matriz W^COD. Para tanto, utiliza-se a seguinte expressão:

onde z_t,i é a coordenada de representação do instante t no i-ésimo eixo fatorial, δ_t é o autovalor associado ao i-ésimo CP de W^COD e u_t,i é o t-ésimo elemento do autovetor v_t associado ao i-ésimo CP de W^COD. O exemplo na Figura 10 traz uma representação de trajetórias de compromisso no primeiro plano fatorial, obtida operacionalizando a eq. (11) para i = 1 e 2.

Além disso, é possível obter-se representações detalhadas do comportamento das P variáveis em cada batelada e em cada momento do tempo, conforme exemplificado na Figura 12. Para tanto, projeta-se cada matriz de dados W^b nos planos fatoriais associados aos CPs retidos na ACP realizada na matriz W^COD. Para o i-ésimo plano fatorial, utiliza-se a seguinte expressão:

onde é a coordenada da representação da b-ésima batelada no instante t, no i-ésimo eixo fatorial; é a t-ésima linha da matriz W^b; δ_t e v_t são como definidos na eq. (11). O exemplo na Figura 12 traz uma projeção das bateladas nos instantes t=1, 3 e 5, no primeiro plano fatorial; tal representação foi obtida operacionalizando a eq. (12) para i = 1, 2 e t =1, 3 e 5.

3.3 Cartas de controle IS e CO_t

Nesta etapa, propõe-se a construção de duas cartas de controle (CCs) usando projeções de dados nos planos fatoriais resultantes da aplicação do método Statis; são elas a carta IS, derivada da análise da interestrutura, e a carta CO_t, derivada da análise da intra-estrutura das bateladas na amostra de referência.

A carta IS permite o controle off-line de bateladas futuras, sendo utilizada após o término da batelada, a partir da matriz de dados X^b completada seguindo o procedimento na seção 3.1. A carta CO_t permite o controle on-line das bateladas futuras, podendo ser utilizada a partir de matrizes incompletas de dados X^b; para concretizar o controle on-line das bateladas, um conjunto de T cartas CO_t deverá ser utilizado. No caso da carta IS sinalizar uma batelada fora de controle, a identificação do momento no tempo onde o descontrole passou a ocorrer só será possível analisando retroativamente as cartas CO_t associadas à batelada em questão.

A construção das cartas IS e CO_t envolve a utilização do formulário apresentado na seção 3.2. O ponto de partida é a obtenção de representações gráficas da interestrutura e intra-estrutura das bateladas na amostra de controle, as quais servirão de base para a construção das CCs. Uma vez disponíveis tais representações, as CCs são formalizadas a partir da determinação de suas regiões de controle. Na exposição que se segue, será considerada a obtenção de CCs a partir de projeções das bateladas da amostra de referência no primeiro plano fatorial (isto é, associadas aos dois primeiros CPs) obtido das aplicações da ACP no escopo do método Statis. A obtenção de CCs para os demais planos fatoriais utilizaria a mesma seqüência de passos.

A base da carta IS são as projeções das bateladas da amostra de referência no primeiro plano fatorial obtido na análise da interestrutura; tais projeções resultam da aplicação da eq. (8) para b = 1,..., N e i = 1,2. A base das cartas CO_t são as projeções do comportamento das P variáveis monitoradas no processo em cada batelada da amostra de referência, em cada instante no tempo; tais projeções resultam da aplicação da eq. (12) para t = 1,...,T, i = 1,2 e b = 1,..., N. Para a obtenção das CCs, em ambos os casos devem-se ajustar regiões de controle nas nuvens de pontos de referência resultantes, seguindo o procedimento descrito a seguir. [Em toda a exposição que se segue, parte-se do pressuposto que a representação da variabilidade total dos dados proporcionada pelos dois primeiros CPs obtidos nas ACPs realizadas nas análises da inter e intra-estrutura é suficiente para realizar o controle do processo. Caso contrário, as CCs deveriam ser criadas contemplando um número maior de planos fatoriais.]

Considere os gráficos básicos das CCs IS e CO_t mencionados no parágrafo anterior. Para estabelecer uma região de controle com significância (1 - a) nesses gráficos, propõe-se uma adaptação do procedimento em Zani et al. (1998), originalmente concebido para a detecção gráfica de valores espúrios em conjuntos de dados bidimensionais. Na apresentação a seguir, consideram-se as projeções no primeiro plano fatorial utilizadas como base para a carta IS; o procedimento para determinação das regiões de controle nas cartas CO_t é análogo.

Inicialmente, calcula-se a distância de Mahalanobis entre cada ponto no plano fatorial e o ponto médio. Dado que os pontos no plano fatorial são representações gráficas de pares de elementos oriundos de autovetores independentes por definição, a distância de Mahalanobis é obtida por (JOLLIFFE, 2004; p. 33):

onde d(a_b,_b,i)é a distância de Mahalanobis entre o ponto a_b, com coordenadas dadas pela eq. (8) para i = 1 e 2, e o ponto _b,i, com coordenadas (_b,i, _b,2)dadas pela média aritmética dos elementos nos autovetores _b,i e _b,2, respectivamente.

Ordenam-se, na seqüência, as N distâncias de Mahalanobis obtidas na eq. (13) em ordem decrescente e retêm-se as 50% menores distâncias; os pontos correspondentes a essas distâncias formarão um convex hull (polígono) de abrangência 50% no plano fatorial (isto é, 50% dos pontos no gráfico estarão situados dentro de seus limites).

Ajusta-se então uma curva do tipo B-spline aos pontos limítrofes (isto é, que definem o contorno) do convex hull de abrangência 50% (para uma breve introdução sobre B-splines, recomenda-se Hastie et al., 2001; p. 160). O objetivo do ajuste de uma B-spline é unir esses pontos criando um contorno suavizado para o hull; uma alternativa mais simples seria ligar os pontos limítrofes do hull através de retas, mas o contorno resultante dessa operação tende a ser irregular. No exemplo da Figura 4 tem-se a projeção de 50 pontos em um plano fatorial, 25 dos quais encontram-se situados dentro dos limites do convex hull de abrangência 50%; esses pontos correspondem aos 25 menores valores de distância de Mahalanobis do grupo de dados. Do conjunto de 25 pontos, 9 são pontos limítrofes, apresentando-se ligados por retas. A superfície formada pela união das retas é irregular. Assim, ajustou-se uma curva B-spline aos 9 pontos para suavizar o contorno do convex hull de abrangência 50%; a curva corresponde ao contorno mais interno na figura.

Finalmente, a região de controle é estabelecida na carta definindo um múltiplo l da distância entre o centróide (dado pela média aritmética das observações bivariadas no interior do hull) e os limites do convex hull de abrangência 50%, correspondendo à probabilidade de falso alarme (α ou erro tipo I) desejada para a CC. Para um valor de α = 0,10, por exemplo, l = 0,86. Demais valores de l para diferentes valores de são dados na Tabela 1 [baseados na suposição de dados seguindo uma distribuição normal bivariada e derivados no Apêndice de Zani et al. (1998; p. 267)]. Como a região interna não apresenta uma distância regular do ponto centróide, a região de controle também resultará irregular no formato. A Figura 4 exemplifica a região de controle, com α = 0,10 , obtida para os 50 pontos no plano fatorial (contorno mais externo). Sete pontos são externos a essa região, ao invés dos 5 esperados, considerando a sua abrangência de 90%. Esse comportamento decorre da expansão da região de controle a partir do hull mais interno, sendo mais freqüente em amostras contendo um grande número de potenciais valores espúrios.

A região de controle da CC poderia ser determinada, alternativamente, definindo o convex hull de abrangência [(1- α) × 100]% correspondente à probabilidade de falso alarme desejada para as cartas, identificando seus pontos limítrofes e ajustando uma curva B-spline a esses pontos. A abordagem apresentada anteriormente, na qual a região de controle é derivada expandindo o convex hull de abrangência 50%, entretanto, gera regiões de controle com contornos mais estáveis, menos susceptíveis à influência de pontos extremos na nuvem de dados (Zani et al., 1998). É importante salientar que as CCs resultantes da utilização do procedimento aqui apresentado independem da distribuição de probabilidade que caracteriza os dados na amostra de referência, o que confere um caráter não-paramétrico às cartas.

O controle off-line de uma batelada futura (b = N + 1) tem início com a projeção da sua matriz de dados correspondente, X^{N + 1}, na carta IS. É importante ressaltar que, nesse caso, a matriz X^{N + 1} estará plenamente disponível. Se a duração da batelada for inferior a T_max, será necessário completar a matriz de dados usando o procedimento na Seção 3.1. Se sua duração for superior a T_max, tem-se a situação de uma batelada mais longa do que as disponíveis na amostra de referência. Nesse caso, deve-se analisar se a nova batelada gerou produtos conformes e, nesse caso, inseri-la na amostra de referência, atualizando o valor de T_max para que corresponda ao da nova batelada.

O controle on-line do processo ocorre à medida que a nova batelada progride no tempo. Considere uma nova batelada disponível até um tempo t = t* < T_max, onde t* designa o mais recente instante de tempo no qual as variáveis foram amostradas do processo. Assim, somente uma fração da matriz de dados X^{N +1} estará disponível. Como o objetivo é verificar o comportamento das variáveis até o instante t*, pode-se supor que seu comportamento em instantes futuros siga o padrão de compromisso de comportamento das bateladas na amostra de referência. Para tanto, devem-se combinar as informações disponíveis na matriz X^{N +1} até o tempo t = t* com as informações da matriz de compromisso W^CO.

Considere a matriz incompleta contendo observações das P variáveis de processo até o tempo t = t*. Dispõe-se, assim, de dados apenas nas linhas iniciais da matriz, de t = 1 a t = t*. Seja o vetor de linha, de dimensão (1 × P), contendo as observações das P variáveis de processo na batelada b = N + 1, no tempo t. A matriz incompleta é constituída de t* vetores , isto é:

Para avaliar o desempenho da batelada b = N + 1 em um tempo t(< t*), utiliza-se a eq. (12), cuja operacionalização demanda o conhecimento do vetor (e, conseqüentemente, da matriz associada a ). Suponha uma matriz com t* linhas de dados disponíveis. A matriz associada a essa matriz terá os seguintes elementos:

ou seja, uma submatriz bloco diagonal de dimensão (t* ´ t*) traz as informações disponíveis na matriz ; as demais porções da matriz utilizam porções da matriz de compromisso W^CO.

A nova batelada, realizada até o instante t*, é monitorada usando as cartas CO_t. Observe que haverá uma carta CO_t para cada instante de tempo até t*, permitindo uma identificação precisa de estados fora-de-controle no processo. A nova batelada também pode ser monitorada usando a carta IS. Entretanto, devido aos dados faltantes em , quanto menor o valor de t*, maior a probabilidade de ocorrência de alarmes falsos na carta.

Cabe ressaltar que tanto a carta IS como as CO_t são de natureza não-paramétrica, ampliando a potencial aplicabilidade do método aqui proposto. Todas as alternativas metodológicas abordadas na Seção 2 estão baseadas em suposições acerca da distribuição de probabilidade dos dados monitorados nas cartas de controle.

4. EXEMPLO NUMÉRICO

O método proposto na Seção 3 é exemplificado utilizando um conjunto de dados simulados, disponíveis em Rosa (2005). O conjunto de dados na amostra de referência é composto por 50 bateladas de duração variável (T_min = 19; T_max = 25); três variáveis de processo (X₁, X₂, X₃) são consideradas. Uma visão parcial dos dados é apresentada na Tabela 2; as matrizes X^b, b = 1,...,50, estão dispostas lado a lado na tabela; as células escurecidas correspondem a valores não disponíveis nas bateladas originais e completados utilizando o procedimento na Seção 3.1.

As trajetórias médias das variáveis X₁, X₂ e X₃ nas bateladas da amostra de referência são apresentadas na Figura 5 (gráficos à esquerda). Os desvios-padrão amostrais calculados a partir das 50 bateladas da amostra de referência, para os tempos t = 1 a 19, encontram-se também grafados na Figura 5 (gráficos à direita).

As séries temporais de desvios-padrão amostrais apresentadas na Figura 5 foram modeladas utilizando o aplicativo NCSS, resultando nos modelos apresentados na Tabela 3. Nos três casos, o melhor ajuste foi obtido utilizando um modelo ARMA (8,7), apesar dos ajustes terem sido distintos, como indicam os coeficientes de determinação (R²) dos modelos na tabela. O modelo acima foi selecionado automaticamente pelo NCSS, utilizando como critério de desempenho na comparação o R², sendo utilizado neste exemplo a título de ilustração. Em aplicações reais, deve-se investigar modelos mais simples e parcimoniosos (por exemplo, modelos de suavização exponencial e de decomposição), em particular no caso de séries de desvios-padrão com número reduzido de observações.

Como mencionado anteriormente, as bateladas foram completadas utilizando o procedimento na seção 3.1. Ilustra-se, na Figura 6, as informações utilizadas para o preenchimento das realizações faltantes da variável X₂ no tempo t = 21. Os valores de _21,2 e S_21,2 foram calculados a partir das (n_t =) 46 observações de X_21,2 disponíveis nas bateladas com duração T > 21. O valor de foi obtido utilizando o modelo de previsão com parâmetros apresentados na Tabela 3. No cálculo do desvio combinado considerou-se n_t = 46. Finalmente, foram simuladas 4 observações de uma variável normalmente distribuída, com parâmetros (µ = 10,3491; σ = 0,5323), os quais foram utilizados para completar as bateladas b = 8, 44, 46 e 49.

Uma batelada adicional (b = 51) também é considerada na análise. A batelada, atipicamente longa, é considerada como fora-de-controle por Rosa (2005); as trajetórias de X₁, X₂ e X₃ em b = 51, truncadas no tempo t = 25, são apresentadas na Figura 7, sobrepostas às trajetórias médias das variáveis (em azul). Como o método aqui proposto foi concebido para capturar comportamentos anormais em bateladas no eixo do tempo, espera-se que o mesmo sinalize a batelada 51 como fora-de-controle.

Analisando-se o conjunto de dados tridimensionais na Tabela 2 a partir do método Statis, obtiveram-se representações gráficas da sua interestrutura e intra-estrutura, as quais permitiram construir cartas IS e CO_t para os dados do exemplo. O formulário na Seção 3.2 foi programado em um aplicativo de análise estatística, a partir do qual foram obtidos tanto os resultados numéricos quanto os gráficos apresentados na seqüência (as programações estão disponíveis mediante solicitação aos autores).

A análise da interestrutura utilizou 50 matrizes W^b(b = 1,..., 50) normalizadas. As distâncias entre matrizes (duas a duas) foram calculadas usando reiteradamente a eq. (5), e considerando uma matriz D com elementos dados pela eq. (7). As distâncias foram oganizadas em uma matriz S. Utilizou-se uma matriz de pesos Δ=I/50. A matriz Sσ foi diagonalizada via ACP, tendo sido retidos os dois primeiros auto-pares que, juntos, capturam 96,8% da variabilidade total presente nos dados; os autopares estão apresentados na Tabela 4.

As 50 bateladas da amostra de referência foram projetadas no primeiro plano fatorial, correspondente aos autovetores na Tabela 4, usando a eq. (8). O gráfico resultante vem apresentado na Figura 8. A figura também apresenta a região de controle da carta IS para um valor de α = 0,01. A determinação da carta combinou programações em aplicativo de análise estatística (determinação do convex hull de abrangência 50%, bem como o ajuste das curvas B-spline) e cálculos em planilha eletrônica [envolvendo a transformação de coordenadas cartesianas dos pontos limítrofes do hull interno em coordenadas polares, as quais foram expandidas na proporção do valor de l (Tabela 1) e transformadas novamente em coordenadas cartesianas; uma curva b-spline foi, então, ajustada aos pontos resultantes].

Na Figura 9, formaliza-se a carta IS (somente os eixos fatoriais e a região de controle para a = 0,01 são apresentados no gráfico). Projetando-se a batelada 51 na carta utilizando a eq. (8), obtêm-se as coordenadas (0,1247; -0,0031), correspondentes ao ponto 51 indicado na figura. A carta IS claramente sinaliza b=51 como uma batelada fora-de-controle, conforme esperado.

A Figura 10 apresenta a representação espacial das trajetórias de compromisso das variáveis na amostra de referência, no plano fatorial associado aos primeiros dois autovetores resultantes da ACP aplicada à matriz W^COD. Os dois primeiros autopares de W^COD capturam 96,8% da variabilidade total presente na matriz de compromisso, não sendo aqui apresentados para manter a brevidade da exposição. Cada ponto no gráfico da Figura 10 está associado a um tempo t, conforme indicado na figura, e concentra a informação do comportamento de compromisso das três variáveis de processo nas 50 bateladas da amostra de referência; tais pontos são obtidos operacionalizando a eq. (11) para i = 1,2 e t = 1,...,25. Observa-se que os primeiros e últimos instantes das bateladas têm sua variabilidade bem representada pelo segundo eixo fatorial. Já os instantes de tempo intermediários, de t = 3 a t = 14, têm sua variabilidade bem representada pelo primeiro eixo fatorial.

As cartas CO_t permitem efetuar o controle on-line do processo. Para ilustrar a utilização dessas cartas, simula-se uma nova batelada (b = NB) para a qual se dispõe de dados até o quinto instante do tempo. A Figura 11 ilustra a trajetória parcial das variáveis X₁, X₂ e X₃ em b = NB (a linha mais espessa corresponde à trajetória média das variáveis na amostra de referência). Em t=1 e 2, a trajetória da nova batelada corresponde à trajetória média das variáveis. A partir de t=3, as trajetórias das três variáveis passam a apresentar desvios em relação às trajetórias médias.

Para obter as projeções de b = NB nas cartas CO_t é preciso completar a matriz de dados X^NB para valores de t > 5. Optou-se por utilizar os elementos de W^CO para t = 6,...,25 para completar a matriz W^NB, a qual, através da eq. (12), gerou as informações necessárias para construir as cartas CO_t, para t = 1,...,5. Tais cartas são apresentadas na Figura 12, para t = 1, 3 e 5. A nova batelada corresponde ao ponto NB.

Observa-se que o primeiro sinal ocorre na carta CO₅, apesar da nova batelada desviar, com maior intensidade, do comportamento esperado a partir de t = 3 (ver Figura 11). Essa defasagem na ocorrência do primeiro sinal justifica-se pela natureza acumulativa das projeções nas cartas CO_t. Em t = 5, por exemplo, o histórico de desempenho das variáveis de processo nos instantes 1 a 5 é considerado. Conseqüentemente, é preciso reunir evidência acerca do comportamento atípico da nova batelada em vários instantes para que a carta sinalize o descontrole.

5. CONCLUSÃO

Neste artigo, apresenta-se um novo método para o controle da qualidade de processos em batelada com duração variável. No método proposto, matrizes de dados são completadas de forma a coincidir com a dimensão das matrizes correspondentes às bateladas de mais longa duração, sendo então analisadas utilizando o método Statis (ESCOUFIER, 1987).

O monitoramento do processo é realizado através de duas cartas de controle. Na carta IS, o comportamento global da batelada, com relação às suas variáveis de controle, agregadas em todos os instantes no tempo, é verificado em relação à distribuição de referência; tal carta é apropriada para o controle off-line das bateladas. Nas cartas CO_t, as trajetórias do conjunto de variáveis em cada instante do tempo são analisadas e desvios significativos com relação às trajetórias de referência são detectados; tal carta é apropriada para o controle on-line das bateladas.

O método proposto é aplicado a um conjunto de dados simulados, onde três variáveis de processo são monitoradas em 25 instantes do tempo. Os resultados obtidos ilustram o bom desempenho apresentado pelas novas cartas de controle, tanto em situações de monitoramento on-line como off-line.

Extensões naturais do trabalho aqui apresentado incluem (i) um estudo comparativo dos resultados obtidos utilizando o método proposto e outros métodos disponíveis na literatura, com especial destaque para a estratégia baseada na deflexão temporal dinâmica proposta por Kassidas et al. (1998); e (ii) o desenvolvimento de métodos de diagnóstico dos pontos fora-de-controle, sinalizados nas cartas de controle propostas.

AGRADECIMENTOS

A pesquisa do Prof. Fogliatto é financiada pelo CNPq, através do processo PQ 301433/2005-4. Os autores gostariam de agradecer aos referees anônimos pela atenção dispensada ao artigo e pelas valiosas sugestões feitas visando a sua melhoria. Os autores também agradecem a Rafael Alcoba pelo apoio no desenvolvimento do exemplo numérico

Artigo recebido em 25/06/2007

Aprovado para publicação em 26/03/2008

SOBRE OS AUTORES

Flávio S. Fogliatto

Departamento de Engenharia de Produção e Transportes - UFRGS

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Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  01 Set 2008
• Data do Fascículo
  2008

Histórico

• Aceito
  26 Mar 2008
• Recebido
  25 Jun 2007