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versión impresa ISSN 0103-6513versión On-line ISSN 1980-5411

Prod. vol.25 no.3 São Paulo jul./set. 2015  Epub 18-Ago-2015

https://doi.org/10.1590/0103-6513.075612 

Special Section

Modelos de programação estocástica no planejamento da produção de empresas moveleiras

Stochastic programming models in the production planning of furniture companies

Douglas Alem a*  

Reinaldo Morabito b  

a*Universidade Federal de São Carlos, Sorocaba, SP, Brasil, dougepai@yahoo.com.br

bUniversidade Federal de São Carlos, São Carlos, SP, Brasil


RESUMO

Esse trabalho aborda um problema de planejamento da produção típico de empresas moveleiras de pequeno porte, em que as demandas e os tempos de preparação dos estágios gargalos são variáveis aleatórias que podem ser aproximadas por um conjunto discreto e finito de cenários ponderados pelas correspondentes probabilidades de ocorrência. O problema com múltiplos cenários é modelado via programação estocástica de dois estágios com recurso. Para controlar a variabilidade dos custos de segundo estágio é proposto um modelo de recurso restrito que gera, progressivamente, um conjunto de soluções menos sensíveis às variações dos cenários, conforme a variabilidade é restringida a uma tolerância dada. Experiências numéricas indicam que, em muitas situações, não é muito dispendioso assegurar soluções aversas ao risco com bons níveis de serviço.

Palavras-Chave: Planejamento da produção; Indústria moveleira; Programação estocástica; Aversão ao risco; Recurso restrito

ABSTRACT

This paper addresses a production planning problem that arises in small-scale furniture companies, where the demands and setup times of bottleneck operations are random variables that can be approximated by a discrete and finite number of scenarios that are weighted by their corresponding probabilities of occurrence. The problem is modeled under multiple scenarios via two-stage stochastic programming with recourse. To control the variability of the second-stage costs, we propose a restricted recourse model that generates a set of solutions that are less sensitive to the scenario changes because the variability is limited to a given tolerance. Numerical experiences indicate that, in some situations, risk-averse solutions with good service levels are not excessively expensive to obtain.

Key words: Production planning; Furniture industry; Stochastic programming; Risk-aversion; Restricted recourse

1. Introdução

O planejamento da produção de muitas empresas é realizado exclusivamente com dados supostamente conhecidos e determinísticos. Entretanto, na realidade, muitas informações futuras e dados importantes para o planejamento da produção estão sujeitos às incertezas por várias razões, dentre as quais se destacam (Ben-Tal & Nemirovski, 2000; Beyer & Sendhoff, 2007):

  • Alguns dados (demandas futuras, custos, retornos etc.) podem não existir no momento em que os problemas são resolvidos, fazendo com que seja necessário utilizar métodos de previsão, que estão sujeitos a erros.

  • Alguns dados não podem ser medidos exatamente, como parâmetros físicos e técnicos que são conhecidos apenas dentro de um intervalo de confiança ou dado certo grau de acurácia, como tempos de processamento e de preparação de equipamentos.

Em empresas moveleiras típicas do setor, a realidade não é diferente. O gerente de produção utiliza informações sobre as carteiras de pedidos dos clientes, quantidade de produtos estocados e sua experiência para decidir o tamanho dos lotes de produção semanal. Caso ocorra a chegada de novos pedidos ou algum imprevisto (quebra de algum equipamento, ausência de funcionários etc.), a decisão é reavaliada num espaço de tempo menor. Em geral, a quantidade de produtos a serem produzidos Xi é obtida pela equação Xi = Ii - Di, em que Iié a quantidade de produto i atualmente em estoque e Di é a sua demanda. Embora Ii possa ser facilmente determinado (uma simples verificação no estoque, por exemplo), a quantidade Di é baseada numa expectativa de venda que nem sempre ocorre. Como é comum que empresas típicas de pequeno porte não possuam um histórico organizado dos pedidos dos clientes e nem das ordens de produção efetivadas, utilizar métodos de previsão baseados em séries históricas para estimar as demandas futuras, em geral, não é possível na prática, o que compromete a acurácia da expectativa de venda.

Determinada a quantidade de produtos a serem produzidos pelo planejamento da produção, é necessário verificar se há capacidade disponível para a produção dos lotes, levando-se em consideração tempos de produção e de preparação de máquinas e equipamentos. Comumente, tempos de produção são relativamente fixos e conhecidos, pois a maior carga de trabalho recai sobre máquinas automáticas. Entretanto, operações de preparação de máquinas são, muitas vezes, manuais e, portanto, dependentes da habilidade e da experiência do funcionário, motivo pelo qual os tempos de tais operações são difíceis de serem estimados na prática. Tipicamente, o planejamento da produção leva em consideração tempos médios ou situações de pior caso que podem gerar planos conservadores e pouco eficazes. Por um lado, utilizar somente valores médios e ignorar a variação do tempo de muitas atividades pode superestimar a capacidade de máquinas e de funcionários - acarretando atrasos na linha de produção ou mesmo gerando planos infactíveis na prática. Por outro lado, adotar planos baseados em situações pessimistas ou de pior caso pode subestimar a capacidade de produção, ocasionando uma contratação desnecessária de turnos e/ou funcionários extras.

Particularmente no contexto do planejamento da produção de empresas moveleiras, as incertezas inerentes do processo - principalmente demandas e tempos de preparação - costumam ser "desprezadas", seja pela adoção de uma expectativa de venda sem ou com pouca acurácia, seja pela estimativa equivocada dos tempos de preparação. Analisando essas questões, o presente trabalho propõe estudar problemas de planejamento da produção típicos de empresas moveleiras de pequeno porte inseridas num ambiente incerto, considerando ainda a possibilidade de controlar a variabilidade do custo total esperado via incorporação de uma medida de risco adequada. Do ponto de vista teórico, uma contribuição deste trabalho é o desenvolvimento de modelos de programação estocástica e aversão ao risco para problemas de planejamento da produção em empresas moveleiras, que podem ser estendidos para outros contextos industriais. Do ponto de vista prático, uma contribuição deste estudo é discutir vários resultados que podem auxiliar o tomador de decisões a lidar com as incertezas no seu dia a dia, tornando as suas estratégias de produção mais competitivas no mercado. Alguns estudos anteriores que abordaram aspectos do planejamento da produção na indústria de móveis são, por exemplo, os de Foronda & Carino (1991), Carnieri et al. (1994), Morabito & Arenales (2000), Gramani & França (2006), Rangel & Figueiredo (2008), Santos et al. (2011) e Alem & Morabito (2013b). A maior parte desses estudos teve enfoque determinístico e foco nas operações de corte de placas e suas integrações no planejamento da produção em empresas moveleiras. Em particular, Alem & Morabito (2013b) estudaram um problema combinado de planejamento da produção e corte de estoque com custos de produção e demandas de produtos incertos. Porém a técnica de otimização robusta utilizada considera os parâmetros incertos como variáveis aleatórias num suporte estabelecido a priori e otimiza-se o problema numa perspectiva de pior caso intervalar, o que é diferente da abordagem por programação estocástica de dois estágios com recurso aqui utilizada. Além disso, o modelo de planejamento da produção proposto em Alem & Morabito (2013b) e em outros estudos anteriores é diferente do modelo aqui empregado, porque considera que o processo de corte de placas é o gargalo de produção, que os tempos e custos de preparação dos equipamentos de corte e furação podem ser desprezados e que a linha de montagem é limitante. Um dos primeiros trabalhos que se preocupou com questões de robustez em problemas de programação estocástica foi apresentado por Mulvey et al. (1995). Nesse artigo, os autores propõem uma metodologia baseada em programação estocástica (abordagem por cenários) e programação por metas, que foi designada pelos autores otimização robusta. A motivação inicial dessa metodologia era desenvolver modelos de programação matemática cujas soluções permanecessem "próximas" da solução ótima e "quase" factíveis para quaisquer realizações das variáveis aleatórias. Soluções desses tipos seriam consideradas robustas em relação à otimalidade e à factibilidade. Posteriormente, Vladimirou & Zenios (1997) propuseram uma metodologia semelhante para incorporar condições de robustez diretamente pela satisfação das restrições em problemas de programação estocástica; tal metodologia ficou conhecida por recurso restrito ou restrições de recurso. A principal diferença entre a metodologia de Mulvey et al. (1995) e Vladimirou & Zenios (1997)é que o modelo do primeiro trabalho emprega a noção de otimização multiobjetivo para otimizar (indiretamente) o conflitante critério de robustez e custo, enquanto o modelo com recurso restrito do segundo trabalho adota uma medida de risco para reduzir a variabilidade das decisões de segundo estágio. Ainda, ambos os modelos podem ser provados matematicamente equivalentes (Ahmed & Sahinidis, 1998).

Embora alguns autores ainda utilizem o termo otimização robusta ou programação estocástica robusta para designar tal metodologia, mais recentemente há uma tendência de se usar o termo programação com aversão ao risco (risk-averse programming), para aludir à adoção de medidas de controle de robustez (ou medidas de risco) em modelos de programação estocástica (Schultz & Tiedemann, 2006; Gollmer et al., 2008; Kuhn & Schultz, 2009; Alonso-Ayuso et al., 2014; Pousinho et al., 2011, 2012; Guigues & Sagastizábal, 2012; entre outros).

É importante elaborar medidas de risco apropriadas para reduzir a variabilidade e ainda manter a tratabilidade computacional do modelo matemático. Basicamente, uma medida de risco pode ser vista como uma função que penaliza a variabilidade entre as decisões de segundo estágio, considerando múltiplos cenários distintos. Por exemplo, há vários trabalhos que utilizam o modelo clássico de média-variância de Markowitz (1959) para balancear expectância e variância (Mulvey et al., 1995; Yu & Li, 2000; Leung & Wu, 2004; Leung et al., 2007; Khor et al., 2008), mas o modelo de otimização resultante com função objetivo do tipo média-variância é um problema de programação quadrática não linear convexo, que pode ainda conter variáveis de decisão inteiras ou binárias, o que resultaria num problema computacionalmente intratável, dependendo das dimensões dos dados de entrada. Para evitar formulações não lineares, Konno & Yamazaki (1991) propuseram uma medida de risco alternativa à média-variância de Markowitz, que se popularizou em finanças como MAD (desvio médio-absoluto). Outra opção de linearização foi apresentada no trabalho de Yu & Li (2000). O leitor interessado em mais detalhes sobre medidas de risco pode consultar, por exemplo, Schultz & Tiedemann (2006), Gollmer et al. (2008), Kuhn & Schultz (2009), Alonso-Ayuso et al. (2014), Alem (2011)e Alem & Morabito (2013a).

Modelos de programação estocástica com aversão ao risco têm sido largamente utilizados desde o trabalho pioneiro de Mulvey et al. (1995), com aplicações em expansão de capacidade (Laguna, 1998), planejamento agregado (Leung & Wu, 2004; Aghezzaf et al., 2010), revenue management (Lai & Ng, 2005; Lai et al., 2007), planejamento da produção em múltiplas plantas (Leung et al., 2007), programação de frota de ônibus (Yan & Tang, 2009), produção de toras de madeira (Zanjani et al., 2009), cadeia de suprimentos num contexto de manufatura ágil (Pan & Nagi, 2010), fornecimento de gás natural (Aouam et al., 2010), processamento de sinal (Ukkusuri et al., 2010), planejamento e programação da produção e processos em indústrias químicas e refinarias de petróleo (Suh & Lee, 2001; Jia & Ierapetritou, 2004; Khor et al., 2008; Li & Ierapetritou, 2008), dentre outras aplicações.

O restante deste artigo está organizado da seguinte maneira: a seção 2 descreve brevemente o processo de produção de empresas moveleiras de pequeno porte. A seção 3 desenvolve dois modelos baseados em programação estocástica para o problema de planejamento da produção sob incertezas: o primeiro é um programa dito neutro ao risco, enquanto o segundo incorporar uma medida de robustez. A seção 4 discute os resultados numéricos e, finalmente, a seção 5 apresenta as considerações finais e algumas direções para trabalhos futuros.

2. Processo de produção de empresas moveleiras de pequeno porte

O processo de produção de uma empresa moveleira de pequeno porte é composto, basicamente, pelos estágios descritos a seguir.

Setor de corte primário: Esse setor, em geral, é composto por poucos funcionários que operam uma máquina seccionadora, na qual placas de algum tipo de material (madeira, MDF, MDP etc.) são cortadas nas peças que irão compor o móvel. As máquinas seccionadoras mais sofisticadas podem cortar uma quantidade de placas bem maior por unidade de tempo, além de produzirem também cortes mais trabalhados.

Setor de corte secundário: É composto por um conjunto de serras menores, que são utilizadas para o processo de aparo das sobras, corte de peças que foram processadas de forma agrupada e ainda são usadas para cortar peças menores. Nesse setor também são feitos os vincos nas peças que são encaixadas em outras na montagem de um determinado móvel. Esse setor pode também ser usado para processar pedidos inesperados ao longo do horizonte de planejamento, de forma a não comprometer a produção da máquina seccionadora principal, por exemplo.

Setor de furação: Esse setor é composto por furadeiras (manuais e automáticas), sendo que a maior carga de serviço é realizada pelas máquinas automáticas. Nesse setor são feitos os furos nas peças para a posterior montagem do móvel. A maior parte das furadeiras utilizadas pode ser operada por apenas uma pessoa e tem capacidade para furar peças com um tamanho limite de espessura e largura. Além disso, são comuns furadeiras que só podem furar uma peça por vez.

Setor de montagem: Esse setor é formado por diversas máquinas, como lixadora e prensa. Nele, as peças são montadas e preparadas para a pintura. É o setor que agrega o maior número de funcionários.

Setor de pintura: É formado por um conjunto de máquinas que operam interligadas. O conjunto é operado por um número relativamente baixo de funcionários, em geral. O papel deles no processo de produção é preparar o conjunto, efetuando a limpeza das máquinas, a carga das tintas e o monitoramento do processo de pintura das peças do móvel.

Na indústria de móveis, a maneira específica de se cortar as placas é denominada padrão de corte bidimensional, pois existem duas dimensões (comprimento e largura) relevantes para o processo de corte. Na literatura, o planejamento do corte de algum tipo de matéria-prima visando otimizar os efeitos desse processo (como minimizar a perda advinda do corte de placas de madeira) é conhecido como problema de corte de estoque. Há vários fatores que concorrem na elaboração de um padrão de corte, como a facilidade de processamento do padrão e a tecnologia da empresa. Em empresas moveleiras é comum a utilização de padrões de corte guilhotinados, i.e., padrões produzidos por cortes paralelos a um dos lados da matéria-prima retangular que a divide em dois novos retângulos (Morabito & Arenales, 2000; Rangel & Figueiredo, 2008; Santos et al., 2011).

Neste trabalho, apenas os processos de corte e furação são considerados no desenvolvimento do modelo de planejamento da produção da empresa moveleira, uma vez que tais processos comumente se alternam como gargalos do sistema produtivo em questão, principalmente porque os tempos de preparação associados a essas atividades são relevantes. No estágio de corte, por exemplo, o ajuste inicial das placas que serão cortadas na seccionadora, a rotação das placas para serem cortadas segundo cortes guilhotinados e a troca das serras desgastadas são exemplos de operações executadas manualmente pelos funcionários. No estágio de furação, é necessário instalarem-se diferentes brocas para furar peças com espessuras distintas e verificar a profundidade dos furos para evitar o rompimento das peças, tarefas que também são realizadas manualmente pelos funcionários da empresa. Como todas essas atividades dependem da habilidade e da experiência do funcionário, os tempos totais de preparação são elevados, daí a importância de contabilizá-los no modelo de planejamento.

3. Planejamento da produção em empresas moveleiras via programação estocástica

3.1. Modelo de dois estágios com recurso

Neste trabalho, os tempos de preparação e as demandas são considerados como variáveis aleatórias com realizações discretas segundo distribuições de probabilidades conhecidas em (Ω, F, Π), em que Ω = {1,2,...,s-1,s,...,S} é o conjunto de possíveis estados da natureza ou cenários equipado com uma s-álgebra de eventos F e com uma medida de probabilidade Π (Shapiro et al., 2009). Definidas as variáveis aleatórias, é importante decidir sobre os estágios do modelo de programação estocástica. De acordo com o paradigma dos modelos de dois estágios, as decisões são executadas antes e depois da realização das variáveis aleatórias. Assim, definem-se as decisões anteriores à realização das variáveis aleatórias como here-and-now, em contrapartida às decisões feitas após o conhecimento das variáveis aleatórias, designadas por wait-and-see.

Para o problema proposto neste trabalho, é razoável que os níveis de produção de cada produto em cada período do horizonte de planejamento (Xit) sejam decididos antes da realização das variáveis aleatórias. Consequentemente, a frequência de utilização de cada padrão de corte em cada período (Yjt) e a programação das preparações de cada padrão em cada período (Zjt) também devem ser determinadas antes das variáveis aleatórias tornarem-se conhecidas. Então, tem-se que as variáveis Xit, Yjt e Zjt (ver definições adiante) são as decisões de primeiro estágio do problema. Após o conhecimento das variáveis aleatórias é possível adaptar-se a solução obtida pelas ações de segundo estágio de estocar (I+ it) ou atrasar (I- it) a produção de cada produto em cada período e utilizar horas extras em cada período (Ot), adotando as variáveis I+ it, I- it e Ot (ver definições adiante) como decisões de segundo estágio.

Sejam os conjuntos de produtos, padrões de corte, peças e períodos indexados por i, j, p e t, respectivamente. A menos que se afirme o contrário, admite-se que o índice i é válido para todo o conjunto I, o índice j é válido para todo o conjunto J, e assim por diante para p e t. Seja também o conjunto de possíveis cenários indexado por s ∈ W. Supõe-se que "produto i" quer dizer "produto do tipo i", como um armário de três portas. De forma similar, "padrão de corte j" refere-se a "padrão de corte do tipo j", como um padrão que utiliza uma placa de 20 mm de espessura e tamanho 2,75 × 1,83 m, para produzir determinado conjunto de peças. Da mesma forma, "peça p" significa "peça do tipo p", como uma base de criado de 600 mm de largura por 437 mm de altura. Considere-se também a seguinte notação para os parâmetros e variáveis de decisão do modelo:

3.1.1. Parâmetros determinísticos

  • cit - Custo de produzir uma unidade do produto i no período t.

  • h+ it - Custo de estocar uma unidade do produto i no período t.

  • h- it - Custo de falta/atraso de uma unidade do produto i no período t.

  • cot - Custo de horas extras no período t.

  • wjt - Custo da placa usada no padrão de corte j no período t.

  • apj - Quantidade de peças p no padrão de corte j.

  • rpi - Quantidade de peças p necessárias para compor uma unidade do produto i.

  • vI j - Tempo de preparação da máquina seccionadora para produzir o padrão de corte j no período t.

  • dpj - Função indicadora igual a 1, se apj > 0, e igual a 0, caso contrário.

  • vI p - Tempo de preparação da furadeira para furar a peça p no período t.

  • Ct - Capacidade regular (em unidades de tempo) de ambos os estágios de produção (corte e furação) no período t.

  • CE t - Capacidade extra (em unidades de tempo) de ambos os estágios de produção no período t.

  • Imax it - Nível máximo permitido de estoque do produto i no período t.

  • M - Número suficientemente grande.

3.1.2. Parâmetros estocásticos

  • ps - Probabilidade de ocorrência do cenário s (definido em P).

  • dits - Demanda do produto i no período t no cenário s.

  • jI js - Tempo de preparação da máquina seccionadora para cortar o padrão de corte j no cenário s.

  • jII ps - Tempo de preparação da furadeira para furar a peça p no cenário s.

3.1.3. Variáveis de decisão de primeiro estágio

  • Xit - Quantidade do produto i produzida no período t.

  • Yjt - Frequência com que o padrão de corte j é utilizado no período t (i.e., número de placas cortadas no padrão j no período t).

  • Zjt - Variável binária igual a 1, se a máquina seccionadora está preparada para produzir o padrão de corte j no período t, e igual a 0, caso contrário.

3.1.4. Variáveis de decisão de segundo estágio

  • I+ its - Quantidade do produto i estocada ao final do período t no cenário s.

  • I- its - Quantidade do produto i em atraso ao final do período t no cenário s.

  • Ots - Quantidade de horas extras utilizadas no período t no cenário s.

O problema de planejamento da produção em empresas moveleiras sob incertezas pode ser formulado como um problema de otimização inteira mista em dois estágios. O objetivo do problema do primeiro estágio (1) é minimizar a soma dos custos de produção e aquisição de matéria-prima do primeiro estágio e os custos esperados do problema do segundo estágio levando-se em conta todos os cenários s ∈ W, sujeito às restrições referentes às variáveis de primeiro estágio (2) a (4):

em que ξ = [ξs], ξs = {ditsI jsII ps} é o vetor aleatório associado ao cenário s ∈ Ω e Q(X,Y,Z,ξ) é o valor ótimo do seguinte problema de segundo estágio:

As restrições (2) asseguram que a demanda interna de todos os tipos de peças seja satisfeita. Essas restrições integram os problemas de dimensionamento de lotes e corte de estoque, uma vez que relacionam as variáveis Xit, que definem o tamanho dos lotes do produto i no período t, e as variáveis Yjt, que definem a quantidade de placas cortadas, segundo o padrão de corte j no período t. As restrições (3) garantem que só pode haver produção do padrão de corte j no período t se a máquina seccionadora estiver preparada para cortá-lo. As restrições (4) referem-se ao domínio das variáveis de decisão de primeiro estágio. A função objetivo de segundo estágio (5) visa minimizar a soma dos custos esperados de estoque, atraso e horas extras, levando em conta todos os cenários s ∈ Ω. Note que o custo aleatório de segundo estágio Q(X,Y,Z,ξ) assume um dado nível de produção (X), configuração de padrão de corte (Y) e preparação de máquinas (Z). As restrições (6) fazem o balanceamento da produção de móveis para cada realização s. Sem perda de generalidade, admite-se que os estoques e atrasos iniciais (i.e., em t = 0) são nulos. Os estoques são limitados superiormente, devido a restrições de espaço físico para o armazenamento dos produtos finais, como indicado em (7).

As restrições de capacidade (8) e (9) asseguram que os estágios de corte e furação sã o limitados para cada período t e cada cenário s. Em ambos os estágios são considerados os tempos de produção e de preparação e é possível utilizarem-se horas extras, caso a capacidade regular no período t seja insuficiente. A mesma variável de preparação Zjt foi usada em ambos os estágios para sincronizá-los, i.e., a máquina de furação precisa ser preparada para processar uma peça p somente se o estágio de corte anterior tiver gerado pelo menos uma peça p. Matematicamente, definiu-se uma função indicadora δpj ∈ {0,1} (dado de entrada do problema) para sincronizar a preparação, de tal forma que δpj = 1 se o padrão de corte j contém pelo menos uma peça p, e δpj = 0 caso contrário. Note-se que Zjt = 0 indica que a máquina seccionadora não está preparada para cortar o padrão de corte j no período t e, portanto, a preparação da furadeira é desnecessária. Por outro lado, Zjt = 1 indica que a máquina seccionadora está ativada, então é preciso analisar se o padrão j gera uma peça p para ser furada no próximo estágio ou não. No primeiro caso, δpj= 1, então a preparação é ativada na restrição (9). No segundo caso, i.e., se o padrão j não gera uma peça p para ser furada no próximo estágio, então δpj = 0. Isso significa que a preparação da máquina de furação não será considerada na restrição 9, pois φII ps . δpj . Zjt = 0.

As restrições (10) garantem que a quantidade máxima de horas extras utilizadas na máquina seccionadora e na furadeira seja respeitada em cada período t e cenário s. Finalmente, as restrições (11) referem-se ao domínio das variáveis de decisão de segundo estágio. O modelo (1) a (11) será designado de risco neutro (RN), em contrapartida ao modelo com recurso restrito apresentado na próxima seção.

3.2. Valor esperado de informação perfeita e valor da solução estocástica

Os paradigmas dos modelos determinísticos e estocásticos são distintos e, por essa razão, deve-se ter certo cuidado na comparação entre as respectivas soluções, para não se ignorar as diferenças entre eles. Primeiro, enquanto o valor ótimo do modelo determinístico corresponde a um único custo mínimo, o valor ótimo do modelo estocástico refere-se a uma composição de custos mínimos, um para cada cenário, ponderados pelas probabilidades desses cenários, e que é comumente denominado custo mínimo esperado. Além disso, o modelo determinístico gera um único plano de produção (volume de produção, estoque e atrasos, desperdício de material, número de preparações e horas extras), ao passo que o modelo determinístico de dois estágios gera planos de produção dependentes dos cenários. O fato de uma única decisão do modelo determinístico corresponder a S possíveis decisões no modelo estocástico (variáveis de segundo estágio) faz com que os modelos estocásticos sejam atraentes em muitos contextos. Tradicionalmente, para se avaliar a melhoria que modelos estocásticos produzem em relação a soluções obtidas com aproximações determinísticas, recorre-se a análise do Valor Esperado de Informação Perfeita (Expected Value of Perfect Information - EVPI) e do Valor da Solução Estocástica (Value of Stochastic Solution - VSS).

O EVPI é obtido pela diferença entre o Valor do Problema Estocástico (Recourse Problem - RP) e o valor esperado das soluções wait-and-see (WS), i.e., EVPI = RP - WS. Na literatura de programação estocástica, é usual designar RP como o valor do problema recurso, enquanto WS representa o valor esperado WS = ΣsπsWS* s, em que WS* s é o valor do problema wait-and-see de cada cenário s ∈ Ω, i.e., é o valor ótimo do problema (1) a (11) para cada cenário s ∈ Ω. Segundo Birge & Louveaux (1997), o EVPI mede o quanto o decisor estaria disposto a pagar em troca de informação perfeita e precisa sobre o futuro. Para Kall & Wallace (1994), o EVPI também representa quanto se esperaria ganhar se fosse possível determinar de antemão o valor das variáveis aleatórias. Para esses mesmos autores, o EVPI é importante porque mostra se é importante considerar a aleatoriedade do problema ou não. Não necessariamente, valores elevados para essa medida indicam a necessidade de se resolver o problema estocástico. Por outro lado, quando o EVPI é baixo, tem-se a indicação de que não é tão importante considerar a aleatoriedade do problema e, portanto, aproximações podem funcionar bem.

O VSS pode ser considerado como o custo de ignorar a aleatoriedade dos parâmetros na escolha de uma decisão (Birge & Louveaux, 1997). Seu cálculo supõe que, em vez de resolver o problema estocástico RN (1) a (11), o decisor prefira resolver um problema de Valor Esperado (Expected Value Problem - EV), que consiste em substituir todas as variáveis aleatórias do problema estocástico pelos respectivos valores esperados. Uma pergunta que advém da possibilidade de se usar a solução do problema EV é: quão boa ou ruim é ela em comparação à solução RP? Para responder a essa pergunta, define-se o resultado esperado com a utilização da solução do problema EV, ou apenas EEV (Expectation of the Expected Value Problem). O EEV é obtido fixando-se as variáveis de primeiro estágio encontradas pelo problema EV no problema estocástico RP. O resultado exprime como as variáveis de decisão de segundo estágio são escolhidas otimamente em função das variáveis de primeiro estágio do problema EV. Finalmente, define-se o valor da solução estocástica como a diferença entre RP e EEV, i.e., VSS = EEV - RP.

Pode-se também definir o problema EV em função do cenário mais provável, ou de pior caso, e o problema EEV é obtido de forma análoga. Em todas as situações, determinar VSS auxilia na comparação entre o problema estocástico e estratégias determinísticas aproximadas. Quanto maior for o valor de VSS, maior é o ganho em considerar o problema estocástico em detrimento da estratégia aproximada adotada. Similarmente, se o valor for muito baixo (menor do que uma tolerância definida pelo decisor), o ganho de se resolver o problema estocástico em vez do problema EV é desprezível e, portanto, pode-se utilizar a estratégia aproximada de valor esperado.

3.3. Um modelo de programação estocástica com recurso restrito

O modelo RN (1) a (11) é neutro em relação ao risco, i.e., o interesse é num desempenho de longo prazo, sem considerar as flutuações específicas de uma variável aleatória. Todavia, quando é importante reduzir a dispersão das variáveis aleatórias para gerar soluções de segundo estágio mais próximas uma das outras, deve-se incorporar uma medida de variabilidade apropriada ao modelo. Neste trabalho, utilizou-se a medida conhecida por UPM (upper partial mean, de acordo com Ahmed & Sahinidis, 1998) dentro de um modelo de recurso restrito. Matematicamente, a medida UPM - designada por Δ neste trabalho - é definida da seguinte maneira:

em que[.]+ denota a parte positiva do número real.

O modelo geral de dois estágios com recurso restrito é obtido pela introdução de uma restrição que limita a variabilidade das decisões de segundo estágio, de acordo com uma tolerância Δmax. O modelo estocástico com restrição de recurso (RR) pode ser escrito da seguinte maneira:

Note-se que a primeira restrição de (13) é simplesmente a linearização da medida UPM apresentada em (12). Basicamente, o desvio Δspenaliza a diferença positiva entre o custo de cada cenário e o valor esperado, no intuito de gerar soluções menos sensíveis (ou mais estáveis) às variações dos diferentes cenários. Para gerar tais soluções, basta decrementar progressivamente o parâmetro Δmax. Quanto menor Δmax, mais averso ao risco é o decisor e mais robusta é a solução, no sentido de que o custo dos cenários estará mais próximo do custo total esperado. Se Δmax for um número suficientemente grande, a terceira restrição de (13) não tem efeito sobre a robustez da solução e, nesse caso, RR e RN são equivalentes. Para uma tolerância Δmaxsuficientemente pequena, RR pode ainda gerar soluções infactíveis.

4. Experiências computacionais

Nesta seção, são apresentados os resultados dos experimentos computacionais com os modelos matemáticos estocásticos RN (1) a (11) e RR (13). Os objetivos dos experimentos computacionais são: (1) testar o desempenho dos modelos; e (2) analisar a redução da variabilidade dos custos de segundo estágio do modelo RR. Os modelos foram codificados no Sistema de Modelagem Algébrica GAMS (Rosenthal, 2008) e resolvidos pelo pacote computacional ILOG-CPLEX 11.0 (Ilog, 2008) com parâmetros de resolução default, num notebook Core 2 Duo 4, 4.0 GB de RAM, 2.0 GHz, sob plataforma Windows Vista. Os dados utilizados referem-se a um exemplo real de uma empresa moveleira típica do setor, considerando-se três produtos, oito períodos do horizonte de planejamento, 49 peças e 81 padrões de corte guilhotinados. O leitor interessado nos detalhes dos dados de entrada pode consultar Alem (2011). Vale destacar que todos os exemplares foram resolvidos até a obtenção do certificado de otimalidade.

4.1. Geração dos cenários

Na literatura científica, há diversas maneiras de gerar os cenários associados à realização das variáveis aleatórias [veja, e.g., Dupacová et al. (2000) para uma revisão dos métodos de geração de cenários em contextos multiestagiados]. Neste trabalho, foram adotadas duas formas: a primeira é baseada na construção de uma árvore de cenários, a partir da combinação dos parâmetros estocásticos (demandas, tempos de preparação da serra e tempos de preparação da furadeira) como, por exemplo, no trabalho de Ma et al. (2010). A segunda forma consiste, basicamente, na enumeração de algumas realizações discretas e equiprováveis como, por exemplo, nos trabalhos de Geng et al. (2009) e Pan & Nagi (2010).

Para construir a árvore de cenários, associou-se cada variável aleatória a três possíveis realizações, baixa, média ou alta, que foram posteriormente quantificadas com base nos correspondentes valores médios das variáveis aleatórias, como exemplificado a seguir. As realizações associadas às demandas nos cenários baixos (B), médios (M) e altos (A) foram geradas aleatoriamente de acordo com uma distribuição uniforme discreta nos intervalos [0,7dit; 0,95dit], [0,95dit; 1,05dit] e [1,05dit; 1,3dit], respectivamente, em que dit é o valor médio da variável aleatória. As realizações associadas aos tempos de preparação foram geradas de maneira análoga, segundo uma distribuição uniforme contínua, nesses casos. As demandas não inteiras foram arredondadas para o menor inteiro maior que o valor fracionário. Combinando as realizações dos parâmetros estocásticos, tem-se a árvore de cenários apresentada na Figura 1. Como são três variáveis aleatórias e três possíveis realizações para cada um, 33 cenários foram gerados. As probabilidades associadas aos 27 cenários da árvore ilustrada na Figura 1 foram calculadas pela regra do produto, supondo-se independência estatística entre as variáveis aleatórias e considerando-se as probabilidades de todas as variáveis aleatórias nos cenários B, M e A iguais a 25, 50, 25% (situação moderada), respectivamente. A probabilidade do cenário 1 (Baixa-Baixo-Baixo), por exemplo, foi obtida da seguinte maneira: πI B (probabilidade da demanda ser baixa) x πII B (probabilidade do tempo de preparação da serra ser baixo) x πIII B (probabilidade do tempo de preparação da furadeira ser baixo) = πI BπII BπIII B = 0,253 = 0,015625. Cabe ressaltar que outras distribuições de probabilidade poderiam ser usadas para gerar as realizações das variáveis aleatórias, mas a metodologia empregada neste trabalho pode ser validada independentemente da distribuição utilizada.

Figura 1. Árvore de cenários composta por três realizações referentes a três variáveis aleatórias independentes: demanda, tempo de preparação da seccionadora e tempo de preparação da furadeira. Fonte: Alem (2011)

4.2. Resultados do modelo estocástico RN

Nas análises, considerou-se o nível de serviço tipo II (ou taxa de atendimento da demanda) para analisar a demanda não atendida no último período T em cada cenário s: Bs = 1 - I- Ts/ds, em que I- Ts = ΣiI- iTs e ds = Si,tdits. A Tabela 1 resume os resultados obtidos para cada cenário. Os termos apresentados na Tabela 1 referem-se às probabilidades πs; ao custo total de estoque ICs; ao volume total de estoque I+ s; ao custo com demanda perdida BCs; à demanda não atendida no último período T, I- Ts; ao custo total de hora extra COs; às horas extras totais utilizadas Os; e ao nível de serviço Bs. Ao final da tabela têm-se os custos de primeiro estágio: produção (PC) e aquisição de matéria-prima (TC), assim como o volume total de produção (X), a quantidade de placas cortadas (Y) e número de preparações realizadas (Z). O custo total esperado e o tempo de execução do algoritmo branch-and-cut para resolver o exemplar até a otimalidade também são mostrados. Além disso, os valores entre parênteses mostram a quantidade total produzida ao longo do horizonte de planejamento X e a correspondente quantidade de placas que foram utilizadas Y.

Tabela 1. Resultados de um exemplar real do modelo estocástico RN na situação moderada, na qual as probabilidades das demandas e tempos de preparação nos cenários Baixo, Médio e Alto são 25, 50 e 25%, respectivamente. 

Cenário (s) ps(%) ICs I+s=Si,tI+its BCs I-Ts=SiI-iTs OCs Os Bs(%)
1. Baixa-Baixo-Baixo 1,56 27258 3131 0 0 0 0 100,0
2. Baixa-Baixo-Médio 3,13 21678 2717 0 0 29 493 100,0
3. Baixa-Baixo-Alto 1,56 26717 2813 0 0 552 9295 100,0
4. Baixa-Médio-Baixo 3,13 26208 2925 0 0 0 0 100,0
5. Baixa-Médio-Médio 6,25 23714 2677 0 0 19 316 100,0
6. Baixa-Médio-Alto 3,13 27011 2918 0 0 548 9223 100,0
7. Baixa-Alto-Baixo 1,56 31255 2874 0 0 0 0 100,0
8. Baixa-Alto-Médio 3,13 27252 3090 0 0 0 0 100,0
9. Baixa-Alto-Alto 1,56 28002 2705 0 0 528 8884 100,0
10. Média-Baixo-Baixo 3,13 6712 834 165280 163 0 0 94,2
11. Média-Baixo-Médio 6,25 6987 985 233583 155 31 521 94,4
12. Média-Baixo-Alto 3,13 7030 975 159802 138 608 10242 95,0
13. Média-Médio-Baixo 6,25 7280 957 149932 160 0 0 94,2
14. Média-Médio-Médio 12,5 6807 954 169981 142 0 0 94,9
15. Média-Médio-Alto 6,25 7139 934 168725 145 597 100,0047 94,8
16. Média-Alto-Baixo 3,13 7512 968 115131 134 0 0 95,1
17. Média-Alto-Médio 6,25 6521 927 206286 165 9 155 94,1
18. Média-Alto-Alto 3,13 7020 896 114982 138 635 10692 95,0
19. Alta-Baixo-Baixo 1,56 1409 206 898490 641 0 0 80,6
20. Alta-Baixo-Médio 3,13 1090 165 757576 573 8 141 82,3
21. Alta-Baixo-Alto 1,56 414 22 961246 682 577 9709 79,6
22. Alta-Médio-Baixo 3,13 503 61 795375 602 0 0 81,6
23. Alta-Médio-Médio 6,25 1958 217 652827 528 2 30 83,5
24. Alta-Médio-Alto 3,13 1018 143 885985 625 517 8708 81,0
25. Alta-Alto-Baixo 1,56 1138 140 789059 597 0 0 81,7
26. Alta-Alto-Médio 3,13 807 120 844174 586 39 651 82,0
27. Alta-Alto-Alto 1,56 815 128 894661 620 600 100,0093 81,1
Média - 11528 1314 331967 252 196 3304 92,0

Como era de se esperar, nos cenários 1 a 9 de baixa demanda, os níveis de serviço atingem o máximo valor de 100%, uma vez que toda a demanda é atendida até o final do horizonte de planejamento. Nesses casos, os níveis acumulados de estoque atingem os maiores valores também. As horas extras são utilizadas principalmente nos cenários nos quais o tempo de preparação da furadeira é alto. Ainda, o tempo de preparação da serra parece não ter muita influência sobre as outras decisões de segundo estágio, como pode ser analisado nos cenários 3, 6 e 9, que representam o pior caso em relação ao tempo de preparação da serra. Nesses cenários, os estoques são igualmente muito elevados, mas não há evidências de que esses cenários consumam mais capacidade do que os cenários 2, 5 e 8, cujo tempo de preparação de serra é moderado. Já nos cenários de demanda média 10 a 18, os estoques têm uma redução média de 67%, assim como os níveis de serviço, que são deteriorados em média 5%. Além disso, há um aumento na utilização das horas extras, principalmente nos cenários mais pessimistas para o tempo de preparação da furadeira.

Nos cenários de demanda alta 19 a 27, os estoques decrescem ainda mais, cerca de 85% em relação à média estocada nos cenários de demanda média. Como consequência das altas demandas, as perdas de demanda são intensificadas e o nível de serviço tem o pior desempenho, em média, 81,5%. Nesses cenários não são observadas variações significativas nos níveis de horas extras utilizadas. Esses resultados sugerem que a variação da demanda tem maior impacto no problema estocástico e, portanto, os cenários 19 a 27 são os mais pessimistas, independentemente dos tempos de preparação.

Com o objetivo de investigar a sensibilidade do modelo RN em relação aos valores das probabilidades, especialmente porque estimativas precisas são difíceis de serem determinadas, três situações diferentes foram testadas: a) Equiprobabilidade: Nesse caso, as probabilidades dos cenários (B, M e A) foram consideradas 1/3, tornando os 27 cenários equiprováveis; b) Otimista: No caso otimista, as probabilidades de ocorrência das demandas e dos tempos de preparação nos cenários B, M e A são 0,6, 0,3, 0,1 e 0,5, 0,4, 0,1, respectivamente; c) Pessimista: No caso pessimista, as probabilidades de ocorrência das demandas e dos tempos de preparação nos cenários (B, M e A) são 0,1, 0,3, 0,6 e 0,1, 0,4, 0,5, respectivamente.

Os resultados sugerem que ambas as variáveis de primeiro e segundo estágios (e seus respectivos custos) praticamente não se modificaram com as diferentes configurações de probabilidade. Porém, o custo total esperado é alterado significativamente: em relação à situação moderada, os custos totais das situações equiprovável, otimista e pessimista são 10% maior, 30% menor e 54% maior, respectivamente. Esse aparente paradoxo entre solução e valor de solução é devido aos custos de segundo estágio, pois a variação das probabilidades ocasiona uma alteração na contribuição de cada cenário no custo total esperado. Por exemplo, os custos do cenário 27 (cenário mais pessimista) nas situações moderada, equiprovável, otimista e pessimista são iguais a 343691, 343691, 348261 e 343658, respectivamente. Porém, a contribuição real desses custos leva em consideração a probabilidade do cenário 27 nas quatro situações, i.e., 1,56, 3,70, 0,100 e 15,0%, o que resulta nos seguintes custos de segundo estágio do cenário 27: 5361, 12716, 348 e 51549, respectivamente. Esses resultados mostram que, estruturalmente, a solução do modelo RN não é sensível às variações nos valores das probabilidades dos cenários, embora o valor ótimo da função objetivo seja sensível.

4.3. Análise do EVPI e VSS

Para se calcular o EVPI foram resolvidos os 27 problemas wait-and-see. Tais soluções são ilustradas na segunda coluna da Tabela 2 (WS* s), assim como o valor esperado de utilizar tais soluções, i.e., WS = ΣsπsWS* s. As últimas linhas fornecem a solução final (WS), as soluções do modelo estocástico (1) a (11) (RP), o EVPI e o seu respectivo valor relativo dado por EVPI% = (EVPI/RP)×100%. Todas as configurações de probabilidades foram analisadas. Primeiramente, convém ressaltar que as soluções wait-and-see têm um desempenho semelhante às soluções RP, no sentido de que o custo total dos primeiros cenários 1 a 9 é o mais baixo, seguido do custo dos cenários 10 a 18 e, finalmente, do custo dos últimos cenários, 19 a 27, como era de se esperar. Para resolver todos os problemas até a prova de otimalidade, foram necessários 97 segundos (com média de 3,62 e desvio padrão de 2,90).

Tabela 2. Resultados dos problemas wait-and-see e valor esperado da informação perfeita (EVPI) para o exemplar analisado. 

Cenário (s) psWS*s Moderado Equiprovável Otimista Pessimista
psWS*s psWS*s psWS*s psWS*s
1. Baixa-Baixo-Baixo 154179 2409 5710 23127 154
2. Baixa-Baixo-Médio 160510 5016 5945 19261 642
3. Baixa-Baixo-Alto 157552 2462 5835 4727 788
4. Baixa-Médio-Baixo 156216 4882 5786 18746 625
5. Baixa-Médio-Médio 159450 9966 5906 15307 2551
6. Baixa-Médio-Alto 154596 4831 5726 3710 3092
7. Baixa-Alto-Baixo 149069 2329 5521 4472 745
8. Baixa-Alto-Médio 156533 4892 5798 3757 3131
9. Baixa-Alto-Alto 153206 2394 5674 919 3830
10. Média-Baixo-Baixo 188911 5903 6997 14168 567
11. Média-Baixo-Médio 191505 11969 7093 11490 2298
12. Média-Baixo-Alto 188224 5882 6971 2823 2823
13. Média-Médio-Baixo 188726 11795 6990 11324 2265
14. Média-Médio-Médio 189572 23696 7021 9099 9099
15. Média-Médio-Alto 188970 11811 6999 2268 11338
16. Média-Alto-Baixo 186005 5813 6889 2790 2790
17. Média-Alto-Médio 190531 11908 7057 2286 11432
18. Média-Alto-Alto 186796 5837 6918 560 14010
19. Alta-Baixo-Baixo 225875 3529 8366 5647 1355
20. Alta-Baixo-Médio 219851 6870 8143 4397 5276
21. Alta-Baixo-Alto 228454 3570 8461 1142 6854
22. Alta-Médio-Baixo 221722 6929 8212 4434 5321
23. Alta-Médio-Médio 215990 13499 8000 3456 20735
24. Alta-Médio-Alto 223717 6991 8286 895 26846
25. Alta-Alto-Baixo 222927 3483 8257 1115 6688
26. Alta-Alto-Médio 220944 6904 8183 884 26513
27. Alta-Alto-Alto 223622 3494 8282 224 33543
WS 189066 189024 173029 205312 189066
RP 473384 521941 327891 732024 473384
EVPI 284318 332917 154862 526712 284318
EVPI (%) 189066 189024 173029 205312 189066

Os valores absolutos do EVPI indicam que as situações mais pessimistas geram os maiores EVPI: EVPI (pessimista = 526712) > EVPI (equiprovável = 332917) > EVPI (moderada = 284318) > EVPI (otimista = 154862). Isso ocorre porque, nas situações mais pessimistas, os cenários cujos parâmetros estocásticos possuem os maiores desvios em relação aos valores nominais têm probabilidades mais elevadas. Assim, a aleatoriedade dos cenários mais desfavoráveis ganha mais importância do que a aleatoriedade dos cenários mais favoráveis, o que se reflete no EVPI. Além disso, esses resultados também confirmam o efeito que as probabilidades têm sobre o EVPI: a diferença entre o EVPI obtido no cenário otimista e aquele obtido no cenário pessimista representa mais de 240% do menor valor obtido (154862). Esses resultados indicam que seria possível poupar uma quantia considerável de dinheiro - em todas as situações - se a informação perfeita sobre as variáveis aleatórias pudesse ser disponibilizada. Além disso, os valores elevados para o EVPI também indicam que a aleatoriedade desempenha um papel importante no problema.

O problema EV foi determinado de acordo com os valores médios. Fixando as variáveis de primeiro estágio no problema EEV, obteve-se uma solução infactível. Portanto, o problema EV não pode ser usado para aproximar o problema estocástico e VSS → ∞. Para investigar a causa da infactibilidade, foram inseridos dois conjuntos de variáveis de erro para contabilizar o excesso de estoque e de capacidade, respectivamente, nas restrições de estocagem e horas extras. Tais variáveis foram adicionadas à função objetivo com pesos suficientemente grandes (i.e., iguais a 10000). Os resultados mostraram que apenas as restrições de estoque (7) foram violadas. Diferentemente do problema estocástico, que visa balancear produção, estoques e atrasos devidos à variação dos níveis de demanda em cada cenário, os problemas EV tendem a produzir o máximo possível da demanda determinística e evitar atrasos. Dessa maneira, quando a demanda determinística é mais elevada, os níveis de produção Xit também são maiores, o que ocasiona uma elevação dos níveis de estoque no problema EEV. Por essa razão, os maiores níveis de infactibilidade foram atingidos nas situações mais pessimistas.

4.4. Resultados dos modelos com aversão ao risco

Um conjunto de soluções foi gerado para cada situação de designação de probabilidade, reduzindo-se a tolerância Δmax de Δ0 (desvio esperado do problema RN) até zero, com passo 2,5% de Δ0 (isso significa que Δ1 = 0,975×Δ0, Δ2 = 0,95×Δ0, ..., Δ39 = 0,025×Δ0, Δ40 = 0). Note-se que há uma tolerância inicial diferente em cada situação (moderada, equiprovável, pessimista e otimista). No total, foram resolvidos 160 exemplares RR. Os sumários dos resultados estão apresentados nas Tabelas 3 a 6, a saber: o custo total esperado (Custo), aumento relativo no valor da função objetivo em relação ao custo total do problema RN (Var%), tempo de execução do algoritmo em segundos até a obtenção do certificado de otimalidade (t), estoque acumulado (I+), atraso total (I-), horas extras utilizadas (O), desvio esperado (D), redução relativa do desvio esperado em relação ao desvio do problema RN (Red%) e nível de serviço (B%).

Tabela 3. Sumário dos resultados do modelo RR na situação moderada. 

Custo Var% t I+ I- O D Red% B%
473384 - 67,7 1220 222 0,706 125307 - 92,0
485815 2,63 54,8 1302 278 2,834 122174 2,5 89,9
498346 5,27 64,3 1310 287 12,6 119042 5,0 89,6
510877 7,92 56,0 1333 297 12,3 115909 7,5 89,3
523407 10,6 50,2 1334 309 12,3 112776 10,0 88,8
535938 13,2 57,8 1359 325 12,3 109644 12,5 88,2
548469 15,9 57,0 1394 333 12,3 106511 15,0 88,0
560999 18,5 56,6 1378 304 12,6 103378 17,5 89,0
573530 21,2 57,3 1382 290 7,86 100246 20,0 89,5
586061 23,8 56,5 1421 293 12,3 97113 22,5 89,4
598591 26,4 58,2 1434 303 7,10 93980 25,0 89,1
611122 29,1 64,0 1449 318 7,44 90848 27,5 88,5
623653 31,7 57,6 1463 316 8,46 87715 30,0 88,6
636184 34,4 59,1 1489 318 6,42 84582 32,5 88,5
648714 37,0 56,1 1500 314 11,5 81450 35,0 88,6
661245 39,7 58,2 1514 313 8,80 78317 37,5 88,7
673776 42,3 67,3 1533 307 14,3 75184 40,0 88,9
686306 45,0 56,0 1549 310 10,9 72052 42,5 88,8
698837 47,6 78,8 1566 307 10,2 68919 45,0 88,9
711368 50,3 59,2 1582 303 10,2 65786 47,5 89,0
723898 52,9 63,5 1596 298 9,25 62654 50,0 89,2
736429 55,6 64,9 1643 305 7,44 59521 52,5 89,0
748960 58,2 70,9 1681 309 7,44 56388 55,0 88,8
761491 60,9 66,1 1707 306 7,44 53255 57,5 89,0
774021 63,5 54,6 1749 315 7,44 50123 60,0 88,6
786552 66,2 68,8 1767 307 7,44 46990 62,5 88,9
799083 68,8 72,5 1786 313 7,44 43857 65,0 88,7
811613 71,4 70,1 1827 320 7,44 40725 67,5 88,4
824144 74,1 62,5 1873 323 7,44 37592 70,0 88,3
837870 77,0 72,3 1868 319 36,8 34459 72,5 88,5
861922 82,1 63,3 1828 319 45,9 31327 75,0 88,5

Tabela 4. Sumário dos resultados do modelo RR na situação otimista. 

Custo Var% t I+ I- O D Red% B%
327891 - 53,8 1911 111 0,364 77000 - 95,6
330102 0,67 52,9 2025 106 6,09 75075 2,5 95,8
335141 2,21 56,2 2031 112 6,26 73150 5,0 95,6
341064 4,02 55,5 2045 114 6,25 71225 7,5 95,5
347106 5,86 56,3 2054 117 5,10 69300 10,0 95,4
354393 8,08 54,8 2072 122 6,55 67375 12,5 95,2
365379 11,4 70,0 2092 141 5,69 65450 15,0 94,4
376571 14,8 58,9 2111 153 5,69 63525 17,5 93,9
387763 18,3 69,2 2139 154 6,74 61600 20,0 93,9
399545 21,9 52,5 2151 154 6,80 59675 22,5 93,9
411577 25,5 56,4 2213 154 6,80 57750 25,0 93,9
426447 30,1 47,8 2251 157 7,52 55825 27,5 93,8
445697 35,9 46,3 2256 170 7,52 53900 30,0 93,3
464947 41,8 50,1 2273 186 8,78 51975 32,5 92,6
484197 47,7 46,2 2305 196 8,78 50050 35,0 92,2
503447 53,5 46,9 2349 220 9,65 48125 37,5 91,3
522697 59,4 47,6 2364 197 10,9 46200 40,0 92,2
541947 65,3 54,9 2415 202 11,1 44275 42,5 92,0
561197 71,2 54,2 2478 213 11,5 42350 45,0 91,6
580447 77,0 51,8 2523 200 11,3 40425 47,5 92,1
599697 82,9 49,7 2587 206 11,3 38500 50,0 91,8
618947 88,8 51,3 2651 246 11,6 36575 52,5 90,3
638197 94,6 45,6 2725 244 11,6 34650 55,0 90,3
657447 101 55,1 2758 222 11,6 32725 57,5 91,2
676697 106 47,6 2807 222 11,6 30800 60,0 91,2
695947 112 48,0 2854 223 11,5 28875 62,5 91,2
715197 118 54,4 2878 231 48,8 26950 65,0 90,8
736185 125 52,6 2869 223 74,3 25025 67,5 91,2
768202 134 70,8 2843 239 68,9 23100 70,0 90,5

Tabela 5. Sumário dos resultados do modelo RR na situação pessimista. 

Custo Var% t I+ I- O D Red% B%
732024 - 52,1 646 404 1,13 170000 - 86,6
735977 0,54 54,4 672 424 2,77 165750 2,5 86,0
743061 1,51 55,9 711 442 6,18 161500 5,0 85,4
750144 2,48 52,2 715 457 4,21 157250 7,5 84,9
757227 3,44 51,4 733 449 3,77 153000 10,0 85,1
764311 4,41 51,5 743 449 4,24 148750 12,5 85,1
771394 5,38 61,6 753 455 4,21 144500 15,0 84,9
778477 6,35 57,2 788 439 3,77 140250 17,5 85,5
785561 7,31 59,5 755 471 3,77 136000 20,0 84,4
792644 8,28 56,1 771 464 3,77 131750 22,5 84,6
799727 9,25 64,7 747 440 3,77 127500 25,0 85,4
806811 10,22 53,0 761 446 3,77 123250 27,5 85,2
813894 11,18 53,0 775 446 3,77 119000 30,0 85,2
820977 12,15 52,6 787 446 5,09 114750 32,5 85,2
828061 13,12 56,0 784 437 3,77 110500 35,0 85,5
835529 14,14 58,4 806 453 4,73 106250 37,5 85,0
843961 15,29 53,1 834 470 4,96 102000 40,0 84,4
852394 16,44 49,4 844 480 4,19 97750 42,5 84,1
860826 17,60 58,4 832 447 4,96 93500 45,0 85,2
869259 18,75 57,3 844 451 5,77 89250 47,5 85,1
877692 19,90 64,5 865 452 5,77 85000 50,0 85,0
886124 21,05 45,0 872 455 7,41 80750 52,5 84,9
894557 22,20 55,7 900 464 5,66 76500 55,0 84,6
902989 23,36 49,8 920 468 5,77 72250 57,5 84,5
911422 24,51 59,0 943 460 5,77 68000 60,0 84,8
919854 25,66 57,8 960 470 5,77 63750 62,5 84,4
928287 26,81 54,9 962 465 5,44 59500 65,0 84,6
936719 27,96 57,7 970 471 5,44 55250 67,5 84,4
945558 29,17 53,0 1004 467 7,07 51000 70,0 84,5
954412 30,38 54,8 1028 494 5,43 46750 72,5 83,6
963266 31,59 49,1 1051 492 5,53 42500 75,0 83,7
972357 32,83 54,6 1046 470 6,85 38250 77,5 84,4
982205 34,18 51,5 1067 477 8,89 34000 80,0 84,2
992766 35,62 57,5 1044 502 21,0 29750 82,5 83,4

Tabela 6. Sumário dos resultados do modelo RR na situação equiprovável. 

Custo Var% t I+ I- O D Red% B%
521941 - 58,2 1315 252 0,931 163000 - 90,9
533647 2,24 53,9 1387 302 4,26 158925 2,5 89,1
545872 4,58 55,6 1420 308 13,4 154850 5,0 88,9
558097 6,93 60,1 1425 328 13,4 150775 7,5 88,1
570322 9,27 61,8 1444 343 13,4 146700 10,0 87,6
582547 11,60 56,3 1473 355 13,4 142625 12,5 87,2
594772 14,00 55,7 1467 356 15,0 138550 15,0 87,1
606997 16,30 59,1 1496 351 11,7 134475 17,5 87,3
619222 18,60 53,3 1514 353 13,4 130400 20,0 87,3
631447 21,00 60,1 1506 345 13,4 126325 22,5 87,5
643672 23,30 69,5 1506 338 12,6 122250 25,0 87,8
655897 25,70 61,5 1534 342 13,1 118175 27,5 87,6
668122 28,00 61,7 1554 345 11,8 114100 30,0 87,5
680347 30,30 65,0 1531 316 11,8 110025 32,5 88,6
692572 32,70 66,3 1566 324 10,9 105950 35,0 88,3
704797 35,00 61,9 1557 307 10,9 101875 37,5 88,9
717022 37,40 61,0 1586 315 11,8 97800 40,0 88,6
729247 39,70 62,7 1609 319 10,9 93725 42,5 88,5
741472 42,10 64,4 1660 334 11,8 89650 45,0 87,9
753697 44,40 59,3 1715 327 10,9 85575 47,5 88,2
765922 46,70 69,6 1748 339 10,1 81500 50,0 87,8
778147 49,10 64,9 1794 347 10,1 77425 52,5 87,5
790372 51,40 55,0 1831 336 10,9 73350 55,0 87,9
802597 53,80 67,2 1877 340 10,9 69275 57,5 87,7
814822 56,10 62,7 1920 340 11,8 65200 60,0 87,7
827047 58,50 60,5 1965 343 11,8 61125 62,5 87,6
840045 60,90 60,5 1976 346 38,4 57050 65,0 87,5
856577 64,10 58,1 1967 343 61,3 52975 67,5 87,6

Em todos os problemas, o custo total esperado aumentou conforme a solução tornou-se mais robusta. Diminuindo-se progressivamente a tolerância Dmax, o risco é sensivelmente reduzido à custa de grandes aumentos no custo total esperado. As decisões e custos de segundo estágio apresentaram comportamentos específicos para diferentes valores do fator de risco, mas as variáveis de decisão de primeiro estágio praticamente não se alteraram. As reduções máximas obtidas foram 75, 67,5, 70 e 82,5%, nas situações moderada, equiprovável, otimista e pessimista, com acréscimos nos custos esperados de 85, 65, 135 e 35%, respectivamente. Nos casos equiprovável e pessimista, as reduções foram maiores do que os acréscimos nos custos totais esperados para todos os níveis de reduções, sugerindo que o "preço da robustez" não é tão dispendioso nesses casos. Em contrapartida, nas outras situações, é mais "caro" obter soluções mais aversas ao risco, principalmente na situação otimista. Nessa situação, 22,5% de redução no desvio ocasiona um acréscimo menor do que 22% no custo total esperado; além de 22,5%, a diferença torna-se negativa. Esses resultados podem ser visualizados na Figura 2.

Figura 2. Diferença entre redução do desvio e aumento no valor do custo total esperado (em %) em todas as situações. 

O volume de estoque também aumentou com a robustez da solução em todas as situações até atingir um máximo, a partir do qual teve uma leve diminuição. Como nos testes anteriores, o maior volume de estoque foi obtido na situação otimista, seguida por equiprovável, moderada e pessimista. As horas extras utilizadas não tiveram um comportamento muito bem definido. Aparentemente, para uma redução maior do que 2,5%, a situação pessimista utiliza menos horas extras do que todas as outras situações, atingindo um máximo de 21 horas quando o desvio é mínimo. Nas outras situações, as horas extras também apresentaram picos de crescimento próximos aos desvios mínimos, chegando a 75 horas na situação otimista, quando o desvio reduz 67,5% do valor inicial. Os níveis de serviço tiveram um desempenho bastante similar àqueles obtidos nos testes anteriores. Claramente, o nível de serviço da situação otimista domina todos os outros, enquanto o nível de serviço da situação pessimista é dominado pelos demais. Por outro lado, na situação otimista é obtida a maior deterioração dessa medida de desempenho quando o desvio mínimo é atingido: 5,3%, contra uma média de 3,7% nas outras situações.

Para ilustrar como o modelo de recurso restrito gera soluções progressivamente mais próximas umas das outras (ou mais robustas), a Figura 3 exibe os valores do desvio Δs de um exemplar com apenas 20 cenários, considerando níveis de redução entre 0 e 100%. Inicialmente, há cinco desvios positivos: Δ5, Δ15, Δ16, Δ18 e Δ19, sendo o máximo desvio Δ18 ≈ 53000. Os outros 15 cenários apresentam desvios nulos, i.e., o custo esperado é maior do que os custos individuais desses cenários. Quando a redução atinge 35%, Δ16 = 0 e o máximo desvio passa a ser Δ18 ≈ 43000. Prosseguindo com a observação da figura, note-se que Δ18 é o último desvio positivo quando a redução está em 95% e vale, aproximadamente, 7500. Finalmente, todos os desvios anulam-se. Entretanto, isso nem sempre é alcançado, como foi mostrado nos testes anteriores.

Figura 3. Exemplo de redução progressiva do desvio Ds de 0 até 100%, considerando um exemplar estocástico robusto de recurso restrito com 20 cenários. 

Para se analisar o impacto do aumento do número de cenários, foram executados testes com exemplares de 20 até 300 cenários equiprováveis. As demandas e os tempos de preparação foram gerados aleatoriamente, conforme uma distribuição uniforme (inteira para a demanda e contínua para os demais parâmetros) entre 70 e 130% do respectivo valor nominal. Testes subsequentes utilizaram os cenários de testes anteriores, de modo que, em cada teste, apenas 20 cenários foram gerados. Por exemplo, para S = 40, os 20 primeiros cenários foram exatamente os 20 cenários do teste com S = 20, e assim por diante. A motivação para se construir os cenários dessa maneira foi que assim permite-se a comparação entre diferentes configurações de cenários. Para cada configuração de cenário, o desvio D foi progressivamente reduzido de zero (problema RN) até 100%. O problema cujo desvio foi 100% reduzido é designado problema totalmente robusto.

4.4.1. Análise de robustez

A Figura 4 ilustra as curvas de tradeoff entre a robustez do modelo (redução do desvio esperado D) e o incremento no valor da função objetivo (em %), considerando S = 20, ..., 100 (gráfico de cima, esquerda); S = 100, ..., 120 (gráfico de cima, direita); e S = 220, ..., 300 (gráfico de baixo). Em vários casos, não é dispendioso assegurar soluções mais robustas: sacrificando-se o valor ótimo em apenas 1% é possível reduzir Δ em 40, 25, 10 e 10%, para S = 40, 60, 100 e 180, respectivamente. Ainda, para todas as configurações de cenário, é preciso sacrificar em torno de 25% do custo total esperado para se alcançar uma redução do desvio de 50%. Forçando ainda mais a robustez da solução, a deterioração no valor da função objetivo eleva-se consideravelmente, principalmente quando S = 120, ..., 300. Note-se, por exemplo, que a taxa de variação do custo total aumenta mais quando a redução está mais próxima de zero: reduzir Δ em apenas 5% - de 95 para 100 - implica em aumentar o custo total em mais de 30% para S = 220, 260, 280, 300, e em mais de 40% para S = 180, 240, o que inviabiliza a adoção desses planos de produção. O melhor compromisso entre robustez e custo foi obtido para S = 20; nesse caso, o desvio foi totalmente reduzido com apenas 28% de aumento no valor ótimo. No pior desempenho (S = 180), a redução de 100% ocasionou um aumento drástico de quase 150% no custo total esperado.

Figura 4. Curvas de tradeoff entre aumento do custo total esperado e redução do risco para S = 20, ..., 300, considerando um exemplar estocástico robusto de recurso restrito. 

4.4.2. Efeito da robustez na solução ótima

Para assegurar a robustez da solução, o custo total é elevado como consequência do aumento nos custos individuais, proporcionado pelo aumento ou redução nos níveis das variáveis de decisão. O efeito da robustez na solução ótima foi analisado em todos os casos, mas é discutido em detalhes apenas para S = 20, 100, 200 e 300 (nos outros casos, a análise é similar). Como já mencionado anteriormente, as variáveis de primeiro estágio não variaram significativamente, porém observou-se uma suave tendência de redução nos níveis de produção e quantidade de placas utilizadas conforme a solução tornou-se mais robusta. Ao passo que os volumes de estoque não tiveram um comportamento óbvio, os atrasos aumentaram consideravelmente, principalmente quando as reduções aproximaram-se de zero, fazendo com que os respectivos custos fossem responsáveis pela maior parte da deterioração nos valores ótimos. Entretanto, os níveis de serviço não foram muito deteriorados, pois a maior parte da demanda atrasada é produzida até o final do horizonte de planejamento. Em média, 65, 57, 78 e 73% da demanda total atrasada não foi perdida, para S = 20, 100, 200 e 300, respectivamente. Foram observados alguns picos na utilização de horas extras à medida que o desvio aproximou-se de zero, magnitude que pareceu aumentar quando mais cenários foram incorporados ao problema.

4.4.3. Efeito do número de cenários na solução ótima

Fixando-se o nível de redução do desvio, foi possível analisar o efeito do número de cenários na solução ótima do modelo RR. As Tabelas 7, 8 e 9 exibem o desempenho dos problemas RN e RR quando a redução do desvio foi fixada em 0, 50 e 100%, respectivamente, para S = 20, ..., 300. Os valores ótimos elevaram-se com o aumento do número de cenários para os três níveis de redução. Para o problema RN, houve uma suave tendência na estabilização do valor ótimo entre 170000 e 180000, como sugerem os valores na Tabela 7. Nos problemas RR com reduções de 50 e 100%, os valores ótimos tiveram um comportamento semelhante ao caso anterior. Porém, são, aproximadamente, 16 e 95% mais elevados (em média), apresentaram picos maiores e a tendência de estabilização não está bem definida (veja Tabelas 8 e 9). Analisar a estabilização do valor ótimo em relação ao número de cenários pode ser importante porque permite ao decisor operar com um conjunto bem definido (fixo) de cenários e garantir precisão à solução do problema.

Tabela 7. Efeito do número de cenários na solução ótima do problema estocástico neutro ao risco (redução zero). 

S Custo X I+ I-T Y Z O D B%
20 174595 2182 1332 24 5249 366 0 8287 99,4
40 167888 2185 1159 21 5229 365 0 5243 99,3
60 169989 2186 1162 24 5198 362 0 6974 99,3
80 173224 2175 1101 34 5121 361 0 11450 99,2
100 173410 2147 1100 33 5126 364 0 12309 99,3
120 171126 2174 1194 29 5130 365 0 8187 99,2
140 177857 2170 1145 41 5077 366 0 14977 99,1
160 170237 2162 1162 28 5126 366 0 8687 99,2
180 168802 2123 1098 36 5045 365 0 9074 98,9
200 172074 2171 1236 30 5161 365 0 9648 99,2
220 175866 2133 1086 50 5092 364 0 12719 97,6
240 175554 2162 1141 38 5107 366 0 13053 99,2
260 172515 2162 1109 34 5152 365 0 9873 99,2
280 183820 2132 1088 56 4970 365 0 18542 98,6
300 173551 2154 1108 36 5126 363 0 11262 99,1
Média 173367 2161 1148 34,3 5127 365 <1 10686 99,1
DP 3978 19,8 66,5 9,43 69,5 1,51 <1 3350 0,454
DP % 2,29 0,917 5,8 27,5 1,36 0,413 387 31,4 0,458

Tabela 8. Efeito do número de cenários na solução ótima do problema estocástico robusto (redução 50%). 

S Custo X I+ I-T Y Z O D B%
20 190229 2178 1235 94 5232 366 0,000 4143 98,7
40 170136 2246 1204 13 5413 366 0,000 2622 99,8
60 183550 2213 1260 49 5328 362 0,000 3487 98,6
80 201021 2164 1081 92 5098 364 0,000 5725 97,3
100 206639 2210 1244 77 5247 365 0,000 6154 97,8
120 191754 2183 1275 62 5139 365 0,000 4093 98,1
140 212885 2174 1204 106 5083 366 0,000 7488 96,6
160 195111 2166 1195 126 5129 364 0,000 4343 99
180 198147 2109 1243 173 5070 363 0,367 4537 96,4
200 209676 2210 1430 140 5197 368 6,27 4824 98,5
220 216668 2133 1239 202 5092 377 0,000 6359 90,1
240 220593 2155 1233 121 5104 366 97,4 6527 99
260 202575 2157 1244 153 5150 365 0,000 4937 98,9
280 228095 2141 1220 213 4975 380 0,080 9271 96,4
300 208090 2156 1253 173 5127 363 0,293 5631 98,8
Média 202345 2173 1237 120 5159 367 6,96 5343 97,6
DP 14973 35,4 69,8 57,2 110 5,07 25,1 1675 2,33
DP % 7,4 1,63 5,64 47,9 2,13 1,38 360 31,4 2,38

Tabela 9. Efeito do número de cenários na solução ótima do problema totalmente robusto (redução 100%). 

S Custo X I+ I-T Y Z O D B%
20 224971 2145 1126 136 5216 367 0,000 0 97,1
40 220288 2182 986 173 5393 363 0,000 0 95,1
60 306397 2047 756 396 5152 361 0,367 0 93,8
80 313665 1949 791 532 4876 361 32,7 0 90,2
100 316446 2107 1206 289 5149 365 0,000 0 96,9
120 324906 2111 935 538 5052 365 5,13 0 96,4
140 373497 2115 1183 434 5000 365 8,17 0 93,9
160 306692 2092 1153 452 5092 365 0,550 0 96,4
180 417945 2040 1121 853 4980 363 0,978 0 93,8
200 344874 1971 1094 609 4929 394 21,4 0 92
220 392916 2054 973 693 5039 363 0,861 0 66
240 398801 2053 1091 770 4993 367 1,65 0 94,7
260 357361 2000 1411 706 5016 346 0,762 0 87,6
280 413469 1970 1119 617 4799 365 128 0 87,8
300 366070 2030 1260 574 4988 366 21,7 0 94
Média 338553 2058 1080 518 5045 365 14,8 0 91,7
DP 60417 67,8 171 208 144 9,47 32,9 0 7,73
DP % 17,8 3,3 15,8 40,2 2,85 2,59 222 0 8,42

É possível inferir que o comportamento das soluções para 0, 50 e 100% de redução é bastante similar quando o número de cenários aumenta, ressaltando que, no problema totalmente robusto, algumas tendências de redução e/ou crescimento são amplificadas. Note-se que a variação (desvio padrão relativo) do volume de produção, quantidade de placas utilizadas e número de preparações é cerca de 3% no problema totalmente robusto (veja última linha da Tabela 7). Com exceção do número de preparações, que não apresenta nenhuma tendência, os volumes de produção e estoque decrescem lentamente quando S aumenta. Tal comportamento pode ser confirmado nas Tabelas 7 a 9 (o comportamento da quantidade de placas utilizadas é muito similar ao comportamento do volume de produção, razão pela qual seu gráfico foi omitido). As decisões de segundo estágio, por sua vez, tiveram uma variação alta. O volume de estoque variou cerca de 16% no problema totalmente robusto e o atraso total variou mais de 48% no problema robusto com redução de 50%. Entretanto, a variação do nível de serviço foi, no máximo, 8,4% no problema totalmente robusto, confirmando que grande parte da demanda é produzida até o final do horizonte de planejamento (veja-se também que o maior pico de atraso em S = 180 não corresponde ao pior nível de serviço em S = 220). A utilização de horas extras ocorreu em picos em apenas alguns cenários, principalmente no problema totalmente robusto, como pode ser observado na Tabela 9.

4.4.4. Tempo computacional

A Figura 5 exibe os tempos médios de resolução necessários para obter o certificado de otimalidade dos problemas RR para S = 20, ..., 300 e os respectivos desvios padrão, considerando todos os níveis de redução do desvio. Como era de se esperar, conforme o número de cenários aumentou, o tempo computacional elevou-se drasticamente. A variação entre os tempos de resolução para um mesmo número de cenários S deve-se ao fato de que níveis de redução diferentes requerem esforços computacionais distintos. Para muitos valores de S, à medida que a solução tornou-se mais robusta, o tempo de resolução elevou-se gradualmente. Um resultado que chamou atenção ocorreu nos problemas com redução de 100%. O tempo de resolução requerido para esses problemas foi, em geral, muito mais baixo do que para os outros níveis de redução do desvio, incluindo-se os problemas com redução zero - isso é particularmente visível a partir de S = 220. Para prever o tempo computacional requerido para resolver exemplares com mais cenários, três curvas foram ajustadas aos pontos da Figura 5, uma linear, outra polinomial de ordem 2 e outra exponencial. Os ajustes R2das curvas foram 0,54857, 0,9198 e 0,94054, respectivamente. Utilizando-se o ajuste exponencial (que explica 94% da variância nos tempos de solução), estimou-se que seriam necessários 20.000 s para resolver na otimalidade exemplares com 400 cenários. Testes adicionais com exemplares de 400 cenários mostraram que em 3.600 s de execução do algoritmo nenhuma solução factível foi encontrada para todos os níveis de redução do desvio.

Figura 5. a) Acima: Tempos de resolução dos problemas robustos para todos os cenários e níveis de redução; b) Abaixo: Tempos computacionais médios dos problemas robustos, respectivos desvios padrão e curva ajustada. 

5. Considerações finais

Neste trabalho foram desenvolvidos e analisados modelos de programação estocástica para o problema de planejamento da produção em empresas moveleiras na presença de demandas e tempos de preparação incertos. Os modelos foram testados em situações que refletem diferentes probabilidades da árvore de cenários. Em cada situação, moderada, equiprovável, otimista e pessimista, as probabilidades dos cenários favoráveis e desfavoráveis foram devidamente ajustadas. Os resultados mostraram que as variáveis de decisão de primeiro e segundo estágios dos modelos não são sensíveis à variação das probabilidades, mas que os valores ótimos são, e, por esse motivo, deve-se atribuí-las com cautela. Os testes com o modelo com recurso restrito ilustraram o desempenho dos problemas à medida que a solução foi progressivamente tornando-se robusta, ou mais aversa ao risco, muitas vezes à custa de deteriorações significativas nos valores ótimos da função objetivo. Entretanto, em algumas situações, o "preço da robustez" não é elevado e é possível assegurar soluções aversas ao risco sacrificando pouco o custo total esperado. Em geral, tais soluções aversas ao risco ainda ocasionam maiores volumes de estoque e horas extras, ao passo que o nível de serviço é ligeiramente deteriorado. Vale a pena ressaltar que o modelo de recurso restrito fornece várias soluções baseadas no compromisso entre o custo total esperado e a redução da variabilidade das variáveis de recurso. Tais soluções alternativas não são identificadas pelos programas estocásticos neutros ao risco. Pesquisas futuras interessantes incluem o desenvolvimento de modelos robustos com aversão ao risco baseados em medidas de risco populares em otimização de portfólio, como value-at-risk (VaR) e conditional value-at-risk (CVaR).

Agradecimentos

Os autores agradecem os dois revisores anônimos pelos úteis comentários e sugestões. Esta pesquisa contou com apoio do CNPq e da Fapesp.

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*UFSCar, Sorocaba, SP, Brasil

Recebido: 20 de Junho de 2012; Aceito: 13 de Março de 2014

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