Resumos
Neste estudo foram comparadas três equações explícitas para o cálculo do coeficiente "f da fórmula universal de perda de carga com a equação de Cole-brook-White. A equação obtida pela substituição do segundo termo (<img border=0 width=26 height=21 src="../../../../../../img/revistas/cr/v22n2/a06img01.gif">) do argumento do logaritmo da equação de Colebrook-White, pela aproximação de Konakov (NEKRASOV, 1968), foi a que apresentou o melhor ajuste (r² = 0.9996), quando se correlacionou os resultados obtidos pelas três equações explícitas aos valores fornecidos pela fórmula de Colebrook-White. O erro relativo máximo foi da ordem de 2.72 %.
perda de carga; coeficiente "f"; equações explícitas
Three explicit equations to compute the "f coefficient of the head loss universal equation have been compared with the Colebrook-White implicit equation. The equation obtained by the substitution of the second term (<img border=0 width=27 height=21 src="../../../../../../img/revistas/cr/v22n2/a06img01.gif">) of the log argument in the Colebrook-White equation, by the Konakov approximation (NEKRASOV, 1968) was the one which showed the best fit (r² = 0.9996), when the results from the three explicit equations were correlated to the values given by the Colebrook-White equation. The maximum relative error was approximately 2.72 % .
head loss; "f" Coefficient; explicit equations
ANÁLISE DE EQUAÇÕES EXPLICITAS PARA O CÁLCULO DO COEFICIENTE "f" DA FÓRMULA UNIVERSAL DE PERDA DE CARGA
EXPLICIT EQUATIONS ANALYSIS TO COMPUTE THE "f" COEFFICIENT OF THE HEAD LOSS UNIVERSAL EQUATION
Adroaldo Dias Robaina1 1 Engenheiro Agrônomo, Professor Adjunto do Departamento de Engenharia Rural - Centro de Ciências Rurais (CCR) - Universidade Federal de Santa Maria (UFSM) 97119-900 - Santa Maria - RS.
RESUMO
Neste estudo foram comparadas três equações explícitas para o cálculo do coeficiente "f da fórmula universal de perda de carga com a equação de Cole-brook-White. A equação obtida pela substituição do segundo termo (
) do argumento do logaritmo da equação de Colebrook-White, pela aproximação de Konakov (NEKRASOV, 1968), foi a que apresentou o melhor ajuste (r2 = 0.9996), quando se correlacionou os resultados obtidos pelas três equações explícitas aos valores fornecidos pela fórmula de Colebrook-White. O erro relativo máximo foi da ordem de 2.72 %.Palavras-chave: perda de carga, coeficiente "f", equações explícitas.
SUMMARY
Three explicit equations to compute the "f coefficient of the head loss universal equation have been compared with the Colebrook-White implicit equation. The equation obtained by the substitution of the second term (
) of the log argument in the Colebrook-White equation, by the Konakov approximation (NEKRASOV, 1968) was the one which showed the best fit (r2 = 0.9996), when the results from the three explicit equations were correlated to the values given by the Colebrook-White equation. The maximum relative error was approximately 2.72 % .Key words:head loss, "f" Coefficient, explicit equations.
INTRODUÇÃO
O grande número de fórmulas existentes para o cálculo da perda de carga certamente impressiona e põe em dúvida aqueles que se iniciam nesse setor de Hidráulica.
Estão consagradas, pelo uso, diversas fórmulas empíricas para a análise do escoamento em canalizações. De maneira geral, as fórmulas são recomendadas, por seus autores, para a aplicação em domínios restritos de diâmetros comerciais e nelas figuram coeficientes numéricos, que dependem da rugosidade do conduto e não dependem, pelo menos explicitamente, do tipo de escoamento que se estabelece nas canalizações. (ASSY, 1977).
A Norma Brasileira para Elaboração de Projetos de Sistemas de Abastecimento de Água, prevê a utilização da fórmula universal para o cálculo da perda de carga, que, segundo AZEVEDO NETTO & ALVAREZ (1977), pode ser expressa por :
J = 0.0826 . f . Q2/ D5
onde "J" é a perda de carga unitária (m/m), "Q" a vazão (m3/s), "D" o diâmetro (m) e "f" o coeficiente adimensional de resistência ao escoamento, obtido por uma expressão matemática conhecida como equação de Colebrook-White.
Segundo QUINTELA (1981) e NOVAIS-BARBOSA (1986), a transição do regime turbulento liso para o regime turbulento rugoso em tubos comerciais, foi objeto de estudo por Colebrook, em colaboração com White, tendo o primeiro proposto em 1939, uma expressão para a região de transição que representava com bastante rigor os valores medidos experimentalmente. A equação, que é uma combinação pura e simples das equações do coeficiente "f" correspondentes a escoamentos em condutos hidraulicamente lisos e condutos hidraulicamente rugosos, pode ser expressa por :
(2)
conhecida pela designação de Fórmula de Colebrook-White, na qual "k" é a rugosidade absoluta (m), "D" o diâmetro do tubo(m) e "Re" o número admensional de Reynolds. Essa equação não desfruta de boa aceitação, por exigir a resolução de uma equação implícita, por tentativas, (normalmente por processo iterativo, recorrendo a uma calculadora eletrônica programável), ou por processo gráfico (diagrama de Moody, diagrama de Rouse e diagrama de Ackers). Devido a esse fato, observado na prática da engenharia, o presente trabalho tem o objetivo de reunir equações explicitas para o cálculo do coeficiente "f" e compará-las com a equação de Colebrook-White (equação 2).
EQUAÇÕES EXPLICITAS PARA O CÁLCULO DO COEFICIENTE "f"
Segundo NEKRASOV (1968), o cientista russo Konakov propôs uma equação válida para o escoamento hidraulicamente liso, onde o coeficiente "f" aparece explicitamente. A equação de Konakov, manipulada algebricamente resulta em :
(3)
AZEVEDO NETTO & ALVAREZ (1977), Citam que, em escoamento turbulento hidraulicamente rugoso, Nikuradse propôs a seguinte equação :
(4)
Combinando-se a equação (3) e a equação (4), imitando o procedimento de COLEBROOK (1938), a partir da suposição de que a equação (3) é uma boa aproximação de , obtém-se :
(5)
que é uma expressão onde o coeficiente "f" aparece explícito.
Segundo NEVES (1974), Moody propôs substituir o cálculo de "f" através da equação (2), que tem o inconveniente de ter o coeficiente nos dois membros, por :
f = 0.0055 [1 + (20000 k/D + 10 6/ Re) 1/3] (6)
válida para 4000 < Re < 10000000.
O coeficiente de perda de carga "f" pode, também ser determinado, por uma formulação explicita ajustada por Wood (ASSY, 1977), aos valores fornecidos pela equação (2), representada por :
f = a + b . Re -c (7)
onde a = 0.53 k/D + 0.094 (k/D) 0.225, b = 88 (k/D) 0.44 e c = 1.62 (k/D) 0.134
COMPARAÇÃO DOS COEFICIENTES "f" OBTIDOS POR EQUAÇÕES EXPLICITAS COM OS OBTIDOS PELA EQUAÇÃO DE COLEBROOK-WHITE
Para atingir ao objetivo proposto foram gerados valores do coeficiente "f" através das equações (2), (5), (6) e (7) e procedeu-se a análise comparativa dos valores de "f" obtidos pelas diferentes equações explicitas com os valores do mesmo parâmetro obtido pela equação de Colebrook-White (equação 2). Para gerar valores do coeficiente "f" foram utilizados valores de k/D e Re, fornecidos pelo diagrama de Moody, encontrado em NEVES (1974).
A tabela 1 mostra os valores do coeficiente "f" obtidos pela utilização das equações (2), (5), (6) e (7), para diferentes Números de Reynolds (Re) e diferentes rugosidades relativas (k/D). Nessa tabela, pode-se observar que, de uma maneira geral, os valores calculados pêlos diferentes métodos tendem a se aproximar à medida que aumenta o Número de Reynolds.
Na tabela 2, são apresentadas as equações de regressão dos valores do coeficiente "f" obtidos pelas formulações explicitas (equações 5, 6 e 7), em relação aos valores calculados pela equação de Colebrook-White (equação 2).
Pela tabela 2, observa-se que os valores obtidos através da equação (5) se ajustaram melhor (r2 = 0.9996) aos valores de "f" calculados pela equação (2). embora todos os métodos explícitos tenham apresentado um elevado coeficiente de determinação (r2 > 0.9950).O fato dos valores obtidos pela aplicação da equação (5) se ajustarem bem aos valores de "f" de Colebrook-White, se deve provavelmente ao forte grau de ajustamento da equação (3) ao têrmo - 2 log () da equação de Colebrook-White. Essa foi a suposição básica para a proposição da equação (5) como alternativa de cálculo do coeficiente "f" através de uma formulação explicita.
A tabela 3 mostra os erros relativos dos valores de "f" estimados pelas equações (5), (6) e (7) em comparação aos obtidos pela equação de Colebrook-White (equação 2), para diferentes, valores de "Re" e "k/D".
O erro relativo é calculado por er = 100.[f(i)/f(2)-1], onde f(i) são valores de "f" obtidos pelas equações (5, 6 e 7) e f(2), os valores obtidos através da equação (2).
Observa-se na tabela 3, que os valores de T, obtidos através da equação (5), apresentaram os menores erros relativos quando comparados com os obtidos pela equação de Colebrook-White.
O maior erro relativo foi de 2.72 % , aproximadamente, para um Número de Reynolds (Re) de 4. E+3 e rugosidade relativa (k/D) de 1.E-2 e com uma tendência de diminuir para outros valores de "Re" e "k/D" . Os valores fornecidos pelas equações (6) e (7), apresentaram erros relativos menores que 6 % , o que confirma a afirmativa de NEVES (1974) e ASSY (1977) de que os erros relativos dos valores obtidos através das equações (6) e (7), são da ordem de 4 % e menores que 6 % , respectivamente, quando comparados aos valores de T calculados pela equação de Colebrook-White.
CONCLUSÕES
Pêlos resultados obtidos, pode-se concluir que :
O coeficiente "f" da Fórmula Universal de perda de carga pode ser determinado através de fórmulas explicitas, dentro do limite de tolerância do erro máximo de 6 % .
A formulação explicita do coeficiente "f" representada pela equação foi a que apresentou o melhor resultado, quando foram comparados os valores de "f" por ela calculados com os valores de "f" calculados pela equação de Colebrook-White.
Recebido para publicação em 02.08.90. Aprovado para publicação em 29.04.92.
- ASSY, T. M., O emprego da Fórmula Universal de Perda de Carga e as Limitações das Fórmulas Empíricas São Paulo : CETESB, 1977. 64 p.
- AZEVEDO NETTO, J. M. , ALVAREZ, G. A., Manual de Hidráulica. São Paulo : Edgard Blucher, 1977. Vol. 1, 333 p.
- COLEBROOK, C. F., Turbulent Flow in Pipes, with Reference to the Transition Region between the Smooth and Rough Pipes Laws. J Inst Civil Engrs London, v. 1, p. 133-156. 1938
- NEKRASOV, B., Cours d'Hydraulique Moscou : Mir, 1968. 248 p.
- NEVES, E. T., Curso de Hidráulica Porto Alegre : Globo, 1974. 577 p.
- NOVAIS-BARBOSA, J., Mecânica dos Fluídos e Hidráulica Geral Porto : Bloco Gráfico, 1986. vol. 2, 808 p.
- QUINTELA, A. C., Hidráulica Porto : Fundação Calouste Gulbenkian, 1981. 539 p.
Datas de Publicação
-
Publicação nesta coleção
08 Set 2014 -
Data do Fascículo
Ago 1992
Histórico
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Aceito
29 Abr 1992 -
Recebido
02 Ago 1990