ANÁLISE DE EQUAÇÕES EXPLICITAS PARA O CÁLCULO DO COEFICIENTE "f" DA FÓRMULA UNIVERSAL DE PERDA DE CARGA

EXPLICIT EQUATIONS ANALYSIS TO COMPUTE THE "f" COEFFICIENT OF THE HEAD LOSS UNIVERSAL EQUATION

Resumos

Neste estudo foram comparadas três equações explícitas para o cálculo do coeficiente "f da fórmula universal de perda de carga com a equação de Cole-brook-White. A equação obtida pela substituição do segundo termo (<img border=0 width=26 height=21 src="../../../../../../img/revistas/cr/v22n2/a06img01.gif">) do argumento do logaritmo da equação de Colebrook-White, pela aproximação de Konakov (NEKRASOV, 1968), foi a que apresentou o melhor ajuste (r² = 0.9996), quando se correlacionou os resultados obtidos pelas três equações explícitas aos valores fornecidos pela fórmula de Colebrook-White. O erro relativo máximo foi da ordem de 2.72 %.

perda de carga; coeficiente "f"; equações explícitas

Three explicit equations to compute the "f coefficient of the head loss universal equation have been compared with the Colebrook-White implicit equation. The equation obtained by the substitution of the second term (<img border=0 width=27 height=21 src="../../../../../../img/revistas/cr/v22n2/a06img01.gif">) of the log argument in the Colebrook-White equation, by the Konakov approximation (NEKRASOV, 1968) was the one which showed the best fit (r² = 0.9996), when the results from the three explicit equations were correlated to the values given by the Colebrook-White equation. The maximum relative error was approximately 2.72 % .

head loss; "f" Coefficient; explicit equations

ANÁLISE DE EQUAÇÕES EXPLICITAS PARA O CÁLCULO DO COEFICIENTE "f" DA FÓRMULA UNIVERSAL DE PERDA DE CARGA

EXPLICIT EQUATIONS ANALYSIS TO COMPUTE THE "f" COEFFICIENT OF THE HEAD LOSS UNIVERSAL EQUATION

Adroaldo Dias Robaina¹

RESUMO

Neste estudo foram comparadas três equações explícitas para o cálculo do coeficiente "f da fórmula universal de perda de carga com a equação de Cole-brook-White. A equação obtida pela substituição do segundo termo (

) do argumento do logaritmo da equação de Colebrook-White, pela aproximação de Konakov (NEKRASOV, 1968), foi a que apresentou o melhor ajuste (r² = 0.9996), quando se correlacionou os resultados obtidos pelas três equações explícitas aos valores fornecidos pela fórmula de Colebrook-White. O erro relativo máximo foi da ordem de 2.72 %.

Palavras-chave: perda de carga, coeficiente "f", equações explícitas.

SUMMARY

Three explicit equations to compute the "f coefficient of the head loss universal equation have been compared with the Colebrook-White implicit equation. The equation obtained by the substitution of the second term (

) of the log argument in the Colebrook-White equation, by the Konakov approximation (NEKRASOV, 1968) was the one which showed the best fit (r² = 0.9996), when the results from the three explicit equations were correlated to the values given by the Colebrook-White equation. The maximum relative error was approximately 2.72 % .

Key words:head loss, "f" Coefficient, explicit equations.

INTRODUÇÃO

O grande número de fórmulas existentes para o cálculo da perda de carga certamente impressiona e põe em dúvida aqueles que se iniciam nesse setor de Hidráulica.

Estão consagradas, pelo uso, diversas fórmulas empíricas para a análise do escoamento em canalizações. De maneira geral, as fórmulas são recomendadas, por seus autores, para a aplicação em domínios restritos de diâmetros comerciais e nelas figuram coeficientes numéricos, que dependem da rugosidade do conduto e não dependem, pelo menos explicitamente, do tipo de escoamento que se estabelece nas canalizações. (ASSY, 1977).

A Norma Brasileira para Elaboração de Projetos de Sistemas de Abastecimento de Água, prevê a utilização da fórmula universal para o cálculo da perda de carga, que, segundo AZEVEDO NETTO & ALVAREZ (1977), pode ser expressa por :

J = 0.0826 . f . Q²/ D⁵

onde "J" é a perda de carga unitária (m/m), "Q" a vazão (m³/s), "D" o diâmetro (m) e "f" o coeficiente adimensional de resistência ao escoamento, obtido por uma expressão matemática conhecida como equação de Colebrook-White.

Segundo QUINTELA (1981) e NOVAIS-BARBOSA (1986), a transição do regime turbulento liso para o regime turbulento rugoso em tubos comerciais, foi objeto de estudo por Colebrook, em colaboração com White, tendo o primeiro proposto em 1939, uma expressão para a região de transição que representava com bastante rigor os valores medidos experimentalmente. A equação, que é uma combinação pura e simples das equações do coeficiente "f" correspondentes a escoamentos em condutos hidraulicamente lisos e condutos hidraulicamente rugosos, pode ser expressa por :

(2)

conhecida pela designação de Fórmula de Colebrook-White, na qual "k" é a rugosidade absoluta (m), "D" o diâmetro do tubo(m) e "Re" o número admensional de Reynolds. Essa equação não desfruta de boa aceitação, por exigir a resolução de uma equação implícita, por tentativas, (normalmente por processo iterativo, recorrendo a uma calculadora eletrônica programável), ou por processo gráfico (diagrama de Moody, diagrama de Rouse e diagrama de Ackers). Devido a esse fato, observado na prática da engenharia, o presente trabalho tem o objetivo de reunir equações explicitas para o cálculo do coeficiente "f" e compará-las com a equação de Colebrook-White (equação 2).

EQUAÇÕES EXPLICITAS PARA O CÁLCULO DO COEFICIENTE "f"

Segundo NEKRASOV (1968), o cientista russo Konakov propôs uma equação válida para o escoamento hidraulicamente liso, onde o coeficiente "f" aparece explicitamente. A equação de Konakov, manipulada algebricamente resulta em :

(3)

AZEVEDO NETTO & ALVAREZ (1977), Citam que, em escoamento turbulento hidraulicamente rugoso, Nikuradse propôs a seguinte equação :

(4)

Combinando-se a equação (3) e a equação (4), imitando o procedimento de COLEBROOK (1938), a partir da suposição de que a equação (3) é uma boa aproximação de , obtém-se :

(5)

que é uma expressão onde o coeficiente "f" aparece explícito.

Segundo NEVES (1974), Moody propôs substituir o cálculo de "f" através da equação (2), que tem o inconveniente de ter o coeficiente nos dois membros, por :

f = 0.0055 [1 + (20000 k/D + 10 ⁶/ Re) ^1/3] (6)

válida para 4000 < Re < 10000000.

O coeficiente de perda de carga "f" pode, também ser determinado, por uma formulação explicita ajustada por Wood (ASSY, 1977), aos valores fornecidos pela equação (2), representada por :

f = a + b . Re ^-c (7)

onde a = 0.53 k/D + 0.094 (k/D) ^0.225, b = 88 (k/D) ^0.44 e c = 1.62 (k/D) ^0.134

COMPARAÇÃO DOS COEFICIENTES "f" OBTIDOS POR EQUAÇÕES EXPLICITAS COM OS OBTIDOS PELA EQUAÇÃO DE COLEBROOK-WHITE

Para atingir ao objetivo proposto foram gerados valores do coeficiente "f" através das equações (2), (5), (6) e (7) e procedeu-se a análise comparativa dos valores de "f" obtidos pelas diferentes equações explicitas com os valores do mesmo parâmetro obtido pela equação de Colebrook-White (equação 2). Para gerar valores do coeficiente "f" foram utilizados valores de k/D e Re, fornecidos pelo diagrama de Moody, encontrado em NEVES (1974).

A tabela 1 mostra os valores do coeficiente "f" obtidos pela utilização das equações (2), (5), (6) e (7), para diferentes Números de Reynolds (Re) e diferentes rugosidades relativas (k/D). Nessa tabela, pode-se observar que, de uma maneira geral, os valores calculados pêlos diferentes métodos tendem a se aproximar à medida que aumenta o Número de Reynolds.

Na tabela 2, são apresentadas as equações de regressão dos valores do coeficiente "f" obtidos pelas formulações explicitas (equações 5, 6 e 7), em relação aos valores calculados pela equação de Colebrook-White (equação 2).

Pela tabela 2, observa-se que os valores obtidos através da equação (5) se ajustaram melhor (r² = 0.9996) aos valores de "f" calculados pela equação (2). embora todos os métodos explícitos tenham apresentado um elevado coeficiente de determinação (r² > 0.9950).O fato dos valores obtidos pela aplicação da equação (5) se ajustarem bem aos valores de "f" de Colebrook-White, se deve provavelmente ao forte grau de ajustamento da equação (3) ao têrmo - 2 log () da equação de Colebrook-White. Essa foi a suposição básica para a proposição da equação (5) como alternativa de cálculo do coeficiente "f" através de uma formulação explicita.

A tabela 3 mostra os erros relativos dos valores de "f" estimados pelas equações (5), (6) e (7) em comparação aos obtidos pela equação de Colebrook-White (equação 2), para diferentes, valores de "Re" e "k/D".

O erro relativo é calculado por er = 100.[f(i)/f(2)-1], onde f(i) são valores de "f" obtidos pelas equações (5, 6 e 7) e f(2), os valores obtidos através da equação (2).

Observa-se na tabela 3, que os valores de T, obtidos através da equação (5), apresentaram os menores erros relativos quando comparados com os obtidos pela equação de Colebrook-White.

O maior erro relativo foi de 2.72 % , aproximadamente, para um Número de Reynolds (Re) de 4. E+3 e rugosidade relativa (k/D) de 1.E-2 e com uma tendência de diminuir para outros valores de "Re" e "k/D" . Os valores fornecidos pelas equações (6) e (7), apresentaram erros relativos menores que 6 % , o que confirma a afirmativa de NEVES (1974) e ASSY (1977) de que os erros relativos dos valores obtidos através das equações (6) e (7), são da ordem de 4 % e menores que 6 % , respectivamente, quando comparados aos valores de T calculados pela equação de Colebrook-White.

CONCLUSÕES

Pêlos resultados obtidos, pode-se concluir que :

O coeficiente "f" da Fórmula Universal de perda de carga pode ser determinado através de fórmulas explicitas, dentro do limite de tolerância do erro máximo de 6 % .

A formulação explicita do coeficiente "f" representada pela equação foi a que apresentou o melhor resultado, quando foram comparados os valores de "f" por ela calculados com os valores de "f" calculados pela equação de Colebrook-White.

Recebido para publicação em 02.08.90. Aprovado para publicação em 29.04.92.

• ASSY, T. M., O emprego da Fórmula Universal de Perda de Carga e as Limitações das Fórmulas Empíricas São Paulo : CETESB, 1977. 64 p.
• AZEVEDO NETTO, J. M. , ALVAREZ, G. A., Manual de Hidráulica. São Paulo : Edgard Blucher, 1977. Vol. 1, 333 p.
• COLEBROOK, C. F., Turbulent Flow in Pipes, with Reference to the Transition Region between the Smooth and Rough Pipes Laws. J Inst Civil Engrs London, v. 1, p. 133-156. 1938
• NEKRASOV, B., Cours d'Hydraulique Moscou : Mir, 1968. 248 p.
• NEVES, E. T., Curso de Hidráulica Porto Alegre : Globo, 1974. 577 p.
• NOVAIS-BARBOSA, J., Mecânica dos Fluídos e Hidráulica Geral Porto : Bloco Gráfico, 1986. vol. 2, 808 p.
• QUINTELA, A. C., Hidráulica Porto : Fundação Calouste Gulbenkian, 1981. 539 p.

¹

Engenheiro Agrônomo, Professor Adjunto do Departamento de Engenharia Rural - Centro de Ciências Rurais (CCR) - Universidade Federal de Santa Maria (UFSM) 97119-900 - Santa Maria - RS.

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  08 Set 2014
• Data do Fascículo
  Ago 1992

Histórico

• Aceito
  29 Abr 1992
• Recebido
  02 Ago 1990