Procedimento "MIXED" do SAS® para análise de modelos mistos

Procedure of software SAS® for the analysis of mixed models

^® para análise de modelos mistos

Sílvia Helena Venturoli Perri^1,4*; Antonio Francisco Iemma^2,3

¹Depto. de Apoio, Produção e Saúde Animal - UNESP, Rua Kinossuke Ogata, 216 - CEP: 16020-470 - Araçatuba, SP.

²Depto. de Ciências Exatas - ESALQ/USP, C.P. 9 - CEP: 13418-900 - Piracicaba, SP.

³Centro de Ensino Superior de São Carlos, C.P. 307 - CEP: 13570-300 - São Carlos, SP.

⁴Bolsista da CAPES/PICDT.

*e-mail: [e-mail]

RESUMO: O modelo misto consiste numa importante classe de modelos que tem sido tradicionalmente analisada por meio de procedimentos da análise de variância. Nos modelos mistos, três aspectos são fundamentais: estimação e testes de hipóteses dos efeitos fixos, predição dos efeitos aleatórios e estimação dos componentes de variância. Na análise de modelos lineares mistos desbalanceados, a estimação dos componentes de variância é de fundamental importância e depende da estrutura de covariâncias e dos métodos de estimação utilizados. Nesse contexto, este artigo pretende apresentar os principais métodos de estimação e de análise utilizados no estudo de modelos lineares mistos com estruturas gerais de covariâncias nos efeitos aleatórios, disponíveis no procedimento MIXED, do SAS (Statistical Analysis System).

Palavras-chave: SAS, procedimento MIXED , modelo misto, componentes de variância

Procedure of software SAS^® for the analysis of mixed models

ABSTRACT: The mixed model is an important class of models that is traditionally analyzed by procedures of analysis of variance. Three aspects are fundamental in the mixed models: estimation and tests of the hypotheses of the fixed effects, prediction of the random effects and estimation of the components of variance. In the analysis of unbalanced mixed linear models, the estimation of variance components is of fundamental importance and it depends on the covariance structure and methods of estimation used. In such a context, this article intends to present the main methods of estimation and analysis used in the study of mixed linear models with general covariance structures in the random effects, available in the MIXED procedure, of the SAS (Statistical Analysis System).

Key words: SAS, MIXED procedure, mixed models, variance components

INTRODUÇÃO

Modelos mistos são utilizados para descrever dados de experimentos cuja estrutura de tratamentos envolve alguns fatores que são fixos e alguns que são aleatórios, ou seja modelos lineares que contêm efeitos fixos e aleatórios, independentemente da média e do erro. Assim esses modelos envolvem duas partes, uma parte descrevendo os efeitos aleatórios e a outra descrevendo os efeitos fixos. Consequentemente, a análise de um modelo misto consiste de duas partes: uma análise para a parte aleatória e outra para a parte fixa.

Nos modelos mistos a análise da parte aleatória consiste na predição dos efeitos aleatórios, na presença de efeitos fixos, e estimação dos componentes de variância. A análise da parte fixa consiste de estimação e testes de hipóteses sobre funções estimáveis dos efeitos fixos. Em geral, tanto a predição dos efeitos aleatórios quanto estimação dos efeitos fixos dependem da estimação dos componentes de variância.

Segundo Scheffé (1959), o modelo misto foi amplamente estudado por Fisher em 1918, com grande repercussão nos estudos de genética quantitativa. Tal modelo foi denominado pelo autor de modelo de componentes de variância.

Diversos métodos têm sido propostos para estimar os componentes de variância, destacando-se o método da máxima verossimilhança (Maximum Likelihood : ML) devido a Hartley & Rao (1967); o método da estimação quadrática não-viesada de variância mínima (Minimum Variance Quadratic Unbiased Estimation : MIVQUE) descrito em Rao (1971) e o método da máxima verossimilhança restrita (Restricted Maximum Likelihood : REML) descrito por Patterson & Thompson (1971) que são os métodos disponíveis no PROC MIXED do SAS.

Searle et al. (1992) apresentam uma ampla discussão sobre: estimação de componentes de variância e análise de modelos mistos, ilustrando-os por meio de exemplos.

Richardson & Welsh (1995) apresentam duas definições de máxima verossimilhança robusta e máxima verossimilhança restrita robusta, e apresentam também, por meio de simulação, um estudo para investigar as propriedades assintóticas e para examinar as vantagens de utilizar esses métodos robustos.

Gilmour et al. (1995) descrevem e aplicam o algoritmo AI, Average Information, para estimar componentes de variância pelo método da máxima verossimilhança restrita, em modelos mistos com erros correlacionados.

Este trabalho tem por objetivos apresentar os métodos de estimação dos componentes de variância disponíveis no procedimento Mixed Procedure (PROC MIXED) do sistema computacional Statistical Analysis System (SAS) versão 6.12, e ilustrar a utilização desse procedimento no ajuste de modelos mistos com dois fatores desbalanceados.

METODOLOGIA

Considerações iniciais

Neste estudo, adota-se, para o modelo linear misto, a forma matricial, descrita em Searle (1987), Searle et al. (1992), Iemma (1995), Iemma & Perri (1996), entre outros:

y = Xq + Zu + e (1)

sendo y = vetor de observações, de dimensão nx1; X = matriz de planejamento dos efeitos fixos, conhecida, de dimensão nxp; q = vetor de efeitos fixos, desconhecido, de dimensão px1; Z = matriz de planejamento dos efeitos aleatórios, conhecida, de dimensão nxq; u = vetor de efeitos aleatórios, desconhecido, de dimensão qx1 e e = vetor de erros aleatórios não observáveis, de dimensão nx1.

Assim, para o modelo misto (1), assumindo que os efeitos aleatórios u e e têm distribuição normal, com média zero, e matrizes de variâncias e covariâncias G e Is_e² respectivamente, o vetor y terá distribuição normal multivariada, com média Xq e matriz de variâncias e covariâncias, V, dada em (2), ou seja, y ~ N(Xq, V) com:

(2)

Em geral a matriz de covariâncias de y é uma função linear de parâmetros desconhecidos a serem estimados. Assim, quanto mais adequada for a matriz G, escolhida à priori, mais os resultados das estimativas de q e u se aproximarão de soluções BLUE (Best Linear Unbiased Estimator) e BLUP (Best Linear Unbiased Predictor), respectivamente.

Estimação dos efeitos fixos

Na análise do modelo linear misto tem-se, em geral, interesse na estimação e testes de hipóteses dos efeitos fixos. Entretanto, para a estimativa de uma função estimável dos parâmetros de efeitos fixos, no modelo misto, é necessário o conhecimento das estimativas dos componentes de variância. Assim as estimativas dos parâmetros de efeitos fixos, no modelo misto, dependem diretamente dos métodos utilizados na obtenção das estimativas dos componentes de variância.

O método dos mínimos quadrados generalizados, GLSE (Generalized Least Squares Estimation), que minimiza (y - Xq) V^-1 (y - Xq), fornece o sistema de equações normais generalizadas X’V^-1Xq = X’V^-1y.

Assim, para o modelo (1) tem-se:

(3)

onde (X’V^-1X)^g é uma inversa generalizada qualquer de X’V^-1X.

Desse modo, os componentes de variância são considerados nas estimativas das funções estimáveis l’Xq dos efeitos fixos.

Uma dificuldade é que (3) requer V = var(y) , ou seja, envolvem os componentes de variâncias. Em muitas situações práticas os componentes de variância não são conhecidos. Nesses casos, uma estratégia interessante e conveniente consiste em obter estimativas dos componentes de variância, que serão utilizadas em lugar dos componentes em V. Então, substitui-se V por e assim tem-se:

(4)

Predição dos efeitos aleatórios

No modelo linear misto (1), o vetor u é um vetor de variáveis aleatórias. Uma questão de freqüente interesse é: "Dado o vetor de dados y, como se pode predizer os valores do vetor u que poderiam estar a ele associados?" Ou, colocado-se de outra maneira, "Qual é "um" estimador da média condicional E(u | y)?".

No caso do modelo misto (1) tem-se . Assim, pode ser mostrado que é o melhor preditor linear de u sob normalidade. Portanto é uma função estimável de Xq e assim tem-se BLUE() = GZ’ V^-1(y - Xq⁰) onde Xq⁰ é o BLUE de Xq, a parte fixa do modelo.

Combinando os conceitos de predição e de melhor estimador linear não-viesado, tem-se que o melhor preditor linear não-viesado, o BLUP de u, é:

BLUP(u) = GZ’V^-1(y - Xq⁰) (5)

Quando G e s² são conhecidas o cálculo do BLUP(u) não apresenta dificuldades e pode ser encontrado utilizando-se as "equações do modelo misto" (Henderson, 1984; SAS, 1992):

Resolvendo-se esse sistema de equações, obtém-se as soluções para os efeitos fixos q⁰ e predições para os efeitos aleatórios . Para o desenvolvimento precedente, assume-se que V é conhecida. Quando esse não é o caso, então essas variâncias devem ser estimadas, ou seja, deve-se estimar os componentes de variância, utilizando-se um dos métodos disponíveis na literatura, por exemplo o método da máxima verossimilhança ou da máxima verossimilhança restrita. Então substituindo V por , tem-se:

(6)

Portanto, as soluções podem ser escritas como:

(7)

Assim, utilizando-se a expressão (7) obtém-se as estimativas dos efeitos fixos e as predições dos efeitos aleatórios, q⁰ e , respectivamente.

Um aspecto interessante das "equações do modelo misto" é que elas podem ser utilizadas em procedimentos iterativos para os cálculos da estimativas ML e REML dos componentes de variância. Maiores detalhes do relacionamento entre essas equações e as estimativas ML e REML são apresentadas em Harville (1977) e Searle et al. (1992).

Estimação dos componentes de variância

Para a obtenção do BLUE de Xq e do BLUP de u, exige-se o conhecimento das estimativas dos componentes de variância.

Um problema relacionado com a estimação dos componentes de variância para dados desbalanceados consiste no fato de que muitos métodos de estimação estão disponíveis e escolher um deles pode não ser uma questão tão simples.

Apresentam-se a seguir os métodos de estimação dos componentes de variância disponíveis no procedimento MIXED do SAS, ou seja: ML, REML, MIVQUE0 (SAS, 1997).

Método da máxima verossimilhança: ML

Hartley & Rao (1967) aplicam o método da máxima verossimilhança ao modelo misto geral.

O método da máxima verossimilhança consiste em maximizar a função de verossimilhança, em relação aos efeitos fixos e aos componentes de variância.

Assim, para o modelo misto (1), assumindo y ~ N(Xq , V) com V = Z GZ'+Is_e²a função de verossimilhança é:

onde |V| é o determinante da matriz V.

O logaritmo da função de verossimilhança é dado por:

(8)

O PROC MIXED implementa o método ML construindo uma função objetivo para ML minimizando - 2l ou seja - 2 log L.

Assim, - 2 log da função de verossimilhança (8) é

(9)

Minimizando essa expressão com respeito à q, tem-se:

com representando as estimativas ML de q e V, respectivamente.

Substituindo na expressão (9), tem-se

(10)

A expressão (10) é a função objetivo para ML utilizada pelo PROC MIXED do SAS. Minimizando-se essa função sobre todos os parâmetros desconhecidos, obtém-se um sistema de equações cuja solução fornece as estimativas ML.

Essas equações são não lineares e são resolvidas numericamente, em geral por processos iterativos como o algoritmo de Newton-Raphson. O processo é repetido até que o critério de convergência adotado, seja satisfeito. Assim, o método da máxima verossimilhança supõe normalidade dos dados, é iterativo e fornece sempre estimativas não-negativas de componentes de variância, mas estas são viesadas, pois o método não considera a perda de graus de liberdade resultante da estimação dos efeitos fixos do modelo.

Método da máxima verossimilhança restrita: REML

Patterson & Thompson (1971) propõem um modificação do método da máxima verossimilhança para modelos mistos.

Os estimadores REML são obtidos maximizando-se a parte da função de verossimilhança que é invariante ao parâmetro de locação; isto é, em termos do modelo misto y = Xq + Zu + e , invariante a Xq. Ou de outra maneira, os estimadores REML maximizam a função de verossimilhança de um vetor de combinações lineares das observações que são invariantes a Xq. Seja K’y esse vetor. Então K’y = K’Xq + K’Zu + K’e é invariante a Xq se e somente se K’X = f.

Com y ~ N(Xq, V), tem-se que para K’X= f, K’ y ~ N(f, K’ VK)

As equações REML também podem ser deduzidas das equações ML substituindo-se: y por K’y, X por K’X = 0, Z por K’Z, V por K’VK.

O procedimento MIXED do SAS implementa o método REML construindo a função - 2 log L_R.

Assim, para a estimação REML, -2 log da função de verossimilhança restrita é

(11)

onde k é o rank da matriz X e , com representando as estimativas REML de q e V, respectivamente.

No método da máxima verossimilhança restrita, a função de verossimilhança é dividida em duas partes independentes, uma referente aos efeitos fixos e outra aos aleatórios, de maneira que a função de verossimilhança é dada pela soma das funções de verossimilhança de cada parte.

O método REML tem sido considerado (Harville, 1977; Henderson, 1984; Searle et al., 1992, entre outros) o preferido para estimar componentes de variância de dados desbalanceados. As razões para essa preferência são justificadas pelas propriedades desses estimadores.

O método REML supõe normalidade dos dados, é iterativo e fornece sempre estimativas não negativas dos componentes de variância, como o método ML. No entanto, considera a perda de graus de liberdade devido aos efeitos fixos, fornecendo estimadores não viesados e de variância mínima para dados balanceados.

A principal diferença entre os métodos ML e REML é que o ML usa a função de verossimilhança de y ou o logaritmo desta função, enquanto o REML adota a função de verossimilhança de K’y, um vetor de combinações lineares das observações (com esperança nula) que representa efetivamente as observações ajustadas para os efeitos fixos.

Método de estimação quadrática não-viesada de variância mínima : MIVQUE e MIVQUE0

Rao (1971; 1972) descreve um método de estimação que é derivado de modo que, o estimador seja uma forma quadrática das observações, não-viesado e de variância mínima. Seu desenvolvimento envolve álgebra extensiva e seu conceito utiliza valores escolhidos, à priori, para os componentes de variância a serem estimados. Assim, diferentes valores à priori podem levar a diferentes estimativas para um mesmo conjunto de dados. Obtém-se portanto "um" estimador MIVQUE e não "o" estimador MIVQUE.

Swallow & Monahan (1984) descrevem o procedimento MIVQUE com a suposição à priori de que a matriz de variâncias e covariâncias é a matriz identidade, MIVQUE0.

Sob normalidade, a estimação dos componentes de variância pelo método MIVQUE0, é feita com base na equação:

{tr(PV_iPV_j)} = {y'PV_iP y}(12)

em que é o vetor de soluções dos componentes de variância e P = I - X(X'X)⁸ X'.

Estruturas gerais de covariâncias

Conforme visto, a análise de modelos mistos envolve duas partes, a análise da parte fixa e a análise da parte aleatória. Tanto a estimação dos efeitos fixos quanto a predição dos efeitos aleatórios dependem da estimação dos componentes de variância.

A estimação dos componentes de variância depende da estrutura da matriz G e do método de estimação utilizado.

Várias estruturas de covariâncias podem ser especificadas para a matriz G (Searle et al., 1992; Wolfinger, 1993; Latour et al., 1994; Littell et al., 1996; entre outros).

Neste estudo, optou-se por adotar R = Is_e² e as seguintes estruturas de G: componentes de variância (VC), diagonal (TOEP(1)), simetria composta (diagonal mais covariância comum: CS) e Huynh-Feldt (HF).

Procedimento MIXED : PROC MIXED

O PROC MIXED é o procedimento do SAS apropriado para a análise de modelos mistos desbalanceados, pois distingue claramente os efeitos fixos e os aleatórios (Littell et al., 1996). Este procedimento utilizado para ajuste de modelos lineares mistos permite uma especificação geral da matriz de variâncias e covariâncias e ajusta o modelo misto através do método dos mínimos quadrados generalizados.

O PROC MIXED ajusta o modelo linear misto (1) com a flexibilidade de modelar não somente as médias dos dados, mas também as suas variâncias e covariâncias. Permite uma especificação geral da matriz de covariâncias dos erros e; o modelo linear misto também permite que os componentes de e sejam correlacionados, e ainda, oferece várias opções para a estrutura de covariâncias, e essas, podem ser estimadas por meio dos métodos MIVQUE0, ML e REML (SAS, 1992; 1996; 1997).

RESULTADOS E DISCUSSÃO

Apresenta-se a seguir um exemplo com o objetivo de ilustrar a utilização do procedimento MIXED, no ajuste de modelos mistos desbalanceados com dois fatores (A fixo e B aleatório) e interação.

Os dados apresentados na TABELA 1, referem-se aos pesos aos 12 meses de idade, ajustados linearmente para 365 dias, de 22 bezerros da raça Canchim, classificados de acordo com o sexo do bezerro e o número do touro (Freitas, 1991).

O modelo utilizado para descrever os dados da TABELA 1 é o modelo misto desbalanceado com dois fatores (Sexo fixo e Touro aleatório) e interação, caracterizado por y_ijk = m + a_i + b_j + g_ij + e_ijk com i = 1, 2; j = 1, 2, 3 e k = 1, 2, ..., n_ij sendo que: y_ijk é o peso do animal; m é a média geral; a_i é o efeito do sexo; b_j é o efeito do touro, com b_j ~ N(0, s_b²) e independentes; g_ij é o efeito da interação touro e sexo, com g_ij ~ N(0, s_g²) e independentes; e_ijk é o erro aleatório, com e_ijk ~ N(0, s_e²) e independentes. Ademais b_j, g_ij e e_ijk são independentes. Assim:

Na TABELA 2 tem-se os programas utilizando o PROC MIXED do SAS para ajustar os dados da TABELA 1. Observa-se que os efeitos fixos são especificados no MODEL, e os aleatórios no RANDOM. A estrutura de G é definida na declaração RANDOM, por meio da opção TYPE.

No PROC MIXED o método REML é o método de estimação default para se estimar os componentes de variância. Os outros métodos disponíveis são: ML e MIVQUE0.

Com PROC MIXED é possível especificar várias estruturas para a matriz de covariâncias dos efeitos aleatórios, matriz G. A estrutura de G default neste procedimento é VC. As outras estruturas de G consideradas neste trabalho são: CS, TOEP(1) e HF.

Com o PROC MIXED estimam-se os componentes de variância para os efeitos aleatórios do modelo de acordo com o método especificado, bem como as funções estimáveis dos tipos I e III conforme as opções E e E3 especificadas no MODEL e o teste F usando as somas de quadrados dos tipos I e III para os efeitos fixos.

Na TABELA 3 tem-se algumas informações sobre o modelo misto ajustado pelo PROC MIXED (SAS, 1997).

Na TABELA 4 tem-se os resultados obtidos por meio do PROC MIXED utilizando a estrutura de componentes de variância para G e o método REML para estimação dos componentes de variância. Observa-se que, o processo numérico para obter as estimativas REML convergiu na terceira iteração, fornecendo as estimativas dos componentes de variância.

Assim, as estimativas pelo método REML, quando G = VC são e .

Portanto, a estimativa de G é dada por:

As funções estimáveis dos tipos I e III são iguais (Iemma, 1991; 1997), e assim, a hipótese que está sendo testada para o fator fixo, sexo, é dada por:

H₀ : a₁ - a₂ = 0

Observa-se na TABELA 4, que foram estimados três componentes de variância. Assim os critérios de informação de Akaike (AIC) e de Schwarz (BIC) são dados, conforme descrito na TABELA 3, por

Esses critérios podem ser utilizados para comparar modelos com os mesmos efeitos fixos mas diferentes estruturas de covariâncias.

Os resultados obtidos por meio do PROC MIXED utilizando-se as outras estruturas de G e os outros métodos são análogos aos da TABELA 4 e não serão apresentados.

Segundo Wolfinger (1993) um dos procedimentos para a seleção da estrutura de covariâncias é utilizando-se o critério AIC, no qual, maiores valores sugerem uma estrutura melhor. Os resultados do critério de informação de Akaike e dos testes de hipóteses para o fator de efeitos fixos, sexo, de acordo com as estruturas adotadas para a matriz G e os métodos de estimação utilizados, estão resumidos na TABELA 5.

Comparando-se as estruturas de G, observa-se que para os três métodos a "melhor" no sentido de maior valor AIC é a TOEP(1) e a "pior" é a estrutura HF. No entanto, a escolha da estrutura de G mais apropriada, não deve ser exclusivamente baseada nestes critérios, devem-se também e principalmente considerar a natureza dos dados e a experiência do pesquisador.

O critério AIC não é adequado para comparar os métodos: MIVQUE0, ML e REML, e a menos que se conheça a matriz de covariâncias da população, torna-se pouco confortável para o usuário, afirmar qual é o melhor método. Uma comparação analítica torna-se viável para dados balanceados e mesmo assim deve ser feita com cautela, considerando-se cada modelo em particular. Conforme visto, o método REML tem sido considerado o preferido para estimar componentes de variância de dados desbalanceados.

Os testes de hipóteses sobre os efeitos fixos dependem da estrutura da matriz G e do método de estimação utilizado. Comparando-se os testes F, ao nível de significância de 5%, de acordo com as estruturas de G, para cada método separadamente, tem-se: para o MIVQUE0, o teste F foi significativo para G = VC, sendo a estrutura G = HF a mais discrepante de todas; para o ML, o teste F foi significativo para as estruturas de G iguais a VC e TOEP(1); para o REML, o teste F foi significativo para a estrutura de G = VC, e não significativo para as demais estruturas, mas semelhantes.

CONCLUSÕES

O SAS apresenta grande flexibilidade para o ajuste de modelos mistos, destacando-se a excelente performance do procedimento MIXED.

O PROC MIXED é o procedimento do SAS apropriado para análise de modelos mistos, pois permite uma especificação geral da matriz de covariâncias dos efeitos aleatórios G e do resíduo. Por meio da opção TYPE da declaração RANDOM, foi possível especificar a estrutura de G.

A "melhor" estrutura de G, dentre as utilizadas, no sentido de maior valor AIC, foi G = TOEP(1), para os três métodos de estimação: MIVQUE0, ML e REML.

O nível nominal dos testes de hipóteses do tipo III para o fator de efeitos fixos, sexo, foram semelhantes quando G = VC. No tocante as demais estruturas utilizadas neste estudo, apenas a estrutura G = HF alterou sensivelmente o nível nominal em relação as demais.

Recebido para publicação em 26.11.98

Aceito para publicação em 04.05.99

• FREITAS, A.R. Comparaçăo de métodos para estimaçăo de componentes de variância e parâmetros afins de múltiplos caracteres em bovinos. Piracicaba, 1991. 170p. Tese (Doutorado) - Escola Superior de Agricultura "Luiz de Queiroz", Universidade de Săo Paulo.
• GILMOUR, A.R.; THOMPSON, R.; CULLIS, B.R. Average information REML: an efficient algorithm for variance parameter estimation in linear mixed models. Biometrics, v.51, p.1440-1450, 1995.
• HARTLEY, H.O.; RAO, J.N.K. Maximum likelihood estimation for the mixed analysis of variance model. Biometrika, v. 54, p.93-108, 1967.
• HARVILLE, D.A. Maximum-likelihood approaches to variances component estimation and to related problems. Journal of the American Statistical Association, v.72, p.320-340, 1977.
• HENDERSON, C.R. Applications of linear models in animal breeding Ontario: University of Guelph, 1984. 462p.
• IEMMA, A.F. Testes de hipóteses em modelos lineares com amostras desequilibradas Gembloux, 1991. 101p.
• IEMMA, A.F. Análise de variância de dados desbalanceados. In: CONGRESSO BRASILEIRO DE USUÁRIOS DO SAS, 4., Piracicaba, 1995. Anais Piracicaba: ESALQ/USP, 1995. 111p.
• IEMMA, A.F. Hypothčses statistiques et fonctions estimables du logiciel SAS Gembloux, 1997. 30p.
• IEMMA, A.F.; PERRI, S.H.V. Procedimentos do sistema estatístico "SAS" para análise de modelos mistos. Multicięncia, v.1, n.1, p.38-58, 1996.
• LATOUR, D.; LATOUR, K.; WOLFINGER, R.D. Getting started with PROC MIXED Cary: Statistical Analysis System Institute, 1994. 121p.
• LITTELL, R.C.; MILLIKEN, G.A.; STROUP, W.W.; WOLFINGER, R.D. SAS system for mixed models Cary: Statistical Analysis System Institute, 1996. 633p.
• PATTERSON, H.D.; THOMPSON, R. Recovery of inter-block information when blocks sizes are unequal. Biometrika, v.58, p.545-554, 1971.
• RAO, C.R. Minimum variance quadratic unbiased estimation of variance components. Journal of Multivariate Analysis, v.1, p.445-456, 1971.
• RAO, C.R. Estimation of variance and covariance components in linear models. Journal of the American Statistical Association v.67, p.112-115, 1972.
• RICHARDSON, A.M.; WELSH, A.H. Robust restricted maximum likelihood in mixed linear models. Biometrics, v.51, p.1429-1439, 1995.
• SAS INSTITUTE. SAS/STAT software: changes and enhancements, release 6.07. Cary: Statistical Analysis System Institute, 1992. chapter 16: The MIXED procedure. (SAS. Technical Report P-229).
• SAS INSTITUTE. Advanced general linear models with na emphasis on mixed models Cary: Statistical Analysis System Institute, 1996. 614p.
• SAS INSTITUTE. SAS/STAT software: changes and enhancements through release 6.12. Cary: Statistical Analysis System Institute, 1997. 1167p.
• SCHEFFÉ, H. The analysis of variance New York: John Wiley, 1959. 477p.
• SEARLE, S.R. Linear models for unbalanced data New York: John Wiley, 1987. 536p.
• SEARLE, S.R.; CASELLA, G.; McCULLOCH, C. Variance components New York: John Wiley, 1992. 501p.
• SWALLOW, W.H.; MONAHAN, J.F. Monte Carlo comparison of ANOVA, MINQUE, REML, and Ml estimators of variance components. Technometrics, v.26, p.47-57, 1984.
• WOLFINGER, R.D. Covariance structure selection in general mixed models. Communications in statistics simulation and computation, v.22, n.4, p.1079-1106, 1993.

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  11 Jan 2000
• Data do Fascículo
  Out 1999

Histórico

• Aceito
  04 Maio 1999
• Recebido
  26 Nov 1998