Considerações sobre a estimativa da permeabilidade em concretos refratários através das equações de Darcy e de Forchheimer

Issues concerning the evaluation of permeability in refractory concretes with Darcy and Forchheimer equations

Considerações sobre a estimativa da permeabilidade em concretos refratários através das equações de Darcy e de Forchheimer

(Issues concerning the evaluation of permeability in refractory concretes with Darcy and Forchheimer equations)

M. D. M. Innocentini, V. C. Pandolfelli

Universidade Federal de São Carlos, Departamento de Engenharia de Materiais

Via Washington Luiz, km 235, São Carlos , SP, 13565-905

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Resumo

Duas das principais equações usadas para a estimativa da permeabilidade em concretos refratários são analisadas neste trabalho. A capacidade de previsão das equações de Darcy e de Forchheimer é comparada através de exemplos que envolvem o escoamento de gases, líquidos e metais fundidos. É observado que a equação de Darcy desconsidera a contribuição da densidade do fluido para a queda de pressão. Como conseqüência, a curva ajustada aos dados experimentais somente é valida dentro do intervalo de medida e a extrapolação dos resultados não pode ser feita para outras condições de escoamento ou outro tipo de fluido. A equação de Forchheimer, por outro lado, permite a obtenção de parâmetros de permeabilidade válidos para qualquer situação. Demonstra-se também que quando os ensaios de permeabilidade são realizados com o escoamento de gases, o efeito da compressibilidade deve ser considerado. Os desvios observados na curva experimental são mais significativos com o aumento da velocidade do gás e para amostras pouco porosas.

Palavras-chave: Concretos refratários, permeabilidade, desempenho.

Abstract

Two of the main equations used to estimate the permeability in refractory castables are analyzed in this paper. The predictability of Darcy and Forchheimer equations is compared through examples involving gas, liquid and molten metal flow situations. It can be observed that Darcy equation disregards density effects on the fluid pressure drop. As a consequence, the fitted curve is only useful within the fitting range and the curve extrapolation might not be valid for other fluids or other flow situations. Forchheimer equation, on the other hand, yields reliable parameters in any flow condition. It is also demonstrated that the compressibility effect should be considered when permeability tests are carried out with gas flow. Deviation between experimental data and fittings are more significant at high fluid velocities and with low-porosity structures.

Keywwords: Refractory castables, permeability, performance.

INTRODUÇÃO

Cerâmicas refratárias são amplamente usadas como revestimento na área de fundição e siderúrgica, uma vez que todo o transporte e moldagem do metal líquido ocorre em contato com materiais cerâmicos. A durabilidade do revestimento refratário está diretamente ligada à capacidade do mesmo em não reagir com líquidos ou gases, que podem causar a degradação da estrutura porosa [1-3]. Em escala industrial, a interrupção do processo para a troca do material corroído é onerosa e deve ser retardada. Ensaios de permeabilidade são de extrema importância para o desenvolvimento de revestimentos mais duráveis, pois permitem associar a resistência à penetração de agentes corrosivos no refratário com as suas propriedades estruturais, como composição, granulometria da matéria-prima, fator de empacotamento, e também com parâmetros de processamento, como temperaturas de secagem e de calcinação [4].

A permeabilidade é também importante durante o processamento de materiais refratários, principalmente nas etapas de secagem e queima. Nestas, é importante que a eliminação de líquidos e vapores da estrutura porosa ocorra de modo rápido porém ordenado. Uma estrutura pouco permeável pode reter líquidos por um período longo, aumentando o tempo para a disponibilidade da peça e tornando o processamento inviável economicamente. A retenção de água durante a etapa de aquecimento pode além disso levar ao aumento de pressão interna do vapor acumulado e eventualmente causar a explosão do corpo [5-6]. Uma estrutura extremamente permeável, por outro lado, facilita a eliminação de líquidos, mas pode comprometer o comportamento mecânico do produto poroso ainda não sinterizado.

O objetivo deste artigo é, dentro do contexto apresentado, discutir a utilização de algumas equações para a estimativa da permeabilidade de concretos refratários. Fatores como compressibilidade do fluido permeante, efeitos viscosos e inerciais sobre a queda de pressão são analisados e relacionados à estrutura porosa. Erros comumente cometidos no equacionamento e na interpretação dos dados são comentados.

Conceituação e equacionamento da permeabilidade em meios porosos

O conceito de permeabilidade surge naturalmente quando um fluido é forçado a atravessar um meio poroso. A complexa interação entre o fluido e o canal poroso causa uma transformação na energia do sistema, geralmente associada à diminuição da pressão exercida pelo fluido. A permeabilidade é assim uma propriedade não apenas do meio poroso ou do fluido, mas também da interação dinâmica entre ambos [7].

Historicamente, Darcy, em 1856, foi um dos primeiros a equacionar empiricamente a modificação na energia do fluido causada pela sua passagem através de um meio poroso. Trabalhando com meios granulares não-consolidados, Darcy propôs que, para baixas velocidades, o gradiente de pressão (dP/dx) de um fluido incompressível com viscosidade m escoando através de um meio poroso, fosse dado por [7, 8]:

(A)

A integração da Equação (A) para a espessura (L) do meio poroso resulta em:

(B)

O parâmetro k₁, conhecido como constante de permeabilidade Darciana ou viscosa, é uma propriedade apenas da estrutura porosa.

A equação (B), conhecida como Lei de Darcy para a permeabilidade, tem o grande mérito de ser simples e de separar as influências do fluido (m), escoamento (v_s) e meio poroso (k₁). Por ser derivada de ensaios a baixas velocidades, no entanto, a Lei de Darcy considera unicamente os efeitos do atrito sobre a queda de pressão no filtro.

Reynolds em 1900 e Forchheimer, em 1901, também trabalhando com meios granulares, perceberam que a Lei de Darcy não apresentava bons resultados com o aumento da velocidade do fluido. Ao invés de uma relação linear entre queda de pressão e velocidade, ambos observaram uma relação parabólica, e associaram-na à variação da energia cinética de um fluido incompressível com densidade (r) durante seu escoamento pelo meio poroso [9]. Posteriormente, observou-se que:

(C)

A equação (C), conhecida como equação de Forchheimer, introduziu uma nova constante, k₂, chamada de permeabilidade não-Darciana ou inercial, sendo também dependente apenas do meio poroso.

Na equação de Forchheimer, o termo mv_s/k₁ representa os efeitos viscosos da interação fluido-sólido, enquanto o termo rv_s²/k₂ representa os efeitos cinéticos [10]. Por efeitos viscosos, o fluido perde energia de dois modos. Primeiro, pelo atrito entre as moléculas do fluido durante o escoamento. Neste caso, quanto maior a viscosidade do fluido (m), maior será o atrito e consequentemente a transformação da energia de pressão em calor. A outra forma de perda de energia ocorre pelo atrito entre o fluido e a parede do meio poroso. Aqui, a área de contato entre ambos, representada pela constante k₁, quantifica esta perda de energia do fluido. Quanto maior a área de contato, maior será a resistência ao escoamento do fluido. Geralmente, o aumento de área é associado à diminuição do tamanho das partículas para estruturas granulares ou do tamanho do poro para estruturas celulares [11].

Os efeitos inerciais ou cinéticos sobre a queda de pressão são causados pela turbulência do fluido escoante e/ou pela tortuosidade do meio poroso. No primeiro caso, a turbulência é quantificada pelo número de Reynolds, definido como:

(D)

onde v_s^' representa a velocidade pontual no interior de um poro de diâmetro d_poro.

Quando Re > 2100, o escoamento torna-se turbulento ou caótico, o que causa o distúrbio das camadas do fluido e aumenta a perda de energia. Quanto maior a energia cinética do fluido, mais turbulento será o escoamento e maior a perda de energia (pressão).

A tortuosidade, por outro lado, representa o caminho que o fluido percorre no interior dos poros dividido pela espessura do elemento poroso. Quanto mais tortuoso um meio poroso, maior a área de interação entre as camadas do fluido e as paredes dos poros. Isso potencializa os efeitos viscosos e inerciais que causam a queda de pressão do fluido. A constante de permeabilidade não-Darciana, k₂, representa a contribuição do meio poroso para a ocorrência de efeitos inerciais/cinéticos sobre a queda de pressão.

Outras equações são encontradas na literatura, relacionando propriedades estruturais do material poroso e constantes de permeabilidade em situações específicas de escoamento [9, 11-14]. A equação de Forchheimer, no entanto, além de simples, é a que descreve de um modo mais geral os principais fatores que influenciam a permeabilidade de um fluido escoando por um meio poroso.

Aplicação de equações de permeabilidade para concretos refratários

Informações sobre a permeabilidade de um material refratário ao escoamento de um determinado fluido podem ser apresentadas de diferentes modos, dependendo da situação envolvida. O estudo do processo de secagem de concretos necessita, por exemplo, de parâmetros que quantifiquem a resistência a que a água é submetida para mover-se do interior para a superfície da estrutura. A estimativa da durabilidade de um revestimento refratário, por outro lado, depende do conhecimento da facilidade com que gases ou líquidos corrosivos penetram e atacam a estrutura cerâmica. Em ambos os casos citados, equações e constantes de permeabilidade são de extrema utilidade, pois permitem que a resistência ao transporte do fluido seja quantificada como função das propriedades do fluido, do meio poroso e do escoamento. A principal questão resume-se na escolha da equação que melhor represente o fenômeno envolvido (secagem ou penetração/ataque químico).

A equação de Darcy tem sido a principal referência na literatura para a permeabilidade de concretos refratários [1-6]. A equação de Forchheimer, por outro lado, é pouco utilizada, mesmo para outras estruturas refratárias, como filtros cerâmicos usados na fundição/siderúrgica [15]. Qual seria, porém, o critério para verificar a aplicabilidade de uma ou de outra equação? Estariam todas corretas? A falta de discussão a respeito tem causado confusão na obtenção e na interpretação dos resultados.

Duas questões específicas sobre esse assunto são abordadas neste artigo. A primeira envolvendo a comparação das equações de Darcy e de Forchheimer para prever a permeabilidade de um concreto refratário. A segunda questão refere-se ao efeito da compressibilidade do fluido permeante sobre o desempenho das equações de permeabilidade.

A. Comparação do desempenho da equações de Darcy e Forchheimer

Conforme anteriormente discutido, a principal diferença prática entre as equações de Darcy e Forchheimer está na relação entre a queda de pressão e a velocidade (ou vazão) do fluido permeante. Enquanto na equação de Darcy existe uma dependência linear entre DP e v_s, na equação de Forchheimer essa dependência é parabólica. Qual seria a vantagem prática então em ajustar os dados experimentais segundo uma reta ou uma parábola? Esta questão é discutida no exemplo a seguir.

Considere que uma amostra de concreto refratário foi submetida a um ensaio no qual a queda de pressão do fluido (água em temperatura ambiente, r = 1000 kg/m³, m = 1 x 10^-3 Pa.s) foi quantificada em função da velocidade de escoamento. A Fig. 1 apresenta os dados experimentais de DP em função de v_s e os respectivos ajustes segundo as equações de Darcy e de Forchheimer.

A comparação das duas curvas apresentadas na Fig. 1 sugere que ambas equações de Darcy e de Forchheimer seriam adequadas para representar os dados experimentais de queda de pressão no concreto refratário. Quem ajustasse os dados segundo Darcy (Fig. 1-A) e encontrasse um coeficiente de correlação r² de 0,99 não teria dúvidas quanto à linearidade entre DP e v_s. A melhoria do ajuste dos dados experimentais segundo Forchheimer (r² = 1,0) aparentemente não traria benefícios práticos. Essa afirmação é verdadeira com apenas uma, porém importante, restrição: que a estimativa da permeabilidade do concreto ocorra dentro da faixa de velocidade usada no ensaio. O que ocorreria, no entanto, se as curvas fossem utilizadas para prever a permeabilidade do concreto fora da faixa de velocidade do exemplo? A Fig. 2 ilustra a situação em que novos pontos experimentais (· ) são introduzidos nas curvas da Fig. 1 e como as equações ajustadas de Darcy e Forchheimer estimariam tais dados.

Torna-se evidente, na Fig. 2, que a diferença entre as equações de Darcy e Forchheimer é a capacidade de previsão da permeabilidade em condições diferentes das usadas no ajuste das curvas. Por exemplo, para a velocidade de 14x10^-5 m/s, a equação de Darcy chega a desviar em 23% em relação ao valor experimental de DP, enquanto a equação de Forchheimer prevê DP com erro menor que 0,1%. O erro seria ainda maior pela equação de Darcy caso novos dados fossem introduzidos para velocidades maiores do fluido. A explicação é clara. Somente a equação de Forchheimer considera os efeitos cinéticos (parabólicos) que efetivamente ocorrem na interação sólido-fluido com o aumento da velocidade. Darcy, por outro lado, sempre superestima a permeabilidade acima do intervalo de dados do ajuste.

Tais observações têm implicação prática direta. Ensaios de permeabilidade em concretos refratários são geralmente efetuados em laboratório e em condições de escoamento muitas vezes diferentes das quais o material é submetido na prática. Desse modo, a extrapolação da curva de permeabilidade ajustada pela equação de Darcy pode causar interpretação errônea dos resultados.

Influência da densidade do fluido permeante

Uma vez ajustadas as constantes de permeabilidade das equações de Darcy e Forchheimer, estas poderiam ser utilizadas, a priori, na previsão da permeabilidade de qualquer fluido permeante, desde que dependem apenas da estrutura porosa. Aqui surge a outra diferença entre ambas equações: o efeito da densidade do fluido sobre a queda de pressão somente é considerado por Forchheimer. O caso mais crítico ocorre quando a equação de Darcy, ajustada em um ensaio com um gás (r = 1 kg/m³), é utilizada para prever a permeabilidade de um metal líquido (r » 8000 kg/m³). O termo inercial (rv_s²/k₂), multiplicado em 8000 vezes neste caso, seria simplesmente ignorado por Darcy.

Considere que, no exemplo anterior, as constantes de permeabilidade das equações de Darcy e Forchheimer tenham sido ajustadas e usadas para estimar a queda de pressão de um metal líquido (r » 8000 kg/m³ e viscosidade próxima à da água para a temperatura de 1500 °C) através do concreto refratário. A Fig. 3 ilustra o comportamento das equações de Forchheimer e de Darcy para estimar os dados de DP.

Nota-se na Fig. 3 que embora a mesma faixa de velocidade do exemplo anterior tenha sido usada, a equação de Darcy desvia-se dos dados experimentais já a partir do início da curva. O desvio em relação ao valor experimental chega a 72% para a velocidade do fluido de 14x10^-5 m/s.

Critério para a comparação das equações de Darcy e Forchheimer

Um critério para a avaliação da influência da densidade do fluido sobre a queda de pressão é obtido através do grupo adimensional chamado número de Forchheimer, Fo [10]:

(E)

O parâmetro Fo representa a razão entre as forças inerciais (cinéticas) e as forças viscosas sobre a queda de pressão do fluido escoante. As constantes k₁ e k₂ são obtidas pelo ajuste da equação de Forchheimer aos dados experimentais. Uma vez que a razão k₁/k₂ tem dimensão de comprimento, o número de Forchheimer pode ser entendido como similar ao número de Reynolds, para o qual a dimensão característica é o diâmetro do poro da estrutura. A substituição de Fo na equação de Forchheimer (Eq. C) resulta em:

(F)

O desvio da equação de Darcy em relação à de Forchheimer pode então ser definido como :

(G)

Substituindo as equações (B) e (F) em (G), tem-se:

(H)

Assim, para Fo < 1, a equação de Forchheimer reduz-se à equação de Darcy. Por outro lado, para Fo = 1 na Equação (H), observa-se que a queda de pressão calculada por Darcy será metade daquela estimada por Forchheimer. O desvio entre ambas equações só será nulo quando Fo = 0, o que só ocorrerá na prática quando a velocidade do fluido for zero. A Fig. 4 apresenta como o desvio entre as duas equações de permeabilidade varia com o parâmetro Fo.

Na prática, é aconselhável que, dispondo dos valores experimentais de DP em função de v_s, a equação de Forchheimer sempre seja utilizada para a estimativa da permeabilidade. Desta forma, evita-se os desvios relacionados aos fatores não incluídos na equação de Darcy e que contribuem para a queda de pressão do fluido.

B. Efeito da compressibilidade do fluido

Um outro fator que deve ser considerado para o ajuste das equações de permeabilidade é a compressibilidade do fluido permeante. Embora não ocorra para líquidos, uma expansão (ou descompressão) ocorre quando um gás escoa através do meio poroso. A conseqüência é que a velocidade do gás na entrada da amostra é menor do que na saída. O efeito será mais acentuado quanto maior a queda de pressão através da estrutura. Na prática, quanto menor a porosidade da estrutura ou maior a velocidade de escoamento, maior será a descompressão do gás, alterando a interação sólido-fluido e o perfil da curva de queda de pressão.

A inclusão da influência da compressibilidade do gás nas equações de permeabilidade pode ser feita com a consideração do gás como sendo ideal. A integração das equações diferenciais de Darcy e Forchheimer resulta deste modo em:

(I)

(J)

onde P_e e P_s são respectivamente a pressão na entrada e na saída da amostra sob ensaio. A pressão P corresponde à pressão na qual os parâmetros v_s, r e m foram medidos ou calculados.

As equações (I) e (J) são respectivamente as versões para as equações de Darcy e Forchheimer válidas para o escoamento de gases, quando os efeitos da compressibilidade são significativos para a queda de pressão. A Fig. 6 ilustra a influência da compressibilidade do gás sobre o ajuste da equação de Forchheimer para o concreto refratário usado como exemplo neste artigo.

Observa-se, na Fig. 5, que o coeficiente de correlação r² é 1 para os dois ajustes, o que indica que, a priori, ambas equações podem ser usadas para estimar a queda de pressão do ar dentro da faixa de velocidade usada no ensaio. A equação de Forchheimer para fluidos incompressíveis apresenta, contudo, o termo quadrático negativo, o que carece de significado físico. As constantes de permeabilidade k₁ e k₂ do concreto refratário obtidas por esta equação não teriam, assim, qualquer aplicação na estimativa da permeabilidade em outras condições de escoamento (tipo de fluido, velocidade, etc). Embora tais efeitos ocorram para o escoamento através de qualquer tipo de estrutura porosa, o problema é mais crítico para concretos refratários. Nestes, a estrutura pouco porosa acentua os efeitos da descompressão do gás, acarretando desvios ainda maiores caso a equação de Forchheimer para fluidos incompressíveis seja usada. Uma criteriosa avaliação das condições de escoamento em que um ensaio de permeabilidade é realizado é imprescindível, deste modo, para que os parâmetros ajustados possam ser utilizados em outras situações de interesse.

Importância da utilização de equações e parâmetros confiáveis para estimar a permeabilidade de concretos refratários

A constatação experimental da dependência parabólica entre a queda de pressão e a velocidade do fluido permeante conduz a uma das mais importantes observações sobre o escoamento em meios porosos neste trabalho: a de que permeabilidade é um conceito relativo. Dois meios porosos distintos podem ser cada qual mais permeável do que o outro a um mesmo fluido dependendo unicamente da faixa de velocidade escolhida.

O seguinte exemplo hipotético envolvendo concretos refratários é utilizado para ilustrar a questão. Considere que duas amostras de concreto refratário estruturalmente distintos tiveram suas curvas de queda de pressão quantificadas em função da velocidade de um líquido, conforme a Fig. 6. Apesar de ambas amostras apresentarem curvas parabólicas, o concreto A apresenta maior DP para baixas velocidades. As curvas se invertem, contudo, quando v_s = 20x10^-5 m/s, e o meio poroso B torna-se menos permeável.

A utilização da equação de Forchheimer permite que esse comportamento ambíguo seja explicado. O concreto B, com menor constante de permeabilidade k₂, tem queda de pressão mais sensível a efeitos cinéticos (densidade do líquido, turbulência e tortuosidade) que ocorrem com o aumento da velocidade v_s. O concreto A, por sua vez, tem menor constante de permeabilidade k₁, e assim sente mais a influência dos efeitos viscosos (viscosidade do líquido e área de contato concreto-líquido) em baixas velocidades. Deste modo, não há sentido em dizer que um meio poroso é mais ou menos permeável do que outro a não ser que a velocidade de escoamento seja especificada. Somente através da correta determinação das constantes de permeabilidade da equação de Forchheimer é que a permeabilidade do material refratário a um determinado fluido pode ser precisamente quantificada nas condições desejadas de escoamento.

CONCLUSÕES

O objetivo deste trabalho foi discutir o desempenho das equações de Darcy e de Forchheimer para estimar a permeabilidade em concretos refratários. As principais conclusões são:

• A equação de Darcy desconsidera efeitos cinéticos/inerciais sobre a queda de pressão em concretos refratários. A conseqüência é que esta equação sempre superestimará a permeabilidade para velocidades do fluido acima da faixa usada no ajuste.

• Os efeitos da densidade do fluido são apenas considerados pela equação de Forchheimer. O desvio em relação à equação de Darcy podem ser quantificado através no número de Forchheimer, Fo e é mais significativo com o aumento da velocidade do fluido.

• A compressibilidade do fluido permeante afeta a curva experimental de queda de pressão. A desconsideração desse efeito no ajuste das equações de Darcy ou de Forchheimer pode levar à interpretação errônea das constantes de permeabilidade obtidas. Os efeitos são mais significativos com o aumento da velocidade do gás e para corpos pouco porosos, como os concretos refratários.

• Cuidadosa avaliação das condições do ensaio de permeabilidade e do ajuste da equação de Forchheimer deve ser feita para a extrapolação dos parâmetros para outras situações de interesse.

AGRADECIMENTOS

Os autores agradecem o apoio recebido pela FAPESP e pelo CNPq para a elaboração deste trabalho.

REFERÊNCIAS

[1] J. P. Ollivier, M. Massat, Cement and Concrete Research 22 (1992) 503-514.

[2] M. A. Sanjuan, R. Muñoz-Martialay, J. Mat. Sci. 31 (1996) 2820-2832.

[3] R. E. Moore; J. D. Smith; W. L. Headrick Jr., T.P. Sander, in the 32^nd Annual Symposium on Refractories, March 22, 1996, The American Ceramic Society, St. Louis Section, 26 p.

[4] P. B. Bamforth, Magazine of Concrete Research 43 (1991)233-241.

[5] F. D. Lydon, A. H. Mahawish, Cement and Concrete Research 19 (1989)366-376.

[6] Z. X. Gong, A. S. Mujundar, J. Am. Ceram. Soc. 79 (1996) 1649-1658.

[7] A. E. Scheidegger, The physics of flow through porous media, University of Toronto Press, 3^rd Edition, 353p, 1974.

[8] S. Ergun, Chem. Eng. Progr. 48 (1952) 89.

[9] S. Liu; A. Afacan, J. Masliyah, Chem. Eng. Sci. 49 (1994) 3565-3586.

[10] D. Ruth, H. Ma, Transport in Porous Media 7 (1992) 255-264.

[11] M. D. M. Innocentini, P. Sepulveda, V. R. Salvini, J. R. Coury, V. C. Pandolfelli, J. Am. Ceram. Soc. 81, 12 (1998) 3349-3352.

[12] M. D. M. Innocentini, V. R. Salvini, J. R. Coury, V. C. Pandolfelli, Bull. Am. Ceram. Soc. (1999) aceito.

[13] A. P. Philipse, H. L. Schram J. Am. Ceram. Soc. 74 (1991) 728-732.

[14] F. A. L. Dullien, Porous Media - Fluid Transport and Porous Transport, Academic Press, London, 1979.

[15] F. A. Acosta, A. H. Castillejos, J. M. Almanza, A. Flores, Metall. and Mater. Trans. 26B (1995) 159-171.

(Rec. 04/11/98, Ac. 09/02/99)

(Publicação financiada pela FAPESP)

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  11 Maio 2000
• Data do Fascículo
  Jun 1999

Histórico

• Aceito
  09 Fev 1999
• Recebido
  04 Nov 1998