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Rem: Revista Escola de Minas

versão impressa ISSN 0370-4467

Rem: Rev. Esc. Minas v.54 n.1 Ouro Preto jan./mar. 2001

http://dx.doi.org/10.1590/S0370-44672001000100007 

Expressão Gráfica e Projetos de Engenharia,
Arquitetura e Desenho Industrial

 

Regras locais e a solução de problemas envolvendo geodésicas

 

Prof. Dr. Alexandre Kawano
Escola Politécnica da USP
Departamento de Eng. Construção Civil
E-mail: akawano@pcc.usp.br

 

 

Resumo

O problema de se determinarem as geodésicas de uma superfície é um tópico da Geometria Diferencial e Cálculo Tensorial. Tradicionalmente, o problema, posto em termos do comprimento de uma linha, é colocado, por meio de manipulações analíticas, em forma de uma solução de um sistema de equações diferenciais parciais acopladas de difícil solução. A Teoria da Complexidade propõe uma maneira inversa de se interpretar a natureza, primeiro modelando regras locais simples, que agentes elementares devem seguir, e, a partir das interações entre eles, chegar ao comportamento do todo. Nesse trabalho, uma regra local baseada no Princípio de Huygens é proposta, e com ela é possível se acharem geodésicas de uma superfície. Usando essa regra, problemas considerados difíceis podem ser resolvidos de maneira intuitiva.

Palavras-chave: Geodésicas, Cellular Automata, Geometria Descritiva.

Abstract

The problem of finding geodesics of a surface is a topic of Differential Geometry and Tensor Calculus. Traditionally, by means of analytical manipulation, the problem originally put in terms of length of a line is restated into a set of coupled partial differential equations of difficult solution. Complexity theory proposes the reverse way of viewing nature, first stating simple local rules that elementary agents must follow, and then from the interactions at the local level, to predict the behavior of the whole. In this paper a local rule based on the Huygens Principle is proposed that can be used to find geodesics of any surface. By using the rule, problems once considered difficult can be solved in an intuitive way.

Keywords: Geodesics, Cellular Automata, Descriptive Geometry.

 

 

1. Introdução

É fato bastante conhecido que o caminho mais curto entre dois pontos A e B sobre uma esfera é um arco definido pela intersecção da superfície da esfera com um plano que passa por A, B e pelo centro da esfera C, denominado grande-circunferência. Apesar disso, se perguntarmos se é natural imaginar que o caminho aéreo mais curto entre, digamos, Tóquio e Lisboa, situadas aproximadamente ao longo do mesmo paralelo de 30 graus, passa pela Sibéria, posicionada proximamente do Círculo Polar Ártico, bem ao norte, certamente a resposta seria negativa. De fato, a situação pode ainda ficar mais confusa se percebermos que o caminho mais curto entre as duas cidades é um arco cujo raio é o maior possível sobre a superfície esférica!

Haveria algum argumento físico para nos convencermos de que o caminho entre dois pontos sobre uma esfera deve ser uma grande-circunferência? Sim, e esse argumento se baseia em seguir uma simples regra local, no sentido empregado na modelagem por Cellular Automata (Chopard, 1998) de sistemas complexos da teoria da complexidade, como será mostrado logo a seguir.

A ciência da complexidade (Chopard, 1998) propõe o estudo das propriedades dos sistemas complexos compostos por elementos que seguem cegamente a regras locais. Exemplos seriam o comportamento da economia de um país, a partir das ações individuais de agentes econômicos, ou, ainda, o comportamento de um gás a partir das interações entre as moléculas constituintes.

Mostramos, nesse trabalho, como problemas geométricos que envolvem a determinação de caminhos de menor comprimento, denominados geodésicas, podem ser resolvidos intuitivamente pelo emprego de regras locais simples. Alguns problemas típicos são mostrados na Figura 1.

 

Figura 1 - Exemplos de problemas típicos.

 

2. Cellular Automata e regras locais

Uma das características mais marcantes da ciência moderna é a sua tendência ao reducionismo. Em geral, parte-se de um fenômeno observável macroscópico e o analisa em partes menores, como é, por exemplo, o estudo da vida, dissecando-a em unidades como a célula e o DNA. No caso das ciências exatas, esse modo de proceder é tipificado na formulação de equações diferenciais. Por exemplo, na mecânica dos fluidos, postula-se a conservação da massa para se chegar à equação diferencial da continuidade. Essa corrente de pensamento expressa a crença de que tudo pode ser explicado, se todas as partes componentes do todo forem analisadas e compreendidas.

A Teoria da Complexidade propõe exatamente uma maneira inversa de se pensar. Os fenômenos macroscópicos observáveis não são resultado de propriedades intrínsecas dos componentes, mas são fruto da interação entre as partes. Seria como o caso da formação de imagens no televisor. A paisagem não está em nenhum píxel, mas, sim, no conjunto. A vida não estaria em cada átomo ou gene que compõe o DNA, mas, sim, na interação entre as partes. No linguajar dos defensores dessa teoria, novos fenômenos complexos emergem da interação entre partes constituintes.

A ferramenta matemática/computational básica usada para estudar a emergência de fenômenos complexos é o Cellular Automaton, entidade criada por John Von Newman na década de 1950. Cada automaton segue as mesmas regras simples, influenciando localmente os automata vizinhos. Da interação entre os automata é que emergeriam fenômenos complexos. A abordagem não seria mais a da redução a equações diferenciais, mas a do caminho inverso: a partir de regras simples e locais se chegaria às propriedades do fenômeno macroscópico.

 

3. Obtenção de geodésicas via reducionismo

É interessante vermos como se deriva a equação diferencial de uma geodésica a partir de um fenômeno macroscópico observável. A formulação natural é calcular o comprimento (este é o "fenômeno macroscópico observável"), segundo um tensor métrico (gif ), de um caminho de um ponto a outro e se buscar a minimização do funcional obtido.

Seja a linha x, que passa por dois pontos dados A e B, e que pertence a uma superfície para a qual deseja-se conhecer os caminhos de menor comprimento.

(1)

Seu comprimento é dado por

(2)

Minimizando-se s em função de x determina-se (determinam-se) a(s) linha(s) de menor comprimento que liga(m) os pontos A e B. A solução pode ser obtida via teorema de Euler-Lagrange usado no cálculo variacional conjugado à manipulação tensorial, como pode ser apreciada, por exemplo, em (Synge, 1949) ou (McConnell, 1957). A solução desse problema torna-se achar a solução de um sistema de equações diferenciais de segunda ordem não lineares acopladas:

(3)

onde Gjki é o símbolo de Cristoffel de primeira ordem (Synge, 1949) (McConnell, 1957) e é função somente do tensor métrico (gif).

O interesse aqui está na maneira de se interpretar o universo em que vivemos. A maneira de resolver esse problema representa bem o reducionismo. Partiu-se do comprimento (2) de uma linha (1) para chegar-se a um conjunto de equações diferenciais (3).

Na natureza, a luz em um meio homogêneo percorre o menor caminho entre dois pontos. Até mesmo uma pedra lançada percorrendo uma parábola percorre o caminho de menor distância dentro de seu espaço métrico, descrito pelo tensor métrico (gif).

É curioso que fenômenos globais, como o de se encontrar o caminho mais curto entre dois pontos, possam ser resolvidos por equaçõesdiferenciais, já que em essência, equações diferenciais descrevem interações apenas locais, tais como taxas de variação em um ponto. Mas se lembrarmos que a velocidade de propagação de informação é limitada em nosso universo, se houver alguma solução para o problema do caminho mínimo a ser percorrido por um ente físico, ela deve ser formulável em termos de regras locais.

 

4. Regras locais e geodésicas

Em contraste com a obtenção de geodésicas por meios analíticos, veremos, agora, como elas podem ser obtidas através de regras locais intuitivas.

Observamos que, na natureza, a luz percorre geodésicas em nosso espaço. Se ela o faz, então deve fazê-lo seguindo regras locais, conforme a conclusão da seção anterior. O problema passa então a ser a formulação de tais regras.

Huygens (Zhdanov, 1980) formulou um princípio que leva seu nome, o qual afirma que cada ponto da frente de uma onda comporta-se como uma fonte de ondas secundárias, conforme é ilustrado na Figura 2.

 

Figura 2 - Princípio de Huygens.

 

A nova frente de onda é formada pela interação entre as infinitas ondas secundárias geradas por uma frente de onda anterior. Em alguns pontos, há interferência construtiva e, em outros, interferência destrutiva. Esse princípio é a base da regra local para se determinarem geodésicas, bem como de caminhos de tempo mínimo. Para se percorrer a maior distância no menor tempo, partindo-se do ponto A, basta seguir uma trajetória perpendicular às frentes de onda, que, por sua vez, são geradas localmente passo a passo.

A regra é surpreendentemente simples, mas, para ver seu poder na interpretação de fenômenos e na resolução de problemas geométricos, começamos apresentando o problema de se determinar o caminho de menor tempo que um raio de luz percorreria entre um ponto A e um ponto B imersos em dois meios, onde as velocidades de propagação da luz são diferentes, como ilustrado na Figura 3. O caminho de menor tempo pode ser determinado percorrendo-se a ordem inversa do ponto de chegada ao ponto de origem, seguindo-se uma trajetória perpendicular às frentes de onda.

 

Figura 3 - Propagação por dois meios diferentes.

 

Se a velocidade de propagação nos dois meios for igual, como no caso em que não há interface, as frentes de onda são arcos de circunferência centrados na fonte de perturbação. Nesse caso, o caminho mais curto entre dois pontos é sempre um segmento de reta perpendicular aos arcos.

A lei de Snell, que afirma que a razão entre os senos dos ângulos de incidência e de refração é igual à razão entre as velocidades da luz nos meios de incidência e refração, pode ser facilmente vislumbrada pelo Princípio de Huygens. Para simplificar o raciocínio, considere o caso em que as frentes de onda no meio de refração são retas. Esse caso-limite acontece quando a fonte de luz A está posicionada no infinito e os raios de incidência são paralelos entre si. O caso está ilustrado na Figura 4.

 

Figura 4 - A Lei de Snell.

 

Os senos dos ângulos a e l são dados por

(4)

por outro lado,

(5)

De (4) e (5) vem naturalmente que

(6)

Vemos que o Princípio de Huygens é simples, mas, ao mesmo tempo, é suficientemente poderoso para dele se demonstrar a Lei de Snell. Pensando fisicamente, é claro que o caminho percorrido pela luz, que obedece à Lei de Snell, é aquele que minimiza o tempo entre os pontos de partida e de chegada imersos em meios diferentes, pois, olhando a Figura 3, o traçado da trajetória depende do ponto onde ocorre o primeiro toque de alguma frente de onda no ponto de destino. O argumento de que a luz sempre percorre o caminho de menor tempo entre dois pontos é conhecido como o Princípio de Fermat. É interessante notar a ligação de tantos princípios físicos! Pode-se inferir, então, que o Princípio de Huygens pode servir de base para a elaboração de uma regra local que conduza à determinação de caminhos de tempo mínimo, ou, se a velocidade de propagação for uniforme por todo o espaço, de geodésicas.

A regra local resume-se em se determinar, a cada instante, a nova posição da frente de onda e propagá-la até que o ponto de destino seja atingido. A geodésica, ou mais propriamente, o caminho de menor tempo, será a trajetória perpendicular às sucessivas frentes de onda obtidas anteriormente, que liga o ponto de partida ao ponto de destino.

 

5. Resolução de problemas

Agora os problemas apresentados na introdução são resolvidos por meio da regra local apresentada anteriormente. Antes, mostra-se que, usando-se a regra local, torna-se intuitivo afirmar que as geodésicas de uma esfera são de fato as grande-circunferências.

Imagine dois pontos A e B sobre uma esfera. Deseja-se uni-los por uma linha de menor comprimento possível. Coloque sobre A uma fonte a partir da qual se propagam ondas. Olhando para a superfície, as ondas são circunferências que se propagam sobre a esfera e que podem ser identificadas com os "paralelos", fazendo uma analogia com o globo terrestre (Figura 5). Pela regra local, a linha mais curta que liga A e B é a trajetória que é perpendicular às frentes de onda, que nada mais são que os "meridianos", ou as grande-circunferências!

 

Figura 5 - Ondas propagando sobre uma esfera.

 

Na Figura 1, para se determinar o caminho de menor comprimento, contido nos planos de projeção, entre os pontos A e B, basta gerarmos ondas, a partir de A, e observarmos como elas chegam em B. Como a velocidade de propagação da onda sobre ambos os planos são exatamente iguais, tudo se passa como se não houvesse mudança de planos (e muito menos algo como a linha de terra). Daí, o caminho de menor comprimento na épura é representado simplesmente unindo-se os pontos A1 e B2!! A solução é mostrada na Figura 6. Note que o caminho é composto por dois segmentos de retas, um sobre p1 e outro sobre p2. Esse caminho é a geodésica procurada.

 

Figura 6 - Solução na épura.

 

Passando agora a outro problema, para se determinar o comprimento do caminho mais curto sobre o cilindro da Figura 1, novamente basta lançarmos, a partir do ponto P, frentes de onda. O trabalho fica simplificado, se reconhecermos que as distâncias percorridas em qualquer direção sobre o cone são exatamente iguais às distâncias percorridas sobre o cone desenvolvido (pois a métrica do espaço associada à superfície é a do espaço euclidiano, com curvatura nula). A solução é mostrada na Figura 7.

 

Figura 7 - Comprimento sobre o cone.

 

É interessante imaginarmos como seria resolver os problemas ilustrados por meios analíticos como descrito na seção 3. Pelo método analítico, deveríamos resolver sistemas de equações não lineares de segunda ordem acopladas. Seria difícil, além de não termos nenhuma sensibilidade "física" ou geométrica para a resolução desses problemas.

O último problema proposto na introdução, o que envolve superfícies cotadas, poderia ser resolvido facilmente pelo método descrito. Basta criar as frentes de onda pelo Princípio de Huygens.

 

6. Conclusões

Foi apresentado uma maneira de se pensar sobre o problema de se encontrarem geodésicas sobre superfícies por meio de regras locais. Mostrou-se como a regra usada no trabalho unifica os princípios físicos de Huygens, Fermat e Snell.

Fazendo uma comparação com métodos analíticos, o uso de regras locais é bem mais simples e torna intuitiva a descoberta de geodésicas em superfícies regulares como planos, esferas e cones, ou irregulares, como uma superfície de um terreno.

 

 

Referências Bibliográficas

BASTIEN Chopard, MICHEL Droz. Cellular automata modeling of physical systems. Cambridge University Press, 1998.         [ Links ]

Mc CONNELL, A. J. Applications of tensor analysis. New York: Dover Publications, 1957.         [ Links ]

SYNGE, J. L., SCHILD, A. Tensor calculus. New York: Dover Publications, 1949.         [ Links ]

WALDROP, M. Mitchell. Complexity. New York: Touchstone, 1992.         [ Links ]

Zhdanov, L. S. Physics. Moscow: Mir Publishers, 1980.         [ Links ]

 

 

Artigo recebido em 06/11/2000.