Formulação numérica de limite inferior para problemas de estabilidade de taludes em solos reforçados

Engenharia Civil

Formulação numérica de limite inferior para problemas de estabilidade de taludes em solos reforçados

Liliane Stela Maris Rocha de Sousa

Aluna do Mestrado em Geotecnia - DECIV/EM/UFOP

Luiz Gonzaga Araújo

Professores Adjuntos - DECIV/EM/UFOP - E-mail: [e-mail]

Christianne de Lyra Nogueira

Professores Adjuntos - DECIV/EM/UFOP

Resumo

A formulação de Limite Inferior para problemas de estabilidade pelo método dos elementos finitos (MEF) é descrita nesse trabalho, podendo ser aplicada a meios contínuos e reforçados. No caso de solos reforçados, apresentam-se as formulações para análise através das técnicas do contínuo equivalente e discreta. Os exemplos estudados mostram a potencialidade do método para solução de problemas práticos da engenharia geotécnica.

Palavras-chaves: estabilidade, análise-limite, elementos finitos, solo reforçado.

Abstract

This paper presents the Lower Bound formulation for stability problems by the finite element method (FEM), and its applicability to continuous media or reinforced soils. In case of reinforced soils, two formulations are described using equivalent continuous model and discrete model. The studied examples show the potentiality of the solution method for practical problems in geotechnical engineering.

Key words: stability, limit analysis, finite elements, reinforced soil.

1. Introdução

Os problemas práticos de estabilidade em solos têm sido resolvidos, tradicionalmente, pelo método do equilíbrio-limite. Nesse trabalho, é descrita a técnica do Limite Inferior, via método dos elementos finitos (MEF) e programação linear (PL), a qual é empregada para análise desses tipos de problemas, sob condição de deformação plana, em meios contínuos ou reforçados, considerados rígidos idealmente plásticos. Ressaltam-se, ainda, as metodologias do contínuo equivalente (Yu & Sloan, 1997) e discreta (Sousa, 2001), que podem ser utilizadas nas análises de problemas em meios reforçados.

A formulação para solos reforçados apresentada por Yu e Sloan considera o meio reforçado como um contínuo equivalente, onde as condições de fluxo são escritas em função das características de escoamento de seus componentes. Essa técnica tem sido aplicada com sucesso por vários pesquisadores no estudo de fundações e taludes reforçados e é indicada para problemas em que o espaçamento entre as camadas de reforço é relativamente pequeno quando comparado à dimensão do problema.

Em Sousa (2001) encontra-se a formulação para solos reforçados pela técnica discreta em que o solo e o reforço são tratados individualmente, considerando o reforço como um sistema planar de espessura desprezível. Essa técnica é aplicável em problemas que apresentam uma (ou poucas) camada(s) de reforço, viabilizando a discretização do meio e do reforço.

2. Formulação do problema de estabilidade pelo teorema do limite inferior

A análise-limite é fundamentada em dois teoremas da plasticidade, conhecidos como teoremas dos limites superior e inferior. Esses teoremas baseiam-se nas hipóteses (Chen, 1975) de que o material é plástico ideal, que há associatividade do fluxo plástico, que a superfície de escoamento é convexa e que ocorrem pequenas variações na geometria até o ponto de início de colapso plástico.

O teorema do limite inferior, ou teorema estático, pode ser escrito na forma: "Qualquer campo de tensões estaticamente admissível fornecerá um limite inferior da verdadeira carga de colapso. Um campo de tensões é dito estaticamente admissível, quando satisfaz às condições de contorno em tensões, ao equilíbrio e à condição de escoamento" (Sloan, 1987).

O campo de tensões é modelado via MEF, discretizando-se o domínio do problema em elementos triangulares de três nós, lineares em tensão, como ilustra a Figura 1. As interfaces entre esses elementos podem apresentar descontinuidade de tensões estaticamente admissíveis, Figura 2, porém deve haver continuidade das tensões normais e cisalhantes.

Figura 1
- Elemento triangular.

Figura 2
- Descontinuidade de tensão entre dois elementos triangulares

A formulação do problema (Sloan, 1987) consiste em escrever as condições de equilíbrio em cada elemento (Equação 1) e nas interfaces entre elementos (Equação 2), as condições de contorno em tensão (Equação 3) e, ainda, a condição de fluxo plástico na forma linearizada (Araújo, 1997) do critério de escoamento (Inequação 4), sob a seguinte forma:

(1)

(2)

(3)

(4)

onde A^e é a matriz de equilíbrio do elemento; s^e é o vetor das componentes de tensões nodais no elemento; b^e é o vetor das componentes da força de massa do elemento; A^ie é a matriz de equilíbrio na interface entre dois elementos; s^ie é o vetor das componentes de tensão nodais da interface; A^c é a matriz das condições de contorno em tensão; s^c é o vetor das componentes de tensão nos pontos nodais numa aresta do contorno; b^c é o vetor das cargas aplicadas numa aresta do contorno; A_y é uma matriz de escoamento do material; s é o vetor das componentes de tensão num ponto nodal e b_y é um vetor de termos independentes das restrições de fluxo.

A montagem de todas as restrições de igualdade (Equações 1, 2, 3) e desigualdades (Inequação 4) conduz ao problema de PL para obtenção de um campo de tensões estaticamente admissível, que pode ser expresso sob a forma

Max c X (5)

(6)

onde c é o vetor dos coeficientes da função objetivo; X é o vetor global das componentes de tensão nodais; A₁ é a matriz global das restrições de igualdade que contém as matrizes A^e, A^ie e A^c; A₂ é matriz global das restrições de desigualdade que contém as matrizes A_y de cada ponto nodal; b₁ e b₂ são vetores de termos independentes.

A solução do problema de PL acima definido pode ser obtida usando, por exemplo, o programa LINDO (Schrage, 1991).

3. Extensão da formulação para meios reforçados

A extensão da formulação para meios reforçados pode ser conduzida de duas formas: considerando o meio como um contínuo equivalente (técnica do contínuo equivalente) ou considerando o solo e o reforço individualmente (técnica discreta).

3.1 Técnica do contínuo equivalente

De acordo com essa técnica, o solo reforçado é modelado como um contínuo equivalente, ou seja, o equilíbrio é escrito em termos das tensões no contínuo equivalente (s_x, s_y, t_xy) e as restrições de fluxo são prescritas no solo, na interface solo-reforço e no reforço, considerando o esquema de tensão indicado na Figura 3, supondo que o reforço tem espessura d e está uniformemente distribuído no plano x-y com espaçamento h (Yu & Sloan, 1997). Dessa forma, se d/h<<1, então as componentes de tensão no solo () podem ser dadas por

Figura 3
- Tensões num meio reforçado.

onde q é o ângulo entre o plano horizontal e o plano do reforço; s^r é a tensão de tração relativa no reforço (definida como a tensão de tração no reforço, , vezes a razão d/h).

Escrevendo o critério de escoamento do solo na forma linearizada e em termos das componentes de tensão no solo, pode-se escrever as seguintes restrições de desigualdade para as tensões no contínuo equivalente

(10)

onde é uma matriz de escoamento do solo; s^s é o vetor das componentes de tensão nodal do contínuo equivalente, incluindo-se a tensão de tração relativa no reforço s^r , e é um vetor de termos independentes.

O critério de escoamento da interface solo-reforço pode ser escrito, também, na forma linearizada, em termos das componentes de tensão no contínuo equivalente da seguinte forma:

(11)

onde é uma matriz de escoamento da interface solo-reforço e é um vetor de termos independentes.

O critério de escoamento do reforço, supondo que ele resista apenas aos esforços de tração, pode ser escrito como

(12)

onde s^r é vetor da tensão à tração relativa em todos os pontos nodais do reforço, I é a matriz identidade e é o vetor de componentes iguais à tensão de escoamento relativa no reforço.

Um problema de PL similar ao apresentado nas Equações (5) e (6) pode ser montado para análise de um problema de solo reforçado pela técnica do contínuo equivalente. Nesse caso, porém, a matriz de restrições de desigualdade A₂ deverá conter o arranjo global das matrizes e I. O vetor b₂ passa a ter a contribuição dos vetores de termos independentes e da parcela . Detalhes sobre a definição desses vetores e matrizes podem ser obtidos em Sousa (2001).

3.2 Técnica discreta

De acordo com essa técnica, o solo reforçado é modelado como um sistema discreto, onde o solo, o reforço e a interface solo-reforço são tratados individualmente.

Segundo essa metodologia, além da condição de equilíbrio no elemento, na interface dos elementos e no contorno, se faz necessário estabelecer o equilíbrio, também, no reforço e na interface solo-reforço. Devendo, ainda, ser verificadas as condições de escoamento da interface solo-reforço e o escoamento à tração do reforço.

3.2.1 Equilíbrio da interface solo-reforço

A interface solo-reforço é estudada como um elemento planar de espessura nula, como esquematizado na Figura 4, onde o traço a-b representa o reforço e as linhas 1-2 e 3-4 representam os lados dos elementos que faceiam o reforço.

Figura 4
- Interface de solo-reforço.

O equilíbrio na interface é verificado impondo-se apenas a continuidade das tensões normais (Figura 4), o que conduz ao seguinte sistema de equações

(13)

onde A^sr é a matriz de equilíbrio na interface solo-reforço e s^sr é o vetor das componentes de tensão nos pontos nodais da interface solo-reforço.

3.2.2 Equilíbrio do reforço

Supondo um elemento de reforço de comprimento dx (Figura 5), pode-se escrever a seguinte equação de equilíbrio

(14)

Figura 5
- Equilíbrio do reforço.

ou ainda

(15)

onde T é o esforço de tração no reforço (definida como a tensão de tração, , vezes a espessura, d, do reforço), t_s é a tensão cisalhante na face superior do reforço e t_i é a tensão cisalhante na face inferior do reforço.

Escrevendo as tensões cisalhantes nas faces superior e inferior do reforço como, respectivamente, funções lineares das tensões cisalhantes (t₃,t₄) nos pontos 3 e 4 e das tensões cisalhantes (t₁ ,t₂ ) nos pontos 1 e 2 (Figura 4), pode-se chegar à seguinte equação

(16)

onde L é o comprimento do elemento de reforço. Para que a tração no reforço tenha variação linear, a seguinte condição deve ser obedecida

(17)

Das Equações 16 e 17, chega-se a

(18)

Integrando-se a Equação 18 ao longo do reforço, chega-se a

(19)

onde T_a e T_b são os esforços de tração nas extremidades a e b do elemento de reforço.

A continuidade da tensão de tração atuante entre dois elementos de reforço (Figura 6) é garantida impondo-se que os esforços de tração nos pontos b e c sejam idênticos, ou seja

T_b = T_c (20)

Figura 6
- Dois elementos de reforço.

As expressões 17, 19 e 20 garantem o equilíbrio do reforço.

3.2.3 Escoamento da interface solo-reforço

Nessa técnica utiliza-se a mesma expressão da Equação 11 para modelar a condição de fluxo plástico na interface solo-reforço. Entretanto, essa equação deve ser prescrita apenas nos pontos nodais de interfaces de elementos onde haja reforço.

3.2.4 Escoamento à tração do reforço

O critério de escoamento adotado para o reforço é dado por

0 £ T £ T_y (21)

onde T_y é o esforço de escoamento à tração do reforço que deve ser verificado em cada ponto nodal dos elementos de reforço.

4. Exemplos de estudos de estabilidade de taludes reforçados

Dois exemplos de taludes reforçados são apresentados, a fim de validar as implementações computacionais realizadas e mostrar o desempenho da metodologia proposta. No primeiro exemplo, verifica-se a estabilidade de um talude vertical reforçado utilizando a técnica do contínuo equivalente e, no segundo, analisa-se, pela técnica discreta, a estabilidade de um talude inclinado reforçado com apenas uma camada de reforço.

4.1 Técnica do contínuo equivalente

Um talude vertical de 6m de altura constituído por um material não coesivo é reforçado por um sistema de reforço onde dh<<1, Figura 7a.

Figura 7
- Estabilidade de talude reforçado - técnica do contínuo equivalente.

Usando a técnica do contínuo equivalente, Yu e Sloan (1997) chegaram à seguinte relação para o número de estabilidade (l)

(22)

onde H é a altura do talude vertical, g é o peso específico do solo e s₀ é a tensão de escoamento à tração relativa no reforço.

O número de estabilidade é obtido pela maximização do peso específico do solo, pois fazendo H=6m e s₀=6 kPa, tem-se que l=g .Os resultados obtidos, utilizando-se a malha de elementos finitos da Figura 7b e variando-se o ângulo de atrito do material, são apresentados na Tabela I. Como pode ser observado, os valores obtidos pelo presente trabalho (l) estão em boa concordância com os valores encontrados por Yu e Sloan (l_Yu), validando, portanto, a implementação realizada.

Tabela I
- Números de estabilidade para um problema de talude reforçado.

4.2 Técnica discreta

Um talude de 4m de altura e inclinação de 63,43º (Figura 8a), constituído por um solo puramente coesivo ( c=9,8kPa), é reforçado a meia altura (ponto C) por um reforço horizontal de comprimento variável (5m e 7m).

Figura 8
- Estabilidade de talude reforçado - técnica discreta.

Nesse exemplo, apresentam-se as análises desenvolvidas por Asaoka et al. (1994), empregando-se uma formulação de limite superior, e por Sousa (2001), empregando-se a formulação de limite inferior para solos reforçados, utilizando-se a malha de elementos finitos indicada na Figura 8b.

Em Asaoka et al. (1994), não são consideradas as propriedades do reforço, mas apenas a condição que estabelece que o comprimento do reforço não varia na ruptura. Para efeito de comparação, nesse estudo, o reforço e a interface solo-reforço foram considerados rígidos, com tensões de escoamento ilimitadas, o que equivale a não prescrever as suas restrições de fluxo. A condição de tensão de tração nula nas extremidades do reforço foi imposta.

A solução do problema é obtida pela maximização do peso específico do solo g_eq e os resultados são apresentados na Tabela II. Observa-se que o fator de segurança é pouco sensível à inclusão de um reforço na altura média do talude em questão. Os fatores de segurança encontrados são qualitativamente bastante próximos para os três métodos empregados.

Tabela II
- Fatores de segurança para o problema de talude reforçado.

5. Conclusão

Uma formulação de limite inferior para problemas de estabilidade, na condição de deformação plana, para solos reforçados foi apresentada, onde o solo reforçado pode ser modelado como um contínuo equivalente ou o solo e o reforço podem ser modelados individualmente (análise discreta).

Os casos estudados com a implementação numérica realizada indicam a viabilidade de uso da metodologia apresentada para a solução de problemas práticos de engenharia geotécnica, como, por exemplo, estudos de estabilidade de aterros reforçados.

Agradecimentos

Essa pesquisa contou com o apoio financeiro da FAPEMIG e da Fundação Gorceix pela concessão de bolsa de estudo para a aluna do mestrado em Geotecnia.

Artigo recebido em 26/03/2001.

• ARAÚJO, L. G. Estudo numérico de problemas de estabilidade em materiais geotécnicos através da análise limite Rio de Janeiro: Puc, 1997. 196p. (Tese de Doutorado).
• ASAOKA, A., KODAKA, T., POKHAREL, G. Stability analysis of reinforced soil structures using rigid plastic finite element method. Soils and Foundations, v. 34, n.1, p.107-118, 1994.
• CHEN, W. F. Limit analysis and soil plasticity Amsterdam: Elsevier Science Publishers, BV, 1975. The Netherlands.
• SCHRAGE, L. LINDO - User's Manual. The Scientific Press. 1991.
• SOUSA, L. S. M. R. Estudo numérico de problemas de estabilidade em solos reforçados, via Análise Limite. Ouro Preto: UFOP, 2001. 76p. (Tese de Mestrado).
• SLOAN, S. W. Lower bound limit analysis using finite elements and linear programming. Report Nº 020.01.87, Australia: The University Of New Castle, 1987.
• YU, H.S., SLOAN S.W. Finite element limit analysis of reinforced soils. Computers & Structures, v. 63, n. 3, p. 567-577, 1997.

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  22 Ago 2003
• Data do Fascículo
  Jun 2001

Histórico

• Recebido
  26 Mar 2001