Elementos finitos circulares para modelagem de arcos e anéis

Engenharia Civil

Elementos finitos circulares para modelagem de arcos e anéis

Eduardo Neto Manzi

Aluno do Mestrado em Construção Metálica

Depart. de Eng. Civil - EM - UFOP - Ouro Preto, MG, Brasil

Ricardo Azoubel da Mota Silveira

Ernani Carlos de Araújo

Professores Adjuntos do Depart. de Eng. Civil - EM - UFOP - Ouro Preto, MG, Brasil

E-mail: [e-mail]

Resumo

Esse trabalho fornece algumas formulações de elementos finitos circulares para análise de arcos e anéis. Atenção especial é dada ao cálculo da matriz de rigidez dos elementos finitos desenvolvidos, onde os efeitos das deformações de flexão, cisalhantes e de membrana são levados em consideração. O acoplamento desses efeitos permite a análise do comportamento de arcos esbeltos e espessos. No final do artigo, através da análise de problemas estruturais encontrados na literatura, pretende-se verificar a eficiência das formulações implementadas. O objetivo é conhecer a melhor modelagem numérica para obtenção dos deslocamentos e forças resultantes de sistemas estruturais curvos.

Palavras-chave: arcos, anéis, elemento finito circular, matriz de rigidez.

Abstract

A study of curved beam element formulations for arch and ring models is presented in this paper. Flexural, axial and shear deformation effect is all taken into account as derivations of the beam element stiffness matrices. They contain the coupled influences of shear and membrane locking effects. At the end of this paper, using numerical and analytical responses to the structural problems found in literature, the formulation efficiency verifies. So, the best numerical models are found and the displacements and resultant forces are obtained for the thin and thick curved structural systems.

Keywords: arches; rings; circular finite element; stiffness matrix.

1. Introdução

Arcos são elementos estruturais bastante usados em obras da engenharia civil devido à sua capacidade de vencer grandes vãos sem colunas intermediárias. Pontes, galpões, hangares e ginásios são alguns exemplos de construções onde se verifica a aplicação desse elemento estrutural.

Krishnan e Suresh (1998) classificaram os arcos como mostrado na Tabela 1 de acordo com a razão de esbeltez e também de acordo com o ângulo de abertura. Na Tabela 1, t é a espessura da seção transversal do arco, r é o valor do raio e a é o seu ângulo de abertura.

Tabela 1
- Classificação dos arcos (Krishnan & Suresh, 1998).

A modelagem via método dos elementos finitos dos arcos, isostáticos e hiperestáticos, pode ser feita utilizando uma série de membros retos. Porém, para algumas situações de carregamento e condições de contorno, resultados com razoável precisão só podem ser obtidos com um número elevado de elementos retos, o que torna a análise ineficiente computacionalmente.

No entanto, os esforços e deslocamentos de uma viga curva podem ser determinados através da divisão do domínio em elementos curvos (circulares e parabólicos). Akhtar (1987) propôs um elemento curvo de raio constante para análise de arcos circulares, onde o efeito da deformação cisalhante não foi considerado. Sem esse efeito, o elemento idealizado limitou-se às análises de arcos com r >> t, o que caracteriza os arcos esbeltos.

Marquis e Wang (1989) elaboraram um elemento finito curvo parabólico, com dois nós, cada um com três graus de liberdade e seção transversal constante. Os efeitos da deformação axial, cisalhamento e flexão foram considerados na formulação da matriz de rigidez. Litewka e Rakowski (1997, 1998) desenvolveram um elemento de curvatura constante, com dois nós e seis graus de liberdade, com as funções de forma que descrevem os deslocamentos radial e tangencial e a rotação da seção transversal sendo de formato algébrico-trigonométrico. Os efeitos da deformação axial, cisalhamento e flexão foram todos considerados na elaboração da matriz de rigidez. Friedman e Kosmatka (1998) elaboraram um elemento curvo onde as funções de interpolação que definem os deslocamentos também têm formato algébrico-trigonométrico, com a matriz de rigidez sendo obtida através do princípio da energia potencial mínima.

Outra abordagem usada para a obtenção da matriz de rigidez é o princípio variacional de Hellinger-Reissner, onde são usadas aproximações para os campos de deslocamentos e de tensões resultantes. A matriz de rigidez do elemento curvo proposto por Kim e Kim (1998) foi obtida através desse princípio.

Esse artigo apresenta três formulações de elementos finitos de curvatura constante baseadas nos trabalhos recentes de Friedman e Kosmatka (1998), Litewka e Rakowski (1997, 1998) e Kim e Kim (1998). Na próxima seção, são apresentadas as formulações dos elementos finitos curvos propostos, onde, em particular, são descritos os procedimentos necessários para o cálculo da matriz de rigidez desses elementos. No final do trabalho, são analisados alguns exemplos de aplicação com o intuito de abordar a eficiência computacional dos elementos.

2. Formulações de Elementos Curvos

O elemento finito curvo mostrado na Figura 1 tem raio de curvatura inicial r e dois pontos nodais, cada nó com três graus de liberdade. Os deslocamentos tangencial e normal são definidos por u e v e a rotação da seção transversal como f. As tensões resultantes tangencial e normal são definidas como P e Q e o momento fletor resultante como M. A viga curva tem ângulo de abertura a = 2q₀.

Figura 1
- Elemento finito de curvatura constante.

Para o elemento apresentado, a relação linear deformação-deslocamento é definida por:

e = D u (1)

onde e^T = { e₀g₀k },

u^T = { u v f } e

a matriz

2.1 Formulação em termos de deslocamentos

A formulação do elemento finito curvo a ser abordada nessa subseção é baseada na aproximação do campo de deslocamentos. A relação deformação-deslocamento é dada pela Equação 1. Já a relação tensão-deformação é definida por:

s = J e (2)

sendo s^T = { N V M } e

a matriz constitutiva

onde E é o módulo de elasticidade longitudinal do material e G o módulo de elasticidade transversal; I é o momento de inércia e A é a área da seção transversal; h é o chamado coeficiente de cisalhamento.

As três equações diferenciais homogêneas de equilíbrio estático de uma viga curva podem ser obtidas através da expressão que define a energia interna de deformação de um elemento genérico, ou seja:

(3)

Assim, através da condição de mínimo para U, chega-se nas equações diferenciais homogêneas de equilíbrio estático de uma viga curva. Essas equações são escritas a seguir (Manzi, 2001):

(4a-c)

De acordo com Friedman e Kosmatka (1998), pode-se estabelecer as seguintes aproximações para o comportamento dos deslocamentos tangencial, radial e a rotação da seção transversal do elemento:

ou, usando-se uma notação matricial:

(6)

onde u^T = { u v f } ;

c^T = { c₁ c₂ c₃ c₄ c₅ c₆ },

a^T = { a₁ a₂ a₃ a₄ a₅ a₆ } e

b^T = { b₁ b₂ b₃ b₄ b₅ b₆ } são parâmetros a serem determinados; já a matriz N tem a seguinte forma:

, sendo

Deve-se salientar que os parâmetros a_i, b_i e c_i, onde i=1..6, não são todos independentes. Eles podem ser determinados partindo-se do princípio de que as funções de forma adotadas para aproximar u, v e f satisfaçam exatamente a forma homogênea das equações diferenciais de equilíbrio estático (Equações 4a-c). Assim, com a substituição de (5) ou (6) na equações de equilíbrio obtêm-se seis parâmetros independentes e doze parâmetros dependentes. Esses parâmetros dependentes podem ser expressos de forma mais simples se a₁, a₃, a₅, c₁, c₃ e c₅ forem escolhidos para serem os parâmetros independentes, isto é:

com as constantes k₁ = hGAr² + hGI + EI e k₂ = hGAr² - hGI + EI .

Observe que as relações (7a-l) podem ser escritas na forma matricial:

{ c a b }^T = Td (8)

onde d^T = { a₁ a₃ a₅ c₁ c₃ c₅ } e a matriz T:

com as constantes k₃ = k₁ / k₂ e k₄ = 2hGAr / k₂ .

As deformações podem ser obtidas em função dessas coordenadas generalizadas d substituindo-se (6) e (8) na Equação (1), ou seja:

e = BTd (9)

onde B = DN. Com a substituição da Equação (9) em (2), obtêm-se as tensões resultantes do elemento em função das coordenadas generalizadas d, ou seja:

s = JBT d (10)

Finalmente, através da substituição das relações (7a-l) em (5a,b,c), e atribuindo-se x = -rq₀, chega-se nas expressões de u₁, v₁ e f₁ em função das coordenadas genéricas d. De maneira análoga, considerando no segundo ponto nodal x = rq₀, obtêm-se u₂, v₂ e f₂ em função de d. Essas expressões, após algumas manipulações algébricas, são ilustradas a seguir:

Mais uma vez, pode-se empregar a forma matricial para representar as relações (11a-f), ou seja:

A matriz de rigidez do elemento finito curvo em estudo pode então ser obtida partindo-se da energia interna de deformação, ou seja:

(13)

A substituição das relações (9) e (10) em (13) fornece para U a seguinte expressão:

(14)

sendo a matriz de rigidez K_a definida, ainda no sistema de coordenadas generalizadas, pela expressão:

(15)

Através da substituição da Equação (12) - - em (14), chega-se numa nova expressão para a energia interna de deformação, agora no sistema de coordenadas "físicas" w, isto é:

(16)

onde K_e é a matriz de rigidez procurada. Sua expressão é mostrada a seguir:

(17)

2.2 - Matriz de rigidez exata

Litewka e Rakowski (1997, 1998) estabeleceram que os deslocamentos u e v e a rotação f poderiam ser expressos em função dos seus valores nodais da seguinte forma:

sendo as funções de interpolação , com i = 1,2, w = u,v,f e p = u,v,f, definidas, em termos da coordenada angular q, de acordo com:

(19)

onde C₁, C₂, ... e C₆ são parâmetros a serem determinados para cada uma das funções . Pode-se concluir, portanto, a existência de um total de 108 parâmetros C_i a serem calculados.

Esses parâmetros C_i podem ser obtidos seguindo procedimento sugerido por Friedman e Kosmatka (1998), que foi adotado na Subseção 2.1. No entanto, ao contrário da formulação anterior, os valores das coordenadas genéricas d são obtidos agora atribuindo-se deslocamentos unitários nos apoios (u_i = 1, v_i = 1 e f_i = 1, i=1,2). Dessa forma, para cada atribuição de valor unitário nos apoios, obtêm-se 6 parâmetros independentes (a₁, a₃, a₅, c₁, c₃ e c₅) e 12 parâmetros dependentes, que seguem as mesmas relações em (7a-l). Assim, resolvendo-se o sistema de equações (12), por exemplo, para u₁ = 1 (w^T = { 1 0 0 0 0 0 }), obtêm-se os valores das coordenadas genéricas d para a primeira condição de contorno.

Com a obtenção das funções de forma , chega-se na matriz de rigidez do elemento curvo através da substituição das Equações (18a,b,c) na expressão da energia interna de deformação, Equação (3), e, em seguida, usando-se as condições de mínimo em relação aos deslocamentos nodais. Essa matriz de rigidez é considerada exata por Litewka e Rakowski (1997, 1998) e totalmente livre dos efeitos espúrios de membrana e de cisalhamento. Ela contém a influência das forças cisalhantes, que é importante para análise de arcos de seção transversal de altura grande, bem como a influência das forças de membrana, que é fundamental no estudo de arcos com altura da seção transversal pequena. As componentes dessa matriz de rigidez são mostradas a seguir:

2.3 Formulação híbrida

A matriz de rigidez do elemento curvo mostrado na Figura 1 será obtida agora através da aplicação do princípio variacional de Hellinger-Reissner (Kim e Kim, 1998). Tem-se, assim, que a energia potencial total para o elemento é definida segundo:

(21)

A relação deformação-deslocamento linear é fornecida pela Equação (1); já a relação deformação-tensão para o elemento considerado é dada por:

e = Ss (22)

sendo S a matriz constitutiva definida de acordo com:

Usando-se a coordenada adimensional x = q / a, onde x £ 0 £ 1, escrevem-se as aproximações para os deslocamentos da seguinte forma:

Observe que o conjunto das funções de interpolação possui, além das aproximações lineares usuais, a função quadrática x(1-x) e a cúbica x²(1-x), cujos parâmetros são deslocamentos localizados entre os pontos nodais, representados por a₁, a₂, b₁, b₂, c₁ e c₂. Assim, de uma forma mais compacta, pode-se escrever:

Substituindo-se a Equação (23) em (1), obtém-se a deformação, não só em função dos deslocamentos dos pontos nodais, mas como também em função dos pontos intermediários no elemento finito, ou seja:

e = B d (24)

onde B = D N. Já para as tensões resultantes P, Q e M, são utilizadas as seguintes aproximações:

P = b₁ + xb₂ + x²b₃; Q = b₄ + xb₅ + x²b₆; M = b₇ + xb₈ + x²b₉

onde b_i (i = 1, 2, ..., 8, 9) são os parâmetros de força. As equações anteriores podem ser reescritas na forma matricial, ou seja:

s = Pb (25)

onde P, que é a matriz que contém as funções de interpolação das tensões, é dada por:

O potencial de Hellinger-Reissner pode então ser obtido em função desses parâmetros de deslocamento e força, substituindo-se as Equações (24) e (25) em (21). Dessa forma, escreve-se:

Sabendo-se que o comprimento infinitesimal do elemento é dx = rdq = ardx e atribuindo-se:

chega-se, após a substituição das relações anteriores em (26), na seguinte expressão para pR:

(28)

A condição de estacionaridade de p_R exige que e, como dd e db são variações arbitrárias, segue que:

(29)

que são as duas equações que devem ser satisfeitas para o equilíbrio do elemento em estudo. Resolvendo-se a segunda equação de (29) para os parâmetros de forças e depois substituindo-se o resultado na primeira equação, chega-se a:

HGQ = Gd (30)

A expressão anterior pode ser resolvida para obtenção do vetor de forças, isto é, G^TH^-1Gd = Q . Expandindo-se agora a matriz G e os vetores d e Q,

(31)

e efetuando-se o produto das matrizes do lado esquerdo da igualdade anterior, chega-se a:

Isolando-se agora na segunda equação de (32) o vetor de deslocamentos não nodais d_b, chega-se a e substituindo-se o resultado na primeira equação de (32), obtém-se:

onde K_e é a matriz de rigidez do elemento, que pode ser obtida através da expressão:

3. Exemplos

Através da análise de problemas estruturais encontrados na literatura, pretende-se, nessa seção, verificar a eficiência computacional das formulações de elementos finitos apresentadas. Um resumo dessas formulações é fornecido na Tabela 2, onde são destacadas as abreviaturas usadas ao longo dessa seção para identificar cada uma delas.

Tabela 2
- Resumo das formulações.

3.1 Anel circular

O anel circular mostrado na Figura 2 é submetido a duas cargas concentradas na direção radial, cada uma de valor P=100lbf. As propriedades físicas e geométricas necessárias à análise podem ser vistas nessa mesma figura. Note que o anel é esbelto, pois r/t=52.69.

Figura 2
- Anel circular.

O deslocamento radial v_e localizado no ponto de aplicação de uma das cargas foi obtido por Raveenfranath et al. (1999) com o objetivo de validar modelos numéricos. O valor desse deslocamento e o valor do momento fletor num certo ângulo y com o eixo horizontal são dados por:

Como o sistema estrutural apresenta dupla simetria (geometria e carregamento), apenas 1/4 do anel foi modelado, com restrição do deslocamento axial u e rotação f nas duas extremidades. A Tabela 3 apresenta os valores do deslocamento radial v obtidos através das diversas formulações, além dos erros percentuais em relação à solução exata v_e, para os modelos estruturais com 1, 3, 10, 20, 40 e 70 elementos finitos. Pode-se observar que a formulação LIT forneceu resultado próximo da solução exata com apenas um elemento. Com a formulação KIM foram necessários três elementos para se obter uma boa convergência, enquanto que para a formulação FRI foram necessários setenta elementos finitos.

Tabela 3
- Análise de convergência: deslocamento radial v.

A Tabela 4 apresenta os valores do momento fletor M localizado no ponto de aplicação da carga para modelos estruturais com 1, 2 e 3 elementos finitos. Pode-se observar, mais uma vez, o excelente desempenho da formulação LIT; já para a formulação KIM, foram necessários três elementos para uma boa convergência. Note, entretanto, que, com apenas dois elementos, a formulação FRI forneceu o momento fletor próximo da solução exata.

Tabela 4
- Análise de convergência: momento fletor M.

3.2 Arco espesso

O arco biengastado mostrado na Figura 3, com as respectivas propriedades físicas e geométricas, é submetido a uma carga concentrada vertical no vértice. Esse arco tem seção transversal constante de formato retangular. Note que r/t=6.667, o que caracteriza o sistema estrutural como espesso.

Figura 3
- Arco circular espesso.

A solução exata do deslocamento radial do vértice está presente no artigo de Litewka e Rakowski (1998) e será usada aqui para comparar com os resultados das diversas formulações. Como o arco apresenta simetria geométrica e de carregamento, apenas metade do sistema estrutural foi modelado.

A Tabela 5 apresenta o valor do deslocamento radial v do vértice do arco, para as formulações estudadas, utilizando modelos estruturais com 1, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 e 16 elementos finitos. Nessa tabela são apresentados também os erros percentuais desse deslocamento em relação à solução exata. Pode-se observar que foram necessários apenas um elemento LIT e dois elementos KIM para se aproximar do valor exato do deslocamento no vértice. Já para a formulação FRI foram necessários 16 elementos finitos para uma boa convergência.

Tabela 5
- Análise de convergência.

Com o intuito de verificar a influência da deformação cisalhante, analisou-se agora o arco para diferentes valores do índice de esbeltez. A Tabela 6 apresenta os valores obtidos para o deslocamento radial no vértice para vários valores da espessura t da seção transversal. Na terceira coluna dessa tabela é apresentado o valor do deslocamento radial, designado por v_s, obtido levando-se em consideração os efeitos das deformações de flexão, de cisalhamento e de membrana. Em seguida, esse mesmo deslocamento é calculado levando-se em consideração apenas os efeitos de deformação de flexão e de membrana, e o resultado, designado por v_n, pode ser visto na quarta coluna. A diferença entre o valor do deslocamento radial incluindo ou não as deformações cisalhantes na análise é apresentada na última coluna.

Tabela 6
- Análise do índice de esbeltez.

Observe que o efeito da deformação cisalhante não pode ser desconsiderada na análise quando r/t<40. Esse mesmo limite de razão de esbeltez foi observado por Krishnan e Suresh (1998).

4. Conclusões

Nesse artigo foi apresentado um estudo numérico computacional de vários elementos finitos para análise estática linear de arcos. Os trabalhos de Litewka e Rakowski (1997, 1998), Friedman e Kosmatka (1998) e Kim e Kim (1998) foram de fundamental importância nas implementações realizadas.

Com o objetivo de validar os resultados obtidos e avaliar a eficiência computacional dessas formulações foram estudados dois sistemas estruturais. Decorrente dessas análises, pode-se chegar às seguintes conclusões:

• No primeiro exemplo, um anel circular foi submetido a duas cargas concentradas na direção radial. A formulação LIT mostrou-se bastante eficiente, onde valores próximos ao da solução exata (deslocamentos e esforços) foram obtidos com apenas um elemento finito. Como esperado, a formulação KIM forneceu boa convergência, tanto para o deslocamento radial, como para o momento fletor. Já com a formulação FRI, só foi possível obter o deslocamento radial com razoável precisão utilizando-se 70 elementos finitos; entretanto FRI mostrou-se eficiente no cálculo do momento fletor na extremidade do modelo estrutural adotado.

• No segundo exemplo, um arco espesso biengastado foi submetido a uma carga vertical concentrada no vértice. As formulações LIT e KIM apresentaram-se, mais uma vez, com grande eficiência computacional. Com a formulação FRI só foi possível chegar a bons resultados com uma malha de 16 elementos finitos.

• Com o intuito de verificar a influência da deformação cisalhante, o arco foi analisado para diferentes valores do índice de esbeltez. Verificou-se que a influência da deformação cisalhante foi maior para índices de esbeltez r/t < 40.

• Pode-se afirmar que a melhor performance computacional da formulação LIT parece estar associada com a qualidade das aproximações adotadas para o campo de deslocamentos.

• A formulação FRI mostrou-se inadequada para o cálculo dos deslocamentos, porém resultados satisfatórios para as tensões resultantes foram obtidos com poucos elementos finitos.

• Finalmente, como KIM aproxima também as tensões resultantes, os resultados obtidos para momentos fletores e esforços cortantes, usando-se uma malha com poucos elementos, nos dois exemplos estudados, foram de razoável precisão.

Agradecimentos

Os autores agradecem o apoio recebido da USIMINAS e do CNPq para desenvolvimento da pesquisa.

Artigo recebido em 25/05/2001 e aprovado em 11/03/2002.

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• Kim, J. G., Kim, Y. Y. A new higher-order hybrid-mixed curved beam element. International Journal for Numerical Methods in Engineering, v. 43, p. 925-940, 1998.
• Krishanan, A., Suresh, Y. J. A simple cubic linear element for static and free vibration analyses of curved beams. Computers & Structures, v. 68, p. 473-489, 1998.
• Litewka, P., Rakowski, J. An efficient curved beam finite element. International Journal for Numerical Methods in Engineering, n. 40, p. 2629-2652, 1997.
• Litewka, P., and Rakowski, J. The exact thick arch finite element. Computers & Structures, n. 68, p. 369-379, 1998.
• Manzi, E. N. Formulaçőes de elementos finitos curvos para análise de arcos Ouro Preto: Programa de Pós-graduaçăo em Engenharia Civil, Deciv/Escola de Minas/UFOP. (Dissertaçăo de Mestrado).
• Marquis, J. P., Wang, T. M. Stiffness matrix of parabolic beam element. Computers & Structures, v. 31, n. 6, p. 863-870, 1989.
• Raveenfranath, P., Singh, G., Paradhan, B. A Two-noded locking-free shear flexible curved beam element. International Journal for Numerical Methods in Engineering, v. 44, p. 265-280, 1999.

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  16 Jul 2002
• Data do Fascículo
  Mar 2002

Histórico

• Aceito
  11 Mar 2002
• Recebido
  25 Maio 2001