Avaliação da segurança de vigas de alma senoidal sujeitas à flambagem lateral com torção - Parte 2: análise de confiabilidade

Safety assessment of sinusoidal-web girders under laterally-torsioned buckling - Part 2: reliability analysis

ENGENHARIA CIVIL

Avaliação da segurança de vigas de alma senoidal sujeitas à flambagem lateral com torção - Parte 2: análise de confiabilidade

Safety assessment of sinusoidal-web girders under laterally-torsioned buckling - Part 2: reliability analysis

Roberval José Pimenta^I; Lourdiane Gontijo das Mercês Gonzaga^II; Gílson Queiroz^III; Sofia Maria Carrato Diniz^IV

^IDoutorando, Curso de Pós-Graduação em Engenharia de Estruturas - UFMG. E-mail: [e-mail]

^IIDoutoranda, Curso de Pós-Graduação em Engenharia de Estruturas - UFMG. E-mail: [e-mail]

^IIIProf. Dr., Curso de Pós-Graduação em Engenharia de Estruturas - UFMG. E-mail: [e-mail]

^IVProf. Dra., Curso de Pós-Graduação em Engenharia de Estruturas - UFMG . E-mail: [e-mail]

RESUMO

Ainda não existem normas de projeto de estruturas com perfil de alma corrugada que tratem de todos os fenômenos envolvidos em seu comportamento estrutural. É necessário, portanto, desenvolver recomendações que possam representar, adequadamente, seu comportamento sob os diversos modos de falha, a partir dos conceitos e métodos da Teoria da Confiabilidade. Nesse estudo, é abordada a avaliação da segurança de vigas de alma senoidal para o modo de falha de flambagem lateral com torção (FLT). Na segunda parte é apresentada a análise de confiabilidade dos elementos projetados segundo um procedimento que incorpora o modelo de cálculo proposto e os coeficientes de ponderação das ações e das resistências. São apresentados: (i) o método de confiabilidade utilizado; (ii) as funções de desempenho; (iii) os índices de confiabilidade implícitos no procedimento. Com base nos resultados obtidos, mostra-se que o procedimento proposto conduz a níveis de confiabilidade comparáveis àqueles dos perfis de alma plana.

Palavras-chave: Flambagem lateral com torção, vigas de aço, alma senoidal, segurança, confiabilidade.

ABSTRACT

There are no design standards or specifications dealing with all the phenomena involved in the structural behavior of corrugated-web beams. The development of recommendations that might express their behavior more properly, within the concepts and methods of the Theory of Reliability, is therefore necessary. In this research, the safety assessment of sinusoidal-web beams for the laterallytorsioned buckling failure mode is performed. In this second part, the reliability analysis of such elements, designed according to a procedure that incorporates the calculation model and the load and resistance factors, is performed. Herein, the following are presented: (i) the used reliability method; (ii) the performance functions; (iii) the reliability indexes implicit in the procedure. Based on the results, it is shown that the proposed procedure leads to reliable levels compared to those of plane-web shapes.

Keywords: Laterally-torsioned buckling, steel beams, sinusoidal-web, safety, reliability.

1. Introdução

Na primeira parte dessa pesquisa (Pimenta et al., 2008), foi proposto um modelo de cálculo de vigas de alma senoidal, referente à flambagem lateral com torção (FLT). Nesse modelo, baseado numa adaptação das normas ANSI/AISC 360-05 (2005) e ABNT NBR 8800 (2008), desprezou-se a alma senoidal no cálculo das propriedades geométricas. Foram, também, estudadas as estatísticas das variáveis aleatórias envolvidas. Na segunda parte, é apresentada a análise de confiabilidade dos elementos projetados segundo o procedimento que incorpora o modelo de cálculo proposto e os coeficientes de ponderação das ações e das resistências. São apresentados: (i) o método de confiabilidade utilizado; (ii) as funções de desempenho; (iii) os índices de confiabilidade implícitos no procedimento. Apresenta-se, também, um resumo dos parâmetros estatísticos das variáveis básicas discutidas em Pimenta et al. (2008).

2. Método de confiabilidade de primeira ordem

O primeiro passo para avaliar a confiabilidade ou a probabilidade de falha de uma estrutura é decidir o critério específico de desempenho e os parâmetros relevantes do carregamento e da resistência, chamados variáveis básicas X_i, e a relação funcional entre eles (Haldar & Mahadevan, 2000). Matematicamente, essa relação ou função de desempenho pode ser descrita como:

A superfície de falha ou o estado-limite de interesse pode ser definido como Z = 0, correspondente à fronteira entre as regiões segura e insegura no espaço dos parâmetros de projeto.

A probabilidade de falha p_f, conforme Ang e Tang (1984), é dada por:

onde f_x(x₁, x₂,...x_n) é a função densidade de probabilidade conjunta das variáveis aleatórias básicas X₁, X₂, ..., X_n, sendo a integração efetuada na região de falha, ou seja, na região onde g() < 0. Entretanto o cálculo de p_f pela equação anteriormente apresentada é, geralmente, um desafio formidável, tornando necessário o desenvolvimento de métodos alternativos simplificados, dos quais será utilizado, nesse trabalho, o método de confiabilidade de primeira ordem apresentado a seguir (Haldar & Mahadevan, 2000). Definindo-se as variáveis reduzidas por:

o índice de confiabilidade (conhecido por índice de Hasofer-Lind) é definido como a mínima distância entre a origem das coordenadas reduzidas à superfície de falha, que pode ser expresso por:

O ponto de distância mínima da superfície de falha é denominado ponto de projeto, dado pelo vetor x*(x₁, x₂,...,x_n), no sistema de coordenadas original, e x'*(x'₁, x'₂,...,x'_n), no sistema reduzido.

O método de Hasofer-Lind apresenta o inconveniente de ser aplicável apenas a variáveis normais. No caso de distribuições não-normais, como é comum em problemas de engenharia, tornar-se-á necessário transformá-las em variáveis normais equivalentes, o que pode ser feito por meio da transformação de dois parâmetros (Ang & Tang, 1984). Por meio dessa transformação, chega-se às seguintes expressões para o cálculo da média e do desvio-padrão da variável normal equivalente:

onde Φ^-1() representa a inversa da função de distribuição acumulada e Φ() representa a função densidade de probabilidade da distribuição normal padrão e F_Xi(x_i) e f_Xi(x_i) representam, respectivamente, a CDF (Função de Distribuição Acumulada) e o PDF (Função Densidade de Probabilidade) da variável não-normal original. Calculando-se, assim, as médias e os desvios-padrão e utilizando-se a formulação apresentada, obtém-se o índice de confiabilidade de Hasofer-Lind-Rackwitz-Fiessler (β_HLRF). Esse índice constitui o cerne do método de confiabilidade de primeira ordem comumente conhecido por FORM (First Order Reliability Method), que será utilizado nesse trabalho.

Como se pode facilmente perceber, o cálculo de β, pelas expressões anteriormente apresentada, requer um procedimento interativo, como, por exemplo, o algoritmo apresentado em Haldar e Mahadevan (2000). Os passos necessários para se obter o índice de confiabilidade, incluindo o cálculo dos parâmetros das variáveis normais equivalentes, segundo esse algoritmo, são dados a seguir:

• Passo 1. Definir a equação do estado-limite apropriada.

• Passo 2. Assumir um valor inicial para o índice de confiabilidade β. O valor inicial de 3,0 é sugerido.

• Passo 3. Assumir valores iniciais para as coordenadas do ponto de projeto x_i*, i = 1, 2,..., n. Sugerem-se as médias das variáveis aleatórias.

• Passo 4. Calcular a média e o desvio-padrão da distribuição normal equivalente no ponto de projeto de cada variável não-normal. Se a variável for normal, utilizar os valores da média e do desvio-padrão da distribuição.

• Passo 5. Calcular as derivadas parciais (∂g/∂X_i) no ponto de projeto.

• Passo 6. Calcular os cossenos diretores α_i no ponto de projeto

• Passo 7. Calcular os novos valores do ponto de projeto com

e repetir os passos 4 a 7 até que haja convergência do valor de α_i. O valor de tolerância de 0,005 é sugerido.

• Passo 8. Calcular o novo valor de β por meio da equação do ponto de projeto (mantendo β como a variável desconhecida), com a condição de se satisfazer a equação do estado-limite no ponto de projeto.

• Passo 9. Repetir os passos 3 a 8 até haver convergência do valor de β. O valor de tolerância de 0,001 é sugerido.

3. Variáveis aleatórias envolvidas - descrição dos parâmetros estatísticos

As variáveis aleatórias envolvidas no fenômeno da flambagem lateral com torção foram estudadas em trabalhos anteriores (Pimenta et al., 2008). São apresentados, na Tabela 1, um resumo dos parâmetros estatísticos obtidos (coeficiente de tendência d, "bias coefficient", e coeficiente de variação V) e seu padrão de distribuição.

Como se pode observar, além das variáveis tradicionais utilizadas em análises de confiabilidade, estudou-se, também, uma variável denominada coeficiente de discretização (D_c). Embora o perfil de alma senoidal seja um perfil soldado, cujas largura e altura possam ser executadas com qualquer medida, não é isso o que se verifica na prática. A altura da alma é padronizada de acordo com os submúltiplos das larguras-padrão de bobinas e as larguras das mesas mais utilizadas são: 150 mm, 200 mm, 250 mm, 300 mm e 350 mm. Teoricamente, também é possível qualquer combinação entre essas dimensões e as espessuras-padrão (Pimenta, 2008). Porém, para evitar distorções iniciais de fabricação muito pronunciadas e para evitar que a resistência da seção fique muito comprometida por flambagem local, são utilizadas apenas 24 combinações entre largura e espessura de mesa. Em conjunto com as seis alturas disponíveis, chega-se a um total de 144 seções, cujos coeficientes relativos ao momento-fletor (em kNcm), considerando a resistência plástica das seções, são mostrados na Figura 1. As linhas verticais que definem o lado esquerdo de cada pico representam o ponto de transição onde a capacidade de cada seção se torna insuficiente e a seção próxima mais resistente deve ser selecionada. A relação entre o momento resistente da seção e o momento-fletor atuante, no intervalo entre dois picos, é denominada coeficiente de discretização (D_c) e pode ser tratada como mais uma variável aleatória que influencia a resistência. O uso do coeficiente de discretização está sendo proposto na calibração dos coeficientes de ponderação da resistência das versões futuras da norma canadense (Schmidt & Bartlett, 2002) e parece haver uma tendência de sua utilização em versões futuras da norma americana (Galambos, 2006).

A análise estatística dos dados mostrados na Figura 2 conduz aos valores de 1,04, para a média do coeficiente de discretização e de 0,044, para o desvio-padrão e, conseqüentemente, um COV de 0,042. Teste de qui-quadrado para prova de aderência indica que a distribuição de extremos de Weibull é uma boa aproximação para os dados obtidos, como se observa na Figura 2.

4. Cálculo dos índices de confiabilidade

Segundo o modelo proposto, a equação do estado-limite na região plástica é dada por:

onde c é um parâmetro de transformação das ações com efeitos na estrutura.

Na região elástica, será analisada apenas a situação de momento uniforme (Cb = 1,0). A equação do estado-limite pode ser dada por:

onde K é uma variável geométrica, dada por:

onde I_y e C_w e J são, respectivamente, o momento de inércia em torno do eixo que passa pela alma e as constantes de empenamento e de torção e l é o vão da viga.

Finalmente, na região inelástica, considerando que o módulo de resistência elástico é, praticamente, igual ao módulo plástico para perfis de alma senoidal, a equação do estado-limite pode ser representada por (também apenas para momento uniforme):

onde a é dado pela expressão:

Nas expressões anteriormente apresentadas, l, λ, λ_p, λ_r e, conseqüentemente, α são consideradas variáveis determinísticas, sendo que λ_p e λ_r, ou seja, os índices de esbeltez plástico e elástico, respectivamente, representam os limites de aplicabilidade de cada função de desempenho, isto é, delimitam as regiões plástica, inelástica e elástica (Yura et al., 1978).

De acordo com o modelo do estado-limite utilizado pela ANSI/AISC 360-05 (2005) e pela ABNT NBR 8800 (2008), a resistência nominal Rn está relacionada com as ações nominais por meio das seguintes equações, respectivamente:

onde Φ e γ_R são os coeficientes de ponderação da resistência das normas americana e brasileira, tomados, respectivamente, iguais a 0,9 e 1,1 para flexão, γ_D e γ_L são os coeficientes de ponderação das ações permanente e acidental, tomados iguais a 1,2 e 1,6, respectivamente, na ASCE 7-05 (2006) e a 1,35 (valor médio) e 1,5, respectivamente, na ABNT NBR 8800 (2008). Chamando de q a relação entre a ação variável de referência L₀ e a ação permanente nominal D_n e considerando uma área de influência de 1000 ft² (92 m²), conforme Galambos (1983), tem-se:

com a qual se chega nas expressões:

Utilizando as equações dos estados-limites e as relações entre a resistência nominal e as ações, podem-se calcular as derivadas parciais das funções de desempenho em relação a cada variável básica, os cossenos diretores, os valores de cada variável no ponto de projeto e, conseqüentemente, o valor do índice de confiabilidade por meio do algoritmo apresentado. Vale lembrar que, se a variável não possuir distribuição normal, será necessário calcular a média (ou o coeficiente de tendência) e o desvio-padrão (ou o coeficiente de variação) da distribuição normal equivalente.

É apresentado, na Tabela 2, um resumo dos coeficientes de ponderação da resistência e das ações utilizados. Os valores dos índices de confiabilidade calculados são apresentados nas Tabelas 3 a 6, com e sem o coeficiente de discretização (respectivamente β₁ e β₂).

5. Conclusões

Na primeira parte dessa pesquisa, foi proposto um modelo de cálculo para determinação da resistência de vigas com alma senoidal à FLT, baseado numa adaptação das prescrições da ANSI/AISC 360-05 (2005) e da ABNT NBR 8800 (2008). Na segunda parte foram realizadas análises de confiabilidade estrutural via FORM, buscando verificar se o procedimento proposto, que incorpora o modelo de cálculo e os coeficientes de ponderação das ações e das resistências, conduz a índices de confiabilidade compatíveis com os dos perfis de alma plana. Os resultados das análises mostraram que os índices de confiabilidade dos perfis de alma senoidal são coerentes com aqueles utilizados na calibração da norma americana, na faixa entre 2,5 e 4,4 (Yura et al., 1978; Galambos, 1983; Ravindra & Galambos, 1978; Galambos et al., 1982; Ellingwood et al., 1982; Galambos, 2006), dentro dos parâmetros e da faixa de relação de carga pesquisados. Conclui-se, portanto, que os níveis de segurança obtidos são adequados, justificando, plenamente, a utilização do procedimento proposto para o projeto de perfis de alma senoidal sob o estado-limite de FLT.

6. Agradecimentos

Os autores agradecem à FAPEMIG e à CODEME Engenharia pelo suporte dado a essa pesquisa.

7. Referências bibliográficas

Artigo recebido em 28/03/2008 e aprovado em 10/02/2009.

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Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  06 Out 2009
• Data do Fascículo
  Set 2009

Histórico

• Aceito
  10 Fev 2009
• Recebido
  28 Mar 2008