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Revista Brasileira de Educação

versão impressa ISSN 1413-2478versão On-line ISSN 1809-449X

Rev. Bras. Educ.  n.28 Rio de Janeiro jan./abr. 2005

http://dx.doi.org/10.1590/S1413-24782005000100005 

ARTIGOS

 

O conhecimento matemático do professor: formação e prática docente na escola básica

 

Teachers' mathematical knowledge: formation and teaching practice in the elementary school

 

 

Plínio Cavalcanti MoreiraI; Maria Manuela Martins Soares DavidII

IUniversidade Federal de Minas Gerais, Departamento de Matemática
IIUniversidade Federal de Minas Gerais, Faculdade de Educação

 

 


RESUMO

Desenvolve uma análise do processo de formação matemática na licenciatura, confrontando o conhecimento matemático veiculado nesse processo com algumas das questões que se colocam para o professor na sua prática docente na escola básica. O estudo focaliza os números naturais e toma como referência o curso diurno de licenciatura em matemática da Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG). As fontes utilizadas são livros didáticos escolares e universitários, documentos curriculares referentes ao curso de licenciatura da UFMG e, de modo especial, a literatura de pesquisa no campo da educação matemática. O estudo, ao mesmo tempo em que descreve uma parte dos conhecimentos matemáticos envolvidos nas questões da prática profissional docente na escola básica, explicita formas concretas com que se expressa a dicotomia formação/prática — reiteradamente apontada nos estudos sobre as licenciaturas, mas quase sempre num plano genérico e, muitas vezes, superficial.

Palavras-chave: educação matemática; formação de professores; conhecimento matemático; números naturais; licenciatura; prática docente


ABSTRACT

This article, analyse the process of formation for mathematics' teachers at undergraduate level, confronting the mathematical knowledge transmitted in this process with some of the issues the teacher is faced with at school. The study focuses on the natural number system and refers to the undergraduate degree in mathematics at the Federal University of Minas Gerais (UFMG), in Brazil. The sources used include textbooks on numbers (at school and university levels), syllabus specifications for the referred course and the research literature on mathematics education. We describe part of the mathematical knowledge (about natural numbers) involved in professional teaching practice at elementary school. We also point out some concrete forms taken on by the formation/teaching practice dichotomy, thus contributing to a better understanding of this important and much debated issue.

Key-words: mathematics education; teacher formation; mathematical knowledge; natural number system; teaching practice


 

 

Introdução

Uma das questões recorrentes nos debates sobre a formação de professores através da licenciatura é a falta de uma articulação adequada entre a formação específica e a formação pedagógica, tendo em vista a futura prática profissional na educação básica (Ludke, 1994; Diniz-Pereira, 2000; Fiorentini et al., 2002). Essa questão é histórica e nasce junto com a licenciatura e seu modelo inicial, o "3+1". Nos anos de 1980, são incorporadas ao currículo do curso as chamadas disciplinas integradoras, caracterizando-se, então, um novo modelo formado por blocos de disciplinas (específicas, pedagógicas e integradoras) que, nos seus traços gerais, permanece até hoje. Há um reconhecimento bastante generalizado na literatura de que a introdução das disciplinas integradoras não mostrou os resultados esperados. Pode-se notar, entretanto — de modo especial ao longo da última década —, certas modificações importantes nas formas de se conceber a natureza das dicotomias e desarticulações apontadas nos estudos sobre as licenciaturas.

No seu documento final, o IV Encontro Nacional da Comissão Nacional de Reformulação dos Cursos de Formação do Educador (Conarcfe-89) postulava:

[...] as disciplinas de conteúdo específico são as mesmas para o Bacharelado e para a Licenciatura. Somente após haver um relativo domínio das questões dos conteúdos específicos e pedagógicos são introduzidas as disciplinas integradoras. (apud Souza et al., 1995, p. 42)

Fica claro que a questão da integração com a prática docente na escola não se colocava como uma problemática a ser considerada no interior do processo de formação de "conteúdo" na licenciatura. Essa visão abre espaço para que, na prática, se mantenha a concepção de que o fazer do professor consiste fundamentalmente em transmitir um conteúdo absolutizado, utilizando-se, para isso, das ciências da educação. Tal concepção de prática docente irá refletir-se na pesquisa sobre a formação. Fiorentini e seus colaboradores analisaram dissertações e teses sobre formação do professor de matemática, defendidas no Brasil entre 1970 e 2000, separando-as em dois grupos bem demarcados: os trabalhos realizados nas décadas de 1970 e 1980 — em que, segundo os autores, o conceito de formação subjacente era fundamentalmente o de treinamento — e os trabalhos realizados nos anos de 1990, em que "supera-se o termo treinamento" e "inicia-se uma nova etapa na pesquisa sobre formação de professores" (Ferreira et al., 2000, p. 265). Uma das direções para a qual aponta essa nova etapa é a análise do processo de formação específica dentro das licenciaturas. Lüdke (1994) afirma que é preciso repensar o processo de formação inicial do professor da escola básica e as formas de articulação entre conteúdo, pedagogia e prática docente, a partir do papel fundamental da formação específica. Ela diz:

[...] já é tempo de se alterar a direção do eixo que vem norteando a licenciatura, fazendo-o centrar-se claramente no lado das áreas específicas. [...] Isso não implica, entretanto, que não haja uma importante contribuição da área pedagógica, cuja continuidade deve ser assegurada, mas numa articulação epistemológica diferente com as outras áreas, não numa simples relação temporal de sucessão. Deve-se partir do conteúdo específico, para trabalhar-se a dimensão pedagógica em íntima relação com ele. (p. 9)

No caso da licenciatura em matemática, essa posição apresenta uma mudança de foco importante, na medida em que inclui no debate a formação de "conteúdo", usualmente considerada parte autônoma dentro do processo geral de formação do professor.

Neste trabalho, descrevemos parte do conhecimento matemático envolvido nas questões que se colocam para o professor em sua prática docente na escola básica, confrontando-o com o conhecimento matemático veiculado na licenciatura. As questões que se colocam para o professor em sua prática docente escolar são identificadas como tais a partir da análise da literatura de pesquisa no campo da educação matemática.

Nosso objetivo não é, nesse estágio de investigação, propor alternativas, mas descrever formas concretas com que se expressa a dicotomia — reiteradamente apontada nos estudos sobre as licenciaturas, mas quase sempre em termos genéricos ou superficiais — entre a formação inicial e a prática docente. Essas formas concretas traduzem-se num conjunto de exemplos específicos de questões que se colocam para o professor na prática da educação matemática escolar e que são ignoradas ou tratadas de forma insuficiente ou inadequada pelo processo de formação na licenciatura. Acreditamos que uma compreensão profunda dessas particulares formas com que a formação matemática do licenciando se desconecta da prática docente na escola, por um lado, ainda está por se desenvolver e, por outro, é condição necessária para que se possa avançar no sentido de elaboração de propostas alternativas mais eficazes. Em outras palavras, nossa expectativa é a de que o desencadeamento de um processo de identificação e análise das formas concretas com que se manifesta a dicotomia entre formação e prática pode conduzir, eventualmente, a uma percepção ampla e fundamentada das razões pelas quais esse problema— tão consensualmente indesejado — persiste, incomodamente, nos cursos de formação de professores.

Nosso estudo circunscreve-se ao tema "números naturais" e ao caso do Curso de Licenciatura em Matemática da Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG). Trabalhamos com as seguintes fontes: livros didáticos escolares e livros destinados a professores do ensino básico; documentos relativos ao Curso de Licenciatura em Matemática da UFMG (ementas, programas e referências bibliográficas de cada uma das disciplinas); entrevistas com os professores das disciplinas do curso de licenciatura da UFMG nas quais o tema é abordado; textos utilizados como referência básica nas disciplinas do curso de licenciatura da UFMG e, finalmente, uma parte selecionada da literatura de pesquisa no campo da educação matemática. Observamos, entretanto, que neste texto não são exploradas exaustivamente todas essas fontes.

Duas idéias básicas orientaram o estudo:

• A matemática escolar não se reduz a uma versão elementar e "didatizada" da matemática científica.

• A prática profissional do professor de matemática da escola básica é uma atividade complexa, cercada de contingências, e que não se reduz a uma transmissão técnica e linear de um "conteúdo" previamente definido.

A nossa visão é a de que há uma distinção profunda e importante entre modos de conhecer os objetos matemáticos quando se visa a formação profissional para o trabalho de pesquisa na fronteira da teoria matemática ou quando, sob outra perspectiva, o objetivo é a formação profissional para o trabalho educativo no processo de escolarização básica.

O trabalho desenvolve-se, portanto, a partir de uma concepção de matemática escolar que ultrapassa tanto a idéia de transposição didática (Chevallard, 1991), regulada pela matemática científica e pelas ciências da educação, quanto a de uma construção fundamentalmente endógena à escola (Chervel, 1990). Para nós, a matemática escolar constitui-se com base em disputas que se desenvolvem no plano das prescrições curriculares, mas resulta, em última instância, do processo pelo qual a prática escolar, valendo-se de sua lógica e de seus condicionantes, opera sobre as prescrições. Esse processo envolve elementos de produção, retradução, seleção, adaptação e também de carência de saberes1 (Shulman, 1987; Fiorentini et al., 1999; Tardif, 2002; Moreira & David, 2003).

 

O conjunto dos números naturais: conhecimentos da formação e prática docente na escola básica

As idéias fundamentais que vão se desenvolver até a formação do conceito de número natural começam a ser elaboradas muito cedo pelas crianças, com base principalmente em atividades associadas à contagem e à ordenação de objetos (Dickson et al.,1993, p. 169-188; Sinclair & Sinclair, 1986, p. 62-67). As operações de adição, subtração, multiplicação e divisão de naturais também têm, em geral, significados fortemente associados a uma diversidade de questões da vida cotidiana.

Embora uma discussão aprofundada dos processos de aquisição, pela criança, dos conceitos relativos às quatro operações com os números naturais (Carpenter & Moser, 1983; Fuson, 1992; Greer, 1992) seja talvez mais adequada a um curso de formação de professores para as séries iniciais, o processo de formação matemática num curso de licenciatura, ao desconsiderar algumas questões referentes aos significados e propriedades dessas operações, aos algoritmos correspondentes e ao sistema de numeração decimal, remete para outras instâncias de formação profissional a discussão de questões fundamentais da matemática escolar.

Ainda que o licenciado em matemática, de um modo geral, não trabalhe com alunos das quatro séries iniciais do ensino fundamental, acreditamos que a separação acentuada existente entre a formação do docente desse ciclo e a do professor que leciona nos outros ciclos do ensino básico é equivocada, pois pode contribuir para intensificar a descontinuidade do processo de transição das séries iniciais para a quinta série e seguintes. Isso, por si só, já coloca uma demanda no sentido de que o licenciado conheça a matemática que é trabalhada nas séries iniciais.

O fato mais importante, no entanto, é que o professor de matemática da escola básica, a partir da quinta série, estará retomando e ampliando todo o trabalho com os números naturais feito nas séries iniciais, considerando esses números agora como elementos de um conjunto (que, por exemplo, contém a soma e o produto de quaisquer dois deles, mas não contém, sempre, a diferença ou a divisão), promovendo a percepção de relações entre eles (números primos e compostos, múltiplos, divisores, máximo divisor comum, mínimo múltiplo comum etc.) e, eventualmente, estendendo — num processo pedagógico extremamente complexo — as operações, seus significados e suas propriedades para os inteiros negativos, para os racionais e, a partir destes, para os reais. No desenvolvimento de cada etapa desse processo de expansão dos conjuntos numéricos, o professor terá que, por um lado, conhecer profundamente— do ponto de vista da matemática escolar — aquilo que os alunos consideram, num dado momento, como o universo numérico e, por outro, lidar com dúvidas e concepções incorretas dos alunos, as quais vão se referir tanto ao novo conjunto, mais amplo, como também ao conjunto mais restrito, aquele supostamente conhecido, que está sendo ampliado.

Essas dúvidas e falhas conceituais, que aparecem freqüentemente entre os alunos, podem ser associadas a pelo menos dois aspectos do processo de aprendizagem dos sistemas numéricos, os quais tendem a sobrepor-se. O primeiro aspecto refere-se ao fato — ressaltado em vários estudos, como veremos — de que, do ponto de vista da aprendizagem escolar, a aritmética dos naturais é um tema complexo cuja apreensão, em níveis considerados satisfatórios, não se esgota no processo que se desenvolve ao longo das séries iniciais. Assim, o professor terá que lidar com dificuldades nesse tema que, muitas vezes, acompanham o aluno até as séries finais do ensino fundamental. O segundo aspecto refere-se ao processo, que se desenvolve no plano da estrutura cognitiva dos alunos, de acomodação do conhecimento novo e de construção de um estágio diferenciado de compreensão do conhecimento antigo.

Estudos como o de Margaret Brown, dentro do programa inglês de pesquisa Concepts in Secondary Mathematics and Science (CSMS), deixam claro que uma série de dificuldades com os números naturais que, muitas vezes, se supõem associadas apenas ao ensino de matemática nas séries iniciais, freqüentemente se manifestam até o final do ensino fundamental. Por exemplo, quando foi pedido aos alunos ingleses (em idades que corresponderiam, no Brasil, às quatro últimas séries do ensino fundamental) para escrever, em dígitos, o número quatrocentos mil e setenta e três, o índice de acerto foi baixo, como vemos em Brown:

 

 

Em outra questão, na qual era pedido o valor relativo do 2 em 521.400, a percentagem de respostas corretas também foi baixa, como aponta a autora:

 

 

Em outra questão ainda, em que o pedido era para fazer a conta de subtração 2.312 - 547, o índice de acerto foi o seguinte:

 

 

No livro Children Learning Mathematics: a teachers' guide to recent research (Dickson et al., 1993), as autoras analisam o sistema decimal e descrevem diferentes aspectos do conhecimento matemático subjacente à construção e uso desse sistema posicional de numeração: a noção de agrupamento, a linguagem envolvida na leitura dos números, a idéia de valor relativo do algarismo tendo em vista a sua posição (de modo especial o caso do zero), somar e subtrair mentalmente e estimar resultados das operações, decompor números ou reagrupá-los, multiplicar e dividir por potências de 10 (cada casa à esquerda vale dez vezes a anterior e cada casa à direita vale 1/10 da anterior). Observe-se, ainda, que a distributividade do produto em relação à adição, a associatividade e a comutatividade da adição estão implícitas nos aspectos citados acima. Por exemplo, 562 é igual a cinqüenta e seis dezenas mais duas unidades e também a três centenas, vinte e seis dezenas e duas unidades, e ainda a cinco centenas e sessenta e duas unidades etc. As autoras referem-se também a uma diversidade de pesquisas empíricas que convergem para a conclusão de que o domínio do sistema decimal de numeração é um processo que se desenvolve ao longo de todo o ensino fundamental e que é um dos aspectos mais complicados da aprendizagem a respeito dos números. Ao sintetizar a seção do livro em que discutem o assunto, elas escrevem:

Como foi visto, existem muitas facetas no processo de compreensão do sistema posicional de numeração. Evidências sugerem que algumas das idéias envolvidas não são de fácil domínio. [...] Há indicações de que erros e idéias incorretas se desenvolvem tanto nas séries iniciais como nas seguintes e, de fato, o domínio desse assunto é incompleto até o final do ensino fundamental.

O ensino do sistema posicional parece ser um processo de longo prazo, não limitado a algumas aulas, mas demandando uma progressão cuidadosamente planejada por um longo período de tempo. (Dickson et al., 1993, p. 221, grifo nosso)*2

Em relação às propriedades das operações com os naturais, estudos indicam que, em sua prática docente na escola, o professor não deve tomar como evidente o fato de que a vezes b resulta no mesmo valor que b vezes a. O mesmo poderia-se dizer a respeito da associatividade: em situações do ensino escolar, não é óbvio que a vezes (bc) dê o mesmo resultado que (ab) vezes c. Brown (1996) faz um interessante relato de como a questão da comutatividade do produto aparece como dúvida genuína numa sala de 3ª série e descreve como ela, na condição de professora, pôde ajudar os alunos na construção de um entendimento fundamentado dessas propriedades.

Essa fundamentação é realmente importante, tendo em vista que, muitas vezes, a criança aceita a comutatividade da adição e da multiplicação e, na falta de um entendimento significativo da questão, transfere indevidamente a mesma propriedade para a subtração e divisão. Um estudo de M. Brown (1981b) detecta esse tipo de procedimento em alunos da escola secundária inglesa, num estágio que corresponderia, no Brasil, à quinta e sexta séries do ensino fundamental. Ela relata o fato de que, num problema envolvendo a divisão de dois números naturais, 36% das crianças de 12 anos deu como resposta 26 ¸ 286, enquanto apenas 34% respondeu corretamente 286 ¸ 26. A pesquisadora infere, tomando por base entrevistas com alguns dos sujeitos, que a tendência geral entre os alunos que responderam na forma invertida (26 ¸ 286) era pensar que as duas alternativas eram idênticas. De todo modo, nas conclusões desse estudo ela afirma que no máximo 30% dos sujeitos (alunos de 12 anos) reconheciam que a divisão não era comutativa. E destaca que os professores do ensino secundário (que corresponderia mais ou menos às últimas quatro séries do ensino fundamental no Brasil) cometem um grande erro quando partem do princípio de que os conceitos e idéias matemáticas relativas às operações com os naturais foram apreendidas nas séries iniciais.

Dickson et al. (1993), por sua vez, assim se referem ao processo de aprendizagem relativo às operações com os naturais:

Assim, como em outras áreas da matemática, o entendimento das operações com os números se desenvolve ao longo de anos; os significados de cada uma das operações se estende gradualmente até cobrir um amplo e mais abstrato espectro de situações. Isto continua sendo verdadeiro mesmo quando os números envolvidos são números naturais pequenos, como nos casos da maioria dos estudos a que nos referimos nesta seção.

No passado pensava-se que a criança, tendo assegurado um domínio do significado, por exemplo, da multiplicação, poderia simplesmente ir adiante e aprender métodos de cálculo mais e mais complexos. Entretanto, os resultados de pesquisa apresentados anteriormente sugerem que um cuidado explícito deve ser tomado para que a criança se familiarize gradualmente com os vários modelos associados à multiplicação, e que essa tarefa se estende, com certeza, para a escola secundária. Um dos modos de fazer isso é por meio da discussão da seguinte questão: de quantas maneiras essencialmente diferentes uma criança pode inventar um "problema" cuja solução se expresse por uma conta do tipo 5 X 3? (p. 237-238, grifo nosso)*

Fica claro que uma discussão a respeito dos significados e das propriedades das operações com os naturais — de modo especial a multiplicação e a divisão — e do sistema decimal de numeração interessa diretamente à formação matemática na licenciatura, porque, na sua prática docente na escola, o professor estará lidando com alunos cujo processo de apreensão conceitual e operacional dos conhecimentos envolvidos nessas questões ainda não se completou.

No entanto, como já foi observado, o processo de extensão dos conjuntos numéricos que se desenvolve a partir da quinta série do ensino fundamental colocará para o professor da escola, em sua prática, a questão da extensão das operações com os naturais para um campo numérico mais amplo, os racionais. Num abrangente estudo das idéias envolvidas no processo escolar de expansão dos naturais até os racionais, Behr et al. (1983) comentam:

[...] foi comum observar regressões significativas na compreensão dos conceitos. Os conceitos já trabalhados anteriormente devem ser não só relembrados, mas integrados progressivamente a sistemas mais complexos; [...] idéias que são verdadeiras em domínios restritos, podem ser enganosas, incorretas ou mesmo inúteis quando transportadas para novos domínios. (p. 104, grifo nosso)*

Vemos assim que o conhecimento dos significados e das propriedades das operações básicas com os números naturais, do sistema de numeração decimal e dos algoritmos associados (ver discussão sobre os algoritmos mais adiante) se coloca como demanda efetiva da prática profissional docente na escola básica. Entretanto, em todo o seu curso, o licenciando não é exposto sistematicamente (isto é, como parte integrante da ementa ou do programa de alguma disciplina) a uma discussão sobre esse assunto. Em todas as disciplinas do curso as operações de adição e multiplicação de naturais e suas propriedades são tomadas como "fatos conhecidos", saberes anteriores aos pontos de partida dos programas e ementas curriculares.

Uma decisão curricular dessa natureza se ajusta perfeitamente à visão que Courant e Robbins (1964) expõem logo na primeira página do primeiro capítulo de sua conhecida obra, em que procuram explicar "o que é a matemática":

Por sorte, os matemáticos não têm que se ocupar com o aspecto filosófico da transição que proporciona a passagem de coleções de objetos concretos ao conceito abstrato de número.

Consideraremos, portanto, como dados, os números naturais, juntamente com as duas operações fundamentais, adição e multiplicação, mediante as quais eles podem ser combinados. (p. 8, grifo nosso)*

Os matemáticos, como produtores de conhecimento de fronteira, realmente não têm que se ocupar com a questão da construção do conceito de número e nem com a questão dos significados das operações elementares com os naturais. Mas o que procuramos mostrar aqui é que, num projeto de formação matemática na licenciatura, assumir a posição do matemático diante dessas questões e desenvolver o processo de formação a partir de um ponto em que o conjunto dos números naturais é considerado dado, juntamente com as operações de adição e multiplicação, significa furtar-se ao enfrentamento de questões postas pelas necessidades concretas da própria prática para a qual se pretende formar o profissional.

É importante observar ainda que uma compreensão — significativa em termos da prática docente escolar — das operações com os números naturais não se produz, automaticamente, como resultado de um estudo desse conjunto numérico desenvolvido por uma abordagem formal e lógico-dedutiva, em que certos fatos são tomados como princípios (princípio da indução etc.), definem-se as operações e demonstram-se rigorosamente as propriedades e outros fatos relacionados a essas operações (a comutatividade, a associatividade etc.). Conhecer as operações, num sentido relevante para o ensino escolar, não se identifica com conhecer a cadeia que estabelece a dependência lógico-formal entre as suas propriedades, os postulados, as definições e os conceitos primitivos adotados. Pensando-se a questão em termos das necessidades da prática profissional docente na escola básica, o conhecimento do conjunto dos naturais como uma estrutura lógica axiomática não substitui — em alguns casos chega até a esconder, por meio de uma assepsia que elimina tudo aquilo que não é considerado estritamente essencial — o conhecimento dos naturais como objeto de ensino e de aprendizagem da matemática escolar. Posto de outra forma, o essencial a respeito dos números naturais, de acordo com os valores da matemática científica, nem sempre coincide com aquilo que é considerado essencial da perspectiva da matemática escolar.

Do ponto de vista segundo o qual se desenvolve o processo de formação matemática na licenciatura, as operações com os naturais são pensadas com seus significados abstratos, que se expressam "essencialmente" pelas propriedades (comutatividade, associatividade, elemento neutro etc.) e se realizam com números, isto é, com objetos abstratos, já concebidos e percebidos como tais. Mas, na prática docente escolar, o trabalho com as operações aritméticas básicas é também até certo estágio do desenvolvimento da criança, instrumento de apoio no processo de construção do próprio conceito abstrato de número. De fato, uma das grandes questões pedagógicas no trabalho com as operações elementares no ensino escolar é a da construção de significados para elas, isto é, o desenvolvimento da capacidade de identificação — mediante estratégias que envolvem, entre outros elementos, um certo domínio da linguagem — das situações em que uma determinada operação (e não outra) fornece a resposta correta para um dado problema (Dickson et al., 1993; Carpenter & Moser, 1983; Greer, 1992). Nesses casos, os números referem-se sempre a objetos concretos, e a resolução correta do problema, ao mesmo tempo em que traduz uma relação flexível com a idéia de número — uma abstração que se "concretiza" em situações determinadas — pode ser, também, mais um exercício na direção da construção dessa relação.

Sobre essa questão, mais uma vez, os estudos de Margaret Brown fornecem-nos dados interessantes. Quando ela pediu a uma amostra de cerca de 500 alunos de 11 anos de idade para inventar um "problema" cuja solução fosse dada por uma determinada "conta", a percentagem de respostas consideradas corretas foi a seguinte:

 

 

Afora o fato de que a multiplicação tenha se mostrado mais difícil que a divisão embora em termos da execução do algoritmo esta última seja, de modo geral, considerada mais difícil , os resultados mostram também que números grandes causam maiores problemas. Isso nos permite inferir que, pelo menos nestes casos, o conceito de número, associado ao processo de produção de significado para as operações, ainda não chegou ao nível de abstração em que diferenças desse tipo não mais importam.

M. Brown, em sua tese de doutorado, atribui a maior dificuldade (observada em alunos da escola secundária) com o significado da multiplicação e da divisão (de números naturais) à estrutura dessas operações (apud Dickson et al., 1993). Assim, segundo Brown, os números que são somados ou subtraídos, numa determinada situação, referem-se a objetos similares que são combinados ou dissociados. Por exemplo, para a conta 2 + 3: 2 carros + 3 carros = 5 carros. Nos casos da multiplicação e da divisão, no entanto, não só os objetos envolvidos são, geralmente, de tipos diferentes, como também, em cada caso, cada objeto de um tipo tem de ser associado a um correspondente conjunto de objetos de outro tipo. Por exemplo, para a conta 2 x 3: duas pessoas, a cada pessoa três carros. Então, (2 x 3) carros no total.

Também aqui, vê-se que a criança ainda pode se prender de um modo pouco flexível à grandeza concreta (carros, pessoas) a que se refere o número numa dada situação, e isso provoca dificuldades no processo de produção de significado para a operação. Nesses casos, o professor precisa lidar com o processo de construção de significados muito mais por meio de reiteradas "concretizações" em diferentes situações, do que por definições por indução ou de deduções formais das propriedades estruturais das operações, já que estas últimas expressam exatamente o contrário: a identificação de todos os significados concretos possíveis.

A divisão de números naturais é tratada apenas na disciplina Fundamentos da Álgebra Elementar, dentre todas as obrigatórias do currículo do Curso de Licenciatura em Matemática. Mas é abordada num contexto em que o fundamental é a existência e unicidade do quociente e do resto. Em outras palavras, trata-se de demonstrar formalmente (isto é, a partir do princípio da boa ordem no conjunto de números naturais, ou de seu equivalente, o princípio da indução) a seguinte proposição (ver, por exemplo, Birkhoff & Maclane, 1980, p. 17-18): dados dois naturais a e b, com b > 0, existem dois naturais q e r, tais que a = bq + r, 0 < r < b. Para cada par a,b dado, os naturais q e r são univocamente determinados.

Se o horizonte da disciplina é desenvolver uma percepção do conjunto dos inteiros e do conjunto dos polinômios sobre Q, R ou C como exemplos típicos e elementares da estrutura de anel euclidiano, então o "essencial", no estudo da divisão de naturais, é realmente o argumento da existência e unicidade referido acima. A cadeia de resultados, que começa com o lema da divisão de Euclides, passa pela caracterização do máximo divisor comum de dois elementos como combinação linear deles e vai até o teorema da decomposição única em fatores primos, deve ser cuidadosamente construída para que a adaptação dos argumentos a conjuntos mais gerais inteiros de Gauss, por exemplo, onde não se pode trabalhar com a noção de maior e menor, como nos naturais traga à luz o máximo de generalidade com que se podem pensar essas idéias.3 Desse modo, certas características do conjunto dos inteiros e dos polinômios são vistas como expressões concretas e particulares de uma estrutura matemática mais geral: a dos anéis euclidianos.

No entanto, para o professor da escola, em sua prática docente, uma visão formal que "unifica" essas estruturas números inteiros e polinômios sobre Q ou R faz mais sentido como um elemento suplementar a uma abordagem específica delas, em que a questão da produção de significados, no sentido escolar, para cada um dos elementos que as compõem as operações, suas propriedades etc. esteja colocada e discutida. No caso dos naturais especificamente o professor da escola básica enfrentará a questão do significado das operações, do seu uso na resolução de problemas, da extensão da idéia de número e das operações correspondentes para os inteiros, racionais e reais e o problema do ensino dos algoritmos para encontrar os resultados das operações.

O uso dos algoritmos formais para as operações básicas, diferentemente do uso das calculadoras, traz à tona a questão da lógica do seu funcionamento e coloca, para o professor da escola básica, a necessidade de uma percepção clara dos princípios em que se baseia a sua justificativa, ou seja, a razão pela qual eles fornecem corretamente os resultados. Alguns estudos sugerem que muitos dos erros cometidos pelos alunos ao utilizarem os algoritmos têm origem no fato de que o estudante não entende a lógica segundo a qual o algoritmo funciona (Baroody, 1987, p. 225-231; Dickson et al., 1993, p. 252-269).

Em relação ao algoritmo da divisão, por exemplo, é interessante observar que, já em 1930, F. B. Knight faz o seguinte comentário ao analisar uma lista com 12 exemplos de divisão de números naturais: "[...] do ponto de vista matemático, os exemplos são todos iguais. Todos são exemplos de divisão de naturais e isto é tudo que há para ser dito. Do ponto de vista do ensino, entretanto, existem importantes diferenças entre eles" (Knight, 1930, p. 161). E prossegue explicitando algumas das diferenças entre os 12 casos apresentados: um contém dificuldades do tipo "vai 1" em algumas das multiplicações que aparecem no processo de execução do algoritmo; em outro caso aparece o dígito zero "no meio" do quociente; outro, ainda, apresenta dificuldades para o aluno no momento de estimar o valor do primeiro dígito do quociente etc.

Considerando-se atualmente o uso mais ou menos generalizado das calculadoras, os algoritmos para as operações fundamentais já não desempenham o mesmo papel no ensino fundamental que desempenhavam em 1930. Mas, de todo modo, a questão que se coloca para um curso de licenciatura, hoje, é a necessidade de discutir os algoritmos tendo como referência a realidade do processo de ensino e aprendizagem escolar. Dessa perspectiva, observa-se, antes de qualquer outra coisa, que ainda não há consenso na discussão sobre as formas de utilização das calculadoras nas salas de aula da escola, em substituição ao ensino dos algoritmos. Dentro do amplo espectro em que se acomodam as posições a respeito desse assunto, destacamos duas para situar minimamente a questão:

• Com as calculadoras, a ênfase no processo escolar pode ser direcionada à resolução de problemas, aos significados das operações e às análises críticas dos resultados. O trabalho com as calculadoras para obter corretamente os resultados deve ser priorizado, abandonando-se o ensino dos algoritmos formais (Wheatley & Shumway, 1992).

• Além de promover estimativas mais críticas dos resultados das operações e ajudar os alunos a desenvolver certo tipo de familiaridade com os números (number sense), o uso das calculadoras pode liberar alunos e professores da execução repetitiva de certos cálculos, mas não implica na dispensa definitiva do saber fazê-los (Lima, 1991, p. 199-203). Isso significa que, segundo essa posição, ainda deve fazer parte da prática escolar o ensino dos algoritmos formais para o cálculo do resultado das operações.

De todo modo, o fato a destacar-se aqui é que, para participar com certa autonomia das discussões que eventualmente se desenvolvam a respeito do assunto em sua escola, o futuro professor deve, antes de tudo, conhecer como os algoritmos funcionam, a lógica operacional deles, as possíveis dificuldades dos alunos na sua utilização etc. Assim, o conhecimento sobre os algoritmos formais ainda continua sendo parte da demanda da prática profissional docente na escola básica hoje e, portanto, essa questão se coloca também para o processo de formação na licenciatura.

 

Considerações finais

A axiomática é, sem dúvida, uma forma importante de organizar e sistematizar o conhecimento matemático, mas serve a propósitos definidos que, muitas vezes, se chocam com os pedagógicos. Morris Kline (1974), na sua análise crítica do chamado movimento da matemática moderna, comenta essa questão:

Por volta da metade do século XIX, os números e suas propriedades estavam estabelecidos com base no uso corrente. Do mesmo modo, as propriedades das funções, derivadas e integrais, usadas no Cálculo, eram aceitas com base no que parecia evidente para as funções mais simples ou na confirmação dos resultados pelas aplicações físicas. Os matemáticos então se viram diante da tarefa de construir uma fundamentação lógica para as propriedades e resultados que eles utilizavam. [...] Assim, uma complicada e artificial estrutura de axiomas e teoremas foi erigida. O propósito dessa estrutura era satisfazer as necessidades profissionais dos matemáticos, que insistiam numa estrutura dedutiva, e nunca o de servir como uma abordagem pedagógica. (p. 50)*

A idéia dominante, entretanto, é a de que, fora da organização lógico-formal-dedutiva, o conhecimento matemático torna-se um amontoado de fatos dispersos, sem conexões e, portanto, sem o formato de uma teoria. A formação matemática na licenciatura desenvolve-se orientada pelos valores conceituais e estéticos da matemática científica, assegurando assim, em tese, um estatuto de formação teórico-científica. A articulação do processo de formação na licenciatura com a prática escolar é então concebida como uma tarefa a ser executada a partir do exterior da formação matemática.

O estudo que apresentamos procurou mostrar que a abordagem lógico-dedutiva nos termos em que se organiza a matemática científica não somente é insuficiente para a sistematização da matemática escolar como é também muitas vezes inadequada. Essa inadequação provém de várias características apontadas no estudo, mas uma das principais está associada ao fato de que a abordagem lógico-dedutiva é profundamente "econômica" na busca da "essência abstrata" dos conceitos e de características gerais das estruturas matemáticas particulares. Isso muitas vezes resulta numa identificação de certas interpretações e construtos associados aos conceitos ou às estruturas que, do ponto de vista da matemática escolar, é fundamentalmente inconveniente identificar. Em suma, o que o estudo nos sugere é que, tendo em vista as inadequações e insuficiências apontadas, a articulação do processo de formação na licenciatura com as questões postas pela prática docente escolar, mais do que tentar integrar à prática escolar uma formação específica orientada pela matemática científica o fracasso histórico das disciplinas integradoras reforça a hipótese de que tal formação possa não ser "integrável" demandaria uma concepção de formação "de conteúdo" que leve em conta a especificidade do destino profissional do licenciado e tome como referência central a matemática escolar. Isso pressupõe evidentemente o desenvolvimento, por meio de outros estudos e pesquisas, de uma compreensão aprofundada das relações entre matemática científica e matemática escolar e do papel de cada uma delas na prática docente escolar.

 

 

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Recebido em outubro de 2003
Aprovado em julho de 2004

 

 

PLÍNIO CAVALCANTI MOREIRA, professor do Departamento de Matemática da Universidade Federal de Minas Gerais, é doutorando em educação na mesma universidade. Publicou recentemente: com DAVID, Maria Manoela M. S., Números racionais: conhecimentos da formação inicial e prática docente na escola básica (Bolema, nº 21, 2004, p. 1-19); idem, Matemática escolar, matemática científica, saber docente e formação de professores (Zetetiké, v. 11, nº 19, 2003, p. 57-80); Matemática escolar e matemática científica: um nome em comum e diferenças substantivas, In: III Encontro Mineiro de Educação Matemática (CD-ROM). Belo Horizonte, SBEM-MG. E-mail: plinio@ufmg.br
MARIA MANUELA MARTINS SOARES DAVID, doutora em educação pela Universidade de Londres, Inglaterra, é professora da Faculdade de Educação da Universidade Federal de Minas Gerais. Publicou recentemente: com BLANTON, M. e STYLIANOU, D. The nature of instructional scaffolding in undergraduate students' transition to mathematical proof. (Proceedings of the 27th Annual Meeting of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, 2003, v. 2, p. 113-120); Linguagem e interações sociais na sala de aula e a construção do significado de demonstração pelos alunos (In: III Encontro Mineiro de Educação Matemática (CD-ROM). Belo Horizonte, SBEM-MG); com LOPES, M. P. (2002). Students-teacher interactions and the development of the students' mathematical thinking (In: GOODCHILD, S., ENGLISH, L. (eds.) Researching mathematical classrooms: a critical examination of methodology. Westport, CT/USA: Praeger Publishers, 2002, p. 11-38). E-mail: manuela@fae.ufmg.br
1 Diferentemente de alguns autores, empregamos, neste texto, os termos conhecimentos e saberes como sinônimos. Ambos se referem, dependendo do contexto, a conhecimentos (ou saberes) científicos, a saber-fazer, a habilidades específicas mobilizadas na prática profissional etc.
2 Todas as citações marcadas com o símbolo * referem-se a traduções nossas de originais em inglês ou espanhol.
3 Observe-se, nesse sentido, a definição de máximo divisor comum (MDC) de dois inteiros positivos: em lugar da formulação natural, mais simples, direta e descritiva — o maior número que divide os dois opta-se por outra que caracteriza o MDC como o número natural d que satisfaz a duas propriedades (Birkhoff & Maclane, 1980, p. 19):
   a) d é um divisor comum dos números dados;
   b) todo divisor comum dos números dados é divisor de d.
Esta última forma teria a vantagem de ser generalizável para domínios não-ordenados, ao mesmo tempo em que explicitaria o essencial da noção.

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