Resumos
Com o presente trabalho teve-se por objetivo a determinação de variâncias para o estudo do ponto crítico de uma equação de regressão de segundo grau, em situações experimentais com diferentes variâncias, por meio de simulação Monte Carlo. Em muitos estudos, teóricos ou aplicados, o pesquisador depara-se com o problema que envolve quociente entre variáveis aleatórias e, principalmente, entre variáveis normais. Como exemplo, aquelas que surgem em pesquisas de dose econômica de nutrientes em experimentos de adubação, de compactação de solos e em outros problemas em que há interesse na variável aleatória <img src="/img/revistas/cagro/v28n2/a20img01.gif">, estimador do ponto crítico na regressão <img src="/img/revistas/cagro/v28n2/a20img02.gif">. Para estudar a distribuição do ponto crítico de uma equação de regressão quadrática, foram utilizados dados de produção de algodão de 536 ensaios, ajustando-se um modelo quadrático. A estimação dos parâmetros foi feita pelo método dos quadrados mínimos ordinários. Com base nessas estimativas, implementou-se por meio do software MATLAB® uma rotina para simulação de duas séries com 5000 erros aleatórios de distribuição normal de média zero relativos a cada uma das variâncias consideradas teóricas: <img src="/img/revistas/cagro/v28n2/a20img03.gif" > ou = 0,1; 0,5; 1; 5; 10; 15; 20 e 50. As estimativas da variância do ponto crítico foram obtidas por meio de três métodos: (a) fórmula comum do cálculo de variâncias; (b) fórmula obtida pela diferenciação do estimador do ponto crítico e (c) fórmula demonstrada para o cálculo da variância de uma razão, considerando-se a covariância entre <img src="/img/revistas/cagro/v28n2/a20img04.gif"> e <img src="/img/revistas/cagro/v28n2/a20img05.gif">. Pelos resultados obtidos para as estatísticas médias dos coeficientes de regressão <img src="/img/revistas/cagro/v28n2/a20img04.gif"> e <img src="/img/revistas/cagro/v28n2/a20img05.gif">, bem como suas respectivas variâncias em função das diversas variâncias teóricas (<img src="/img/revistas/cagro/v28n2/a20img03.gif">) adotadas, verificou-se que esses valores teóricos estão próximos aos reais. Ainda ocorre uma tendência de que, com o aumento da variância teórica, esses valores aumentem. Pode-se concluir que a variância do ponto crítico calculada usando-se a expressão que leva em consideração a covariância entre <img src="/img/revistas/cagro/v28n2/a20img04.gif"> e <img src="/img/revistas/cagro/v28n2/a20img05.gif"> apresenta resultados mais satisfatórios e que não segue uma distribuição normal, pois apresenta uma distribuição de freqüência com assimetria positiva e formato leptocúrtico.
Regressão quadrática; quociente de variáveis aleatórias; variância do ponto crítico; intervalo de confiança
The aim of this paper is determine variances for the analysis of the critical point of a second-degree regression equation in experimental situations with different variances through Monte Carlo simulation. In many theoretical or applied studies, one finds situations involving ratios of random variables and more frequently normal variables. Examples are provided by variables, which appear in economic dose research of nutrients in fertilization experiments, as well as in other problems in which there are interests in the random variable<img src="/img/revistas/cagro/v28n2/a20img01.gif">, estimator of the critic point in the regression <img src="/img/revistas/cagro/v28n2/a20img02.gif">. Data of five hundred thirty six trials in cotton yield were utilized to study the distribution of the critical point of a quadratic regression equation by adjusting a quadratic model. The parameters were evaluated using a least square method. From the estimations a MATLAB routine was implemented to simulate two sets with five thousands random errors with normal distribution and zero mean, relative to each of the theoretical variances: <img src="/img/revistas/cagro/v28n2/a20img03.gif" > or = 0.1; 0.5; 1; 5; 10; 15; 20 and 50. The estimation of the variance of the critical point was obtained by three methods: (a) usual formula for the variance; (b) formula obtained by differentiation of the critical point estimator and (c) formula for the computation of the variance of a quotient by taking into consideration the covariance between <img src="/img/revistas/cagro/v28n2/a20img04.gif"> and <img src="/img/revistas/cagro/v28n2/a20img05.gif">. The results obtained for the statistic average for the regression between <img src="/img/revistas/cagro/v28n2/a20img04.gif"> e <img src="/img/revistas/cagro/v28n2/a20img05.gif">, as well as its respective variances in terms of the several theoretical residual variances (<img src="/img/revistas/cagro/v28n2/a20img03.gif">) adopted show that those theoretical values are close to real ones. Moreover, there is a trend of increasing <img src="/img/revistas/cagro/v28n2/a20img04.gif"> and <img src="/img/revistas/cagro/v28n2/a20img05.gif"> with increase of the theoretical variance. It may be concluded that the critical point variance calculated taking into consideration the covariance between <img src="/img/revistas/cagro/v28n2/a20img04.gif"> and <img src="/img/revistas/cagro/v28n2/a20img05.gif">, gives more satisfactory results and does not follow a normal distribution, presenting a frequency distribution with positive assimetry and leptokurtic shape.
quadratic regression; quotient random variables; variance of the critical point; interval of confidence
a20
Variâncias do ponto crítico de equações de regressão quadrática
Variances of the critical point of a quadratic regression equation
Ceile Cristina Ferreira NunesI; Augusto Ramalho de MoraisII; Joel Augusto MunizIII; Thelma SáfadiII
IMestre em Estatística e Experimentação Agropecuária Universidade Federal de Lavras/UFLA Caixa Postal 37 37200-000 Lavras, MG
IIProfessores Adjunto do Departamento de Ciências Exatas/UFLA
IIIProfessor Titular do Departamento de Ciências Exatas/UFLA
RESUMO
Com o presente trabalho teve-se por objetivo a determinação de variâncias para o estudo do ponto crítico de uma equação de regressão de segundo grau, em situações experimentais com diferentes variâncias, por meio de simulação Monte Carlo. Em muitos estudos, teóricos ou aplicados, o pesquisador depara-se com o problema que envolve quociente entre variáveis aleatórias e, principalmente, entre variáveis normais. Como exemplo, aquelas que surgem em pesquisas de dose econômica de nutrientes em experimentos de adubação, de compactação de solos e em outros problemas em que há interesse na variável aleatória 
, estimador do ponto crítico na regressão 
. Para estudar a distribuição do ponto crítico de uma equação de regressão quadrática, foram utilizados dados de produção de algodão de 536 ensaios, ajustando-se um modelo quadrático. A estimação dos parâmetros foi feita pelo método dos quadrados mínimos ordinários. Com base nessas estimativas, implementou-se por meio do software MATLAB® uma rotina para simulação de duas séries com 5000 erros aleatórios de distribuição normal de média zero relativos a cada uma das variâncias consideradas teóricas: 
=0,1; 0,5; 1; 5; 10; 15; 20 e 50. As estimativas da variância do ponto crítico foram obtidas por meio de três métodos: (a) fórmula comum do cálculo de variâncias; (b) fórmula obtida pela diferenciação do estimador do ponto crítico e (c) fórmula demonstrada para o cálculo da variância de uma razão, considerando-se a covariância entre 
e 
. Pelos resultados obtidos para as estatísticas médias dos coeficientes de regressão e , bem como suas respectivas variâncias em função das diversas variâncias teóricas () adotadas, verificou-se que esses valores teóricos estão próximos aos reais. Ainda ocorre uma tendência de que, com o aumento da variância teórica, esses valores aumentem. Pode-se concluir que a variância do ponto crítico calculada usando-se a expressão que leva em consideração a covariância entre e apresenta resultados mais satisfatórios e que não segue uma distribuição normal, pois apresenta uma distribuição de freqüência com assimetria positiva e formato leptocúrtico.
Termos para indexação: Regressão quadrática, quociente de variáveis aleatórias, variância do ponto crítico, intervalo de confiança.
ABSTRACT
The aim of this paper is determine variances for the analysis of the critical point of a second-degree regression equation in experimental situations with different variances through Monte Carlo simulation. In many theoretical or applied studies, one finds situations involving ratios of random variables and more frequently normal variables. Examples are provided by variables, which appear in economic dose research of nutrients in fertilization experiments, as well as in other problems in which there are interests in the random variable, estimator of the critic point in the regression . Data of five hundred thirty six trials in cotton yield were utilized to study the distribution of the critical point of a quadratic regression equation by adjusting a quadratic model. The parameters were evaluated using a least square method. From the estimations a MATLAB routine was implemented to simulate two sets with five thousands random errors with normal distribution and zero mean, relative to each of the theoretical variances: = 0.1; 0.5; 1; 5; 10; 15; 20 and 50. The estimation of the variance of the critical point was obtained by three methods: (a) usual formula for the variance; (b) formula obtained by differentiation of the critical point estimator and (c) formula for the computation of the variance of a quotient by taking into consideration the covariance between and . The results obtained for the statistic average for the regression between e , as well as its respective variances in terms of the several theoretical residual variances () adopted show that those theoretical values are close to real ones. Moreover, there is a trend of increasing and with increase of the theoretical variance. It may be concluded that the critical point variance calculated taking into consideration the covariance between and , gives more satisfactory results and does not follow a normal distribution, presenting a frequency distribution with positive assimetry and leptokurtic shape.
Index terms: quadratic regression, quotient random variables, variance of the critical point, interval of confidence.
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(Recebido para publicação em 23 de abril de 2002 e aprovado em 8 de agosto de 2002)
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Datas de Publicação
-
Publicação nesta coleção
22 Out 2010 -
Data do Fascículo
Abr 2004
Histórico
-
Recebido
23 Abr 2002 -
Aceito
08 Ago 2002
