Modelo Autorregressivo Integrado de Médias Móveis (ARIMA): aspectos conceituais e metodológicos e sua aplicabilidade na mortalidade infantil

Resumo

Este artigo, de cunho teórico-reflexivo, objetiva discutir os aspectos conceituais e metodológicos sobre as aplicações da modelagem de série temporal, em especial, o Modelo Autorregressivo Integrado de Médias Móveis e sua aplicabilidade na mortalidade infantil. Essa modelagem possibilita prever os valores futuros utilizando os dados passados, delineando e estimando os cenários possíveis do evento em saúde, evidenciando a sua magnitude. Devido à persistência da mortalidade infantil como um problema de saúde pública, a aplicabilidade desse método é útil no gerenciamento oportuno e sistemático dos indicadores da saúde infantil, além de ser um método que apresenta baixo custo operacional, que, em contextos de redução de gastos em saúde, se torna uma ferramenta de gestão em potencial. No entanto, ainda há lacunas na utilização de métodos estatísticos no processo decisório e formulador de políticas em saúde, a exemplo da modelagem em questão. São obstáculos de natureza metodológica (estatística robusta), institucional (sistemas de informações defasados) e cultural (desvalorização dos dados produzidos, principalmente em nível local).

Palavras-chave
Estudos de séries temporais; Mortalidade infantil; Políticas públicas de saúde

Abstract

This reflective theoretical article, aims to discuss conceptual and methodological aspects about the applications of time series modeling, in particular, the Integrated Auto-regressive Moving Average model and its applicability in infant mortality. This modeling makes it possible to predict future values using past data, outlining and estimating possible scenarios of the health event, highlighting its magnitude. Due to the persistence of infant mortality as a public health problem, the applicability of this method is useful in the timely and systematic management of child health indicators, in addition to being a method with low operating cost, which in contexts of cost reduction in public healthcare services, becomes a potential management tool. However, there are still gaps in the use of statistical methods in the decision-making and policy-making process in public healthcare, such as the modeling in question. These are methodological (robust statistics), institutional (outdated information systems) and cultural obstacles (devaluation of the data produced, mainly at the local level).

Key words
Time series studies; Infant mortality; Public health policy

Introdução

A análise da situação de saúde, o monitoramento de indicadores prioritários e a previsão de cenários são desafios em todos os países, em especial, naqueles que têm dificuldades para o alcance de ações internacionalmente pactuadas.¹ A mortalidade infantil é particularmente estudada pela sua expressão como um problema de saúde pública e pela disponibilidade de tecnologia para o seu enfrentamento.¹,² Para esse evento, a utilização da metodologia de séries temporais é favorável na construção de cenários futuros, monitoramento e análise da situação de saúde.³,⁴ Essa modelagem permite diagnosticar e compreender os padrões de comportamento temporal de eventos que acometem uma determinada população e avaliar os impactos de intervenções em saúde.⁵

Diversas técnicas de análise de séries temporais são capazes de prever valores futuros, utilizando os dados passados, por meio de conclusões estatísticas. A finalidade é modelar o evento, construindo uma função matemática que representa a correlação da variável com o tempo.⁶

Nenhum modelo proposto assume integralmente as previsões exatas devido a ocorrências de variações aleatórias às quais o processo de observação dos eventos está sujeito. Porém, constituem ferramentas valiosas para avaliar rapidamente a gravidade de uma situação e auxiliam as autoridades públicas de saúde na definição ou nos ajustes das estratégias de controle.⁷ Dentre os tipos de modelos, destacam-se: a análise de tendência (média móvel e suavização exponencial); os modelos de regressão, que lidam com diferentes padrões presentes na série, como os pontos de inflexão (joinpoint regression analysis); a rede neural artificial, que foi pensada para funcionar de forma matematicamente semelhante ao cérebro humano e poder realizar generalizações por meio de dados passados e não lineares e o Modelo Autorregressivo Integrado de Médias Móveis (ARIMA), ou Modelo Box-Jenkins, bastante utilizado na área econômica.⁹,¹⁰ Na área da saúde, na década de 1980, o Centro de Controle de Doenças (CDC) adotou essa modelagem como referência nas análises em saúde e, desde então, ele foi difundido em estudos na área.⁷,⁸

Este artigo objetiva discutir os aspectos conceituais e metodológicos acerca da série temporal utilizando a modelagem ARIMA e a sua aplicabilidade na mortalidade infantil. A proposta de construir o manuscrito tem a finalidade de contribuir com a prática em saúde na redução das iniquidades persistentes na saúde infantil, utilizando uma modelagem estatística robusta. Ao propor antever cenários futuros, a incorporação sistemática do método abordado fortalecerá o planejamento de ações direcionadas nos diversos níveis do sistema de saúde.

O apoio referencial para estruturar conceitos e métodos foi proveniente de livros e artigos cientí- ficos publicados em periódicos indexados nas bases de dados da LILACS e US National Library of Medicine (PubMed), além da biblioteca virtual da SciELO. As explanações e ponderações foram organizadas nos seguintes tópicos: Séries temporais: aspectos teóricos e metodológicos e a modelagem ARIMA; Aplicações da análise de séries temporais na mortalidade infantil: possibilidades e limitações metodológicas. Foram utilizadas as taxas de mortalidade infantil no Brasil distribuídas em uma série temporal para exemplificar a aplicabilidade da modelagem ARIMA por meio de gráfico linear e os gráficos de autocorrelações. Os dados para o cálculo da taxa de mortalidade infantil foram extraídos dos Sistemas de Informação sobre Mortalidade (SIM) e do Sistema de Informação sobre Nascidos Vivos (Sinasc) e obtidos no site do DATASUS por meio do link de acesso aberto ao público: https://datasus.saude.gov.br/.

Séries temporais: aspectos teóricos e metodológicos e a modelagem ARIMA

As séries temporais são uma sequência de valores observados de determinado fenômeno e distribuídos sobre uma base de tempo. A expressão matemática que descreve uma série temporal é dada por {Y (t), t ∈ T}, em que Y representa a variável de interesse e T representa o conjunto de índices relacionados aos tempos de medição. A análise de série temporal objetiva construir modelos explicativos, ou determinísticos, para o fenômeno estudado e, com isso, realizar as respectivas previsões.⁶

A natureza dos valores observados caracteriza a série temporal em contínua ou discreta. Com base na função geral, uma série discreta T = t¹, t², ..., tn, as observações são feitas em intervalos de tempo fixos e enumeráveis, podendo ser equiespaçados ou não. Na série contínua, os dados referentes à determinada variável são evidenciados de forma sequencial em um intervalo de tempo T = t : t₁ < t < t₂, por exemplo, a mensuração contínua de determinado sinal biológico como a pressão arterial.⁸

Na análise da série, alguns aspectos básicos devem ser considerados para poder compreender melhor o comportamento da variável observada. O primeiro refere-se à periodicidade, a qual depende da natureza da variável em análise, se contínua ou discreta, e do objetivo de estudo proposto. No caso da taxa de mortalidade infantil, sua periodicidade está relacionada com a disponibilidade dos dados nos sistemas oficiais de informações e de investigadores em saúde que realizem as análises críticas constantes para mensurar a magnitude do evento em questão.⁸ Outro aspecto importante refere-se à comparabilidade entre séries temporais de diferentes contextos, em que, nessa situação, é necessário respeitar determinadas circunstâncias que permitam contrastar as séries.⁸

A não estacionariedade é uma característica considerada importante no tratamento da série temporal e deve ser evitada, pois dificulta as predições. Uma série não estacional é resultante da frequência dos dados estudados e esta pode ser instável referente à sua média, variância e autocovariância. Referente à taxa de mortalidade infantil, valores muito altos ou baixos de óbitos dentro de um período causam grandes variações na série. Dessa maneira, o tratamento da série, quanto à sua estacionariedade, é uma condição necessária na modelagem de séries temporais. Uma série não estacionária pressupõe que o modelo é determinado pela aleatoriedade das observações, pelo acaso.⁵

Para estimar o modelo, deve-se primeiramente certificar se não é uma sequência puramente aleatória, também chamada de variação aleatória, ruído branco ou resíduo aleatório. Caso não seja, a função do modelo pode ser constituída por componentes que representam padrões ou regularidades parciais da série estudada, sendo: tendência, sazo-nalidade e a estimação da variabilidade do resíduo aleatório para constituir os intervalos de confiança para as predições provenientes do modelo.⁶

O gráfico temporal, ou gráfico de linha, é fundamental para visualizar os componentes e identificar valores atípicos (outliers). A Figura 1 evidencia a série temporal da taxa de mortalidade infantil no Brasil durante o período de 2000 a 2018. O comportamento temporal da taxa por meio do gráfico evidencia a presença de tendência. A estacionariedade pode ser identificada por meio de testes estatísticos, como, por exemplo, o teste de Dickey- Fuller Aumentado, o qual testa a hipótese alternativa de estacionariedade.

O autocorrelograma permite visualizar e identificar a dependência das regularidades encontradas. A autocorrelação, como o nome remete, é a correlação entre uma série temporal e ela mesma. No autocorrelograma, os períodos em que houver correlação são representados pela nomenclatura lag. A autocorrelação temporal é identificada por meio dos gráficos de autocorrelação simples (ACF) e parcial (PACF), que são testes que apontam a significância estatística da autocorrelação, ou seja, quando os lags extrapolam (para cima ou para baixo) os limites do intervalo de confiança traçados no gráfico (Figura 2).⁶,¹¹

Na análise de modelos ARIMA, a presença da autocorrelação só pode ser útil se a série temporal em questão não apresentar tendência ou esta for removida, o que é classificado como padrão estacionário. Nesse padrão, os valores desenvolvem-se no tempo ao redor de uma média e variância constantes, tornando possível a técnica de predição.⁶ O primeiro componente a ser identificado é a tendência por meio do gráfico temporal e de alguns métodos que suavizam as flutuações da série original, como as médias móveis ou transformações lineares. As médias móveis, ou filtros lineares, são utilizadas quando uma série se mostra marcadamente irregular, com muitas flutuações, dificultando a visualização da tendência. Quanto mais sinuosa a tendência, maior o suavizamento necessário para identificar a real tendência da série.⁸

Figura 1
Taxa de mortalidade infantil no Brasil, 2000-2018 (n= 228 observações).

* Teste de estacionariedade (Dickey-Fuller Aumentado): p-valor 0,38. Isso indica que a série não é estacionária.

A remoção da tendência é feita por técnica de diferenciação da própria série no intuito de torná-la estacionária (Figura 3). Uma diferença elimina uma tendência linear e duas diferenças eliminam uma tendência exponencial. A quantidade de diferenças está relacionada ao grau do polinômio estimado para a tendência.⁶

O componente sazonalidade é um fenômeno que ocorre regularmente no tempo.¹² As relações das observações em séries que apresentam sazonalidade ocorrem com frequência em séries temporais anuais e mensais, podendo também ocorrer em séries mensuradas em outras dimensões temporais. Padrões sazonais são identificados no gráfico original (Figura 1) e no correlograma por meio de oscilações em mesma frequência (Figura 3). A análise é feita por meio dos coeficientes de autocorrelação nos períodos sazonais.⁶

O Modelo Autorregressivo Integrado de Médias Móveis (ARIMA), ou Modelo Box-Jenkins, é bastante utilizado para predição, ou forecasting. Essa técnica utiliza dados passados para estimar valores futuros e a instabilidade com suas flutuações é um empecilho para a aplicabilidade da técnica.¹³,¹⁴ A identificação da estabilidade serial, ou estacionariedade, é a primeira etapa da modelagem. Devido à possibilidade de existir períodos sazonais na série, a modelagem ARIMA apresenta uma extensão, a Modelagem Sazonal Autorregressiva Integrada de Médias Móveis (SARIMA) ou ARIMA sazonal.⁶ Nas séries que não apresentam estacionariedade devido às flutuações (tendência, sazonalidade) inerentes das mesmas, o modelo ARIMA possibilita obter resultados satisfatórios.⁸

A indução à estacionariedade segue uma ordem que parte do pressuposto de conservação das flutuações da série original. Primeiro, avalia-se a não estacionariedade da variância, seguida das autocorrelações e, por último, da média. A depender do grau da tendência apresentada na série, ao corrigir a não estacionariedade da variância, consequentemente, estabilizam-se a média e as autocorrelações. Por isso, deve ser respeitada a ordem de ajuste da série citada anteriormente, fazendo com que não seja necessário induzir estacionariedade a respeito das autocorrelações e média.⁸

Em geral, a metodologia ARIMA, proposta por George Box e Gwilym Jenkins, consegue diagnosticar a série quanto à condição de estacionariedade e identificar o modelo adequado por meio de um ciclo iterativo, com os próprios dados da série, com as seguintes fases: identificação, especificação, estimação e diagnóstico.⁶

Ao desmembrar a sigla ARIMA na fase de identificação dos possíveis modelos, o AR, ou ordem p, representa o processo autorregressivo, ou seja, a influência do valor anterior da variável sobre o valor considerado; o I, ou ordem d, está relacionado ao número de diferenciações para induzir à estacionariedade, e o MA, ou ordem q, está relacionado à influência do ruído produzido no valor anterior.⁵,¹⁴,¹⁵ As ordens dos modelos ARIMA e SARIMA são estimadas pelo gráfico da função de autocorrelação (ACF) e pelo correlograma de autocorrelação parcial (PACF), sendo o ACF sugestivo de ordem MA e o PACF da ordem AR. O número da ordem está relacionado à quantidade de lags que ultrapassem o intervalo de confiança do gráfico.¹³,¹⁴ Observar a ACF e PACF é útil para se ter uma ideia do modelo a ser testado, objetivando escolher aquele que apresente a menor quantidade de parâmetros (mais parcimonioso).

Figura 2
Função de autocorrelação (ACF) e função de autocorrelação parcial (PACF) da taxa mensal da mortalidade infantil no Brasil, 2000-2018.

Figura 3
Taxa mensal da mortalidade infantil e função de autocorrelação (ACF) e autocorrelação parcial (PACF) após o processo de diferenciação (d=¹), Brasil, 2000-2018.

* Teste de estacionariedade (Dickey-Fuller Aumentado): p-valor^0,01. Isso indica que a hipótese nula de não estacionariedade foi rejeitada. Fonte: Sistema de Informação de Mortalidade e Sistema de Informação sobre Nascidos Vivos- DATASUS, Ministério da Saúde.

Os modelos SARIMA apresentam ordem não sazonal (p, d, q) e sazonal (P, D, Q) e, por isso, é também chamado de modelo multiplicativo. A estimação dos parâmetros (ou coeficientes) é realizada por meio dos seguintes métodos: mínimos quadrados, máxima verossimilhança ou método dos momentos.⁶

O processo de modelagem da série temporal pode ser sistematizado a partir do seguinte fluxograma (Figura 4).

Aplicações da análise de séries temporais na mortalidade infantil: possibilidades e limitações metodológicas

Atuar nos principais determinantes e condicionantes dos agravos em saúde requer estudos que apresentem modelagem robusta, como os de séries temporais, os quais permitem trazer evidências científicas que subsidiem a tomada de decisão em saúde.¹⁶

Figura 4
Etapas da modelagem ARIMA (Box-Jenkins).

ACF = Função de Autocorrelação; PACF = Função de Autocorrelação Parcial; AIC = Critério de Informação de Akaike; BIC = Critério Bayesiano de Schwarz.

A incorporação de estudos de séries temporais na área da saúde surge da necessidade de planejar onde alocar os investimentos, objetivando impactar os principais indicadores epidemiológicos, como a mortalidade infantil e materna.⁴ Além disso, trata-se de uma modelagem prática ao permitir utilizar dados demográficos, epidemiológicos, ambientais e socioeconômicos de fontes oficiais.¹⁷

Por meio desse tipo de estudo, pode-se compreender o comportamento de variáveis durante um período, descobrir padrões atípicos na morbimortalidade e compreender a determinação das causas, além de ser útil para a avaliação do impacto produzido por intervenções em saúde.¹⁸

Prever cenários requer o uso de técnicas diversificadas, incluindo aquelas que avaliam as características do dado estudado. A modelagem ARIMA apresenta essa versatilidade frente às variáveis epidemiológicas, que são dinâmicas por natureza, por isso, é útil em séries estacionárias ou não.¹²,¹⁹ Outra vantagem metodológica, em detrimento de outras técnicas de predição, é a de construir modelos parcimoniosos por conterem uma quantidade reduzida de parâmetros (fase da estimação do ciclo iterativo) e as previsões obtidas poderem ser bem precisas em diversos contextos.⁶

Apesar das potencialidades expostas, há algumas limitações, que podem surgir ao utilizar a modelagem de séries temporais. Uma delas, inerente a esse tipo de estudo, considera que exista relação linear entre os dados observados e dados passados, fato não visto com os dados reais, os quais apresentam relação complexa e não linear.⁷ A mortalidade infantil, por exemplo, possui determinação multifatorial resultante da interação de variáveis biológicas, sociais, econômicas e assistenciais.²⁰

Outra limitação relaciona-se à qualidade dos dados disponíveis, pois esses interferem diretamente na modelagem.¹⁵ Dados disponíveis e confiáveis são fundamentais para fornecer informações necessárias para determinar políticas e delimitar os grupos vulneráveis. Por isso, é imprescindível a alimentação adequada dos sistemas de informação em saúde.²¹

Os estudos de série temporal, ainda que clássicos e imprescindíveis para a compreensão sobre a situação de um dado problema de saúde, por vezes, são considerados complexos e de difícil operacionalização, não sendo utilizados em toda sua potencialidade. Em especial à modelagem ARIMA, ainda existem dificuldades no manuseio e na aplicabilidade no campo da saúde devido à sua natureza matemática oriunda da área econômica. Trata-se de um modelo sofisticado, que requer uma aproximação com os aspectos teóricos e treinamentos em análise estatística para realizar todo o ciclo iterativo e a predição.⁶

A persistência como problema de saúde pública mundial torna as mortes infantis uma agenda consensual na saúde, sendo a modelagem ARIMA uma possibilidade metodológica para a gestão.⁴,²⁰,²² Por meio dela, é possível delinear e analisar tendências em saúde mais prováveis, caracterizando-as como importantes dispositivos de planejamento de intervenções.⁴,²²

A utilização de modelos ARIMA na saúde infantil funcionaria como uma ferramenta que antecede e subsidia a prática assistencial. Sua incorporação no planejamento de ações estratégicas de impacto pode contribuir na redução de desfechos desfavoráveis no processo saúde-doença materno e infantil.⁴ Recentemente, alguns estudos utilizaram a modelagem ARIMA para expressar diferentes dimensões sobre a questão. A Tabela 1 apresenta alguns exemplos.

Apesar disso, há uma lacuna significativa na utilização de métodos estatísticos no processo decisório e formulador de políticas em saúde.¹,²³ Um exemplo é a incorporação dos estudos de séries temporais como ferramenta para a prática de gestão em saúde.¹,²³ Realizar as predições exige a superação de uma limitação já mencionada: dados coletados sistematicamente (oportunos e de qualidade) e acesso aos dados epidemiológicos, não só pelos tomadores de decisão. Essa é uma realidade na maioria dos países mais pobres, principalmente aqueles com dificuldades em consolidar os sistemas de informações de qualidade e instituir uma cultura de utilização de dados.²¹

Construir e fortalecer os sistemas de informações em saúde robustos permanece como um desafio. Em 2015, como desdobramento das discussões sobre os objetivos e as metas da Agenda 2030, foram propostos princípios-chave (foco, relevância, inovação, equidade, liderança e propriedade do país) para se alcançar e transpor modelagens robustas de monitoramento mundial dos indicadores em saúde materna e infantil, incluindo a modelagem ARIMA, para as realidades nacionais e locais.¹

O foco refere-se à definição de indicadores de saúde materna e infantil padronizados globalmente para tornar possível medi-los, monitorá-los e estimá- los em todos os subníveis nacionais de saúde.²⁴ O propósito é valorizar a produção de dados nacionais e locais, corresponsabilizando os atores nesses espaços na tomada de decisão. Para tanto, é necessário muni-los de capacidade técnica e fomentar tecnologias para superar a complexidade no manejo dos dados. Adicionalmente, requerem-se incentivos subjetivos, como o estímulo e as motivações para o uso dos dados, ao identificarem a potencialidade que a modelagem representa. Somada a esses princípios, agrega-se a perspectiva da inovação.¹ O modelo ARIMA, entre outros abordados, trata-se de uma ferramenta promissora na interpretação dos dados.

As predições que a modelagem ARIMA proporciona podem anteceder as ações estratégicas e atenuar a carga de morbimortalidade, fazendo das previsões um meio para aumentar as alternativas para a tomada de decisões. Mesmo diante das limitações inerentes e externas ao método discutido, suas potencialidades, aplicações e versatilidade sobressaem-se, configurando um método viável na prática em saúde.

Tabela 1
Estudos de séries temporais utilizando a modelagem ARIMA na aplicabilidade de estudos sobre a mortalidade infantil.

Título	Autores (Ano de publicação)	Aplicabilidade do método
Change of Outcomes in Pediatric Intestinal Failure: Use of Time-Series Analysis to assess the evolution of an Intestinal Rehabilitation Program	Oliveira et al.25 (2016)	O estudo evidenciou a versatilidade do método ARIMA, expandindo seu campo de aplicação à clínica. Foi avalia­da a eficácia das opções de tratamento na melhoria do quadro clínico da insuficiência intestinal neonatal e infantil, mostrando a tendência decrescente no desfecho primário (mortalidade).
Post Millennium Development Goals Prospect on Child Mortality in India: An Analysis Using Autoregressive Integrated Moving Averages (ARIMA) Model	De et al.15 (2016)	A modelagem ARIMA foi utilizada para subsidiar o monitoramente dos Objetivos de Desenvolvimento Sustentável na Índia e antever as ações em saúde que devem ser priorizadas para se atingir as respectivas metas, bem como uma ferramenta crucial para a formulação de um planejamento geral de saúde nacional.
Predicting infant mortality in India using time series models	Singh e Singh26 (20 1 8)	O método foi aplicado para prever a taxa de mortalidade infantil em alguns Estados da Índia. Permitiu comparar as respectivas séries históricas e as previsões.
Trend of Neonatal Mortality in Nigeria from 1990 to 2017 using Time Series Analysis	Usman et al.14 (2019)	A modelagem ARIMA foi utilizada para investigar a tendência da incidência da mortalidade neonatal, rea­lizando a previsão de 20 anos. Evidenciam-se um declínio consistente da taxa de mortalidade neonatal e que a política local de saúde neonatal está atuante e compro­missada em reduzir as mortes neonatais.
Trends and future of maternal and child health in Bangladesh	Rajia et al.22 (2019)	O método permitiu analisar a tendência dos indicadores de saúde materno-infantil. Com o cenário previsto das taxas, configura-se como uma potencial ferramenta para subsidiar a tomada de decisão da gestão local no monitoramento e as implicações de políticas públicas para atingir as metas propostas na Agenda 2030.
A mortalidade infantil no estado de São Paulo: uma previsão da taxa por meio da modelagem SARIMA	Chaib27 (2019)	A série histórica foi utilizada para descrever a evolução temporal da taxa de mortalidade infantil (1996-2016). A metodologia ARIMA aplicada permitiu evidenciar o comportamento sazonal da mortalidade infantil, uma vez que apresenta quedas em períodos específicos, com isso, identificando um modelo SARIMA. A previsão realizada evidencia a tendência de queda da taxa.
Forecasting Indian infant mortality rate: An application of autoregressive integrated moving average model	Mishra et al.3(2019)	The ARIMA modeling allowed defining an overview for a future scenario of child mortality. The forecast was for the nine-year period (2017-2025), with a downward trend. The study highlights one potential of the method: the reliability of the forecast when it estimates the period of the sample using available data. It evidences that it is a statistical tool of great value in health care, supporting the planning of interventions.
Modeling and Forecasting Infant Deaths in Zimbabwe using ARIMA Models	Nyoni and Nyoni5(2020)	The model was applied to forecast the number of child deaths in a country under peripheral capitalism with a high mortality rate. Having such information would bring gains more effectively to the local health intervention programs.

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Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  10 Set 2021
• Data do Fascículo
  Apr-Jun 2021

Histórico

• Recebido
  1 Set 2020
• Preprint postado em
  18 Jan 2021
• Aceito
  24 Mar 2021