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Scientiae Studia

versão impressa ISSN 1678-3166

Sci. stud. vol.11 no.1 São Paulo jan./mar. 2013

http://dx.doi.org/10.1590/S1678-31662013000100003 

ARTIGOS

 

Fibras cuánticas para sistemas clásicos: introducción a la cuantificación geométrica

 

Quantic fibers for classical systems: an introduction to geometric quantization

 

 

Gabriel Catren

Investigador del laboratorio Sphere (UMR 7219), Université Paris 7 - Denis Diderot, Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Francia, gabrielcatren@gmail.com

 

 


RESUMEN

En este artículo, se introducirá el formalismo de cuantificación canónica denominado "cuantificación geométrica". Dado que dicho formalismo permite entender la mecánica cuántica como una extensión geométrica de la mecánica clásica, se identificarán las insuficiencias de esta última resueltas por dicha extensión. Se mostrará luego como la cuantificación geométrica permite explicar algunos de los rasgos distintivos de la mecánica cuántica, como, por ejemplo, la noconmutatividad de los operadores cuánticos y el carácter discreto de los espectros de ciertos operadores.

Palabras-clave: Mecánica cuántica. Cuantificación geométrica. Geometría simpléctica.


ABSTRACT

In this article, We shall introduce the formalism of canonical quantization called "geometric quantization". Since this formalism let us understand quantum mechanics as a geometric extension of classical mechanics, we shall identify the insufficiencies of the latter that are resolved by such an extension. We shall show that geometric quantization permits us to explain some fundamental features of quantum mechanics, such as the non-commutativity of quantum operators and the discrete spectrum of some operators describing physical quantities.

keywords: Quantum mechanics. Geometric quantization. Symplectic geometry.


 

 

INTRODUCCIÓN

Entre la mecánica clásica y la mecánica cuántica existen dos tipos de puentes. En primer lugar, la comprensión del límite clásico de una teoría cuántica garantiza las condiciones mínimas de compatibilidad entre la descripción cuántica fundamental de un sistema físico y su posible comportamiento aproximadamente clásico. Recíprocamente, es posible pasar de la mecánica clásica a la mecánica quántica por medio de los así denominados "procedimientos de cuantificación". Uno de los primeros ejemplos de dichos procedimientos es la cuantificación canónica de Dirac (cf. 1967, cap. 4). Dirac asocia operadores quánticos a los observables más simples, a saber q y p, de modo tal que los conmutadores entre los operadores reproduzcan los corchetes de Poisson entre los correspondientes observables. Sin embargo, dicho procedimiento de cuantificación es una mera prescripción heurística (una "analogía clásica" según Dirac) desprovista tanto de toda justificación matemática o conceptual rigurosa como de toda generalidad. A partir de los años 1970, se desarrollaron distintas formalizaciones rigurosas de la cuantificación canónica de un sistema clásico. Dos ejemplos importantes de dichos procedimientos son la cuantificación geométrica, introducida por Kostant (1970) y Souriau (1997), y la cuantificación por deformaciones, introducida por Flato Lichnerowicz y Sternheimer entre otros (c.f. Bayen et al., 1977, 1978; Flato et al., 1976). Esos formalismos de cuantificación permiten construir una o varias teorías cuánticas a partir de una teoría clásica dada por medio de una extensión geométrica o una deformación del álgebra de observables de la teoría clásica correspondiente. Una característica de fundamental importancia de dichos formalismos es que muestran que es posible trazar un puente formal matemáticamente riguroso entre la mecánica clásica y la mecánica cuántica. Sin embargo, dicha continuidad formal entre ambas teorías no ha sido todavía interpretada en términos de una continuidad conceptual. En efecto, y a pesar de lo novedoso de dichas reformulaciones matemáticas de la cuantificación de un sistema clásico, los formalismos no han sido todavía el objeto de un análisis estrictamente conceptual orientado a construir una interpretación satisfactoria del formalismo cuántico. El presente artículo tiene como objeto comenzar a llenar dicha laguna en lo dice respecto a la cuantificación geométrica. En particular, el establecimiento de una continuidad matemática entre la mecánica clásica y la mecánica cuántica permite reformular en un lenguaje matemático común sus similaridades y sus diferencias. Dicha homogeneización abre la posibilidad de identificar las limitaciones formales y conceptuales de la mecánica clásica que son efectivamente resueltas en el marco de su extensión cuántica. La comprensión de dichas insuficiencias de la mecánica clásica nos debería permitir comenzar a entender en qué medida la extensión cuántica de un sistema clásico es una necesidad estrictamente teórica. En otros términos, dicho análisis debería permitir explicar la necesidad racional de la mejor adecuación empírica de la teoría cuántica comparada con la mecánica clásica.

En el presente trabajo, nos concentraremos en la cuantificación geométrica (cf. Brylinski, 1993; Ginzburg et al., 2001; Kirillov, 1985; Konstant, 1970; Puta, 1993; Souriau, 1997; Woodhouse, 1992). Dicho formalismo consta de dos etapas independientes, a saber, la precuantificación de la variedad simpléctica que describe los posibles estados del sistema clásico y la elección de una polarización de los estados precuánticos resultantes. Como veremos, una de las contribuciones conceptuales más importantes de dicho formalismo radica en el hecho de que establece una continuidad geométrica entre la mecánica clásica y la cuántica. Mientras que la estructura geométrica de esta última está dada por una variedad simpléctica (M, ω), la mecánica cuántica es una teoría definida sobre un fibrado de línea complejo sobre M dotado de una conexión hermítica θ. A los efectos de reobtener el formalismo cuántico es necesario que la curvatura de la conexión θ esté definida por la estructura simpléctica ω del espacio de fases M. Como veremos, tal condición implica que la 2-forma simpléctica ω juega el rol de obstrucción geométrica a la conmutatividad de los operadores cuánticos. De esa manera, la no-conmutatividad cuántica adquiere el mismo sentido geométrico que la no-conmutatividad de los transportes paralelos en el marco de la relatividad general y de la teoría de Yang-Mills. Por otra parte, dicha construcción puede ser efectuada si y solo si la forma simpléctica ω satisface una condición topológica de integralidad. Puede ser demostrado que el carácter discreto del espectro cuántico de ciertos operadores es una consecuencia directa de dicha condición de integralidad. Ese resultado sugiere que el tipo de argumentos topológicos utilizados por primera vez por Dirac para explicar la cuantización de la carga eléctrica en presencia de un monopolo magnético tienen un grado de generalidad inesperado (cf. Dirac, 1931).

En la sección 2, introduciremos los aspectos relevantes de la formulación simpléctica de la mecánica clásica. En la sección 3, intentaremos localizar las deficiencias de la mecánica clásica susceptibles de explicar la necesidad de la correspondiente extensión cuántica. En la sección 4, daremos argumentos heurísticos para justificar el tipo de extensión realizada en el marco de la cuantificación geométrica. En las secciones 5 y 6, describiremos brevemente el formalismo de precuantificación y la noción de polarización respectivamente. En la sección 7, analizaremos la condición topológica de integralidad. En la sección final, resumiremos y discutiremos los resultados obtenidos.

 

1 FORMULACIÓN SIMPLÉCTICA DE LA MECÁNICA CLÁSICA

En esta sección, presentaremos brevemente la formulación simpléctica de la mecánica clásica (cf. Abraham & Marsden, 1978; Arnold, 1989; Marsden & Ratiu, 1999 para más detalles). El espacio de fases de un sistema clásico de n grados de libertad está dado por una variedad simpléctica (M, ω) de dimensión 2n. Una variedad simpléctica es una variedad M dotada de una 2-form ω cerrada:

dω = 0

y no degenerada:

donde d es la derivada exterior de formas diferenciales denota la contracción del vector v y la 2-forma ω. El teorema de Darboux demuesra que siempre existen sistemas de coordenadas locales (qipi) tales que ω asume localmente la forma .1 En el caso más simple, el espacio de fases de un sistema clásico está dado por el fibrado cotangente sobre el espacio de configuración Q.2

Un observable está dado por una función suave sobre M a valores reales . Los observables juegan dos roles fundamentales en mecánica. En primer lugar, los observables son por definición funciones que pueden ser evaluadas sobre los estados clásicos s M . En consecuencia, un conjunto adecuado de observables puede ser utilizado para individualizar los distintos estados físicos en M. En segundo lugar, es posible asociar a cada observable f un operador diferencial. Estos operadores generan transformaciones canónicas (o difeomorfismos simplécticos) del espacio de fases M, es decir, transformaciones de los estados físicos que preservan la estructura simpléctica ω. Como veremos, la imposibilidad de establecer una correspondencia fiel (o sea, inyectiva) entre los dos roles jugados por los observables permite comenzar a entender por que es necesario efectuar una extensión cuántica de la mecánica clásica.

La 2-forma simpléctica ω actúa como una suerte de "métrica antisimétrica", en el sentido de que define una dualidad entre los espacios tangentes y cotangentes a M.3 Más precisamente, la forma simpléctica ω permite definir una aplicación:

La condición de no-degeneración de la 2-forma ω significa que la aplicación ωb es inyectiva. La aplicación inversa satisface por definición la expresión:

Podemos entonces preguntarnos si, dada una forma , existe un vector tal que . Dado que queremos establecer una correspondencia entre observables y operadores diferenciales, podemos tomar como 1-forma la forma df obtenida a partir del observable f. Si aplicamos obtenemos un campo vectorial en TM. En otros términos, esas aplicaciones permiten definir la siguiente correspondencia:

entre los observables y los campos vectoriales . La expresión (1) implica que el campo vectorial vf satisface la siguiente expresión:

Los campos vectoriales obtenidos por medio de la correspondencia dada por la expresión (2) serán denominados campos vectoriales Hamiltonianos. El espacio de los campos vectoriales Hamiltonianos sobre M será denotado HM. En , el campo vectorial Hamiltoniano vf asociado a un observable f está dado por la siguiente expresión:

Para mostrar que la expresión (3) resulta de (2), escribamos el campo vector vf del modo siguiente:

donde parametriza las curvas integrales . Escribiendo expresamente la ecuación (2) obtenemos:

Eso implica que

Reemplazando en la expresión (4) obtenemos la expresión (3).

Un campo vectorial es un operador diferencial que actúa sobre las funciones (esto es, sobre los observables de la teoría) como una derivación. Podemos afirmar entonces que la estructura simpléctica ω del espacio de fases induce una correspondencia entre los observables y los operadores diferenciales asociados . En lo que sigue, los operadores diferenciales obtenidos por medio de esa correspondencia serán denominados "operadores clásicos". En particular, la estructura simpléctica asocia a las variables canónicas q y p los operadores clásicos respectivamente. En consecuencia, el hecho de que podamos asociar al observable p un operador de derivación a lo largo de q es una propiedad de la mecánica clásica.

La aplicación permite definir una estructura de Poisson en el espacio por medio del corchete de Poisson:

El corchete de Poisson puede también ser calculado utilizando la expresión:

En efecto, . Puede demostrarse que el corchete de Poisson es un álgebra de Lie, lo cual significa que {.,.} satisface las propiedades de bilinearidad, antisimetría y la identidad de Jacobi:4

Esta última identidad puede también expresarse del modo siguiente:5

Eso significa que la aplicación es un homomorfismo de álgebras de Lie de en HM. En otros términos, el corchete de Lie en HM está completamente determinado por el corchete de Poisson en . El corchete de Poisson también satisface la regla de Leibniz:

Por lo tanto, la estructura de Poisson dota al espacio de una estructura de álgebra de Lie en la cual el corchete actúa como una derivación en cada argumento. En efecto, vale la pena observar que es por definición la derivada de Lie en la dirección definida por el campo vectorial Hamiltoniano vg. Esta estructura algebraica sobre el espacio de observables clásicos se denomina "álgebra de Poisson".

Mostraremos ahora que los campos vectoriales Hamiltonianos generan difeomorfismos simplécticos infinitesimales de M, es decir, difeomorfismos de M, que preservan la estructura simpléctica ω. El flujo de un campo vectorial v es un subgrupo uniparamétrico de difeomorfismos simplécticos si para todo λ donde denota el pullback de ω por medio de la aplicación . Esa condición de invariancia implica que (cf. Abraham & Marsden, 1978; Guillemin & Sternberg, 1984):

Los campos vectoriales v que preservan la forma simpléctica ω serán denominados campos vectoriales simplécticos. El álgebra de Lie definida por dichos campos será denotada Symp(M). Utilizando la formula y el hecho de que ω es una forma cerrada, la condición (9) implica:

Esto significa que el campo vectorial v es simpléctico si y solo si i,ω es una 1-forma cerrada. Dado que toda forma diferencial cerrada es localemente exacta (lema de Poincaré), existe, al menos localmente, una función f tal que i,ω. Esto significa que los campos vectoriales simplécticos son localmente Hamiltonianos. Reciprocamente, los campos vectoriales Hamiltonianos son siempre simplécticos. Por lo tanto, HM es una subálgebra de Lie de HM. Puede demostrarse que HMSymp(M) es simplemente connexa, es decir si el grupo fundamental de M es nulo. Más precisamente, se puede demostrar la existencia de la siguiente secuencia corta de álgebras de Lie:6

Si =0, entonces .Im(i)=ker(p)=Symp(M) Por lo tanto, la aplicación i es inyectiva y sobreyectiva. En consecuencia, HMSymp(M) (cf. Brylinski, 1993, prop. 2.3.3).

De esa manera hemos mostrado que los observables clásicos inducen, por medio de la aplicación , difeomorfismos simplécticos de M.7 Los difeomorfismos están definidos por las curvas integrales de los campos vectoriales Hamiltonianos vf. Por ejemplo, las curvas integrales del campo vectorial Hamiltoniano H(q,p) asociado a la función Hamiltoniana H(q, p), definen un subgrupo uniparamétrico de difeomorfismos simplécticos:

dados por las soluciones de las ecuaciones de Hamilton, o sea, por las soluciones de las ecuaciones (5) para λ = t y f = H:

De esa manera, podemos decir que el Hamiltoniano H "opera" infinitesimalmente sobre los estados clásicos (q, p) por medio del operador diferencial clásico (q,p) asociado a H. La integración de la acción infinitesimal inducida por H permite obtener la evolución temporal para todo tiempo finito de cualquier condición inicial en M.

Además de inducir difeomorfismos simplécticos, los observables definen coordenadas locales en M, las cuales pueden ser utilizadas para individualizar y distinguir los distintos estados físicos sM. Un conjunto es un conjunto completo de observables si y solo si cualquier otra función g que satisfaga {f,g}=0 para todo fi es necesariamente constante. Eso implica que el conjunto completo de observables fi(s) separa localmente puntos en M. En otros términos, el conjunto de "propiedades" fi(s) del estado definidas por un conjunto completo de observables alcanza para individualizar dicho estado.

Se considera usualmente que la mecánica cuántica difiere de la mecánica clásica debido al hecho de que los observables son sustituidos por los operadores cuánticos. Sin embargo, como hemos acabado de mostrar, es posible asociar a todo observable f un operador clásico vf, el cual genera transformaciones de los estados clásicos en M.8 El hecho de que exista un operador asociado a todo observable, lejos de ser una propiedad de los sistemas cuánticos, es una consecuencia directa de la estructura simpléctica del espacio de fases. Vale la pena notar que el conmutador de dos operadores clásicos vf y vg, el cual está dado por el corchete de Lie de campos vectoriales , no es necesariamente cero. Podemos, por lo tanto, concluir que la existencia de una correspondencia entre observables y operadores diferenciales que actúan sobre los estados físicos es también un ingrediente fundamental de la mecánica clásica. Como veremos a continuación, el formalismo de precuantificación muestra que la mecánica cuántica no se obtiene, como es usualmente afirmado, a partir de la substitución de los observables f por los correspondientes operadores cuánticos, sino a partir de la extensión cuántica de los operadores clásicos vf. En consecuencia, y a los efectos de precisar la diferencia entre la mecánica clásica y la mecánica cuántica, no tenemos que comparar el álgebra no-conmutativa de operadores cuánticos con la estructura de anillo conmutativo de los observables (relativa a la multiplicación punto a punto), sino con el álgebra de Lie de los operadores clásicos. Es necesario analizar entonces cual es la insuficiencia de la noción clásica de operador susceptible de justificar la necesidad de efectuar una extensión cuántica.

 

2 DE LOS OBSERVABLES A LOS OPERADORES CLÁSICOS

En esta sección compararemos el álgebra de Poisson de los observables y el álgebra de Lie de los operadores clásicos vf. Como veremos, estas estructuras algebraicas no son isomorfas. En efecto, el homomorfismo (sobreyectivo) de álgebras de Lie:

no es inyectivo, dado que el núcleo de la aplicación está dado por las funciones constantes . En efecto, usando la expresión (3), es evidente que vf =0 para todo f = k. Las propiedades de la aplicación pueden ser resumidas diciendo que la siguiente secuencia corta:

es exacta. De hecho, la imagen de la inclusión i - o sea, las funciones constantes f=k en - coincide con el núcleo de la proyección pr (o sea, vf = k =0). Eso significa que .

Podemos esquematizar la proyección no inyectiva considerando que "arriba" de cada campo vectorial Hamiltoniano existe una "fibra" de funciones . Las funciones fk pertenecientes a una misma fibra (1) difieren entre si en una constante y (2) se proyectan al mismo campo vectorial vf. De acuerdo con dicha descripción, cada fibra puede ser identificada con la recta real . Podríamos entonces decir que es una "extensión unidimensional real" de HM que extiende cada campo vectorial Hamiltoniano vf por medio de una fibra de funciones isomorfa a . Dado que las funciones constantes tienen corchete de Poisson nulo con cualquier otra función - es decir, constituyen el así denominado centro de - , se denomina una extensión central de HM.

El hecho de que toda función constante f = k sea proyectada al mismo campo vectorial Hamiltoniano indica que el álgebra de Poisson tiene una estructura más rica que HM. En otros términos, al pasar de los observables a los operadores clásicos , perdemos parte de la estructura algebraica de . Supongamos, por ejemplo, dos observables f y g tales que . Veamos ahora si la no-trivialidad de dicho corchete de Poisson es preservada al pasar al algebra de Lie de los campos vectoriales Hamiltonianos. Utilizando la expresión (8), obtenemos:

En consecuencia, la correspondencia (10) entre observables y operadores clásicos asigna a dos funciones f y g que no conmutan (con respecto al corchete de Poisson) dos campos vectoriales vf y vg que conmutan (con respecto al corchete de Lie de campos vectoriales).

Mostraremos ahora que la forma simpléctica ù define una extensión central del álgebra de Lie de los campos vectoriales Hamiltonianos. Elijamos para ello una sección lineal de la proyección por medio de la condición f(x0)=0, para un fijo (cf. Brylinski, 1993). Esa condición selecciona, de toda la "fibra" lineal de funciones que difieren en una constante y que se proyectan al mismo campo vectorial Hamiltoniano vf en HM, la única función que satisface f(x0)=0. Supongamos que , con . Tenemos entonces que

Esto significa que la sección σ, contrariamente a la proyección π, no es un homomorfismo de álgebras de Lie. En consecuencia, el corchete de Lie en HM no define completamente el corchete de Poisson en . Definiremos la diferencia entre ambos corchetes de Lie por medio de un elemento c tal que:

En otros términos, c es la obstrucción que dá en qué medida la sección σ no es un homomorfismo de álgebras de Lie. Dado el corchete de Lie en HMy el elemento c, el corchete de Poisson en queda completamente definido. Es posible mostrar que la forma simpléctica ω determina la obstrucción c por medio de la siguiente expresión:9

En otros términos, ω define, por medio de la siguiente formula

una estructura particular de álgebra de Lie en .10 En particular, aunque , el corchete de Poisson {f,g} no es necesariamente cero. En otros términos, elementos que conmutan en HM tienen imágenes en que no necesariamente conmutan.

El ejemplo canónico de esa situación está dado por los campos vectoriales Hamiltonianos . En efecto, , mientras que {q,p}=1. De esa manera, la "no-conmutatividad" entre q y p (con respecto a {.,.}) se pierde al pasar de a HM. En otros términos, el operador clásico actúa de manera no trivial sobre q (dado que , mientras que vp cactúa trivialmente sobre el operador vq asociado a q (dado que =0).

 

3 DE LOS OPERADORES CLÁSICOS A LOS OPERADORES CUÁNTICOS

En la sección precedente hemos mostrado que el álgebra de Poisson no puede ser fielmente (es decir, inyectivamente) representada como un álgebra de operadores diferenciales en el marco geométrico provisto por la variedad simpléctica M. En esta sección, presentaremos algunos argumentos heurísticos que nos permitirán argumentar que la definición de un álgebra de operadores isomorfa al álgebra de Poisson requiere extender el marco geométrico de la mecánica clásica por medio de la definición de un fibrado de línea complejo sobre M. Dicha construcción se denomina precuantificación de la variedad simpléctica M.11 Dicha extensión permitirá asociar a cada observable un operador diferencial cuántico tal que la correspondiente álgebra de operadores sea isomorfa al álgebra de Poisson.

Queremos, por lo tanto, definir nuevos operadores de modo tal que los mismos satisfagan la siguiente condición de inyectividad: si , entonces , donde I es el operador identidad. Pediremos además que la correspondencia entre los observables y los operadores cuánticos sea un homomorfismo de algebras de Lie, es decir que se satisfaga una condición análoga a la propiedad (8) satisfecha por los operadores clásicos vf. Escribiremos dicha condición del modo siguiente: si {f,g} =h, entonces .

Sean vf y vg dos campos vectoriales Hamiltonianos que conmutan (o sea, ), tales que . Se deduce de la condición de inyectivad que los operadores cuánticos asociados deben satisfacer la relación de conmutación .El conmutador entre está entonces dado por:

Eso significa que la 2-forma simpléctica ω mide la no conmutatividad de los operadores cuánticos . En geometría diferencial, una 2-forma que juega el rol de obstrucción a la conmutatividad de operadores diferenciales es un objeto geométrico bien conocido, a saber una curvatura (cf. Kobayashi & Nomizu, 1963). Podemos, por lo tanto, concluir que es necesario definir una extensión geométrica de la variedad M, tal que la estructura simpléctica ω juegue el rol de una curvatura. El marco geométrico natural en el cual aparece la noción de curvatura es la teoría de los espacios fibrados dotados de una conexión. De hecho, aunque dos campos vectoriales sobre una variedad conmuten, la extensión de dicha variedad por medio del agregado de una dimensión suplementaria (definida por las así denominadas fibras del espacio fibrado resultante) puede romper dicha conmutatividad. Más precisamente, las "copias" de dichos vectores en el espacio total del fibrado - o sea, los levantamientos horizontales de dichos vectores definidos por la conexión - pueden no conmutar. Podemos, por lo tanto, conjeturar que a los efectos de definir un álgebra de operadores isomorfa al álgebra de Poisson de los observables es necesario agregar una dimensión suplementaria a la variedad simpléctica M.12

Consideremos ahora más precisamente de qué manera el agregado de una dimensión suplementaria "vertical" permite introducir la no-conmutatividad deseada. Sea un G-fibrado principal dotado de una conexión de curvatura K. Por definición, una conexión puede expresarse en términos de una 1-forma equivariante sobre P valuada en el álgebra de Lie g del grupo estructural G. El núcleo de la conexión define una distribución equivariante horizontal (cf. Kobayashi & Nomizu, 1963). Eso significa que en cada punto , la conexión define una separación del espacio tangente a P de la forma , donde VPP es el subespacio vertical canónico tangente a la fibra y VPP es el subespacio horizontal definido por el núcleo de . Dada una conexión , es posible definir los levantamientos horizontales de los campos vectoriales sobre M. Estos levantamientos satisfacen (o sea, se proyectan sobre v) y (es decir, son horizontales). Si consideramos ahora los levantamientos horizontales de dos campos vectorial , puede demostrarse que es la componente vertical del corchete de Lie , donde es la forma local asociada a la curvatura K (o sea, es una 2-forma sobre valuada en g). La relación entre la conexión , la curvatura K y la forma local de K está dada por la expresión , donde d es la derivada exterior sobre P. El elemento puede ser calculado entonces del siguiente modo:

Por definición de una conexión, es un elemento del álgebra de Lie g. Por otra parte, la isomorfía entre las fibras de un G-fibrado principal y el grupo estructural G- implica la existencia de un isomorfismo . Eso significa que es la proyección de sobre los subespacios verticales VpP. En otras palabras, se tiene una descomposición de la forma:

donde denota la imagen en VpP del elemento por medio del isomorfismo . Esta formula muestra claramente que, aunque v y w conmutan en , sus levantamientos horizontales vh y wh no necesariamente conmutan. En otros términos, el levantamiento horizontal de un camino cerrado (donde puede no cerrar, estando la no conmutatividad "vertical" dada por la curvatura . Si identificamos la forma local de curvatura con la forma simpléctica ω, la expresión (13) puede considerarse una realización de la expresión (12) en términos de operadores diferenciales actuando sobre el espacio total del fibrado principal . El punto importante es que del lado izquierdo no tenemos un corchete de Poisson de funciones como en (12), sino un corchete de Lie de campos vectoriales. De esa manera, la expresión (13) provee una realización puramente geométrica de la extensión central (11). Podemos, por lo tanto, concluir que a los efectos de definir operadores diferenciales cuya álgebra de Lie sea isomorfa al álgebra de Poisson, es necesario definir un espacio fibrado sobre el espacio de fases M dotado de una conexión de curvatura localmente dada por la forma simpléctica .

Intentaremos ahora averiguar qué tipo de fibras es necesario agregar sobre la variedad simpléctica M. A dichos efectos, la secuencia exacta de álgebras de Lie (11) provee una orientación heurística. Brevemente, la extensión central (11) del álgebra de Lie HM de campos vectoriales Hamiltonianos por medio de las funciones constantes , será implementada geométricamente en términos de operadores diferenciales actuando sobre una extensión "fibrada" unidimensional de la variedad simpléctica M. Las funciones constantes f = k que componen las "fibras" de la extensión central (11), lejos de proyectarse a un operador diferencial idénticamente nulo, serán representadas geométricamente por medio de un campo vectorial constante tangente a las fibras del espacio fibrado , es decir por un campo vectorial puramente vertical. Por lo tanto, la "dimensión interna cuántica" definida por las fibras permite representar el núcleo de la extensión central (11) como campos vectoriales verticales, garantizando de esa manera la inyectividad del mapa . En el caso de una función general , el levantamiento horizontal del campo vectorial Hamiltoniano vf será extendido por medio de una componente vertical tangente a las fibras. Los campos vectoriales resultantes satisfacen por construcción un álgebra de conmutadores isomorfa al álgebra de Poisson.

En términos formales, queremos asociar a toda función un campo vectorial vertical en TP que denotaremos . Para ello, asociaremos a cada número real (para cada ) un campo vectorial constante tangente a la fibra . A dichos efectos, es necesario identificar el álgebra de Lie g del grupo estructural G con . En efecto, si efectuamos dicha identificación, toda función f seleccionará un único elemento del álgebra de Lie para cada . El isomorfismo nos permite, entonces, definir un campo vectorial constante para todo p en cada fibra . El conjunto de estos campos vectoriales verticales para todo define el campo vectorial sobre P asociado a la función f. La situación puede ser resumida por medio del siguiente diagrama:

Podemos, por lo tanto, concluir que el grupo estructural G del fibrado principal tiene que tener como álgebra de Lie g. Esta construcción garantiza que cada función define un campo vectorial vertical sobre P constante a lo largo de las fibras. En particular, si f es una función constante, el campo vectorial vertical será constante en todos lados (o sea, no solo para todo , sino también para todo ). Vale la pena observar que cada función constante f = k define un campo vectorial diferente. De este modo, la degeneración entre las diferentes funciones constantes f = k (las cuales se proyectan todas al mismo campo vectorial Hamiltoniano ) ha sido rota.

La identificación g = no permite definir sin ambiguedad el correspondiente grupo estructural G. De hecho, los grupos tienen a como álgebra de Lie. Como veremos a continuación, los estados cuán-ticos de la teoría estarán dados por las secciones del fibrado vectorial asociado (donde v es un espacio vectorial complejo de dimensión 1).13 Por definición, el grupo estructural G del fibrado principal actúa sobre el conjunto de bases del espacio vectorial que define las fibras de L. Mientras que el grupo actúa sobre las bases no normalizadas de un espacio vectorial real unidimensional por medio de dilataciones, el grupo U(1) actúa sobre el conjunto de bases unitarias de un espacio vectorial complejo unidimensiónal. Por lo tanto, si uno elije como grupo estructural, entonces el fibrado vectorial asociado será un fibrado de línea real. Si por el contrario uno elije U(1) como grupo estructural, entonces es necesario dotar el fibrado asociado de una métrica hermítica h a los efectos de definir bases unitarias (donde la estructura hermítica tiene que ser compatible con la conexión en el fibrado asociado).14 Esa estructura hermítica permite definir un producto interno entre las secciones del fibrado vectorial asociado, es decir, entre los estados cuánticos. Resumiendo, podemos decir que mientras que es el grupo estructural de un fibrado de línea real, el grupo unitario U(1) es la reducción (definida por la estructura hermítica) del grupo estructural de un fibrado de línea complejo. Con el objeto de obtener la mecánica cuántica es necesario elegir U(1) como grupo de estructura. A los efectos de efectuar una deducción satisfactoria del formalismo cuántico es, entonces, necesario construir un argumento a priori capaz de justificar dicha elección.

 

4 PRECUANTIZACIÓN

Los argumentos heurísticos presentados en la sección anterior muestran que para construir operadores diferenciales que representen fielmente el álgebra de Poisson de los observables es necesario definir un fibrado de línea complejo dotado de una conexión hermítica de modo tal que la curvatura de la conexión esté definida por la forma simpléctica . Intentaremos ahora describir brevemente el formalismo de precuantificación por medio del cual se efectúa dicha construcción.

En la sección precedente, hemos mostrado que los operadores diferenciales deben ser campos vectoriales sobre la extensión fibrada de la variedad simpléctica M. Mientras que la componente horizontal de un operador está dada por el levantamiento horizontal definido por la conexión del campo vectorial Hamiltoniano vf, la componente vertical de está dada por el campo vectorial vertical . Los campos vectoriales resultantes son invariantes a lo largo de las fibras y satisf (c.f. Brylinski, 1993). Esta propiedad de preservación de la conexión es una consecuencia del hecho de que el campo vectorial Hamiltoniano correspondiente preserva la forma simpléctica . Denotaremos el álgebra de Lie de los campos vectoriales sobre P que son G-invariantes y que preservan la conexión. Por medio de las aplicaciones , el observable clásico determina unívocamente el campo vectorial . De esta manera obtenemos el mapa entre observables y operadores cuánticos que estabamos buscando:

Mientras que la componente horizontal depende de la correspondencia clásica entre observables y campos vectoriales Hamiltonianos , la componente vertical provee la corrección cuántica que garantiza la inyectividad de la aplicación (14) entre observables y operadores.

El núcleo del homomorfismo sobreyectivo de álgebras de Lie (donde) está compuesto de los campos vectoriales de la forma . A los efectos de eliminar la componente horizontal es necesario imponer f = k (lo cual implica en efecto . Por lo tanto, el núcleo de está definido por las funciones constante f = k (cf. Brylinski, 1993, p. 91). Eso significa que las funciones constantes definen campos vectoriales e Λ puramente verticales. Tenemos por lo tanto la secuencia exacta corta . Puede ser demostrado que el siguiente diagrama es conmutativo:

donde la línea inferior es la extensión central (11) y el mapa es un homomorfismo de álgebras de Lie (cf. Konstant, 1970).

Resumiendo, podemos decir que existen dos representaciones del álgebra de Poisson de los observables en términos de operadores diferenciales, a saber, el álgebra de campos vectoriales Hamiltonianos HM (o sea, el álgebra de operadores clásicos) y el álgebra de operadores cuánticos, siendo esta última una extensión de la primera. Mientras que HM no es una representación fiel de (dado que todas las funciones constantes f = k se proyectan al mismo campo vectorial Hamiltoniano nulo vk = 0), es una representación fiel (dado que cada función constante f = k define un campo vectorial vertical distinto). De esa manera, la adición de una dimensión interna "cuántica" a la variedad simpléctica M permite definir un álgebra cuántica de operadores isomorfa al álgebra de Poisson de los observables clásicos. Dado que los campos vectoriales fueron obtenidos adicionando a los campos vectoriales Hamiltonianos (más precisamente a sus levantamientos horizontales ) una componente vertical , el álgebra de operadores cuánticos puede ser considerada una extensión del álgebra de campos vectoriales Hamiltonianos HM.

Es necesario especificar ahora sobre qué tipo de estados actúan los operadores diferenciales cuánticos . Por definición, los campos vectoriales actúan sobre funciones sobre P. En particular, si restringimos la atención a una cierta clase de funciones, es posible definir una acción inducida sobre las secciones del fibrado asociado . De hecho, a partir de una sección es posible definir una función U(1)-homogénea de grado -1 para ) del modo siguiente:

La homogeneidad de la función p garantiza que el valor de la sección para cierto no depende del elemento sobre x (ou seja, . Usando esta correspondencia, puede demostrarse que el álgebra de Lie de los operadores cuánticos actúa sobre las secciones por medio de la siguiente expresión:

A modo de ejemplo, calculemos los operadores cuánticos asociados a los observables q y p sobre la variedad simpléctica M=T*Q, donde el potencial simpléctico está dado por =-pdp:

y análogamente:

Las secciones serán denominadas estados precuánticos. Vale la pena remarcar que estrictamente hablando, los estados precuánticos (y, en consecuencia, también los estados cuánticos) no están dados por funciones de onda, sino por secciones de onda. Los operadores cuánticos son operadores hermíticos con respecto al siguiente producto interno entre dos estados precuánticos:

 

5 POLARIZACIÓN

La definición de los operadores cuánticos y de los estados precuánticos no alcanza para reobtener la mecánica cuántica. En efecto, los estados precuánticos no pueden ser identificados con los estados cuánticos, dado que las secciones dependen de las 2n coordenadas del espacio de fases, mientras que los estados cuánticos pueden depender sólo de n variables. En efecto, es posible definir estados precuánticos localizados tanto en q como en p, es decir estados que no satisfacen el principio de indeterminación de Heisenberg. El hecho de que el espacio de Hilbert de los estados precuánticos sea demasiado grande tiene como consecuencia que el conjunto de operadores cuánticos asociado a un conjunto completo de observables {f,i} no actúa de manera irredutible sobre el espacio de Hilbert de los estados precuánticos15 En el marco de la cuantificación geométrica, ese problema es resuelto introduciendo una estructura geométrica suplementaria, a saber, una polarización (cf. Woodhouse, 1992). Brevemente, la elección de una polarización reduce a la mitad el espacio de Hilbert de los estados precuánticos.

Una polarización P de una variedad simpléctica (M,) es una foliación de M por medio de subvariedades lagrangianas, es decir, subvariedades de M maximalmente isotrópicas. Una subvariedad lagrangiana de una variedad simpléctica (M, ) de dimensión 2n es una subvariedad de dimension n tal que es idénticamente nula cuando se la evalúa en TxK x TxK. Un ejemplo canónico de una subvariedad lagrangiana es el espacio de configuración Q del fibrado cotangente P=T*Q. La identidad {f,g} implica que los observables asociados a los campos vectoriales Hamiltonianos que definen una polarización forman un conjunto completo de observables que conmutan. En otros términos, la noción de polarización es la traducción geométrica de la noción algebraica de conjunto completo de observables que conmutan. Una sección está polarizada con respecto a la polarización p si es covariantemente constante a lo largo de P, a saber, si satisface la siguiente condición:

Existen dos tipos de variedades simplécticas con polarizaciones naturales, a saber los fibrados cotangentes y las variedades de Kähler. Consideremos, en primer lugar, la así denominada polarización vertical del fibrado cotangente P=T*Q, es decir, la polarización generada por los campos vectoriales . Si se elije como forma local de la conexión a la forma =-pdp, entonces las secciones polarizadas serán las funciones en T*Q que satisfacen la condición =0. En otros términos, los estados polarizados serán los estados constantes a lo largo de las fibras del fibrado cotangente T*Q. En consecuencia, los estados polarizados resultantes sólo dependen de la coordenada q del espacio de configuración Q (representación de Schrödinger). Análogamente, la representación en términos de los momentos p puede ser obtenida usando la polarización generada por los campos vectoriales . Esos ejemplos triviales muestran que la elección de una polarización equivale a elegir una representación particular de la correspondiente teoría cuántica.

Mostraremos ahora que las así denominadas polarizaciones complejas permiten reobtener la representación de Fock en términos de operadores de creación y destrucción. Una polarización compleja es básicamente una estructura compleja compatible con la estructura simpléctica. Definamos primero una estructura casi compleja sobre M. Una estructura compleja sobre un espacio vectorial V es un endomorfismo lineal , tal que J2 = -1.

La estructura compleja J hace de V un espacio vectorial complejo de di-mensión n donde la multiplicación por z=a+bi se define del modo siguiente .16 De ese modo, una estructura casi compleja, al definir una multiplicacion por la unidad imaginaria i, especifica que coordenada de V asume el rol de coordenada real y cual de coordenada compleja. Una estructura casi compleja J sobre una variedad M es un campo suave de estructuras complejas sobre los espacios tangentes TxM. El par (M,J) se denomina variedad casi compleja. Dada una variedad simpléctica (M,), una estructura casi compleja J sobre M es -compatible si la forma bilineal

es una métrica riemanniana sobre M. A su vez, la estructura simpléctica y la métrica M definen el siguiente producto interno hermítico:17

La terna (,g,j) se denomina una terna compatible y cada una de las tres estructuras puede obtenerse a partir de las otras dos. Puede demostrarse que toda variedad simpléctica tiene estructuras casi complejas compatibles. Por otra parte, toda variedad compleja (o sea, toda variedad dotada de cartas locales valuadas en Cn y cuyas funciones de transición son holomorfas) tiene una estructura casi compleja canónica inducida. En efecto, se pude mostrar que las funciones de transición preservan la estructura casi compleja si y sólo si son funciones holomorfas, es decir, si la variedad es una variedad compleja. La recíproca no es siempre cierta. En otros términos, una estructura casi compleja no siempre es inducida por una estructura compleja. Una estructura casi compleja J se dice integrable si y solo si J es la estructura casi compleja inducida por una estructura de variedad compleja sobre M. El teorema de Newlander-Nirenberg establece que una estructura casi compleja es integrable si y solo si el así denominado tensor de Nijenhuis se anula. Una variedad de Kähler es una variedad simpléctica (M, ) dotada de una estructura casi compleja compatible integrable. La forma simpléctica ( ) se denomina forma de Kähler. Se sigue de la definición que (M, ) es una variedad compleja.

El endomorfismo J no puede ser diagonalizado en el campo de los números reales, ya que los autovalores de J son i. En consecuencia, extenderemos el campo de escalares del espacio vectorial TM a C por medio de la complexificación de TM. La estructura casi compleja J puede extenderse linealmente a TMC por medio de la expresión . Definamos ahora los operadores de proyección donde son los autoespacios asociados a los autovalores i. Un elemento puede ser descompuesto en la forma v=v+v-con . En consecuencia, tenemos una descomposición de TMC de la forma . Queremos ahora hallar una base de TMC asociada a dicha descomposición. Para ello, escribamos los vectores de la base original del modo siguiente:

Definamos entonces los siguientes vectores:

de modo tal que . Esas definiciones son consistentes, si definimos del modo siguiente:

Esas coordenadas complejas están definidas por una estructura casi compleja J, tal que . Si aplicamos J a los vectores (19) obtenemos. En otros términos, son autovectores de J con autovalores i y -i respectivamente. En la base , la estructura compleja tiene entonces la forma diagonal

Los operadores proyectan sobre los autoespacios de J. De hecho,

La forma simpléctica asume la forma:

Una función K, tal que

donde se denomina potencial de Kähler. En particular, es un potencial de Kähler. Elijamos ahora el potencial simpléctico . La ecuación de polarización de los estados a lo largo de asume entonces la forma:

De esa manera, la condición de polarización selecciona las funciones holomorfas f(z). En efecto, escribamos . La condición de polarización es:

Esa condición implica las ecuaciones de Cauchy-Riemann:

para la variable compleja z=x+iy. Esa representación se denomina representación holomorfa o de Bargmann-Fock.

Vale la pena destacar que la necesidad de polarizar los estados precuánticos, lejos de derivar de resultados matemáticos generales o de una necesidad estrictamente conceptual, es una generalización de diversos métodos de cuantificación cuya única justificación es que permite recuperar la mecánica cuántica ordinaria.

 

6 TOPOLOGÍA Y CUANTIFICACIÓN

En esta sección, analizaremos bajo qué condición una variedad simpléctica puede ser cuantificada. El principal resultado es que es posible definir un fibrado de línea complejo sobre el espacio de fases M, de modo tal que la 2-forma simpléctica defina la curvatura de una conexión hermética si y solo si la siguiente condición de integralidad es satisfecha:

donde es cualquier superficie de dimensión 2 cerrada y orientada en M. Una variedad simpléctica (M,) que satisface la condición de integralidad (21) se denomina quantizable.18 Como veremos a continuación, esa condición tiene un origen esencialmente topológico.

Puede demostrarse que la condición de integralidad permite explicar el carácter discreto de ciertos observables físicos, como, por ejemplo, la energía y el spin (cf. Souriau, 1997; Woodhouse, 1992). Eso significa que el carácter discreto de los espectros cuánticos, asociados a los observables es una consecuencia directa de la topología del fibrado de línea complejo . Sea un sistema clásico, cuyos estados están descriptos por la variedad simpléctica (M,) de dimensión 2n, y un observable . Queremos describir los estados caracterizados por un valor determinado f0 del observable f(q.p). Para ello, restringiremos el espacio de fases a la subvariedad . La acción generada por el campo vectorial Hamiltoniano vf asociado a f permite definir una fibración sobre el espacio cociente M0, tal que las fibras son las órbitas definidas por la acción de vf. El espacio cociente M0 es una variedad simpléctica de dimensión 2n-2 cuya forma simpléctica satisface , donde . Dicho espacio cociente se denomina espacio de fases reducido. Ahora queremos obtener los estados cuánticos caracterizados por el autovalor f0 asociado al operador cuántico. Para ello, podemos aplicar el formalismo de cuantificación geométrica a la variedad simpléctica M0. A dichos efectos, la 2-forma debe satisfacer la condición de integralidad (21). Dado que la forma simpléctica depende en general del valor f0, la expresión (21) permite obtener los posibles valores discretos de f0.

Presentaremos, ahora, un argumento que permite entender el significado físico de la condición (21). Consideremos un loop , tal que . El transporte paralelo, definido por la conexión a lo largo de Y, define la siguiente transformación de los elementos de la fibra :

donde . Puede demostrarse que el elemento está dado por la siguiente expresión:

En otros términos, el transporte paralelo a lo largo de un loop y en M produce un cambio de fase dado por la integral de la conexión a lo largo del loop. Elijamos ahora una superficie tal que y sea el borde de , i.e. tal que . Usando el teorema de Stokes, el elemento gy puede reformularse en términos de la forma simpléctica del modo siguiente:

Consideremos ahora otra superficie , tal que y sea la unión de las superficies . El elemento gr puede expresarse tanto en términos de + como en términos de :

Por lo tanto,

Para que esa condición se satisfaga, o sea, para que el elemento gy en (22) no dependa de la superficie bordeada por y sobre la cual se realiza la integración, la integral de sobre debe satisfacer la condición de integralidad (21).

Mostraremos ahora que la condición de integralidad sobre la forma simpléctica es una consecuencia directa de la condición de compatibilidad (denominada condición de cociclos) que garantiza que las distintas trivializaciones locales del espacio fibrado se "pegan" bien en las intersecciones de los abiertos que definen dichas trivializaciones. Supongamos que es un buen recubrimiento abierto de M.19 Elijamos para cada conjunto abierto Ui una sección no-nula . Estas secciones definen una trivialización local por medio de las aplicaciones , donde . Podemos decir, entonces, que un espacio fibrado es un producto "torcido" (twisted) entre dos variedades, tal que localmente dicho producto se descompone en un conjunto de productos triviales C x U por medio de los isomorfismos (no-canónicos) definidos por las secciones locales Si. En cada intersección , existen dos trivializaciones diferentes y . Usando la composición

, podemos definir las funciones de transición ,

donde . Esas funciones permiten "pegar" las trivializaciones i y j en las intersecciones Uij. Las funciones son denominadas cociclos. Dichos cociclos satisfacen y la así denominada condición de cociclos:

en las triples intersecciones . Dado que los cociclos Cij especifican como las diferentes trivializaciones locales son "pegadas" en las intersecciones correspondientes, los mismos definen la estructura topológica global del fibrado. De hecho, dichos cociclos definen clases de la cohomología de Èech (ver apéndice). En efecto, el conjunto {Cij} define funciones reales en cada intersección Uij, definiendo de esa manera una 1-cocadena de Èech. Por otra parte, la condición de cociclos (23) significa que Cij es un 1-cociclo de Èhech, o sea. que =1, donde es el diferencial de Èech y el grupo es un grupo multiplicativo.

La relación de isomorfismo entre espacios fibrados permite definir una relación de equivalencia en el conjunto de los fibrados de línea complejos . El conjunto de clases de isomorfía tiene una estructura de grupo conmutativo definida por el producto tensorial de fibrados de línea.20 Dicho grupo se denomina grupo de Picard de M, y se denota Pic(M). Se puede mostrar que los cociclos Cij de dos fibrados isomorfos pertenecen a la misma clase de cohomología en .21 Por lo tanto, las clases de cohomología en clasifican a las clases de isomorfía de fibrados de línea complejos en Pic(M).

Mostraremos ahora que existe una aplicación entre los cociclos y las clases de cohomología a valores enteros en . Dado que las intersecciones Uij son simplemente conexas, es posible definir funciones suaves . En la triple intersección Uijk, la condición de cociclos (23) se traduce en la siguiente condición sobre las funciones Uij:

El pasaje de las funciones Cij a valores reales sobre las intersecciones Uij a las funciones Zijk a valores enteros sobre las triples intersecciones Uijk es un caso particular del así denominado morfismo de conexión en homología algebraica. Sea la siguiente secuencia exacta corta

donde O es el conjunto de funciones holomorfas considerado como un grupo aditivo, O* el conjunto de funciones holomorfas que nunca se anulan considerado como un grupo multiplicativo, y exp la aplicación . El morfismo de conexión es el morfismo entre los grupos de cohomología . En nuestro caso, la relación entre los cociclos Cij y los elementos Zijk está implementada en términos cohomológicos por medio del siguiente morfismo de conexión:22

La clase de cohomología definida por Zijk se denomina clase de Chern ci(L) del fibrado vectorial .

Calcularemos ahora la integral (21). Sea un recubrimiento abierto de la 2-superficie cerrada S inducido por U. Dado que los conjuntos abiertos {S,i} se intersectan, no podemos simplemente sumar las contribuciones . Si así lo hiciesemos, dichas contribuciones serían contadas varias veces en las intersecciones. Usando como bordes las líneas {Lij}ij que unen los puntos de intersección entre los conjuntos superpuestos {Si}i, es posible definir los conjuntos disjuntos {Vi}i (ver Fig. 1). La integral (21) puede entonces descomponerse del modo siguiente:

donde i son las formas locales de la conexión y donde hemos utilizado el teorema de Stokes . Puede demostrarse que la restricción de las formas locales i y j a las intersecciones Uij están relacionadas por medio de la siguiente expresión:23

Utilizando esta ley de transformación, la expresión (26) da

donde Qijk es el punto de intersección entre los lados Lij, Lji y Lki.24 Usando la condición (24), obtenemos:

Ese cálculo muestra que la condición de integralidad (21) es una consecuencia directa de la condición de cociclos (23), es decir, de las condiciones de consistencia que deben satisfacer las funciones de transición a los efectos de definir un fibrado de línea complejo .

Estudiaremos ahora la relación entre la 2-forma cerrada y el cociclo Zijk. Mientras que define una clase en la cohomología de Rham de M definida por el diferencial exterior d, el cociclo {zijk} define una clase en la cohomología de Èech de M a valores enteros definida por el diferencial de Chech (ver apéndice). Puede demostrarse que los dos grupos de cohomología son isomorfos. En lugar de demostrar eso en general, mostraremos como es posible pasar de a {Zijk} y viceversa.

Mostraremos primero como es posible definir el cociclo {Zijk} a partir de la estructura simpléctica . Para ello utilizaremos: (1) el hecho de que toda forma diferencial cerrada es localemente exacta (lema de Poincaré), (2) la nilpotencia de los diferenciales , y 3) la conmutatividad entre (i.e. ). Como veremos a continuación, las relaciones entre los distintos elementos involucrados pueden resumirse por medio del siguiente diagrama (cf. Alvarez, 1985; Bott & Tu, 1982):

Supongamos que tenemos una 2-forma global cerrada . Dicha forma puede ser restringida a las formas locales i definidas en los abiertos Ui. Esta operación de restricción define la acción del diferencial sobre , o sea, . Si aplicamos nuevamente , tenemos , ya que provienen de la misma forma global . En los abiertos Ui, el lema de Poincaré asegura que las formas locales cerradas i son exactas. Podemos escribir, entonces, , donde . Aplicando se obtiene . Dado que d y conmutan, se tiene . Eso implica que -cerrada y, por lo tanto, (via el lema de Poincaré) localmente exacta. En consecuencia, , donde . Aplicando a uij, se obtiene . Aplicando nuevamente la conmutatividad entre d y , se tiene . En consecuencia, los elementos no sólo son -cerrados (dada la nilpotencia de ), sino también d-cerrados.25 En otros términos, las 2-cocade-nas zijk son cociclos localemente constantes, es decir, pertenencen a . De esa manera, hemos definido un mapa entre .

Recíprocamente, mostremos ahora como la 2-forma cerrada global puede ser obtenida a partir de los cociclos zijk. Para ello, utilizaremos el hecho de que toda cociclo en es exacto para p>0. En otros términos, usaremos que es trivial para p>0 (ver apéndice). Las 2-cocadenas zijk son -cerradas. Ahora bien, las 2-cocadenas zijk son también -exactas, es decir, existen 1-cocadenas tal que . Los elementos uij pueden ser expresados en términos de zijk por medio de la expresión , donde p es una partición de la unidad (o sea, tiene soporte compacto en Uj). De hecho,

donde usamos que zijk es un cociclo (o sea, (äz)ijkl = zjkl " zikl + zijl " zijk = 0). Ahora bien, zijk satisface zijk=0 ya que son funciones localmente constantes. Por lo tanto, . En otros términos, los elementos duij son -cerrados. Análogamente a lo hecho anterioremente, se tiene . En consecuencia, los elementos son ä-cerrados, o sea, . En otros términos, . Por lo tanto, existe una 2-forma global tal que . Esa 2-forma es cerrada, ya que . Esa forma puede ser expresada en término del cociclo zijk por medio de la siguiente expresión:

De esa manera, la trivilidad de los grupos de cohomología para p>0 permite definir una 2-forma diferencial cerrada a partir del cociclo .

El diagrama (30) también puede ser usado para mostrar que tanto la forma diferencial como el cociclo quedan fijados, si se especifican los potenciales locales i, las funciones de pegado uij que satisfagan la condición de cociclos (24) y las leyes de transformación en las intersecciones uij. Tenemos entonces que . En consecuencia, . En otros términos, . Es posible, por lo tanto, definir una 2-forma diferencial global tal que . Esa forma es cerrada, es decir satisface . Veamos ahora como obtener el cociclo . Aplicando a Uij se obtiene . Ahora bien, . Por lo tanto, , lo que significa que describe funciones localemente constantes. Por lo tanto, . Por otra parte, zijk es un 2-cociclo, ya que . Hemos demostrado, entonces, que .

 

CONCLUSION

A partir del análisis realizado de la cuantificación geométrica, podemos proponer la tesis según la cual la mecánica cuántica, lejos de ser un nuevo "paradigma" inconmensurable al paradigma clásico, constituye más bien una "superación dialéctica" de la mecánica clásica. Según tal punto de vista, la diferencia entre la mecánica clásica y la mecánica cuántica no debe ser comprendida en términos de una "revolución científica" discontinua, sino más bien como un proceso continuo de mediación por medio del cual la mecánica cuántica se presenta como una extensión - y no como una refutación - de la mecánica clásica. Diremos que una teoría supera a otra teoría cuando la primera permite resolver ciertos impasses teóricos de la teoría superada, conservando esta una validez aproximativa en ciertos límites. Mientras que la noción popperiana de falsabilidad se basa en la posibilidad de elegir entre teorías rivales apelando al tribunal de la experiencia, la noción hegeliana de superación, haciendo abstracción de toda relación a la experiencia, permite focalizarse sobre las relaciones puramente teóricas entre dos teorías consecutivas. La relación de superación dialéctica entre la mecánica clásica y la mecánica cuántica se declina de dos modos complementarios. En primer lugar, diremos que la mecánica clásica, lejos de ser simplemente "falsa", lejos de haberse tornado obsoleta luego del advenimiento de la mecánica cuántica, debe ser comprendida como un momento parcial y unilateral de la "imagen" cuántica de la naturaleza física. Como sostiene Hegel, "la exposición de la conciencia no verdadera en su no verdad no es un movimiento puramente negativo" (Hegel, 1998, p. 55). La superación cuántica de la mecánica clásica deve ser comprendida como una "negación determinada" que nos permita compreender tanto el origen de su unilateralidad y de su parcialidad como los límites de su validez aproximativa. El que una teoría sea superable por otra constituye un síntoma del hecho de que dicha teoría es capaz de encontrar una resistencia que podríamos denominar real. La existencia de "puntos de impasse" (tanto teóricos como experimentales), es decir de una resistencia en relación a la potencia explicativa de la teoría en cuestión, lejos de ser un argumento a favor de su falsedad, es un síntoma del hecho de que dicha teoría, lejos de ser como "lijera paloma" que - según la imagen propuesta por Kant - , "podría imaginarse que volaría mucho mejor aún en un espacio vacío", es capaz de sentir la "fricción" producida por el contacto con la "naturaleza misma" (Kant, 1998, A5-B9).

Que la mecánica cuántica sea una "superación" de la mecánica clásica implica, en primer lugar, la tesis según la cual deberíamos ser capaces de justificar y entender, gracias al formalismo cuántico, la validez aproximativa de la mecánica clásica. El estudio de las limitaciones y de la unilateralidad de la mecánica clásica consideradas desde el punto de vista de la mecánica cuántica define el así llamado límite clásico de la mecánica cuántica. Dicho límite debería permitir comprender las condiciones mínimas de compatibilidad entre la descripción cuántica fundamental de un sistema físico y su comportamiento aproximativamente clásico. Dicho de otro modo, el estudio del límite clásico debe permitir comprender porque la naturaleza física, siendo fundamentalmente cuántica, aparece - al ser "observada" por medio de ciertos "observables" - bajo la forma descripta por la mecánica clásica.

Ahora bien, el estudio del límite clásico no agota las relaciones entre ambas teorías. En el marco de las diversas tentativas por comprender el límite clásico, se asume el formalismo cuántico y se intenta comprender bajo qué condiciones de observación, en que escalas y por medio de qué mecanismos un comportamiento aproximativamente clásico puede ser "observado". En consecuencia, el estudio del límite clásico simplemente asume la validez de la mecánica cuántica sin preguntarse por que la mecánica cuántica es preferible a la mecánica clásica desde un punto de vista estrictamente teórico, es decir, independientemente de la superioridad empírica de la teoría cuántica. Ahora bien, el desarrollo de la tesis según la cual la mecánica cuántica es una superación de la mecánica clásica no requiere únicamente comprender el límite clásico, sino también entender cuáles son los puntos de impasse teóricos de la mecánica clásica resueltos por la extensión cuántica. La localización de dichos puntos de impasse permite comprender lo que podríamos denominar la "plusvalía teórica diferencial" de la mecánica cuántica en relación con la mecánica clásica. Desde un punto de vista especulativo, es decir, haciendo completa abstracción del hecho de que la mecánica cuántica sea una teoría experimentalmente más satisfactoria que la mecánica clásica, es necesario comprender de una perspectiva estrictamente teórica por qué la mecánica cuántica es de hecho más satisfactoria que la mecánica clásica. Dicha prescripción requiere suspender la idea según la cual las dificultades encontradas para entender la mecánica cuántica contrastan con la comprensión pretendidamente satisfactoria de la mecánica clásica. De hecho, podríamos afirmar que la falta de una comprensión satisfactoria de la mecánica cuántica es una consecuencia directa del carácter todavía insatisfactorio de la comprensión actual de la mecánica clásica. En particular, todavía no hemos entendido cuales son los puntos de impasse intrínsecos de la mecánica clásica susceptibles de explicar la necesidad racional de la superación cuántica. En consecuencia, todavía no hemos entendido en qué medida el hecho de que la mecánica cuántica provea una formalización más satisfactoria de la consistencia objetiva de la naturaleza física, lejos de ser una contingencia empírica, sea una necesidad racional. Con el objeto de entender la plusvalía teórica diferencial de la extensión cuántica, es necesario retornar a la mecánica clásica e intentar identificar sus puntos de impasse teóricos. Según esa manera de concebir las relaciones entre ambas teorías, la mecánica cuántica, lejos de inaugurar un nuevo "paradigma" no clásico, debe ser entendida como una profundización del programa iniciado por medio de la mecánica clásica. En otros términos, el éxito de la mecánica cuántica muestra retrospectivamente en qué medida Newton, Lagrange y Hamilton (entre otros) estaban en lo cierto.

Con el objeto de comprender la plusvalía teórica diferencial de la mecánica cuántica no podemos asumir de entrada el formalismo cuántico. Hay que proceder más bien a la inversa, es decir, partir del formalismo clásico e identificar los puntos de impasse susceptibles de justificar la necesidad teórica de efectuar una "superación cuántica". Dicho de otro modo, la comprensión de la plusvalía teórica de la mecánica cuántica en relación con la mecánica clásica, lejos de poder resultar del análisis del límite clásico de la mecánica cuántica, solo puede provenir del análisis de los así denominados formalismos de cuantificación. El análisis de los procedimientos de cuantificación debería ayudar a entender la necesidad puramente racional de pasar de la mecánica clásica a la mecánica cuántica independientemente del éxito empírico de esta última.

En este artículo, hemos analizado en detalle la manera en que el formalismo de cuantificación denominado cuantificación geométrica permite entender a la mecánica cuántica como una extensión de la mecánica clásica. Si las variedades simplécticas constituyen el sustrato geométrico de la mecánica clásica, la mecánica cuántica puede ser reobtenida por medio de una extensión fibrada de dichas variedades. De ese modo, del mismo modo en que el espacio-tiempo forma parte constitutiva de la teoría de Yang-Mills (definida sobre un espacio fibrado sobre el espacio-tiempo), podemos decir que la mecánica clásica forma parte constitutiva de la mecánica cuántica (definida sobre un espacio fibrado sobre una variedad simpléctica). El análisis efectuado muestra que la no-inyectividad entre el álgebra de Poisson de los observables y el algebra de operadores clásicos HMconstituye el "punto de impasse" clásico superado por la extensión cuántica. De hecho, la cuantificación geométrica muestra que los operadores cuánticos pueden ser obtenidos por medio de una extensión "vertical" de los operadores clásicos "horizontales" (campos vectoriales Hamiltonianos). Dicha extensión cuántica de los operadores clásicos permite representar inyectivamente el álgebra de Poisson de los observables . Por lo tanto, podemos afirmar que, desde un punto de vista formal, la mecánica cuántica resulta de la necesidad de forzar una correspondencia inyectiva entre los observables y los operadores asociados. La consecuencia fundamental del hecho de que la aplicación clásica definida por la estructura simpléctica no sea un isomorfismo de álgebras de Lie es que la transformación de un observable f no necesariamente modifica al operador diferencial asociado vf. En consecuencia, y a los efectos de alcanzar una comprensión satisfactoria de la mecánica cuántica, es necesario entender la necesidad puramente teórica de establecer dicho isomorfismo entre los observables y los operadores asociados (cf. Catren, en prensa).

La cuantificación geométrica también permite entender la naturalidad de ciertas características distintivas de la mecánica cuántica. En primer lugar, dicho formalismo muestra que la no-conmutatividad de los operadores cuánticos asociados a variables canónicamente conjugadas puede ser explicada de manera puramente geométrica en términos de los transportes paralelos definidos por una conexión de curvatura no nula definida por la forma simpléctica . De esa manera, la no-conmutatividad cuántica adquiere el mismo sentido geométrico que la no-conmutatividad de los transportes paralelos en el marco de la relatividad general y de la teoría de Yang-Mills (cf. Catren, 2008b). Por otra parte, la condición de integralidad analizada en la sección 6 muestra que el carácter discreto del espectro de ciertos observables como el spin y la energía es una consecuencia de la topología no-trivial del fibrado .

También vale la pena destacar que la cuantificación geométrica permite reconstruir la mecánica cuántica en dos etapas independientes, a saber, la precuantificación de la variedad simpléctica y la elección de una polarización de los estados (o sea, de una representación). Sin embargo, mientras que la precuantificación de la variedad simpléctica permite resolver el carácter no-inyectivo de la correspondencia entre observables y operadores clásicos, la polarización de los estados precuánticos es un procedimiento ad hoc cuya única justificación es la necesidad de recuperar el formalismo cuántico conocido. En otro lugar (Catren, en prensa), propongo una interpretación de la cuantificación geométrica que permite entender la necesidad de polarizar los esta-dos precuánticos a partir de un principio físico proveniente de las teorías de gauge (o teorías hamiltonianas con vínculos), a saber la existencia de una correspondencia entre los vínculos de primera clase y las transformaciones de gauge (cf. Catren, 2008a; 2009).

 

AGRADECIMIENTOS

Este trabajo fué parcialemente realizado en el marco del proyecto ERC Starting Grant Philosophy of Canonical Quantum Gravity (Grant N° 263523) financiado por el European Research Council.

 

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1 Con el objeto de simplificar la notación, omitiremos a partir de ahora los índices i suponiendo un espacio de fases M de dos dimensiones.
2 En ese caso, la 2-forma simpléctica puede ser obtenida a partir de una 1-forma canónica sobre M por medio de la expresión . La 1-forma canónica puede ser definida de la manera siguiente. Dado cualquier vector , la proyección define el pushforward . Por otra parte, las coordenadas de están dadas por un par , donde . En otros términos, es una 1-forma que actúa sobre los vectores en . Esto significa que es posible contraer la 1-forma con el vector . Es posible definir entonces la 1-forma canónica en M por medio de la siguiente expresión: En coordenadas locales (p,q) en T*Q, la 1-forma canónica θ puede escribirse como =-pdp.
3 La diferencia entre la forma simpléctica ω y una métrica es que la dualidad entre los espacios tangentes y cotan-gentes definida por ω establece una intrincación entre las coordenadas q y los momentos p. En efecto, las 1-formas duales a son dp y -dq respectivamente . Esa "intrincación" entre las q y las p tiene como consecuencia que la "norma antisimétrica" de un vector definida por la forma simpléctica es cero , mientras que el "producto interno antisimétrico" de .
4 Puede demostrarse que el corchete de Poisson satisface la identidad de Jacobi si y solo si dω = 0.
5 En efecto,

6 Una secuencia corta es exacta si el núcleo de cada aplicación coincide con la imagen de la aplicación precedente. Para que esto suceda, se deben satisfacer las condiciones siguientes: (1) la aplicación i debe ser inyectiva (o sea, una inclusión), (2) la aplicación p debe ser sobreyectiva (o sea, una proyección) y (3) se debe satisfacer Ker(pr) = im(i).
7 En lo que sigue utilizaremos la siguiente terminología. La expresión "un observable f induce una transformación" será a veces utilizada para abreviar la expresión "el operador vf asociado al observable f genera una transformación".
8 Análogamente al modo en que una transformación cuántica de la forma es obtenida integrando la acción infinitesimal del operador cuántico sobre los estados a partir de la ecuación diferencial , el subgrupo uniparamétrico de difeomorfismos es obtenido integrando la acción infinitesimal del operador clásico sobre los estados clásicos (q, p) a partir de la ecuación diferencial (y análogamente para p). Análogamente a lo que sucede en mecánica cuántica, las soluciones de esta ecuación diferencial pueden ser escritas formalmente como , donde la exponencial denota su representación en serie es una condición inicial (cf. Goldstein, 2001, p. 408). Más precisamente, la solución puede expresarse por medio del siguiente desarrollo en serie:


donde el sufijo 0 indica que la expresión resultante debe ser evaluada en las condiciones iniciales (q(0), p(0)) para t = 0.
9 Supongamos que , donde , garantizando así que . Tenemos, entonces, que . Por otra parte, tenemos , donde . Obtenemos entonces
.
10 Puede mostrarse que la obstrucción c es un 2-cociclo de la cohomología de álgebras de Lie a valores en. Sea g un álgebra de Lie y el conjunto de k-cocadenas valuadas en (donde los mapas a son k-mapas lineales antisimétricos). Definamos el diferencial por medio de la expresión


donde significa que el elemento ha sido suprimido. Es posible demostrar que . La correspondiente cohomología es la cohomología de álgebras de Lie de g valuada en . En nuestro caso, el elemento es un mapa bilineal antisimétrico que satisface:
. En otros términos, c es un 2-cociclo en (donde se uso la identidad de Jacobi tanto en {.;.} como {.;.}). Su clase de cohomología es independiente de (c.f. Brylinski, 1993).
11 Estrictamente hablando, un isomorfismo entre los observables clásicos y los operadores asociados solo puede establecerse para una subálgebra de (cf. Abraham & Marsden, 1978; Guillemin & Sternberg, 1984).
12 La situación es análoga a lo que sucede en la teoría electromagnética. El campo electromagnético está descripto por una 2-forma cerrada F sobre el espacio-tiempo X. Siguiendo el ejemplo provisto por la relatividad general, podríamos intentar intepretar F como la curvatura de una conexión. Sin embargo, esto no puede hacerse en el marco geométrico provisto por el espacio-tiempo X. En efecto, para interpretar F como la curvatura de una conexión es necesario extender el espacio-tiempo X definiendo un fibrado principal con grupo de estructura sobre X dotado de una conexión A (cuya 1-forma local puede ser identificada con el potencial electromagnético).
13 Sea un G-fibrado principal y G una representación de G sobre un espacio vectorial V. Se puede definir entonces una relación de equivalencia sobre el producto P x V dada por donde . El conjunto cociente define el espacio total del fibrado vectorial asociado , donde la proyección es definida como .
14 La relación entre la 1-forma de la conexión en P y la conexión sobre el fibrado asociado está dada por la expresión , donde s es cualquier sección de p. Una estructura hermítica {.;.}es compatible con la conexión si se satisface la condición (c.f. Brylinski, 1993).
15 Por ejemplo, la precuantificación del fibrado cotangente permite definir los operadores cuánticos asociados al conjunto completo de observables q y p respectivamente (ver expresiones (15) y (16)). Consideremos ahora el subconjunto de estados de la forma . Aplicando los operadores a dichos estados, se obtienen los nuevos estados , los cuales también dependen sólo de q. En consecuencia, es un subespacio propio de estados que es invariante ante la acción de los operadores cuánticos .
16 Definamos J tal que J(1,0) = (0,1). Si identificamos la acción de J con la multiplicación por i, entonces (1,0) y (0,1) no son linealmente independientes en el campo de los números complejos. Por lo tanto, dim(VJ) = n como espacio vectorial complejo.
17 Supongamos un espacio vectorial complejo Cn cuyos vectores serán expresados como z = (zi,..., zn). El producto interno hermítico h entre dos vectores es:


donde . Analicemos ahora el producto hermitico entre en . La parte real de dicho producto hermítico coincide con el producto interno real . La parte imaginaria coincide (módulo un signo) con la forma simpléctica standard en evaluada en (x,y) y (u,v) . En otros términos, . Por otra parte, el producto interno real puede definirse por medio de la expresión (18). En efecto, utilizando , se tiene:


18 Aunque la variedad simpléctica sea cuantizable, el fibrado de línea complejo dotado de una conexión hermítica de curvatura dada por no está únicamente determinado por la variedad simpléctica . Existe una única cuantización solo si M es simplemente conexa. En caso contrario, el sistema clásico admite varias quantizaciones no equivalentes.
19 Un recubrimiento abierto es un buen recubrimiento si todas las intersecciones finitas no vacías son isomorfas a .
20 El producto tensorial de dos fibrados vectoriales de línea es también un fibrado de línea. En efecto, el producto tensorial de los fibrados de líneacuyas fibras son los espacios vectoriales V y V' respectivamente, es el fibrado cuyas fibras están dadas por el producto tensorial . Los elementos de son de la forma donde los vectores definen las bases de respectivamente. En consecuencia, el elemento depende de una sola coordenada, por lo cual puede ser considerado un espacio vectorial de dimensión 1. El producto tensorial de fibrados de línea permite definir una estructura de grupo, donde el fibrado trivial define el elemento identidad y el fibrado dual L* define el inverso L-1 de L.
21 Supongamos dos trivializaciones distintas del mismo fibrado definidas por las secciones . Tendremos por lo tanto dos conjuntos de funciones de transición . Las funciones de transición están relacionadas por medio de la expresión donde está dado por . La relación entre los dos conjuntos de cociclos está dada por . Dos fibrados son isimorfos si los correspondientes cociclos satisfacen la relación . Dado que donde a1 es una 0-cadena de Èech, la relación entre los dos cociclos puede rescribirse como . Esto significa que difieren en una forma exacta y que por lo tanto pertenecen a la misma clase de cohomología.
22 Como la aplicación exp es sobreyectiva (dada la exactitud de la secuencia corta (25)), existe un elemento tal que. Ahora bien, ya que Cij es un cociclo. Por lo tanto, . Dado que la secuencia corta es exacta, se tiene para algún . Ahora quere-mos ver que , es decir que Zijk es un cociclo. Aplicando se obtiene . Entonces se tiene . Como la aplicación es inyectiva,


23 Dada una conexión , la derivada covariante de la sección s está dada por . Las secciones si que definen las trivializaciones definen las formas locales . En las intersecciones , tenemos:


donde usamos la regla de Leibniz .
24 Por ejemplo, la contribución al punto de intersección Q123 proveniente de los lados es . Usando que , se obtiene .
25 Verifiquemos explícitamente que :

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