Sobre o Teorema de Poynting

CARTA AO EDITOR

Sobre o Teorema de Poynting

O teorema de Poynting é bem conhecido. Partindo da potência realizada por unidade de volume pelo campo elétrico, chega-se à equação de balanço da energia, identificando-se o fluxo de energia como o vetor de Poynting. Usualmente o Teorema é deduzido tendo como objetivo a aplicação a meios materiais e identifica-se a potência realizada por unidade de volume como o efeito Joule [1]. Queremos aqui chamar a atenção para o fato de que, com isso,omite-se outra contribuição legítima à potência realizada pelo campo elétrico : é a potência necessõria para criar a polarização do meio. Esta é igual à ·, sendo a polarização e to tempo. De fato, as demonstrações consideram como potência realizada por unidade de volume unicamente o termo ohmico, ·, sendo a densidade de corrente de condução. Podemos nos convencer da necessidade de se introduzir este termo devido à criação da polarização (deverõ ocorrer outro devido à magnetização), lembrando que no tratamento termodinâmico da polarização [2], está claramente estabelecido que o trabalho realizado pelo campo é ·d/4p, com o deslocamento elétrico. Sendo = +4p, resulta para aquele trabalho, ·d/4p + ·d. O primeiro termo é o trabalho para aumentar o campo no vácuo, e é uma diferencial exata. O outro depende das características do material e de variáveis termodinâmicas. No caso da magnetização, o trabalho é ·d/4p, igual a ·d/4p+·d, sendo , e , respectivamente, a indução, o campo magnético e a magnetização. A consideração desses termos nas potências realizadas por unidade de volume pelo campos elétrico e magnético no teorema de Poynting não leva a mudanças algébricas radicais na sua dedução, como veremos a seguir.

Como usualmente apresentado [1,2], o teorema de Poynting consiste em substituir no produto · , por seu valor extraido da equação de Maxwell, Ñ × = (1/c)(4p+¶/¶t), e usar a identidade da divergência do produto vetorial, Ñ· × = ·Ñ × – ·Ñ × , com Ñ × = – (1/c) ¶/¶t. Integrando-se o resultado num volume fechado V, limitado pela superfície S, de versor normal , resulta

e são agora expressos, respectivamente, em termos de e , e de e , e, transpondo para o lado esquerdo da Eq. (1) os termos em ·¶/¶t e ·¶/¶t, chega-se a

em que u₀ é a densidade de energia eletromagnética no vácuo

ou, re-escrevendo a Eq. (2),

Começando no lado direito da Eq. (4), temos que a perda temporal da energia puramente eletromagnética no volume V é igual à soma da potência realizada pelos campos elétrico e magnético no volume V e do fluxo de energia puramente eletromagnética que flui para o exterior do volume (fluxo do vetor de Poynting).

Note-se que no presente tratamento não foi necessário admitir que o meio é linear, isto é, que as polarizações e magnetizações são, localmente, proporcionais aos respectivos campos.

O nosso tratamento foi feito no sistema Gaussiano. No sistema Internacional, as Eqs. (3) e (4) se escrevem

sendo

₀ e m₀ a permitividade elétrica e a permeabilidade magnética do vácuo, respectivamente.

Enquanto que, nos meios materiais, o termo ·, como calor Joule, representa um processo irreversível, nada se pode dizer a respeito dos termos elétrico e magnético no integrando do lado esquerdo da Eq. (6), até que o processo seja especificado. Se este, no seu desenvolvimento temporal, envolve histerese elétrica ou magnética, haverá produção de calor, e adicional contribuição à irreversibilidade.

1. J. D. Jackson, , Classical Electrodynamics, Wiley, N. York.,1975, 2a. edição, Cap. 6.

2. M. Abraham and R. Becker, Classical Theory of Electricity and Magnetism, Blackie and Sons, 1952, part IV.

G. F. Leal Ferreira

Instituto de Física de São Carlos, USP

Publication Dates

• Publication in this collection
  24 Feb 2003
• Date of issue
  2002