Potência elétrica irradiada e potência mecânica dissipada no sistema de dois dipolos oscilantes próximos e em fase

Irradiated and dissipated mechanical power of a system of two nearby parallel oscillating dipoles moving in phase

NOTAS E DISCUSSÕES

Potência elétrica irradiada e potência mecânica dissipada no sistema de dois dipolos oscilantes próximos e em fase

Irradiated and dissipated mechanical power of a system of two nearby parallel oscillating dipoles moving in phase

G. F. Leal Ferreira

Instituto de Física de São Carlos, USP, CP 369, 13560-970, São Carlos, SP [e-mail]

RESUMO

Mostra-se diretamente que a potência média irradiada por um sistema de dois dipolos oscilantes próximos, paralelos e em fase, é igual à potência mecânica média dissipada nos osciladores necessária para manter o movimento harmônico simples.

ABSTRACT

We show directly that the mean irradiated power from a system of two nearby parallel oscillators in phase is equal to the mean mechanical power supplied to both oscillators to mantain their harmonic motion.

I Introdução

Em interessante artigo publicado nesta revista, o problema do acoplamento entre fontes radiantes foi abordado [1]. O autor chama a atenção para o fato de que a variação da potência total irradiada por um sistema de fontes em relação àquela como se fossem isoladas se deve à interação entre elas. Ocorreu-nos a idéia de comprovar diretamente a assertiva com um sistema físico simples, o de dois dipolos próximos, paralelos, com movimento harmônico simples (mhs) em fase. O ponto realmente sutil é que a energia irradiada depende do fluxo do vetor de Poynting dos campos longínquos em esfera distante, enquanto que a interação entre as fontes depende dos campos próximos². Vai-se mostrar por cálculo direto que a potência total média irradiada pelos dois dipolos é igual à potência mecânica média empregada para promover a emissão como se fossem isoladas, adicionada da potência mecânica necessária média para cada oscilador executar o seu movimento em presença do outro. Ver-se-á que com os dipolos próximos, a potência emitida é quase quatro vezes a potência de emissão como isoladas, contrariando a visão de que, '....como és claro, la energia total emitida por las dos fuentes és solo el doble de la que emite una solo fuente.' [2]. O cálculo será realizado para dipolos 'próximos', que significará aqui em segunda ordem da razão distância/ comprimento de onda.

II O campo elétrico do dipolo radiante

A situação a ser estudada é a da emissão de um par de dipolos oscilantes, mhs, paralelos, de momento M₀, frequência angular w, como mostra a Fig. 1. Por razão da especial simetria estudada, só necessitaremos da componente E do campo elétrico do dipolo [3], Fig.2,

com b = w/c = 2p/, sendo o comprimento de onda da radiação.

III A potência irradiada pelo sistema de dois dipolos

Para o estudo da potência irradiada pelos dipolos da Fig. 1, consideremos a Fig. 3. O campo elétrico total em pontos distantes será a soma dos campos de cada um dos dipolos, tendo em conta a diferença de fase devido à diferença de distância, Dr, entre os dipolos e o ponto considerado. Em pontos distantes tomam-se os campos com a dependência em 1/r. Tendo como referência o ponto médio O entre as fontes, o campo elétrico total E

_T na direção em r₀ será

com

sendo 2a a distância entre as fontes. Na aproximação ba << 1, a Eq. 2 é

e o fluxo do vetor de Poynting médio, P, numa esfera de raio ®¥ será

ou pela Eq. 4,

que dá finalmente

tendo em conta que b = w/c. Notemos que a potência média irradiada por um dipolo isolado, P₁, pode ser obtido da Eq. 7 acima, fazendo-se a = 0 e dividindo-se o resultado por 4 já que P se refere à emissão de dois dipolos e é proporcional ao quadrado de M₀, ou seja,

Para a pequeno, P é quase quatro vezes maior que P₁ (e não duas, como mencionado em [2]), mas como enfatizado em [1], isto se deve a uma maior potência mecânica empregada para manter os osciladores em mhs, como veremos.

IV Ação de um dipolo sobre o outro

Consideremos agora o campo elétrico E_ed que o dipolo da esquerda da Fig. 1 cria sobre o dipolo da direita. Tomando o sentido positivo para cima, ele é -E(r = 2a, = 90^o), com E tirado da Eq. 1. O trabalho por ciclo, W, executado por esta força será calculado de qòE_edvdt num período, sendo q a carga do dipolo e v a velocidade, igual a iwM₀e^iwt/q, que em AC é dado por

Fazendo Y = ReE_edv^*, temos

Para obtermos Y correto até termos de 2^a ordem em ba, sendo ba << 1, devemos usar para senx até termos de 5^aordem, ou seja x-x³/3!+x⁵/5! e para o cosx, termos até 4^a, ou seja, 1-x²/2+x⁴/4!. Feito isto, obtém-se

e W da Eq. 8 será

A potência média será P¢ = W/T = Ww/2p, sendo T o período de oscilação. Temos então

O sinal negativo em P¢ significa que o agente mecânico agindo sobre o oscilador à direita deve exercer trabalho extra para mantê-lo em mhs.

V Potência irradiada e potência mecânica nos osciladores

P¢ na Eq. 12 dá a potência média que deve ser exercida sobre o oscilador da direita (esquerda), sob a ação do da esquerda (direita) para que mantenha o mhs. Queremos calcular a potência mecânica média total agindo sobre cada oscilador, P_m, para compararmos com P da Eq. 7. Para isto deveremos adicionar à P¢ a potência necessária para ele emitir como se fosse isolado, que está dado na Eq. 8, com P₁. Pode-se objetar que este resultado foi obtido com o auxílio dos campos em pontos distantes, Eq. 2, e é na verdade potência emitida e não potência mecânica dissipada. Mas note-se que a Eq. 12, que se refere à potência dissipada, fornece o mesmo resultado fazendo-se a = 0. Isto é, com a = 0, os dipolos coalescem e a interação mútua torna-se auto-interação. Teremos então para P_m

A potência mecânica média total, P_mT, será 2P_m, ou seja,

que é igual a P, potência irradiada pelo sistema, Eq. 7.

VI Considerações finais

Demonstrou-se diretamente que a potência irradiada pelo sistema de dois dipolos em fase vem da potência mecânica média empregada em cada um deles para emitir mantendo o mhs, sobrecarregada pela ação do dipolo companheiro. O cálculo mostra a consistência interna da Teoria do Eletromagnetismo, visto que diferentes expressões do campo elétrico são empregadas. Seria interessante estendê-lo além do termo em (ba)².

2. Citado em [1].

Recebido em 08 de março, 2003

Aceito em 25 de julho, 2003

• 1. Reinaldo Welti, Rev. Bras. Ens. Física, 24, 415 (2002).
• 3. J. C. Slater, Microwave Transmission, Dover Public., 1942, Cap.V.

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  11 Dez 2003
• Data do Fascículo
  Set 2003

Histórico

• Recebido
  08 Mar 2003
• Aceito
  25 Jul 2003