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Revista Brasileira de Ensino de Física

Print version ISSN 1806-1117On-line version ISSN 1806-9126

Rev. Bras. Ensino Fís. vol.26 no.1 São Paulo  2004

http://dx.doi.org/10.1590/S1806-11172004000100013 

HISTÓRIA DA FÍSICA E CIÊNCIAS AFINS

 

Introdução à mecânica dos quanta

Parte IV1

 

 

Theodoro Ramos

Escola Politécnica de São Paulo

 

 


RESUMO

Neste quarto artigo o autor introduz a mecânica matricial de Heisenberg e mostra sua equivalência com a mecânica ondulatória de Schrödinger.

Palavras-chave: mecânica matricial.


ABSTRACT

In the fourth paper of the series, the author introduces the matrix mechanics due to Heisenberg and shows its equivalence to the Schrödinger's undulatory mechanics.

Keywords: matrix mechanics.


 

 

1. Noções sobre o cálculo e a mecânica das matrizes

Heisenberg, ao elaborar, em 1925, a nova Mecânica dos "Quanta", procurou fixar a sua atenção unicamente sobre as grandezas que possuem significação experimental precisa, e tais como:

1) as freqüências e as intensidades das raias espectrais do átomo;

2) os níveis energéticos do átomo que nos são revelados, quer pelas experiências sobre o choque eletrônico (experiências de Frank e Hertz, e de outros), quer pela espectroscopia que nos fornece, para o cálculo da freqüência da radiação emitida pelo átomo, a fórmula fundamental nnm = Tn - Tm; os termos espectroscópicos Tn e Tm, sendo associados aos níveis energéticos En e Em.

Na elaboração da nova Mecânica Atômica, valeu-se Heisenberg largamente do principio de correspondência de Bohr já examinado na última conferência.

Consideremos primeiramente o caso de um sistema atômico dependendo de um único parâmetro (real) x.

Vimos em uma conferência anterior que na teoria eletromagnética clássica quando se estuda a radiação emitida por um átomo procura-se desenvolver x(t) em série de Fourier

t tomando os valores inteiros de -¥ a +¥. Os coeficientes at dependem da variável de "ação" J, e como x é real devemos ter at = ou at = (o asterisco significando o imaginário conjugado). n é a freqüência fundamental da vibração do elétron: at é a amplitude complexa da componente harmônica de ordem t. A intensidade da harmônica de ordem t é proporcional a |at|2 = at at.

A teoria clássica faz corresponder à variável dinâmica x(t) uma sucessão de quantidades atexp(2pitnt) cujo conhecimento acarreta o de x(t) por intermédio da série de Fourier.

Na nova Mecânica Atômica, Heisenberg, guiado pelo principio de correspondência de Bohr, caracterizou a variável x pelo conjunto de quantidades xnm = anmexp(2pinnmt), (m= n -t), dispostas no quadro

em que nnm é a freqüência da radiação emitida pelo átomo quando passa do estado energético n ao estado m = n - t;|anm|2 é proporcional à intensidade da radiação emitida, e, na linguagem estatística de Born, proporcional à probabilidade de passagem do átomo do estado n ao estado m.

Escreve-se x = (xnm). Como x é real, supõe-se que anm e amn são imaginários conjugados, e que, portanto

pois nnm = Tn - Tm = -nmn.

Observemos que nnn = 0. No quadro dos xnm, os termos simétricos em relação à diagonal principal são conjugados; os termos da diagonal principal são constantes e reais.

Heisenberg faz também corresponder ao momento p conjugado de x, em substituição à serie de Fourier , um quadro do tipo acima considerado.

A fim de traduzir, na nova mecânica, as relações entre as coordenadas x e p na teoria clássica, torna-se necessário definir as operações elementares a efetuar com os quadros (xnm). Heisenberg, ainda aí, valeu-se da analogia com as séries de Fourier.

A soma e o produto de duas séries de Fourier x1 e x2, contendo as mesmas freqüências, são séries de Fourier cujos coeficientes são dados por

Vemos que a soma e a multiplicação das duas séries de Fourier não introduzem nenhuma nova freqüência.

Para os quadros () e (), contendo as mesmas freqüências definem-se a soma (xnm) e a multiplicação (Xnm) com o auxílio das fórmulas

nenhuma nova freqüência é introduzida, pois pelo princípio de combinação de Ritz entre as freqüências possíveis, há a relação nnk + nkm = nnm.

Estas regras de cálculo vêm mostrar que os quadros (Xnm) podem ser considerados como matrizes cuja teoria, há muito, é conhecida. As matrizes acima indicadas são do tipo de Hermite: Xnm = .

A multiplicação das matrizes é distributiva e associativa, mas, em geral, não é comutativa.

Diz-se que uma matriz é diagonal quando todos os seus termos, exceto os da diagonal principal, são nulos:

em que dnm = 1 se n = m e 0 se n ¹ m.

A matriz

é a matriz unidade. É fácil ver que é uma matriz comutável com uma matriz qualquer x = (xnm):

xd - dx = 0.

A matriz recíproca de x, x-1, é definida por x-1x = d; x-1 e x são comutáveis; tem-se d-1 = d.

A divisão da matriz x pela matriz y é, por definição, o produto xy-1. A matriz , derivada em relação ao tempo t da matriz x, é a matriz nm = 2pinnmxnm.

Se x é diagonal, = 0. A recíproca desta proposição é verdadeira quando nnm ¹ 0, para n ¹ m, pois neste caso e xnm se anulam ao mesmo tempo; isto acontece, como sabemos, quando o sistema não é "degenerado".

Consideremos a matriz y função2 da matriz x, y = f(x). A matriz derivada de y em relação a x, é por definição,

c designando a matriz diagonal com termos iguais

Se y = x, = d. Se y = f(x)Y(x), .

Podemos agora introduzir algumas noções sobre a Mecânica das Matrizes.

De acordo com as idéias de Heisenberg substituem-se a variável x e o seu momento conjugado p pelas matrizes (xnm) e (pnm) cujos elementos dependem das intensidades e das freqüências das radiações emitidas pelo sistema atômico.

Na teoria de Bohr, como vimos, x e p satisfazem às equações canônicas, e a variável de "ação" J verifica a relação J = òpdx = nh, n designando um número inteiro e h a constante de Planck; a integral é tomada ao longo de um ciclo completo de variação de x.

Heisenberg substituiu o postulado "mecânico" da teoria de Bohr pela relação

entre as matrizes x, p, e a matriz unidade d. Esta relação exprime que as matrizes x e p não são comutáveis e dá a expressão da diferença px - xp.

Vamos mostrar como foi Heisenberg conduzido, pela aplicação do principio de correspondência de Bohr a tal relação que é fundamental na nova Mecânica Quântica.

Temos

substituindo x e p pelos seus desenvolvimentos em série de Fourier e atendendo a que 1/n é o período do movimento.

Na integração, o termo constante (correspondente a t + s = 0) é o único que não fornece um resultado nulo: vem pois

ou

Heisenberg, guiado pelo principio de correspondência de Bohr, substituiu sistematicamente quantidades tais como at(J), bt (J), ou at (nh), bt (nh), an, n-t, bn, n -t correspondentes ao salto quântico n, n - t. Ao operador h/J corresponde, também, na teoria quântica, conforme vimos na última conferência, a diferença D relativa aos estados n e n-t. Devemos, pois, substituir h(bta-t)/J por D(bn, n - t an - t, n) ou bn + t, nan, n + t - bn, n - t an - t, n, e obtemos h/2pi = Stbn, n - tan - t, n - Stbn + t, n an, n + t; ora a soma deve ser feita tomando os valores inteiros de t de -¥ a +¥ ; a cada número t corresponde um outro -t, de modo que

Esta fórmula mostra que o n-ésimo termo diagonal da matriz px - xp é igual a h/2pi, ou ao n-ésimo termo da matriz diagonal (h/2pi)d.

Heisenberg generalizou este resultado admitindo a coincidência da matriz px - xp com a matriz (h/2pi)d na Mecânica Quântica.

Observe-se: nos casos em que, nas equações se pode desprezar os termos que contêm h em fator em face dos outros termos, as matrizes x e p se tornam comutáveis e a Mecânica Clássica pode ser utilizada.

O principio de correspondência ainda conduziu Heisenberg a admitir a possibilidade de formar a função hamiltoniana H(x, p) das matrizes x e p, tal que e satisfaçam às equações denominadas canônicas

A escolha da matriz H(x, p) faz-se, nos problemas mais simples da Mecânica Quântica, por analogia com a função H da teoria clássica; os resultados confrontados com a experiência têm sido satisfatórios em tais casos.

Observemos que às equações "canônicas" entre as matrizes x e p corresponde uma infinidade de equações do tipo

as quais combinadas com as equações já estabelecidas

conduzem ao cálculo das freqüências nnm e das amplitudes anm e bnm, das vibrações relativas ao sistema atômico.

Das equações entre as matrizes x e p resultam as seguintes proposições:

1) H é uma matriz diagonal, e a equação = 0 exprime a conservação da energia.

2) Os termos espectroscópicos Tn multiplicados por h, coincidem, abstração feita de uma constante aditiva, com os termos diagonais Hnm da matriz H.

Dirac generalizou a teoria de Heisenberg para o caso de um sistema multiperiódico dependendo de k parâmetros xnm. Dirac admitiu, neste caso, as seguintes equações da Mecânica dos "Quanta":

a) Equações canônicas:

b) Condições quânticas (ditas de "permutação"):

As Eqs. (20) não são independentes das Eqs. (19). Em rigor, as Eqs. (20) só podem ser consideradas exatas para um instante determinado; as relações de "permutação" nos instantes seguintes devem ser tiradas das Eqs. (19).

 

2. Equivalência entre a mecânica ondulatória e a mecânica das matrizes

A aplicação da Mecânica das Matrizes aos problemas atômicos conduz a cálculos longos, fastidiosos e às vezes, delicados. Observou-se no cálculo dos níveis energéticos, a identidade, para cada problema estudado, de resultados obtidos separadamente pela Mecânica das Matrizes e pela Mecânica Ondulatória. A equivalência matemática entre as duas teorias foi, aliás, demonstrada por Schrödinger e Eckart cujos trabalhos vieram facilitar consideravelmente a resolução dos problemas de Mecânica Atômica.

Pode-se, agora, afirmar que a Mecânica das Matrizes e a Mecânica Ondulatória constituem dois aspectos diferentes da mesma teoria quântica.

Vamos expor, em suas linhas gerais, a teoria de Schrödinger, considerando o caso do campo permanente.

A equação da conservação da energia na Mecânica Clássica se escreve

Sabemos que H = T + U. Em coordenadas curvilíneas temos a equação da conservação da energia sob a forma dita "simetrizada"

Substituamos p pelo operador (h/2pi)/xi; E, pelo operador (h/2pi)/t, e xi pelo operador "multiplicação por xi"; apliquemos o operador resultante, assim obtido, à função Y das ondas; vem

ou

equação de Schrödinger.

Se o campo é permanente, a equação de Schrödinger pode ser escrita

Neste caso, se En são os valores fundamentais ou característicos, e Yn as soluções correspondentes, podemos supor o sistema dos Yn normal e ortogonal

Conforme já dissemos em outra conferência, uma função contínua f(r) pode, sob certas condições, ser desenvolvida em série de funções características,

sendo

a integração sendo estendida a todo o espaço.

Schrödinger observou que as condições (20) da Mecânica das Matrizes conduzem a relações entre operadores diferenciais lineares relativamente a xi. Assim, por exemplo, no caso de um sistema que depende de um parâmetro, substituindo na equação fundamental px - xp = (h/2pi)d, p por (h/2pi)d/x, d pela unidade 1, e considerando x como operador, vem

que é verificada identicamente, pois

Schrödinger procurou, então, descobrir uma conexão entre as relações entre operadores, equivalentes às equações das matrizes, e as relações análogas equivalentes às equações das ondas.

Seja F(x, p) uma função das variáveis x e p (Mecânica Clássica). Substituamos em F, p pelo operador (h/2pi)/x e consideremos x como operador ("multiplicação por x"). F(x, (h/2pi)/x) torna-se um operador que aplicado a Yn dá uma função de x que, desenvolvida em série de funções fundamentais, conduz a

Os coeficientes Fnm são dados por

Para x e p, tem-se, respectivamente,

Schrödinger demonstrou: 1) que os quadros formados com os coeficientes tais como Fnm, multiplicados por exp(2pinnmt) verificam as regras do cálculo das matrizes e podem ser considerados como matrizes de Heisenberg correspondentes às funções F(x.p); 2) as matrizes (xnm) e (pnm) satisfazem às equações da Mecânica das Matrizes, e tornam portanto a matriz H diagonal.

Descoberta a conexão existente entre a Mecânica Ondulatória e a Mecânica das Matrizes, impõe-se, como sendo geralmente o mais cômodo, o seguinte processo para resolver um problema de Mecânica Atômica:

Forma-se em primeiro lugar a equação da Mecânica Ondulatória, partindo-se da função de Hamilton H. Os valores característicos da equação das ondas representam os níveis energéticos En do sistema. Conhecendo-se as soluções características, as fórmulas há pouco estabelecidas permitem calcular os elementos das matrizes que representam as variáveis x, p, etc., e portanto as intensidades e os estados de polarização das radiações emitidas pelo sistema atômico, bem como suas constantes mecânicas.

Vemos que as soluções características Yn são meras funções intermediárias no cálculo dos elementos das matrizes x, p, etc. elementos esses que representam as únicas grandezas cuja significação experimental é precisa, e cuja obtenção deve constituir o principal objetivo da Mecânica dos "Quanta".

 

 

1 Este artigo refere-se à quarta e última conferência do autor na Escola Politécnica do Rio de Janeiro, publicado no número de Agosto de 1933 do Boletim do Instituto de Engenharia, pp. 63-67. Ver Rev. Bras. Ens. Fis. 25(3), 326 (2003).
2 Supõe-se uma função definida por intermédio das operações elementares introduzidas.

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