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Cálculo do trabalho elétrico via conceitos microscópicos

CARTA AO EDITOR

Cálculo do trabalho elétrico via conceitos microscópicos

G. F. Leal Ferreira

Instituto de Física de São Carlos, Universidade de São Paulo

Endereço para correspondência Endereço para correspondência G. F. Leal Ferreira E-mail: guilherm@if.sc.usp.br .

Na Eletrostática macroscópica mostra-se que o trabalho elétrico, por unidade de volume, para produzir o deslocamento e o campo elétrico , num dielétrico, é ./2. Mas sabemos também, do estudo microscópico da polarização, que o campo efetivo ef que polariza uma molécula num meio isotrópico é o campo de Lorentz,

em que estamos usando o sistema MKS racionalizado, é a polarização e e0 é a permitividade do vácuo. Vem então a pergunta: se as moléculas existem de fato, como justificar o resultado macroscópico, ou, em outros termos, se é possível reobtê-lo usando na análise grandezas microscópicas. Para isso, faremos aqui uma simplificação que consistirá em usarmos o caso de um condensador plano, preenchido por dielétrico homogêneo, em que todas as grandezas são co-lineares. Seremos, porém, um pouco mais gerais do que na Eq. 1 e partiremos da relação linear

em que a é uma constante. Suponhamos que o condensador tenha sido carregado, dispendendo-se para isso o trabalho DE/2 por unidade de volume. Tem-se, em geral,

Imaginemos que ao se atingir o campo E, a polarização já induzida no dielétrico fosse congelada. Para o estudo envolvendo o cômputo de trabalho, tal suposição é perfeitamente permissível. E imaginemos também que começássemos a, ordenadamente, retirar moléculas polarizadas, ou seja, dipolos, do interior do dilétrico, levando-as ao infinito, onde estes podem ser considerados como isolados. Queremos calcular o trabalho total que deveria ser realizado para se esvaziar por inteiro o condensador. A energia w de um dipolo num campo elétrico é w = -.. O trabalho realizado para retirar o dipolo do campo será a energia final menos a inicial, ou seja, .. Retornando ao dielétrico, o trabalho dW1 realizado para variar a polarização de dP será dW1 = – EefdP, o sinal negativo se devendo ao fato de a polarização ser decrescente. Durante o processo imaginado, o campo efetivo, Eq. 2, varia, embora o deslocamento se mantenha constante. Com isso, substituindo E em função de D e P, Eq. 3, na Eq. 2, o trabalho total W1 para levar todos os dipolos ao infinito será

Na fase em que estamos teríamos dispendido, além de DE/2,o trabalho W1, ou seja, ao todo W2

Disporíamos então de um condessador carregado, no vácuo, que forneceria na descarga trabalho igual a D2/2e0, igual ao primeiro termo após a última igualdade da Eq. 5, e da energia dos dipolos isolados. Sendo assim, temos agora de verificar se a energia armanezada nos dipolos isolados igualaria o termo PEef/2 da Eq. 5. E de fato isto acontece. Porque, como mostraremos logo, a energia armazenada em cada dipolo é igual a a/2 [1] sendo a a polarizabilidade das moléculas e sendo N o número delas por unidade de volume. Teríamos ao todo a energia N a/2 = PEef/2, já que a polarização P é igual a N aEef. Portanto, exatamente como o segundo termo do lado direito da Eq.5.

Para provar que a energia armazenada no dipolo induzido p, de polarizibilidade a, sob o campo F é w = aF2/2 [1], suponhamos que a energia, considerada reversível, seja representada como armazenada numa mola de constante k. Temos as relações

sendo x a elongação da carga móvel q do dipolo. Vê-se que a energia

w = kx2/2 pode efetivamente ser escrita como aF2/2. De forma que há concordância entre os tratamentos macro e microscópico.

Referências

[1] C.J.F. Bottcher, Theory of Electrical Polarization, Elsevier, 1952, Cap. V.

  • Endereço para correspondência
    G. F. Leal Ferreira
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  • Datas de Publicação

    • Publicação nesta coleção
      01 Out 2004
    • Data do Fascículo
      2004
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