Invariante adiabático gerado por lenta variação de coordenada generalizada

Adiabatic invariant generated by slow variation of a generalized coordinate

ARTIGOS GERAIS

Invariante adiabático gerado por lenta variação de coordenada generalizada

Adiabatic invariant generated by slow variation of a generalized coordinate

G.F. Leal Ferreira

Instituto de Física, DFCM, São Carlos, SP, Brasil

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RESUMO

Apresentamos estudo de sistema mecânico em que uma coordenada generalizada está sujeita a lenta variação, realizado através de tratamento hamiltoniano no qual se permite a ação de força generalizada ao longo daquela coordenada, gerando o invariante adiabático.

Palavras-chave: invariante adiabático, equações de Hamilton, forças generalizadas.

ABSTRACT

We present study of a mechanical system with one of its generalized coordinates under slow variation, performed through a Hamiltonian treatment in which a generalized force is allowed to act along that coordinate, generating an adiabatic invariant.

Keywords: adiabatic invariant, Hamilton's equations, generalized forces.

1. Introdução

O tema 'invariante adiabático' está relacionado ao estudo de sistema mecânico sujeito à variação lenta de parâmetro a ele associado [1]. Um caso particular é aquele em que esse parâmetro é uma coordenada generalizada que varia lentamente: o sistema evolui por estados quase estacionários, em que a energia varia mantendo relação com a variação daquela coordenada. O clássico problema é o do pêndulo em oscilação que é lentamente variado, agindo-se sobre o fio de sustentação que passa por uma pequena roldana (ver Fig. 1). Mostraremos que em casos como este, o tratamento hamiltoniano, incluindo agora forças generalizadas, leva à solução do problema. É o caso também de uma massa em revolução num plano, Fig. 2, em que o fio que a prende é lentamente puxado.

2. Tratamento Hamiltoniano em presença de forças generalizadas

Vamos supor que o sistema tenha lagrangiana L função de duas coordenadas generalizadas, q₁ e q₂, e de suas velocidades, ₁ e ₂. Vamos também supor que, como no problema mencionado da Fig. 1, destas duas coordenadas, a de índice1, vai ser aquela que será lentamente variada. Deve então existir uma força generalizada Q₁ ao longo desta coordenada, e as equações de Lagrange serão

em que os p_i são os momentos generalizados. A hamiltoniana H é obtida de

e sua diferencial total será

Os termos contendo os momentos generalizados, p_i e ¶L/¶_i se cancelam, e substituindo ¶L/¶q_i das equações de Lagrange, resulta

A novidade aqui é a presença da força generalizada Q₁ nas equações de Hamilton

determinando também a variação da energia com o tempo. De fato, dividindo a Eq. 5 por dt e usando as Eqs. 6, obtemos

equação que nos permite escrever também

3. Variação lenta da coordenada 1

Se a coordenada 1 varia lentamente esperamos que

₁na primeira das Eqs. 6 possa ser desprezado, ou seja,

com Q₁ contrabalançando as forças inerciais como quando a coordenada 1 é considerada fixa. Entretanto, se o movimento da coordenada 2 for periódico, Q₁ será função do tempo, e para usá-lo no cálculo da variação da energia, Eq. 8, será necessário antes calcular o seu valor médio no período T daquele movimento

e então

4. Aplicação ao problema da Fig. 1

O pêndulo da Fig. 1, de massa m, executa pequenas oscilações e seu comprimento L é, então, sujeito a uma variação lenta, isto é, /L >> T. Deseja-se saber a relação entre a energia do pêndulo, descontada a energia potencial gravitacional média, e o seu comprimento. A hamiltoniana é dada por

em que se usou a aproximação cosq 1 – q²/2. A equação de Hamilton mais pertinente é a primeira das Eqs. 6, com L em vez de q₁

Como antecipado acima,

_L pode ser desprezado na equação acima frente à Q_L(variação lenta). Para eliminar o efeito da força peso no trabalho que calcularemos, vamos por Q_L = –mg + F, tendo F o sentido oposto ao do peso, como na Fig. 1. Escreveremos então retornando à Eq. 12, com dE em vez de dH,

em que E é a energia do movimento oscilatório do pêndulo. Podemos ultrapassar o cálculo da Eq. 10 pois sabemos que para o oscilador vale

de maneira que, da Eq. 15, obtemos

Esta equação que fornece o invariante adiabático

ou em termos de valores inciais

isto é, se o comprimento diminui, a energia de oscilação aumenta e vice-versa. O invariante adiabático do oscilador harmônico é usualmente apresentado com a razão E/n, n sendo a frequência do oscilador, resultado esse convalidado aquí pelas Eqs. 18 e 19, visto ser L^-1/2 ~ n.

5. Aplicação ao problema da Fig. 2

A massa m, executa, no plano, movimento circular, preso ao fio que é lentamente puxado pela força F. Rigorosamente, a teoria das seções 2 e 3 não é aquí necessária, eis que podemos arguir algo bem conhecido, a conservação do momento angular, já que a força é central. Então,

e como

segue que

com C₁ e C₂ constantes. Vamos chegar a esse resultado usando as Eqs. 6 e 8. Temos para H a Eq. 13, sem o termo do potencial gravitacional e também que

Denotando a energia por E, tem-se

e como E = /2m, chega-se à Eq. 22.

6. Considerações finais

Acreditamos que o presente tratamento de invariantes adiabáticos é mais simples, embora talvez menos geral, do que aquele usualmente apresentado em livros de texto, por exemplo o de Landau-Lifschitz, [1], seção 49. Ver também a Ref. [2]. De fato, ele se torna um apêndice à formulação hamiltoniana, que usualmente ignora os sistemas lagrangianos sob ação de forças generalizadas. Finalmente, notemos que o tratamento exposto não se aplica quando forças impulsivas intervém, como seria o caso de uma massa entre duas paredes refletoras que se movessem lentamente.

Recebido em 20/09/2004; Aceito em 16/11/2004

• [1] L. Landau e E. Lifchitz, Mécanique (MIR, Moscou), cap. VII.
• [2] Sin-Itiro Tomonaga, Quantum Mechanics (North-Holand Publ., 1968), v.1 ,cap. 1 e Apęndice 6.

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  20 Abr 2005
• Data do Fascículo
  Dez 2004

Histórico

• Aceito
  16 Nov 2004
• Recebido
  20 Set 2004