Corpo negro e determinação experimental da constante de Planck

The black-body radiation and experimental measurement of Planck constant

ARTIGOS GERAIS

Corpo negro e determinação experimental da constante de Planck

The black-body radiation and experimental measurement of Planck constant

Marisa Almeida Cavalcante^I,1; Rafael Haag^II,2

^IGrupo de Pesquisa em Ensino de Física, Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, SP, Brasil

^IILaboratório de Energia Solar e Centro de Referência para o Ensino de Física, Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil

RESUMO

Este trabalho visa contribuir na área de instrumentação para o ensino de Física, apresentando uma nova proposta para a determinação da constante de Planck utilizando diodos de emissão de luz, LED's (Light Emitting Diode) como sensores espectrais seletivos da radiação emitida por um filamento aquecido. A largura típica de resposta espectral de um LED, utilizado como sensor na região de 550nm a 700nm é da ordem de 25 a 35 nm o que nos permite selecionar adequadamente, para fins didáticos, o comprimento de onda da radiação analisada. Apresentamos também uma proposta de verificação da lei de Stefan-Boltzmann, permitindo portanto, uma abordagem experimental do tema da distribuição de energia de um corpo negro, normalmente estudado em cursos de bacharelado e licenciatura em Física.

Palavras-chave: led, constante de Planck, Lei de Stefan-Boltzmann, corpo negro.

ABSTRACT

This work intends to show a new estimation method for the Planck constant using Light-emitting diodes (LED's) as spectrally selective detectors that measure the light emitted by low power lamp. The spectral bandpass of Light-emitting diodes is typically 25 - 35 nm at half-maximun points between 550 and 700 nm, this means that LED's can serve as accurate selective sensor at physics laboratory. Likewise is done a similar approach for estimated the Stefan-Boltzmann law. This permit discuss the energy distribution of black-body in a physics course.

Keywords: led, constante de Planck, Lei de Stefan-Boltzmann, corpo negro.

1. Introdução

A teoria da distribuição espectral de um corpo negro [2-4], é um tema em geral desenvolvido no início do terceiro ano do curso de bacharelado e licenciatura de Física e caracteriza, como todos sabemos, o nascimento da mecânica quântica. No entanto, geralmente, faz-se apenas uma abordagem teórica, tendo em vista que os equipamentos didáticos utilizados para o estudo de alguns aspectos importantes desta distribuição espectral são na maioria dos casos importados e de alto custo. É importante ainda salientar que atualmente não existe nenhuma empresa nacional que desenvolva equipamentos destinados a laboratórios de Física Moderna, com exceção de alguns experimentos isolados. Neste trabalho apresentamos uma proposta experimental de baixo custo para o estudo da distribuição espectral de um filamento de tungstênio aquecido com características semelhantes à de um corpo negro. A grande contribuição deste trabalho reside na forma através da qual selecionamos e detectamos a radiação, proveniente deste filamento. Do mesmo modo que em alguns fotômetros solares [6-9], a seleção e detecção se processa através de LED's. De modo a permitir uma melhor compreensão do experimento proposto, faremos uma breve introdução teórica sobre o tema e em seguida passaremos a descrição do aparato desenvolvido.

2. Introdução teórica

2.1. Distribuição espectral de um corpo negro

Considerando um corpo negro ideal, podemos expressar a energia emitida por unidade de tempo e de área, à temperatura T e comprimento de onda l no intervalo dl pela equação de Planck

onde I_CN é a potência emitida pelo corpo negro, por unidade de área, por unidade de comprimento de onda, em um intervalo de comprimento de onda dl em torno de l, l é o comprimento de onda (m), T é a temperatura (K), k_B é a constante de Boltzmann, 1,3806503 10^–23 J/K, b vale 1/k_BT, h é a constante de Planck, 6,62606876 10^–34 J.s e c é a velocidade da luz, 299.792.458 m/s.

Integrando a Eq. 1 em relação a l, para todos os possíveis comprimentos de onda, se obtém a lei de Stefan-Boltzmann, dada por:

onde P é a potência total irradiada por unidade de área e s é a constante de Stefan-Boltzmann (com valor de 5,67 x 10^–8 W/m²K⁴).

Também decorre da lei de Planck, o fato de que o espectro de radiação térmica emitido por um corpo negro desloca-se para regiões de freqüências mais altas a medida que a temperatura é aumentada. Este resultado é conhecido como a lei do deslocamento de Wien, e representado por

Outra observação importante é que na aproximação de Wien, que se aplica para pequenos valores de comprimentos de onda, podemos expressar a energia emitida por unidade de tempo e de área, à temperatura T e comprimento de onda l no intervalo dl pela equação

Pode-se mostrar que na aproximação de Wien o gráfico Ln I x 1/T nos fornece uma reta cuja inclinação é dada por hc/lk_B, o que nos permite obter informações sobre a constante de Planck [2].

2.2. Corpo real x corpo negro

Nossa proposta experimental consiste em verificar a lei de Stefan-Boltzmann e obter a constante de Planck a partir da emissão espectral de um filamento aquecido. No entanto, ao aplicarmos os resultados teóricos apresentados por Planck, para o espectro de um corpo negro aos resultados experimentais devemos levar em conta a diferença existente entre o corpo negro ideal e o corpo real utilizado no nosso experimento. No experimento proposto, o filamento aquecido de uma lâmpada é o corpo real e apresenta um comportamento aproximado ao de um corpo negro [1].

Em geral os corpos reais não são perfeitos absorvedores da radiação, portanto a intensidade espectral I(l, T) é dada por:

onde o fator e(l, T) é chamado emissividade espectral (ou simplesmente emissividade) e I_CN corresponde a potência emitida pelo corpo negro, por unidade de área, por unidade de comprimento de onda, em um intervalo de comprimento de onda dl em torno de l.

A emissividade espectral e(l, T), quase sempre é uma função do comprimento de onda e da temperatura e tem valores no intervalo de 0 (para um refletor perfeito) a 1 (absorvedor perfeito) e por esta razão é uma quantidade que dificilmente pode ser determinada experimentalmente, geralmente ela é estimada empiricamente para cada objeto.

Como a lei de Stefan-Boltzmann é obtida a partir da integração da radiância espectral para uma dada temperatura, para garantir sua verificação experimental, a emissividade espectral e(l, T), não pode depender muito da temperatura, nem tão pouco do comprimento de onda. Se esta condição for satisfeita a lei de Stefan-Boltzmann poderá ser reescrita como

onde e_T é chamada emissividade total e P corresponde potência total irradiada pelo corpo por unidade de área.

Por outro lado, se a temperatura ambiente não for igual a 0 K, mas uma dada temperatura T₀, então o ''corpo real'' também absorverá alguma energia do ambiente. Portanto, a transferência líquida de energia U_R irradiada pelo ''corpo real'' para o ambiente será

onde A é a área do ''corpo real'' emissor de radiação.

De acordo com a lei de Stefan-Boltzmann, a energia emitida por um corpo negro é proporcional à quarta potência da temperatura absoluta do corpo. A lei de Stefan-Boltzmann também é válida para os corpos conhecidos como corpos ''cinza'', cuja superfície exibe um coeficiente de absorção menor que 1 e independente do comprimento de onda. No experimento proposto utilizaremos um filamento de tugstênio de uma lâmpada que dentro de aproximações comporta-se como um corpo cinza.

No entanto este filamento quando aquecido perde energia para o meio por três formas conhecidas: radiação, condução e convecção. Assumindo-se que o transporte de energia realizado na forma de convecção e condução seja linear em relação a DT, então a taxa total em que o filamento perde energia para o meio será

onde e_f corresponde ao coeficiente de emissividade do filamento, s corresponde à constante de Stefan-Boltzmann = 5,67 × 10^–8 W.m^–2.K^–4, A corresponde à área do filamento e C é uma constante.

Desconsiderando a energia do ambiente, a única fonte de energia que alimenta o filamento, é proveniente da diferença de potência aplicada à ele. Deste modo, a taxa de energia emitida pelo filamento é igual à potência elétrica dissipada, ou seja

onde V corresponde a tensão aplicada ao filamento e i a corrente elétrica que nele circula.

2.3. Determinação da temperatura do filamento

A temperatura absoluta T = T_c + 273 do filamento de tungstênio pode ser calculada pelas medidas de resistência R(T_c) do filamento. (T_c é a temperatura em graus centígrados). Para a resistência de um filamento de tungstênio temos a seguinte relação [5]

sendo R₀ a resistência a 0 °C e a = 4,82 × 10^–3K^–1 e b = 6,76 × 10^–7K^–2.

A resistência R₀ pode ser calculada usando a relação

onde T_ac corresponde ao valor da temperatura ambiente em graus Celsius.

O valor de R(T_ac) é obtido pela relação V/i, ou seja, pelas medidas de voltagem e corrente através do filamento. Para se obter o valor de R₀, deve-se fazer circular uma corrente bem reduzida de modo que se possa desprezar qualquer aquecimento e garantir que o filamento se encontra na temperatura ambiente (T_ac).

Resolvendo a Eq. (11) para temperatura T, chega-se a

onde o valor de R(T) é obtido pela relação V/i para cada valor de tensão e corrente elétrica estabelecida.

3. Experimento proposto

3.1. Verificação da lei de Stefan-Boltzmann

Um dos objetivos da proposta consiste em verificar a lei de Stefan-Boltzman e que pode, dentro das condições experimentais estabelecidas, ser observada a partir da Eq. (9). Com os dados obtidos para a potência dissipada pelo filamento, construímos o gráfico log Vi x log T. Neste gráfico, a inclinação da reta nos fornece a potência que relaciona estas grandezas, já que para altas temperaturas de filamento a dependência linear da Eq. (9) é desprezível em relação à quarta potência da temperatura.

O circuito utilizado para a verificação da lei de Stefan-Boltzmann pode ser visto na Fig. 1.

A Eq. (12), permite obter os correspondentes valores de temperaturas T do filamento, desde que o valor da resistência do filamento (R₀) seja conhecido. Para isso associamos em série ao circuito da Fig. 1 um resistor da ordem de 100 W que estabelece uma corrente de poucos miliampéres, permitindo-nos utilizar a Eq. (11) na determinação de R₀.

Com os valores de R₀, tensão e corrente elétrica podemos obter um gráfico da potência dissipada pelo filamento e sua temperatura.

Os gráficos da Fig. 2 foram obtidos para dois filamentos distintos e utilizando diferentes tensões de alimentação. A reta 1 foi obtida para um filamento de 12 V e 48 W (lanterna de automóvel) e a fonte de alimentação utilizada é uma fonte Minipa modelo PS 1800 de alta estabilidade. A reta 2 foi obtida para um filamento de 3,8 V e 300 mA (lanternas de mão) tendo como fonte de alimentação um adaptador AC-DC com saídas de 1,5 a 12 V, encontrados em lojas conhecidas como ''tudo por 1,99''. Podemos notar que a reta 2 apresenta maior dispersão dos pontos, o que pode ser justificado pela baixa estabilidade apresentada pelo adaptador AC-CD utilizado. Mesmo assim, para os dois casos temos um excelente acordo entre os dados experimentais e os previstos pela lei de Stefan-Boltzmann.

3.2. Determinação da constante de Planck

Para a determinação da constante de Planck utilizaremos a aproximação de Wien , obtendo-se informações sobre a intensidade da radiação de comprimento de onda l no intervalo dl emitida pelo filamento para cada temperatura. Um gráfico de Ln (Intensidade para um dado l) x 1/T é então construído e a partir da inclinação da reta se pode obter o valor da constante de Planck.

Mais precisamente, temos

sendo k_B a constante de Boltzmann, 1,381 x 10^–23 J/K, c a velocidade da luz, 3,0 x 10⁸ m/s e l = comprimento de onda da radiação cuja intensidade está sendo medida.

3.3. Medida de I(l) dl

Utilizaremos LED's de várias cores como sensores da radiação emitida pela lâmpada. Um LED pode ser um bom detector de radiação e sua resposta está associada a faixa de freqüência que ele emite. A utilização de LED's como sensores de radiação vem sendo utilizadas em fotômetros solares [6-9] desde 1992. Por ser um semicondutor sua condutividade aumenta à medida que fótons de energia correspondente a sua ''banda de emissão'' incidem sobre ele. Sua resposta espectral como receptor é ligeiramente menor do que sua emissão, por exemplo um LED verde que emite sua intensidade máxima em 555 nm, têm sua resposta em absorção máxima em 525 nm [6]. A corrente elétrica fornecida pelo LED, no nosso circuito, é proporcional à intensidade de luz incidente. A largura típica de resposta espectral de um LED é da ordem de 10 a 35 nm [6], o que nos permite selecionar adequadamente o comprimento de onda da radiação analisada para fins didáticos. Na Fig. 3 [10], temos a resposta espectral de alguns LED's usados como sensores de radiação; observa-se experimentalmente que a maior sensibilidade de absorção ocorre num comprimento de onda menor em relação ao comprimento de onda de máxima emissão do LED. A corrente gerada pelo LED, na absorção ressonante, assume em geral, valores de poucos microamperes, necessitando de uma amplificação. Nos fotômetros solares tem sido utilizado um conversor ''corrente x tensão'', onde a corrente gerada pelo LED é convertida em tensão por um amplificador operacional. Nesta configuração, a tensão presente na saída do amplificador operacional, será linearmente proporcional à intensidade da radiação recebida pelo LED. O circuito utilizado neste trabalho está mostrado na Fig. 4.

3.4. Dados obtidos

As retas representadas no gráfico da Fig. 5 foram obtidas para uma lâmpada de 12 V e 21 W (lanterna de automóvel) e a fonte de alimentação Minipa modelo PS 1800.

De acordo com a Eq. (13), obtém-se para os valores da constante de Planck.

4. Análise dos resultados obtidos

Em primeiro lugar, podemos dizer que os resultados obtidos para a aproximação de Wien indicados no gráfico da Fig. 5, são bastante satisfatórios e reproduzem perfeitamente a relação linear esperada entre a grandeza proporcional à intensidade de radiação emitida e o inverso da temperatura de aquecimento de um filamento de tungstênio, o que já caracteriza o sucesso do experimento proposto.

É importante notar que um dos fatores que limitam a precisão dos resultados obtidos para a constante de Planck neste experimento é a largura de emissão de cada LED indicado na 3ª coluna da Tabela 1 nos conduzindo a precisões inferiores a 7,6% no pior caso (LED azul que apresenta uma largura estimada de 35 nm em relação ao comprimento de onda de maior intensidade de 460 nm). A largura espectral - e o erro conseqüentemente -, depende principalmente do material (AlGaAs, GaN, etc) e o método utilizado na fabricação do LED. Apesar disto, observa-se que os valores obtidos para a constante de Planck se aproximam consideravelmente dos valores esperados, com erros sistemáticos dentro do limite de precisão estabelecido em cada caso.

5. Observações finais

Apresentamos neste trabalho um equipamento que possibilita estudar experimentalmente alguns aspectos sobre a distribuição espectral de um filamento de tungstênio aquecido, cujas características são semelhantes à de um corpo negro. A grande contribuição reside na forma através da qual selecionamos e detectamos a radiação, proveniente deste filamento. A seleção e detecção se processam através de LED's, que são utilizados com sucesso em fotômetros solares desde 1992. Os resultados obtidos mostram linearidade entre lnV_LED x 1/T, onde V_LED é proporcional a intensidade de radiação com um dado comprimento de onda e T a temperatura do corpo, o que confirma a aproximação de Wien para a distribuição espectral de um corpo aquecido. O método, no entanto apresenta limites na precisão com a qual a constante de Planck pode ser obtida, já que cada LED, utilizado como sensor seletivo de radiação apresenta uma largura espectral que lhe é característica. O experimento proposto neste trabalho foi introduzido na disciplina de Estrutura da Matéria no curso de licenciatura e bacharelado em Física da PUC/SP no ano de 2004, sendo bem recebido pelos alunos, ajudando-os a melhor compreender a teoria da distribuição espectral de um corpo negro.

Um aspecto muito interessante e que vale a pena mencionar é que em um artigo publicado na revista Física na Escola [11], apresentamos uma proposta para a determinação da constante de Planck a partir de informações relativas a curva característica de um LED. Admite-se que a energia necessária para o acendimento de um LED é no mínimo igual à energia emitida pela radiação de maior intensidade. Podemos portanto dizer que obtivemos no trabalho descrito em [11] informações da constante de Planck a partir da emissão de radiação de um LED. Neste trabalho, no entanto, a constante de Planck pode ser obtida a partir de informações relativas a absorção de um LED. Vemos, portanto estes dois trabalhos como atividades complementares para o entendimento de fenômenos que envolvem o conceito de quantum de energia, ressonância e propriedades de semicondutores.

[5] Manual de Experimentos da PHYWE - Experimento Verificação da Lei de Stefan-Boltzmann.

[8] T.M. Sansosti, LED's Detectors, disponível em http://laser.physics.sunysb.edu/~tanya/report2/. Acesso em 10 de fevereiro 2005.

Recebido em 17/11/2004; Revisado em 19/8/2005; Aceito em 14/9/2005

• [1] CREF, Centro de Refêrencia para o Ensino de Física, IF-UFRGS, experimentação remota. Disponível em http://cref.if.ufrgs.br/hp/ler/experimentocorponegro/index.html Acesso em 10 fevereiro de 2005.
• [2] P.S. Guimarăes, Rev. Bras. Ens. Fís. 21, 291 (1999).
• [3] N. Studart. Rev. Bras. Ens. Fís. 22, 523 (2000).
• [4] M. Planck, Rev. Bras. Ens. Fís. 22, 536 (2000),
• [6] F.M. Mims, III, Appl. Opt. 31, 6965 (1992).
• [7] B.Y. Acharya, A. Jayaraman, S. Ramachandran and B.H. Subbaraya, Appl. Opt. 34, 1209 (1995).
• [9] D.R. Brooks, F.M. Mims III, T. Nguyen and S. Bannasch, in Globe Annual Meeting, Snowmass, Colorado, 1998. Disponível em http://www.globe.gov Acesso em 10 de fevereiro 2005.
• [10] ] F.M. Mims III, Globe Annual Meeting, Snowmass, Colorado, 1998. Disponível em http://www.globe.gov Acesso em 10 de fevereiro 2005.
• [11] M.A. Cavalcante, R.C. Tavolaro, D. de S. Fagundes e J. Muzinatti, Física na Escola 3, 24 (2002).

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  14 Dez 2005
• Data do Fascículo
  Set 2005

Histórico

• Revisado
  19 Ago 2005
• Recebido
  17 Nov 2004
• Aceito
  14 Set 2005