O potencial efetivo e sua expansão em "loop'', interpretação e convexidade

The effective potential and its loop expansion, its interpretation and its convexity

ARTIGOS GERAIS

O potencial efetivo e sua expansão em "loop'', interpretação e convexidade

The effective potential and its loop expansion, its interpretation and its convexity

Denimar Possa¹; Flávio Pereira; José Alexandre Nogueira

Departamento de Física, Centro de Ciências Exatas, Universidade Federal do Espírito Santo, Vitória, ES, Brasil

RESUMO

Neste trabalho nós mostramos como obter o potencial efetivo a partir do funcional gerador das funções de Green da teoria e qual é sua interpretação. A convexidade do potencial efetivo também é provada.

Palavras-chave: potencial efetivo, expansão em "loop'', densidade de energia do vácuo, convexidade do potencial efetivo.

ABSTRACT

In this work we have showed how the effective potential is obtained from the generating functional for the Green's functions of the theory and what is its interpretation. The convexity of the effective potential has been also proved.

Keywords: effective potential, loop expansion, vacuum energy density, convexity of the effective potential.

1. Introdução

O potencial efetivo é uma importante ferramenta para o estudo da quebra espontânea de simetria, determinação da energia do vácuo (energia de Casimir [1, 2]), na renormalização da massa e da constante de acoplamento, etc. Ele é uma generaliza cão quântica do potencial clássico, sendo que o vácuo quântico pode ser obtido do mínimo daquele potencial. O potencial efetivo pode ser expresso como uma expansão em loop (que coincide com uma expansão em potências de ), de modo que ele é dado por uma soma do termo clássico com corre cões que representam o efeito da interação do campo com o vácuo quântico. Devido a sua interpretação como energia, o potencial efetivo deve necessariamente ser uma função real e convexa. Entretanto, quando a teoria apresenta, a "tree level'', quebra espontânea de simetria, uma ingênua aplicação da expansão em "loop'' para a determinação do potencial efetivo, até a primeira ordem em , conduz a um resultado equivocado, isto é, uma função que não é o potencial efetivo. A fim de determinarmos o (verdadeiro ou correto) potencial efetivo, um emprego cuidadoso do procedimento usado para sua obtenção deve ser realizado. Nosso objetivo é mostrar como o (verdadeiro) potencial efetivo é obtido para uma teoria com quebra espontânea de simetria. Uma vez que o procedimento usual de determinação do potencial efetivo pode não ser de conhecimento de alguns leitores, optamos por escrever este primeiro artigo mostrando como determinar o potencial efetivo a partir do funcional gerador das funções de Green e demonstrando sua convexidade. Em um segundo artigo, mostramos como determinar o (verdadeiro) potencial efetivo para uma teoria com quebra espontânea de simetria usando os resultados deste primeiro artigo.

Uma teoria quântica de campos pode ser definida a partir do chamado funcional gerador das funções de Green, Z[J], também conhecido como amplitude de persistência do vácuo sob a influência de fontes de campos externos, J(x). Esta abordagem usa o conceito de integrais de trajetória, originalmente introduzido por Feynman, que mostrou que o formalismo de integrais de trajetórias podia ser visto como uma alternativa aos formalismos tradicionais de Heisenberg e Shcroedinger da mecânica quântica [3, 4]. O funcional gerador das funções de Green é a solução da equação de Dyson-Schwinger e pode ser escrito como uma expansão funcional das funções de Green de n-pontos. Através de uma transformação funcional de Legendre encontramos o funcional gerador das funções irredutíveis de uma partícula (1-PI)², G[f_c], que é, então, expandido em potências de . Tal funcional é chamado de ação efetiva, pois ele contém, além da ação clássica, todas as correções quânticas. Uma expansão alternativa do funcional gerador 1-PI em potências das derivadas do campo clássico, f_c(x), nos fornece o potencial efetivo com o qual podemos obter o vácuo da teoria. Tal como a ação efetiva, o potencial efetivo contém, além do potencial clássico, todas as correções quânticas.

O artigo está organizado da seguinte forma: Na seção 2 é mostrado como obter o potencial efetivo como uma expansão em ordens de a partir do funcional gerador das funções de Green; na seção 3 é dada a interpretação do potencial efetivo e na seção 4 a convexidade do potencial efetivo é demonstrada. Os cálculos efetuados são realizados no espaço-tempo euclidiano e não são usados sub-índices na notação para indicar este fato.

2. Expansão em loop para o potencial efetivo

O potencial efetivo pode ser obtido por métodos funcionais, usando-se o formalismo de integrais de trajetórias [5 - 16].

O funcional gerador das funções de Green conexas W[J] é dado por³

onde á0⁺|0^-ñ_J é a amplitude de transição vácuo-vácuo na presença de uma fonte externa J(x) e Z[J] é o funcional gerador das funções de Green (conexas e desconexas). No formalismo de integrais de trajetória, a expressão acima é representada por

onde

é a ação clássica, é um fator de normalização, e f formalmente indica integração sobre um espaço de funções dos campos f(x) de dimensão infinita, isto é, a medida de volume funcional.

O campo clássico f_c(x) é definido como o valor esperado do vácuo na presença de uma fonte externa J(x)

O vácuo quântico pode ser obtido tomando-se o limite J ® 0 na Eq. (4), sendo que este pode ser diferente do vácuo clássico.

O funcional gerador das funções de Green 1-PI (irredutíveis de uma partícula) é um funcional de f_c(x), e não de J(x), e pode ser obtido a partir de uma transformada funcional de Legendre como

de forma que

Quando J(x) ® 0, f_c(x) torna-se uma constante, devido à invariância translacional do vácuo, dada por áfñ, de modo que áfñ é a solução da equação

Note que o vácuo quântico < f > é ponto estacionário de G, o que sugere o nome ação efetiva para este funcional. Ainda pode-se mostrar que, no limite ® 0, G[f_c] torna-se a ação clássica. A ação efetiva G gera as funções de Green 1-PI, também conhecidas como funções vértice de n-pontos, G⁽ⁿ⁾(x₁, ...,x_n), e pode ser escrita em termos da seguinte expansão funcional

A expressão (8) é não local. Para dar uma aparência "quase-local'' a G[f_c] pode-se expandir cada campo f_c(x_i), i ¹ 1, em torno do ponto x₁ comum a cada integrando, obtendo-se

Integrando sobre x_{i¹ 1} e colocando os termos de derivadas de f_c em potências crescentes, pode-se escrever a ação efetiva na forma

onde os coeficientes U e A são funções de f_c(x).

No caso em que o campo clássico é uniforme, isto é, f_c(x) = f_c (uma constante), todos os termos na expansão (10) se anulam, exceto o primeiro, de maneira que

onde Wé o volume do espaço-tempo euclidiano⁴. Desta forma a função⁵ U(f_c) é a generalização quântica do potencial clássico e é denominada potencial efetivo V_ef.

A expansão em "loop'' até primeira ordem em para W[J] pode ser obtida da Eq. (2), através do método do ponto de sela. Definindo

o ponto de sela f₀ é aquele em que S[f,J] é estacionária, isto é,

Isto significa que f₀(x) é uma função de x e também um funcional de J(x).

Expandindo-se S[f,J] em torno de f₀, obtém-se

Usando a Eq. (13), a Eq. (14) se torna

A derivação funcional da ação S determina o operador

Substituindo h(x) = f(x) - f₀(x), a Eq. (15) se torna

Substituindo a Eq. (17) na Eq. (2), e desprezando os termos de maior ordem, obtém-se

A integral gaussiana resultante pode ser formalmente realizada com o uso da fórmula

Assim, a Eq. (18) se torna

Desta forma o funcional gerador das funções de Green conexas fica dado por

Não é difícil mostrar que os termos desprezados na Eq. (17) são de (²), basta reescalonar o campo .

Para encontrar a expansão em "loop'' de G[f_c], substitui-se o resultado da Eq. (21) na Eq. (5), de modo que

Substituindo o resultado da Eq. (21) na Eq. (4), tem-se

O resultado acima mostra que f_c(x) é igual a f₀(x) em (⁰). Portanto, pode-se escrever f_c(x) da seguinte forma

Com a expansão (24) para f_c(x) pode-se relacionar S[f_c] com S[f₀] através de

Usando as Eqs. (12) e (13), obtém-se

Substituindo o resultado da Eq. (26) na Eq. (22), tem-se

Tomando o limite J ® 0, f_c(x) torna-se uma constante f_c, e usando a Eq. (10), obtém-se

Usando-se a relação

no resultado (28), obtém-se

onde k é o quadri-momento.

Como pode ser visto a integral da equação acima é claramente divergente e, portanto, é necessário um procedimento de regularização para isolar as divergências. Um procedimento de regularização comumente usado é o de Cut-off. Tal procedimento conduz ao aparecimento de pólos que devem ser eliminados pela prescrição de renormalização (absorvidos nos parâmetros livres da teoria). Entretanto, a determinação do potencial efetivo usando o método da função zeta é mais vantajoso, pois conduz a um resultado finito, sem a aparente necessidade de subtração de qualquer pólo ou a adição de contra-termos. A própria continuação analítica realizada para restabelecimento da teoria original é a prescrição de renormalização que elimina os pólos [17].

A função zeta generalizada associada ao operador real, elíptico e auto-adjunto M = , é definida a partir dos autovalores { l_i } de m através da relação

onde m é um parâmetro de escala com dimensão de massa, introduzido para que a função zeta seja adimensional para todo s. Com o uso da relação

o potencial efetivo pode ser expresso, em (), como

O interessante no uso da função zeta é que a expressão (33) é finita, e não ocorre a necessidade de subtração de pólos nem a adição de contratermos infinitos, como já havia-se dito. Contudo, uma renormaliza cão finita é necessária para que ocorra o ajuste dos parâmetros livres da teoria aos valores observados. Isto é feito através das condições de renormalização

e

3. A interpretação do potencial efetivo

O potencial efetivo é definido como o valor esperado do operador hamiltoniano calculado no estado, que entre o conjunto de estados {f}, minimiza o valor esperado do operador hamiltoniano . Assim,

tal que f_c seja o valor esperado do operador de campo calculado neste estado que minimiza a energia,

É claro que o potencial efetivo assim definido tem a interpretação de densidade de energia e, portanto, é uma função real [18, 19].

Agora, deseja-se mostrar que V_ef(f_c) obtido da Eq. (11) é o potencial efetivo como definido rigorosamente acima [7].

De início, seja o operador hamiltoniano de um sistema quântico. O estado |f_añ que minimiza áf_a||f_añ e sujeito ao vínculo áf_a|Â|f_añ = , para algum operador  hermitiano, pode ser obtido, introduzindo-se os multiplicadores de Lagrange E e J, de

Isto implica que

Assim,

e

_J é a hamiltoniana perturbada pela fonte J e |f_a(J)ñ é auto-estado de _J com auto-valor E(J). Note que |f_a(J)ñ significa que o estado |f_añ é função de J. Uma vez que não é função de J, temos que

e desta forma,

Considere, agora, que o estado de vácuo de um sistema quântico de campos, no interior de um volume V_ol, seja adiabaticamente perturbado pela presença de uma fonte uniforme (isto é, não dependente de x), que permanece por um intervalo de tempo t. O estado de vácuo, então, evolui adquirindo um fator de fase que permanece mesmo após a fonte ser removida. Portanto,

Note que se não existisse a presença da fonte, os estados |0^-ñ e |0⁺ñ seriam fisicamente indistinguíveis e, portanto,

para estados normalizados.

O resultado da Eq. (43) foi obtido no espaço-tempo de Minkowski. Assim, realizando-se uma rotação de Wick [6-10, 14], tem-se

Comparando o resultado acima com a Eq. (1), obtém-se

Portanto, W[J] é identificado com a energia na presença da fonte J.

O resultado da Eq. (46) mostra que a transformada funcional de Legendre, Eq. (5), é a generalização quântica de campos da Eq. (42) e que V_ef(f_c) assim obtido é o potencial efetivo V_EF(f_c).

Quando a fonte é uniforme, f_c(x) também é uniforme, f_c, e a Eq. (5) fica dada por

Desta forma, V_ef(f_c) á densidade de energia do sistema independente da fonte.

4. Convexidade do potencial efetivo

O funcional gerador das funções de Green conexas no espa co-tempo euclidiano está relacionado à energia do sistema perturbado pela fonte, como já vimos, através de

onde E(J)t = We(J), sendo e(J) a densidade de energia. Assim, das Eqs. (2) e (48), tem-se que

Considerando uma fonte uniforme J na Eq. (49), tem-se

Da Eq. (47), obtém-se

e

A diferenciação da Eq. (50) com relação a J resulta em

e a derivada segunda é dada por

Substituindo a Eq. (53) na Eq. (54), esta última se torna

Sendo o valor médio esperado dado por

a Eq. (55) pode ser expressa como

Uma vez que

e

para qualquer F real, a Eq. (57) implica em

e, portanto,

O resultado da Eq. (61) mostra que e é uma função côncava de J. Da Eq. (46) resulta que

ou seja, W[J] é convexo.

Agora, usando as Eqs. (51) e (52), obtém-se

e

Destas últimas duas equações segue que

Da Eq. (61) conclui-se que

e, portanto, o potencial efetivo é uma função convexa.

A demonstração acima é fortemente baseada na Ref. [7]. Uma demonstração menos rigorosa da convexidade do potencial efetivo pode ser feita [20, 21].

O propagador, ou a função de Green conexa de dois pontos, é obtido de

Usando a Eq. (4) na Eq. (67), tem-se

A função vértice de dois pontos é obtida de

Usando a Eq. (6) na Eq. (69), tem-se

Usando as Eqs. (68) e (70), tem-se

O resultado acima mostra que D e P são um o inverso do outro.

No caso em que J e f_c são uniformes, pode-se escrever

e

Desta forma,

Se não existem táchions na teoria,

onde M_R é a massa renormalizada. Assim,

Portanto, W[J] é convexa.

Da Eq. (74), tem-se que

Portanto, V_ef(f_c) é uma função convexa de f_c.

Recebido em 19/5/2005; Aceito em 27/7/2005

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2

Diagramas de Feynman que não podem ser divididos em dois cortando-se apenas linhas internas.

3

Nós usamos

=

c = 1, contudo, mantemos

para marcar as correcões quânticas.

4

Note que, quando f

_c(

x) é uniforme,

J(

x) também é uniforme e que para cada valor de

J constante existe um correspondente valor constante de f

_c.

5

Note que agora

U(f

_c) é uma funcão ordinária da variável f

_c.

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  14 Dez 2005
• Data do Fascículo
  Set 2005

Histórico

• Recebido
  19 Maio 2005
• Aceito
  27 Jul 2005