Dimensionamento simplificado de uma linha de distribuição eléctrica em corrente contínua

Simplified dimensioning of a continuous electric power line

NOTAS E DISCUSSÕES

Dimensionamento simplificado de uma linha de distribuição eléctrica em corrente contínua

Simplified dimensioning of a continuous electric power line

Armando Vieira¹

Instituto Superior de Engenharia do Porto, R.S. Tomé, Porto, Portugal

RESUMO

Neste trabalho é calculada a tensão e resistência equivalente ao longo de uma linha eléctrica em corrente contínua alimentando N cargas equidistantes. É obtida uma expressão simples recorrendo à aproximação de linha contínua e considerando a resistência do fio pequena quando comparada com as cargas.

Palavras-chave: linha eléctrica, circuitos eléctricos, aproximação linha contínua.

ABSTRACT

In this work we calculate the tension and equivalent resistance on a electric line feeding N equidistant loads resistances with continuous current. We obtain simple expressions using the approximation of a continuous line and considering the cable resistance small compared with the load resistance.

Keywords: electric power line, electric circuits, continuous approximation.

1. Introdução

Muitos manuais universitários apresentam circuitos eléctricos relativamente simples que servem para ilustrar princípios importantes que permitem a sua resolução, como seja o teorema de Thévenin. Contudo, os problemas reais, mesmo os mais simples, raramente podem ser solucionados de uma forma directa com base nestes circuitos simplificados.

Para estes casos é frequentemente necessário recorrer a simulações computacionais que, embora fiáveis e rápidas, apresentam a desvantagem do aluno perder sensibilidade para os parâmetros essenciais do problema bem como dificultando a aquisição de uma perspectiva global que lhe permita extrapolar os conhecimentos para situações análogas.

Neste trabalho é resolvido, de uma forma aproximada, o problema de uma linha de distribuição eléctrica, alimentada por uma fonte de tensão V alimentando N resistências de carga, R₂, dispostas em paralelo e ligadas entre si através de um cabo uniforme com resistência não nula. A solução obtida é simples o que permite uma compreensão clara da importância de cada pârametro no problema. Serão feitas aplicações a dois casos práticos: linha de baixa-tensão e linha de média-tensão.

2. Problema

Uma linha de distribuição eléctrica, alimentada por uma fonte de tensão V alimenta N resistências de carga, R₂, dispostas em paralelo e ligadas entre si através de um cabo uniforme. Se as cargas forem equidistantes e entre cada uma existir uma resistência R₁, correspondente ao troço de fio que as une, determinar a tensão Vⁱ aos terminais de cada carga .

A solução deste problema é obtida a partir de um equivalente de Thévenin do circuito do ponto de vista dos terminais de cada resistência R₂. Começando com uma única carga, vão-se adicionando troços compostos por um par R₁ e R₂, como indica a Fig. 1, de forma a obter-se a seguinte equação recorrente para a tensão e resistência de Thévenin ao fim de cada troço i:

A solução do problema pode ser facilmente obtida através de iterações múltiplas. Porém este procedimento, embora computacionalmente simples, apresenta a desvantagem de ser pouco elucidativo, além de não permitir uma interpretação analítica simples. Na verdade, a resolução deste problema só é possível usando uma abordagem matricial com um número de equações igual ao número de cargas.

Vamos obter uma representação contínua do problema para depois o resolver aproximadamente. Tendo em conta que R₁ é pequeno, podemos aproximar a Eq. (2) pela seguinte expressão válida para R₁ + Rⁱ << R₂:

Usando a aproximação de uma linha contínua, esta relação pode ser escrita como uma equação diferencial:

em que x é uma variável contínua que quantifica a distância entre as cargas R₂. Os termos R₁ e R₂ passam a ser interpretados como resistências por unidade de comprimento. A Eq. (4) admite como solução:

Podemos observar que para >> 1 a resistência equivalente tende para um valor assimptótico:

Este resultado estabelece que a resistência equivalente do circuito tende para um valor constante, o que é, de certa forma, contra-intuitivo. Contudo ele pode ser compreendido se atendermos ao caso em que todas as resistências possuem valores idênticos R₁ = 1 W e R₂ = 2 W, com excepção da última = 1. Nesta topologia, pode verificar-se facilmente que a resistência equivalente do ponto de vista da fonte é de 1 W, e independente do número de cargas.

Por outro lado, quando << 1, e dado que tanh(x) ~ x, para x pequeno, podemos escrever:

Vamos agora estudar a tensão ao longo da linha. Para R₁ pequeno é igualmente válida a seguinte aproximação:

Em que R(x) é dado pela Eq. (5). Esta equação é difícil de resolver. Contudo, se considerarmos que a variação de R(x) é pequena comparada com a variação da tensão, podemos resolvê-la facilmente:

Para >> 1, fica

Enquanto que na proximidade da fonte, ou seja para << 1, recorre-se à aproximação (7) obtendo:

A Fig. 2 mostra que a aproximação usada pela abordagem analítica é razoável.

O problema fica assim completamente resolvido. Com ajuda da Eq. (11) podemos calcular sem dificuldade quantas cargas podem ser alimentadas por uma linha de tensão. Vamos considerar dois exemplos: um circuito de baixa-tensão e outro de média-tensão.

2.1. Exemplo 1: Baixa-tensão

Se usarmos um fio de cobre com 6 mm² de secção que alimenta várias casas separadas por uma distância de 100 m obtemos R₁ = 0.05 W. Se a tensão for de 220 V e cada casa consumir 1 kW, então R₂ deve ser cerca de 50 W. Em termos práticos pretende-se determinar quantas casas se podem alimentar com esse fio para que o valor da tensão não desça a menos de 90% do valor da fonte, ou seja, cerca de 200 V.

Resolvendo a Eq. (11), fica:

ou seja,

Para este caso obtemos x = 10, ou seja 10 casas. A simplicidade da expressão 13 ajuda a obter resultados gerais e imediatos para qualquer sistema, bastando ajustar os valores das resistências de carga e do fio. Podemos saber, por exemplo, que ao duplicarmos o diâmetro do fio, R₁ diminui quatro vezes e o valor de x duplica. Neste caso passaríamos a poder alimentar 20 casas. Da mesma forma se a potência consumida em cada casa duplicar R₂ passa a metade e o número de habitações servidas será apenas de 10 / = 7.

2.2. Exemplo 2: Média-tensão

Ao usar média-tensão, podemos reduzir drasticamente a corrente que circula na linha. Em termos do circuito equivalente, isso significa que R₂ assume valores maiores. Por exemplo, se usarmos um cabo de cobre com uma área de 20 mm² e a tensão for V₀ = 20 kV, supondo que cada carga consome uma potência de 1 MW equidistantes de 1 km, obtemos R₁ = 0.15 W e R₂ = 400 W. Neste caso R₂/R₁ = 2666 e x = 16. A linha poderá então suportar um total de 16 MW, ou seja, uma corrente de 800 A, embora na prática um cabo com esta secção não transporte mais que algumas centenas de amperes.

Podemos calcular a potência máxima dissipada na linha:

ou seja cerca de 5.5 % da potência transportada.

Em conclusão, apresentámos uma solução simplificada de um problema complexo e de extrema utilidade no dimensionamento de linhas de potência eléctrica.

Recebido em 25/10/2004; Revisado em 10/8/2005; Aceito em 14/9/2005

• [1] C.R. Paul, S.A. Nasar and L.E. Unnewehr, Electric Engineering (McGraw-Hill, New York, 1992), 2Ş ed.
• [2] Martin A. Plonus, Applied Electromagnetics (McGraw-Hill, New York, 1978).
• [3] D. Shirmohammadi and H.W. Hong, IEEE Transactions on Power Delivery 4, 1492 (1989).

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  27 Mar 2006
• Data do Fascículo
  Dez 2005

Histórico

• Aceito
  14 Set 2005
• Revisado
  10 Ago 2005
• Recebido
  25 Out 2004