Uma dificuldade recorrente em óptica geométrica: uma imperceptível descontinuidade de imagem na lupa

A recurrent problem in geometrical optics: a not perceived image discontinuity at the magnifying glass

ARTIGOS GERAIS

Uma dificuldade recorrente em óptica geométrica - uma imperceptível descontinuidade de imagem na lupa

A recurrent problem in geometrical optics - a not perceived image discontinuity at the magnifying glass

Fernando Lang da Silveira¹; Rolando Axt

Instituto de Física, Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil

RESUMO

Poderíamos estar olhando para um objeto através de uma lupa e não perceber a súbita inversão de imagem - de virtual e direita para real e invertida - quando o objeto é afastado para além do plano focal? No presente artigo mostramos que isto efetivamente acontece, e também com certas lentes de óculos, como as lentes comuns de leitura.

Palavras-chave: lupa, olho humano, óptica geométrica.

ABSTRACT

Could we be looking at an object across a magnifying glass without perceiving the sudden image inversion - from virtual and erect to real and inverted - when the object moves away from the lens to a place a little farther than the focal distance? In this article we show that this effectively happens, as well with some eyeglasses lenses, like common reading glasses.

Keywords: magnifying glass, human eye, geometrical optics.

É útil chamar a atenção do leitor sobre a importância do estudo da lupa. É importante compreender o seu funcionamento não somente pela lupa em si, mas também porque a lupa constitui uma parte de quase todos os instrumentos de observação subjetiva.

Roberto A. Salmeron

1. Introdução

É por demais sabido que uma lente convergente conjuga uma imagem virtual e direita, maior do que o objeto, quando um objeto real está posicionado entre a lente e seu plano focal. Nos textos que conhecemos, sejam de ensino médio ou de ensino superior, a abordagem teórica da lupa parte do pressuposto de que o objeto está posicionado entre a lupa e o seu plano focal. Um excelente livro de Física para o ensino médio afirma que a lente utilizada só se comportará como uma lupa quando o objeto estiver colocado numa distância inferior à sua distância focal [1, p. 276], e desta forma, exclui explicitamente o uso de uma lente convergente como lupa quando o objeto se encontra além do plano focal, situação em que a lente convergente conjuga uma imagem real e invertida. Assim, se um objeto for afastado de uma lente convergente, ao atingir o plano focal ocorrerá uma descontinuidade no comportamento da imagem pois ela passa de virtual e direita para real e invertida. Possivelmente o reconhecimento da existência desta flagrante descontinuidade levou os autores do referido texto a negar a possibilidade do uso de uma lupa quando o objeto se encontra além do plano focal².

Imaginemos que um observador utilize uma lupa com o objeto posicionado entre ela e o plano focal. A pergunta que formulamos é a seguinte: o que ele enxergará quando o objeto for afastado e finalmente ultrapassar um pouco o plano focal? No ^Apêndice apresentamos uma questão-teste tratando deste problema. Inicialmente uma fotografia mostra o que se enxerga quando um objeto está posicionado próximo ao plano focal, a uma distância da lupa inferior a sua distância focal; depois são oferecidas quatro alternativas de resposta para o teste. As alternativas são fotografias sugerindo o que se veria no caso de o objeto estar posicionado um pouco além do plano focal.

A questão foi proposta a professores de Física Geral de diversas universidades, sendo que a maioria deles já leciona ou lecionou alguma disciplina que trata da óptica geométrica. De um total de vinte e oito respondentes, dezesseis optaram pela fotografia que sugere que o observador não discernirá nada (^{Fotografia 4}), cinco pela fotografia onde se reconhece uma imagem invertida pouco nítida (^{Fotografia 3}), dois pela alternativa em que se observa uma imagem invertida com boa nitidez (^{Fotografia 2}) e um considerou que nenhuma das alternativas estava correta. Apenas quatro dos respondentes optaram pela alternativa que apresenta uma imagem semelhante àquela que o observador via quando o objeto se encontrava aquém do plano focal (^{Fotografia 1}). Surpreendentemente esta é a alternativa correta!!

A dificuldade em tratar teoricamente da questão posta é recorrente pois não é de hoje que se manifesta, seja nos livros-texto, seja nas respostas de nossos professores. Em meados do século XVII diversos físicos eminentes envolveram-se com o problema; destaca-se, entre outros, Isaac Barrow (1630-1677), primeiro ocupante e antecessor de Isaac Newton (1642-1724) na cátedra lucasiana. Mais tarde, em 1709, no Ensaio para uma nova teoria da visão, o filósofo empirista inglês George Berkeley (1685-1753) debateu-se com o problema³ ([2]; p. 177-179). Tanto Berkeley quanto Barrow e outros não tinham dúvidas sobre o que se enxergava na situação proposta pois, ao utilizarem lentes convergentes (e espelhos côncavos⁴), posicionando o objeto um pouco além do plano focal, viam uma imagem muito semelhante àquela que observavam quando o objeto se encontrava um pouco aquém do plano focal. O que procuravam era uma explicação para tão surpreendente observação!!

O objetivo deste trabalho é o de discutir teoricamente o que observamos ao olhar através de uma lente convergente, estando o objeto ora antes ora depois do plano focal da mesma.

2. Afinal, o que vemos?

Para que uma coisa possa ser vista por nós, é preciso que uma imagem real seja conjugada pelo sistema de lentes do olho (córnea, humor aquoso, cristalino). Não temos acesso direto aos objetos e o que vemos são imagens reais em nossa retina. Se desconsiderarmos esta singela sentença, inevitavelmente encontraremos inconsistências entre o que aprendemos em óptica geométrica e o que vemos⁵. Exemplos emblemáticos disso são o caso do espelho côncavo [3] e o da lupa, que examinaremos a seguir.

Para compreender o que vemos quando olhamos com auxílio de uma lupa (ou, eventualmente, de uma lente ou espelho qualquer ou ainda de um sistema óptico mais complexo), é necessário que examinemos como são as imagens em nossa retina quando o olho refrata a luz que emerge da lupa. Ou seja, não podemos limitar a análise do problema à óptica da lupa, como ocorre na maioria dos livros didáticos; devemos acrescentar ao sistema uma lente que represente nosso olho conjugando imagens sobre a retina.

Para analisar este problema recorremos à construção gráfica das imagens conjugadas pela lupa e pela lente do nosso olho. Construções gráficas são realizadas a partir do traçado de alguns raios principais oriundos do objeto e refratados pelas lentes; no presente caso, a lupa e a lente do nosso olho. As regras em que se baseia a construção gráfica encontram-se tanto em textos de nível fundamental [4] e médio [5], quanto de nível superior [6].

Quanto à localização do objeto em relação à lupa, para que ele possa ser visto por um observador que olha através dela, analisamos, a seguir, dois casos distintos que produzem resultados bastante semelhantes sobre nossa retina.

3. Primeiro caso: O objeto localiza-se a uma distância da lupa menor do que a distância focal

Inicialmente imaginemos que o objeto esteja colocado entre a lupa e o seu plano focal. A Fig. 1 representa o objeto e a imagem virtual e direita conjugada pela lupa. O observador encontra-se próximo à lupa, do lado oposto ao lado que está o objeto e sua imagem.

Na Fig. 2 é introduzida uma lente convergente para representar a lente do olho do observador. A imagem virtual conjugada pela lupa é um objeto real para a lente do olho, conforme indica a figura. A lente do olho conjuga uma imagem real e invertida; de modo que sobre a retina (não representada na figura) ocorre uma imagem real e invertida. É importante destacar que quando percebemos objetos direitos temos imagens invertidas na retina.

Se, na Fig. 1, o objeto for movido em direção ao foco F, os raios luminosos que emergem da lupa, provenientes de um ponto do objeto, se tornam cada vez menos divergentes, o que faz a imagem virtual conjugada pela lupa se afastar, tendendo ao infinito, e, ao mesmo tempo, aumentar de tamanho. Conseqüência disso é que o olho necessita de menor acomodação visual e assim conjuga uma imagem de tamanho maior na retina. A acomodação visual se refere à capacidade que o nosso olho possui de reduzir a sua distância focal para que tenhamos uma imagem distinta na retina, isto é, uma imagem nítida conjugada sobre a retina⁶. Quanto mais divergentes forem os raios luminosos que atingem o olho, tanto menor deverá ser a distância focal da lente do nosso olho. Isto exige uma maior acomodação visual, ou seja, um esforço maior dos músculos ciliares que pressionam o cristalino a fim de aumentar a sua curvatura e reduzir a distância focal.

Portanto, o uso de uma lente convergente (tal como a lupa) na frente do olho, além de poder amplificar o tamanho das coisas que enxergamos, possui uma outra conseqüência desejável, qual seja a de exigir uma menor acomodação visual. No caso limite em que o objeto é postado sobre o plano focal da lupa, os raios provenientes de um ponto do objeto atingirão o nosso olho como raios paralelos, não exigindo de um olho normal qualquer esforço para acomodação visual e determinando a máxima amplificação possível da imagem sobre nossa retina.

A seguir analisaremos uma nova situação, sobre a qual os livros didáticos costumam ser omissos. Nesta situação a imagem conjugada pela lupa não é nem virtual, nem direita.

4. Segundo caso: O objeto localiza-se a uma distância da lupa maior do que a distância focal

A Fig. 3 representa o objeto colocado além do plano focal da lupa e a lupa conjugando uma imagem real e invertida.

A Fig. 4 representa raios luminosos provenientes de um ponto do objeto sendo interceptados pela lente do olho antes de atingirem o ponto de convergência. A linha tracejada indica qual dos raios, ao emergir da lente do olho, não continuará na direção original de incidência sobre a lente, conforme se observa na Fig. 5. Estando a lente do olho na posição em que se encontra, a imagem real conjugada pela lupa é um objeto virtual para o olho. Como vemos nas Figs. 4 e 5, esse objeto virtual situa-se atrás do olho.

A lente do olho causa uma convergência prematura dos raios sobre ela incidentes. Isto é mostrado na Fig. 5, na qual está representado o traçado dos raios principais que convergem e determinam uma imagem real do objeto virtual indicado na Fig. 4. Esta imagem, conjugada pela lente do olho, tem a mesma orientação do objeto virtual. Assim, temos uma imagem real e invertida na retina do nosso olho, ou seja, um resultado semelhante ao do primeiro caso abordado na seção 3.

Note-se que, independentemente de o objeto situar-se antes ou depois do plano focal da lupa (vide Figs. 2 e 5), resulta na retina uma imagem invertida (portanto percebemos direito). Quando o objeto se afasta da lupa passando pelo seu plano focal, não há descontinuidade para a imagem conjugada pela lente do nosso olho na retina⁷. O que existe é descontinuidade da imagem que a lupa conjuga; entretanto, ao fazermos uso da lupa, com o nosso olho próximo dela, essa descontinuidade nunca é percebida⁸. Quando o objeto para a lupa se encontra sobre o plano focal dela, ocorrerá em nossa retina a máxima amplificação possível da imagem real ali conjugada pela lente de nosso olho⁹. Lembramos novamente a singela sentença: o que vemos são imagens reais em nossa retina!!

5. Conclusão

A discussão levada a efeito neste trabalho pressupõe que o observador esteja utilizando uma lupa próxima a seu olho. Entretanto é fácil notar que qualquer pessoa que utilize óculos com lentes convergentes, por exemplo para a correção da presbiopia ("vista cansada"), satisfaz tais condições, pois a distância focal é de algumas dezenas de centímetros e os olhos estão quase que colados às lentes. Assim sendo, quando o observador dirige sua atenção para objetos próximos, as lentes poderão estar conjugando imagens virtuais ou reais. Nada na experiência dessas pessoas indica alguma descontinuidade no que enxergam quando a posição do objeto muda de antes para depois do plano focal das lentes. Nem mesmo o tamanho da imagem muda significativamente quando isso acontece. O que pode acontecer é uma perda de nitidez da imagem conjugada na retina quando o objeto está muito além do plano focal, pois o nosso olho não possui acomodação visual para esta situação.

Enfatizamos, finalmente, que não podemos compreender a óptica da visão sem levar em conta o fato de que a lente de nosso olho conjuga imagens reais na retina. Ignorar esse princípio nos induz a fazer previsões erradas sobre o que se pode enxergar.

Agradecimento

Agradecemos à professora M.C. Varriale pela leitura crítica deste artigo e pelas sugestões apresentadas.

Recebido em 2/5/2006; Aceito em 4/7/2006

Questão: Teste sobre a lupa

As figuras acima representam uma lente convergente conjugando imagens em duas situações distintas. Quando o objeto se encontra entre a lente e o foco, a imagem conjugada é virtual e direita (Fig. 1A). Quando o objeto se encontra além do foco, a imagem conjugada é real e invertida (Fig. 2A). Posto isto, considere a seguinte questão:

Um observador utiliza uma lente convergente como lupa, posicionando o seu olho próximo da lupa (vide Fig. 3A). Inicialmente ele coloca o objeto (a palavra Optiké) na posição A, próximo ao foco, entre a lupa e o foco. O que ele vê nesta situação está mostrado na fotografia da Fig. 4A.

Depois o objeto é deslocado para a posição B, isto é, para um pouco além do foco, mas o observador permanece no mesmo lugar.

Qual das quatro fotografias a seguir você julga que reproduza aquilo que o observador enxerga agora?

• [1] GREF, Física 2 (EDUSP, Săo Paulo, 1991).
• [2] G. Berkeley, in The Works of George Berkeley, edited by A.A. Luce and T.E. Jessop, (Thomas Nelson & Sons, Londres, 1948-1957), v. I, p. 177-179.
• [3] F.L. Silveira, R. Axt e M.A. Pires, Rev. Bras. Ens. Fis. 26, 19 (2004).
• [4] A. Gaspar, Experięncias de Cięncias para o Ensino Fundamental. (Ed. Ática, Săo Paulo, 2003).
• [5] A. Gaspar, Física 2 (Ed. Ática, Săo Paulo, 2001).
• [6] H.M. Nussenzveig, Curso de Física Básica (Ed. Edgard Blücher, Săo Paulo, 1998).
• [7] R. Dawkins, A Escalada do Monte Improvável (Companhia das Letras, Săo Paulo, 1998).

Apêndice

2

Os demais textos de óptica geométrica que conhecemos implicitamente endossam esta opinião, pois nenhum deles discute o que se enxergaria caso o

objeto estivesse posicionado além do plano focal da lupa.

3

Agradecemos ao Professor José Oscar de Almeida Marques, do Departamento de Filosofia da UNICAMP que, estando a traduzir o texto do bispo Berkeley, nos deu a conhecer a existência de tal discussão naquela obra.

4

Recentemente alunos do ensino médio, ao trabalharem com espelhos côncavos, notaram surpresos o fato de que quando se miravam no espelho, posicionados quer antes quer depois do seu plano focal, se enxergavam

direitos, e que não era perceptível qualquer descontinuidade ao passarem pelo plano focal. Eles notaram uma descontinuidade quando se posicionavam a aproximadamente duas vezes a distância focal em relacão ao espelho [3].

5

Um exemplo é a contestacão feita por um aluno sobre o fato de que, para um espelho plano, o tamanho da imagem é igual à do objeto. O aluno contra-argumentou falando sobre como ele se vê:

Isso não está certo, pois o tamanho da minha imagem no espelho diminui quando dele me afasto. Este argumento está construído sobre o pressuposto de que o que vemos são imagens no espelho e não imagens conjugadas em nossa retina!!

6

Existem animais que possuem a lente do olho com distância focal fixa, e são capazes de variar a distância que a separa da retina para nela conjugar

imagens nítidas [7]). No reino animal há mais de quarenta tipos diferentes de olho!!

7

Outra forma de se expor isto é a seguinte: Quando o objeto para a lupa está sobre o seu plano focal, os raios luminosos que emergem da lupa, provenientes de um ponto do objeto, são paralelos entre si. Se o objeto se encontra um pouco antes ou um pouco depois do plano focal da lupa, os raios luminosos dela emergentes são quase paralelos entre si (levemente divergentes ou levemente convergentes). Ora, a lente de nosso olho, ao refratar tais raios, os fará convergir quase que sobre o seu plano focal, conjugando em nossa retina imagens

reais muito semelhantes. Na situacão particular em que percebemos a máxima amplificacão possível, o

objeto se encontra no plano focal da lupa. Destaque-se que o comportamento dos raios luminosos que atingem o nosso olho não sofre nenhuma descontinuidade. Ao contrário, os raios luminosos monótona e gradualmente se transformam de raios divergentes para raios convergentes.

8

Cabe ressaltar que a descontinuidade é facilmente perceptível quando o observador está postado a uma grande distância da lente convergente (a uma distância muito maior do que a sua distância focal) e o

objeto é afastado da lente para além do seu plano focal. Neste caso a

imagem conjugada pela lente muda de

virtual para

real. Tanto uma

imagem quanto a outra constituem

objetos reais para o olho de um observador distante. Então o observador poderá enxergar uma

imagem invertida pairando no espaco em frente da lente. Esse efeito, quando demonstrado em laboratórios de óptica, surpreende aqueles que acreditam que

imagens reais somente podem ser vistas sobre anteparos. Efeito semelhante também pode ser obtido com espelhos côncavos, sendo às vezes empregado para produzir

miragens em feiras e museus de ciências [5].

9

O leitor que dispuser de uma lupa facilmente poderá colocar à prova a teoria aqui discutida.

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  05 Mar 2007
• Data do Fascículo
  2006

Histórico

• Aceito
  04 Jul 2006
• Recebido
  02 Maio 2006