Corrente de absorção e reabsorção em dielétricos

Current of absorption and reabsorption in dielectrics

ARTIGOS GERAIS

Corrente de absorção e reabsorção em dielétricos

Current of absorption and reabsorption in dielectrics

Renê Robert^I,1; Edemir Luiz Kowalski^II; Daisy de Melo Gomes^II

^IDepartamento de Engenharia Elétrica, Universidade Federal do Paraná, Curitiba, PR, Brasil

^IIInstituto de Tecnologia para o Desenvolvimento, Curitiba, PR, Brasil

RESUMO

O objetivo do trabalho é mostrar o uso da função de Dissado-Hill para o cálculo dos parâmetros desta função, estimar a susceptibilidade como função da freqüência e apresentar uma interpretação com relação à estrutura do material. A estimativa é feita usando-se o método dos mínimos quadrados para as medidas experimentais da corrente de reabsorção.

Palavras-chave: função de Dissado-Hill, corrente de absorção e reabsorção.

ABSTRACT

The work objective is to show the application of Dissado-Hill function of the parameters calculation and the susceptibility estimation as frequency function and show an interpretation with respect to the structure of the material. The estimate is made using the minimum squares method for the experimental measures of the reabsorption currents

Keywords: Dissado-Hill function, absorption and reabsorption current.

1. Introdução

Os primeiros cabos isolados de que se tem notícia datam de 1795, utilizados em uma linha telegráfica na Espanha e eram isolados em papel. Seguiram-se os condutores cobertos por guta percha, os cabos em papel impregnado em óleo, os cabos em borracha natural, em borracha sintética e PVC. A necessidade de melhor isolamento elétrico, com custos mais baixos e mais duráveis, alavancaram o desenvolvimento do estudo das propriedades elétricas dos materiais isolantes [1]. Os estudos realizados nestes materiais desempenharam importante papel no desenvolvimento da Física do estado sólido mais especificamente na área da matéria condensada auxiliando uma melhor compreensão, desenvolvimento e caracterização de semicondutores e recentemente principalmente aqueles construídos com materiais poliméricos, tais como led's e células fotovoltaicas [2-9].

As principais técnicas de caracterização dos dielétricos que se pode citar são [10]:

1. Tensão de retorno;

2. Curva da densidade de corrente elétrica em função do campo elétrico aplicado;

3. Espectroscopia de impedância;

4. Corrente de Despolarização termicamente estimulada;

5. Corrente elétrica de absorção e reabsorção;

6. Ruptura elétrica.

Neste trabalho será discutida a técnica de corrente elétrica de reabsorção (polarização) e corrente elétrica de absorção (despolarização), por se tratar de um experimento relativamente simples e muito rico em informações.

De forma geral, quando se submete um material qualquer a uma ddp, circula por este uma corrente elétrica. Dependendo da natureza do material esta corrente elétrica poderá variar de vários ampères no caso de um material condutor a fento-ampères no caso de um material isolante.

A forma da tensão aplicada, sua intensidade e o tipo de material que recebem este estímulo, influenciam diretamente sobre a forma de resposta do material, nesse caso a corrente elétrica. Por exemplo, ao aplicar-se um potencial elétrico degrau de 500 V DC a um resistor ideal de 2000 Ω, ter-se-á a circulação constante de corrente elétrica de 0,25 A. Desprezando os efeitos de aquecimento deste resistor e monitorando-se a corrente elétrica que passa pelo resistor ao longo do tempo t, tem-se o gráfico mostrado na Fig. 1.

Ao se remover o campo elétrico no instante t a corrente elétrica instantaneamente cairá à zero. Ao repetir-se este experimento agora colocando-se no lugar de um resistor um capacitor (com indutância e resistência nulas) porém com um meio dielétrico real, de capacitância C o comportamento da corrente elétrica monitorada será diferente, como mostra a Fig. 2.

O comportamento diferenciado do capacitor em relação ao resistor se deve ao fato do material dielétrico possuir os mecanismos de polarização, ou seja, ao se estabelecer um campo elétrico entre seus eletrodos, certos mecanismos respondem em tempos diferenciados a ação deste campo, sendo alguns mais lentos e outros mais rápidos, denominados respectivamente de polarização lenta e polarização instantânea. Estes mecanismos de polarização surgem em função das diferenças estruturais entre estes materiais. Os principais mecanismos de polarização são [11]:

i. Polarização eletrônica (P_e): é devida ao deslocamento da nuvem eletrônica em relação ao núcleo do átomo e ocorre num intervalo de tempo inferior a 10^-15 s. Este mecanismo é independente da temperatura. O momento de dipolo pode ser obtido por:

onde N_e é a população de átomos, α_e é a polarizabilidade eletrônica e E_l o campo elétrico local no dipolo. A polarização eletrônica compõe a polarização rápida.

ii. Polarização atômica (P_a) (iônica ou molecular): resulta do deslocamento mútuo entre íons constituintes da molécula. Ocorre para intervalos de tempo da ordem de 10^-13 s, sendo praticamente independente da temperatura. O momento de dipolo pode ser obtido pela equação

onde N_a é a população atômica e α_a é a polarizabilidade atômica. A polarização atômica também compõe a polarização rápida.

iii Polarização dipolar (P_d) (orientacional): é formada pela orientação dos dipolos permanentes presentes no dielétrico, na direção do campo aplicado. Este fenômeno provoca uma dissipação de energia a qual dependerá da relaxação dos dipolos. Trata-se de um processo lento, com um intervalo de tempo da ordem de 10^-6 s e que depende fortemente da temperatura. O momento de dipolo pode ser obtido por

onde N_d é a população de dipolos, α_d é a polarizabilidade dipolar, dada por α_d = p²/3kT, sendo p o momento dipolar da molécula, k a constante de Boltzmann e T a temperatura em Kelvin. A polarização orientacional faz parte da polarização lenta.

iv. Polarização interfacial (efeito Maxwell-Wagner): surge nas descontinuidades de fases, materiais diferentes, vazios e impurezas. Devido às diferentes condutividades e permissividades das regiões, ocorre a formação de cargas espaciais nas interfaces dessas regiões. Esta forma de polarização contribui para a polarização lenta. O tempo de relaxação (τ) para um modelo simples pode ser obtido por

onde ε₁ e ε₂ são as permissividades relativas, σ₁ e σ₂ as condutividades e d₁ e d₂ as espessuras dos materiais 1 e 2 respectivamente, como ilustrado na Fig. 3.

v. Polarização por cargas espaciais nos eletrodos: surge na interface dielétrico-eletrodos. Ocorre quando os portadores de cargas (íons ou elétrons) se movem em direção aos eletrodos, não sendo neutralizados eletricamente devido às imperfeições do contato dielétrico-eletrodo, havendo desta forma um acúmulo de carga nos eletrodos, distorção do campo elétrico e aumento de perdas e da permissividade relativa.

vi. Homocargas e heterocargas: surgem do movimento de cargas elétricas espaciais, sendo que a homocarga tem o mesmo sinal da carga do eletrodo e sua formação ocorre pelo aprisionamento das cargas injetadas próximas ao eletrodo. A distribuição de cargas espaciais nas vizinhanças dos eletrodos reduzirá o campo elétrico nessa região, ressaltando o campo no volume do dielétrico. A homocarga é gerada por campos elétricos relativamente baixos. A heterocarga tem sinal oposto ao da carga do eletrodo. Após a aplicação do campo elétrico as moléculas carregadas ou íons podem migrar para os eletrodos com polaridade oposta, nas proximidades do qual são presas. A heterocarga é gerada por campos elétricos intensos [12]. Uma ilustração com relação à formação de homocargas e heterocargas pode ser vista na Fig. 4.

Ao sofrerem a ação do campo elétrico, os possíveis mecanismos polarizáveis saem de suas posições de equilíbrio termodinâmico e quando cessada a ação do campo elétrico, não retornam instantaneamente ao equilíbrio, levando um certo tempo para que este processo ocorra. Este tempo de resposta do sistema é denominado de tempo de relaxação dielétrica, e dependendo do mecanismo polarizado, ter-se-á diferentes tempos de relaxação.

O caso mais simples se trata de um conjunto de dipolos elétricos idênticos, e independentes entre si, o que ocorre normalmente em certos líquidos polares dissolvidos em soluções não polares. Neste caso cessada a ação do campo elétrico, todos os dipolos responderão independentemente uns dos outros com um único tempo de relaxação. Observa-se que os materiais apresentam um efeito de memória, ou seja, eles guardam, mesmo após cessada a ação do campo elétrico, um histórico dos efeitos sofrido pelo material durante o processo de ação.

Define-se a função de resposta dielétrica, φ(t) a qual caracteriza a resposta do meio dielétrico à determinadas excitações elétricas. Esta resposta surge em função da ação aplicada retirar o material de seu equilíbrio termodinâmico e cessada a ação o material responde na tentativa de buscar novamente o equilíbrio. A resposta dielétrica a uma excitação pode ser desenvolvida para três tipos de funções para o campo elétrico variável no tempo: função delta, função degrau e função harmônica.

Assumindo a validade do "princípio da superposição", o qual estabelece que a resposta a excitações consecutivas é a soma das respostas para cada excitação individual, a polarização P(t) pode ser determinada por

O significado físico da equação é de que o material dielétrico possui um efeito memória, ou seja, o valor atual da polarização em um tempo t dependerá de todos os valores do campo elétrico assumidos no passado.

Suponha que seja inserido um capacitor de placas planas e paralelas com um dielétrico, num circuito elétrico e aplica-se uma d.d.p. V₀ constante neste capacitor no instante t = 0, como pode ser visto na Fig. 5. Se o dielétrico estiver desprovido de qualquer condutividade, a corrente i₁ que percorre o circuito varia no tempo e pode ser calculada pela equação [13]

onde C, L e R são respectivamente a capacitância a indutância e a resistência do circuito, sendo em geral as duas primeiras muito pequenas. Tendo em vista este fato a corrente de carga termina muito rápido (fração do segundo). Como não existe material absolutamente isolante, existe sempre uma corrente de condução residual que será denominada de i_∞.

Quando se efetua experimentalmente a medida da corrente de carga (descarga) verifica-se que a afirmação acima não é verdadeira. Conclui-se que além das correntes acima relatadas existe uma corrente residual (anormal) que persiste durante dias ou meses. Chamando-se estas correntes elétricas de corrente de absorção (carga) e corrente de reabsorção (descarga), mostrada na Fig. 6.

Em geral para muitos isolantes ter-se-á - = 0 chamada corrente anormal reversível e para outros isolantes - ≠ 0 chamada corrente anormal irreversível.

Os primeiros estudos sistemáticos sobre este assunto foram realizados por Kohlrausch [14], Hopkinson [15], Curie [16], Von Schweidler [17] e Gross [18-20] embora este fenômeno já fosse conhecido desde 1746 por Van Musschenbroek e Cuneaus e também por Maxwell.

As correntes de absorção ou reabsorção podem ter diversas origens. Sob ação de uma função degrau de tensão a corrente de absorção cai lentamente até atingir a corrente i_∞. Na descarga a corrente de reabsorção vai para zero no tempo. Os diversos mecanismos propostos para explicar a corrente de absorção já foram discutidos no início deste trabalho.

2. Função resposta dielétrica

Ainda hoje, não se tem um modelo universal para se explicar o fenômeno da polarização para todos os materiais. Assim ao longo do desenvolvimento da física da matéria condensada, vários modelos foram propostos para a função resposta dielétrica φ(t) para pulsos, a saber: função de Kohlrausch-Willians-Watts [14], função de Veron [22], função de Cole-Davidson [23], função de Curie-Hopkinson-Schweidler [17], função de Jonscher [21], função de Debye [24] e função de Dissado-Hill [26-29].

A função resposta de Debye [24], merece destaque, pois foi o primeiro modelo a propor uma análise teórica para o comportamento dielétrico dos materiais contendo moléculas com momento dipolos permanente. Em seu livro Polar Molecules é discutido o fenômeno que ocorre nestes materiais quando um campo elétrico DC é aplicado. Nesse caso uma polarização ocorre devido ao momento dos dipolos (polarização orientacional) que possui um comportamento exponencial em relação a uma constante de tempo τ até atingir uma polarização constante. Ao se remover o campo elétrico a polarização do material decai exponencialmente com a mesma constante de tempo τ. Nesse modelo Debye impõem algumas condições como:

i) o campo de um dipolo não afeta seus vizinhos e vice-versa;

ii) não há inércia nos dipolos.

Para a corrente elétrica de absorção e reabsorção, o modelo de Debye segue a seguinte relação, cuja forma da função pode ser vista na Fig. 7.

O modelo de Debye se aplica a alguns materiais onde as moléculas que possuem momento de dipolo se encontram separadas por distâncias moleculares, de forma que a ação de um dipolo não afeta o outro, como por exemplo soluções polares muito diluídas em solventes não polares [23].

Os modelos mencionados não produzem uma interpretação física e das propriedades morfológicas dos materiais sólidos [23]. O progresso mais recente neste campo foi feito dentro do contexto da mecânica quântica por meio do modelo de dispersão dielétrica da fase sólida de Dissado e Hill [25-29].

Em 1984 Dissado e Hill [29], propoem um modelo onde a matéria é formada por grupos (clusters), que são regiões espacialmente limitadas, com certa ordem estrutural e parcial regularidade de unidades individuais. Nesse modelo trata-se a interação entre os dipolos por meio do problema de interação entre muitos corpos (many-body interactions), onde as distorções da rede, imperfeições, defeitos estruturais, como por exemplo a falta de regularidade e tratada com a teoria da perturbação sendo observados dois tipos de processos:

i) movimento intra-grupo (intracluster);

ii) troca inter-grupo (intercluster).

Cada uma dessas interações contribui para a forma final da função de relaxação dielétrica.

No modelo proposto para a relaxação dipolar os dipolos são interligados pela estrutura, onde o dipolo relaxa seguindo uma lei exponencial do tipo e^-t/^τ, em acordo com o modelo de Debye, porém afetando o campo elétrico visto pelos dipolos que o avizinham e vice-versa. Assim ter-se-á relaxações individuais que acompanham o modelo de Debye e, simultaneamente, a relaxação do momento dipolar de cada domínio seguindo uma lei da forma t^-n. Esse processo caracteriza o denominado movimento intra-grupo. A interação de troca inter-grupo possui um maior alcance que o movimento antes descrito, se devendo fundalmentalmente à interação que ocorre entre os dipolos das bordas dos domínios com os domínios adjacentes, como pode ser visto na Fig. 8.

Dissado e Hill desenvolvem a função resposta dielétrica considerando uma estrutura da matéria ideal sobre a qual perturbações são impostas. A descrição dos movimentos inter-grupo é obtida através do método de segunda quantização. O comportamento da relaxação é determinado através da evolução da equação de um oscilador harmônico amortecido no qual, considerando-se as perturbações, pode-se formar os grupos. Em função destas considerações, a lei de potência fracional pode ser obtida, ou seja χ"(ω) ω^{n - 1}, onde 0 < n < 1 e representa a estrutura média dos grupos. Em estruturas com alto grau de ordem onde as interações são fortes, formadas somente por grupos totalmente correlacionados tem-se n → 1, como em estruturas com alto grau de desordem ou seja interações fracas, onde seus constituintes relaxariam de forma independente, sem a formação de grupos n → 0. Se o expoente n apresentar o valor limite n = 0, ter-se-á um sistema sem grupos onde as entidades relaxam independentemente uma das outras, o que conduz ao modelo clássico de Debye [26-29].

Tratando-se do movimento de troca inter-grupos, deve-se considerar a complexa estrutura organizacional dos sólidos, onde o volume interno do material é formado por grupos com dimenssões macroscópicas, caracterizando as chamadas superestruturas, em analogia à morfologia dos polímeros semi-cristalinos, onde as moléculas formam as cadeias dobradas, com cristais lamelares formando uma organização agregada em torno das esferulitas, que são conectadas entre si pelas regiões amorfas.

O mesmo comportamento de lei de potência fracional é sugerido para explicar a função resposta dielétrica no caso do movimento inter-grupos, porém considerando-se uma perturbação à estrutura ideal. A lei fica expressa na forma ω^m com 0 < m < 1, onde m representa o grau de ordem estrutural na escala dos grupos. Assim, se m → 0 a variedade de grupos se aproxima de uma rede ideal, enquanto se m → 1 ter-se-á uma ampla distribuição de grupos.

O fenômeno LFD (Low Frequency Dispersion) ou processo QDC (Quasi - DC) é caracterizado por um processo de condução parcial verificado em sistemas dominados por portadores de cargas. No modelo proposto por Dissado e Hill, o tratamento é semelhante à aproximação feita para os sistemas dipolares, exceto os que se tratam de sistemas dominados por portadores de cargas. A diferença entre um processo LFD e a QDC em regiões de baixas freqüências, é que o caso QDC é caracterizado por [29]

onde σ_DC é a condutividade elétrica independente da freqüência. Em regiões de freqüências mais elevadas, a polarização interfacial de Maxwell-Wagner tem sido usada para explicar o comportamento

onde a razão χ'(ω)/χ"(ω) é proporcional ao inverso da freqüência. O modelo proposto por Dissado e Hill considera um sistema onde o movimento dos portadores de cargas dentro de um comprimento de correlação ξ, formando um único grupo, é tratado como cooperativo, ou seja, o movimento de um portador de carga depende da distribuição ou ocupação pelas cargas dos grupos que o avizinham. Assim, a resposta fica dividida em comportamentos de tempos baixos ou altas freqüências, que ocorrem acima da freqüência característica ω_c (movimento intra-grupos), e comportamento em tempos altos ou baixas freqüências, em regiões abaixo de ω_c (movimento de troca inter-grupos). No movimento intra-grupo, a resposta em alta freqüência do processo QDC apresenta basicamente o mesmo tratamento matemático para o modelo dipolar, fornecendo a mesma forma de função susceptibilidade, ou seja, ω^{n - 1} para 0 < n < 1, onde o expoente n está associado à ordem do grupo, conforme discutido anteriormente.

O movimento de troca inter-grupo é diferente do modelo dipolar, no sentido que no processo QDC as cargas são fisicamente trocadas entre grupos. Assim, se um íon salta para um sítio disponível a uma distância maior do que o tamanho do grupo, é estabelecido um transporte de carga, considerado aqui como um deslocamento de carga efetiva de um grupo doador (ionizado) para um grupo receptor (carregado). Então uma variedade de grupos exibindo uma distribuição de sítios ocupados fica estabelecida. Para a situação discutida, a expressão matemática para a função susceptibilidade apresenta um comportamento de lei de potência fracional, na forma ω^-p, onde p está no intervalo 0 < p < 1. Para pequenos valores de p tem-se a presença de grupos quase idênticos, ao passo que para grandes valores de p tem-se uma ampla variedade de grupos. Assim, o aumento de p implica em flutuações na troca inter-cluster e conseqüentemente com o transporte realizado. Como no modelo dipolar, levando em conta os processos envolvendo os movimentos intra-grupo e movimentos de troca inter-grupo r, a função susceptibilidade do sistema poderá ser expressa como

onde a freqüência ω_c é a transição, no processo QDC, da alta freqüência para a baixa freqüência. Para regiões de alta e baixa freqüência com relação a ω_c, as formas assintóticas da equação anterior são expressas como

As funções resposta do material no domínio do tempo para o caso dipolar e QDC, respectivamente, são

onde ω_p ω_p é a relaxação característica, m e n são constantes numéricas no intervalo 0 a 1 e ₁F₁ é uma função hipergeométrica confluente, também chamada de função de Kummer a qual tem por definição [26]

onde (α)_r = α(α + 1)(α + 2)...(α + r - 1) é chamado símbolo de Pochhammer. Desta forma a função hipergeométrica confluente se escreve como

3. Ajuste da função de Dissado-Hill

Tomando o logaritmo da Eq. (14) obtemos

e usando a Eq. (17) e o fato de que ln(1 + x) = x - - ... obtém-se

Como a corrente de reabsorção (descarga) é dada por i(t) = C₀U₀φ(t), onde C₀ é a capacitâncias geométrica da amostra e U₀ é a tensão aplicada na amostra, ficamos para o ln(i(t)) a equação

Com as equações para A, B e C calculamos os parâmetros da função de Dissado-Hill os quais são dados por

O ajuste da Eq. (20) pode ser feito usando-se o método dos mínimos quadrados para os dados experimentais. Outra maneira de escrever a Eq. (20) é fazer uma mudança de variável de x = ln(t). Desta forma a Eq. (20) pode ser escrita como

4. Cálculo da susceptibilidade

Segundo Dissado-Hill a susceptibilidade é dada pela equação [25]

Substituindo a Eq. (14) na Eq. (22) e procedendo a integral e fazendo a transformação de coordenadas x = ωt obtém-se

a qual fornece, quando resolvida [30], a equação

a qual é composta de duas partes, uma real e outra imaginária. A função ₂F₁ (1 - m,1 - n,2 - n, x) é chamada função hipergeométrica gaussiana.

5. Exemplos

A corrente de absorção foi medida em um capacitor Philips com capacidade de C = 2nF, polarizando o capacitor com uma tensão constante de U = 100 V, durante 24 h (ver ^{Apêndice 1}). O dielétrico deste capacitor é um polímero chamado polietileno terafetalato (PET), com espessura de 1,56 ± 0,15 µm. Outras características são [31]: constante dielétrica ε = 3.2 (f = 1 kHz) e tanδ = 0,005 à temperatura de 25 ^°C. Usando a Eq. (20) (ou a Eq. (21)) para o ajuste com o método dos mínimos quadrados obtém-se os seguintes valores: A = 9.052, n = 0.6895, B = 1.6759 x 10^-4 e C = 9.7434 x 10^-9. Desta forma os parâmetros da equação de Dissado-Hill são os seguintes: n = 0.6895, m = 0.1929, ω_p = 0.000436247 e φ₀ = 6.28238 x 10^-6. Na Fig. 9 apresenta-se os pontos experimentais e o ajuste pelo método dos minímos quadrados.

De posse dos resultados acima pode-se estimar o valor da susceptibilidade complexa dada pela Eq. (17) em função da freqüência. Nas Figs. 10 e 11 mostra-se os resultados que foram calculados com o software Mathematica®.

Usando o modelo de Dissado e Hill para visualizar-se a estrutura do dielétrico analisado percebe-se que o valor de n = 0,6895 indica que o grupo (cluster) deste dielétrico possui um grau de interação interno alto e com o valor de m = 0,1929 tem-se uma distribuição de grupos muito parecidos neste dielétrico com fortes interações de longo alcance, ou seja, tem-se ordem de curto e longo alcance neste dielétrico. A Fig. 12 mostra a direita a mais provável estrutura para a célula unitária do PET, que poderia ser tratada como o grupo (cluster) do material, onde ter-se-ia pelo ajuste da função de DH, n = 1 e m = 0, ou seja uma estrutura ideal. A esquerda na mesma figura, tem-se a possível estrutura do PET em estudo, onde tem-se n = 0,6895 e m = 0,1929. Percebe-se que a estrutura das células unitárias aqui consideradas como o grupo apresentam deformações, alterações estruturais, mudança de interação entre grupos laterais que se aproximam mais da situação de um polímero real. Percebe-se as alterações internas na estrutura do grupo, alterando a forma de interação indicada pelo índice n, bem como uma mudança da interação de longo alcance com uma diferente distribuição de grupos.

6. Conclusão

A relativamente recente teoria de Dissado-Hill é talvez a mais sofisticada abordagem da relaxação dielétrica [32-35]. Esta permite uma interpretação física e morfológica do estado sólido. Há atualmente duas teorias, uma para a relaxação dielétrica e outra para o processo QDC (quasi-DC), não exemplificado neste trabalho, tendo contudo ambas a mesma base fundamental. O modelo assume que a estrutura da matéria condensada é composta de grupos (clusters) os quais estão espacialmente em regiões com estrutura ordenada em unidades individuais. Dois tipos de interação são observados: intra-grupos (intraclusters) e inter-grupos (interclusters). Cada um destes dá lugar a contribuições características para a forma final da função susceptibilidade.

Mostrou-se um exemplo onde a teoria é aplicada a um capacitor com dielétrico PET, e apresentou-se os resultados obtidos com a utilização da função de Dissado-Hill, para ajustar os resultados experimentais da corrente elétrica de despolarização do capacitor bem como a interpretação destes resultados. Uma importante interpretação a ser retirada deste modelo é a visualização da distribuição dos clusters em função dos índices obtidos, permitindo uma visualização realística da estrutura do material estudado [35].

Referências

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[19] B. Gross e P. Rocha, An. Acad. Bras. Cien. IX, 187 (1937).

Recebido em 22/11/2007; Revisado em 23/4/2008; Aceito em 6/5/2008; Publicado em 18/9/2008

Na Tabela 1 a primeira coluna é o tempo medido em segundos. A segunda coluna representa a corrente elétrica medida experimentalmente em Ampère multiplicada pelo fator 10¹⁴. A terceira coluna é o valor do logaritmo neperiano da primeira coluna. A quarta coluna é o valor do logaritmo neperiano da segunda coluna.

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Apêndice 1

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  31 Ago 2008
• Data do Fascículo
  Set 2008

Histórico

• Recebido
  22 Nov 2007
• Revisado
  23 Abr 2008
• Aceito
  06 Maio 2008