Regiões de segurança em lançamento de projéteis

Security regions in projectile launching

ARTIGOS GERAIS

Regiões de segurança em lançamento de projéteis

Security regions in projectile launching

Lúcia Resende Pereira; Valdair Bonfim¹

Faculdade de Matemática, Universidade Federal de Uberlândia, Uberlândia, MG, Brasil

RESUMO

Nosso principal objetivo neste trabalho é a determinação de regiões de segurança em balística. Por região de segurança entendemos a região do espaço tridimensional que fica livre da ação de projéteis. A determinação da região de segurança será reduzida ao cálculo da envoltória de uma família de trajetórias, indexada segundo o ângulo de tiro.

Palavras-chave: lançamento de projéteis, resistência do ar, envoltória, região de segurança.

ABSTRACT

Our main objective in this work is the determination of security regions in ballistics. By security region we understand the region of three-dimensional space that is free to the action of projectiles. The determination of the security region will be reduced to the calculation of the envelope of a family of trajectories, indexed according to the angle of shot.

Keywords: projectile launching, resistance of the air, envelope, security region.

1. Introdução

O assunto "lançamento de projéteis" é bastante rico, tanto do ponto de vista do ensino como da pesquisa, pois aparece numa série de situações práticas. A intenção deste trabalho é abordar um tema ainda pouco trabalhado neste tópico da física, qual seja, o tema da região de segurança. Existem várias situações práticas onde há interesse na determinação desta região, como por exemplo em treinamentos militares, teste de instrumentos bélicos ou em obras da engenharia civil onde se faz necessário o uso de explosivos para desobstruir barreiras. Neste último caso os detritos resultantes das explosões são lançados em direção aleatória com uma determinada velocidade inicial v₀ , cuja intensidade na prática é superestimada, e a preocupação é que tais corpos não atinjam pessoas e ou construções pré-existentes nas proximidades. Na literatura pesquisada sobre o assunto [1] vimos que foi tratado apenas o caso particular em que não se considera a resistência do ar. Neste trabalho consideraremos o efeito da resistência do ar e da presença de ventos, e comentaremos as mudanças qualitativas ocorridas no movimento e na região de segurança. Como a região de segurança é obtida via o cálculo da envoltória de uma família de trajetórias, e como o cálculo desta envoltória utiliza argumentos de geometria e equações diferenciais, cria-se um ambiente propício à interdisciplinaridade entre a física e a matemática. Cabe ainda ressaltar que, devido à consideração da resistência do ar e da presença de ventos, aparecem algumas dificuldades que sugerem e incitam a utilização de recursos computacionais, muito úteis para a elaboração de conjecturas e em completa consonância com as diretrizes curriculares nacionais para os cursos de física.

2. Lançamento de projéteis sem resistência do ar

Embora o caso do lançamento de projéteis sem resistência do ar seja um tema bastante estudado, faremos uma recapitulação deste tipo de movimento apenas para efeito de comparações com o caso menos trivial no qual se leva em conta esta resistência, bem como para fixar notação. Suponha que um projétil de massa m seja lançado a partir do solo com uma velocidade inicial v₀ , a qual faz um ângulo de θ radianos com a horizontal. Este ângulo θ será denominado ângulo de tiro. Suponha ainda que a única força atuante no corpo seja a atração gravitacional mg, da Terra sobre o corpo. Escolhendo o sistema de coordenadas ilustrado na Fig. 1, cuja origem coincide com o ponto de lançamento, e denotando por r(t) = (x(t),y(t)) a posição do corpo no instante t, então a segunda lei de Newton nos diz que

Ou ainda, em coordenadas cartesianas,

cuja resolução nos dá

Isolando t na Eq. (3) e substituindo na Eq. (4) obtemos

Das Eqs. (3), (4) e (5) podemos concluir várias coisas a respeito do movimento do projétil e de sua trajetória. De início concluímos, a partir da Eq. (5), que a trajetória do corpo é um arco de parábola. O tempo de subida t_s, isto é, o tempo que o projétil leva para atingir o seu ponto mais alto, é conseguido impondo-se (t_s) = 0, ou seja

Dessa forma, a altura máxima atingida pelo corpo é

e a distância horizontal máxima alcançada pelo mesmo é dada pela raiz positiva da equação quadrática

ou seja,

Em particular, a distância horizontal máxima alcançada pelo corpo é , e é conseguida quando o ângulo de tiro θ é igual a π/ 4 radianos, ou seja, 45º.

3. A envoltória de uma família de curvas

Suponha dada uma família de curvas planas

Isto significa que para cada valor do parâmetro θ temos uma curva C_θ constituída por pontos (x,y) que satisfazem à equação f(x,y,θ) = 0. Vamos supor aqui que a função f possua derivadas parciais contínuas com respeito às variáveis espaciais x e y, e também com respeito ao parâmetro θ. Admita ainda que a curva C_θ seja suave, no sentido de admitir reta tangente por cada um de seus pontos. Uma condição suficiente para isso é que, para cada θ fixado, o vetor gradiente (com relação às variáveis espaciais) seja diferente de zero em todos os pontos da curva C_θ , isto é

para todo (x,y) na curva C_θ .

A envoltória da família C_θ é uma curva parametrizada γ(θ) = (x(θ),y(θ)) satisfazendo às seguintes condições

i) γ(θ) Є C_θ , ∀ θ;

ii) γ e C_θ possuem a mesma reta tangente no ponto γ(θ).

As expressões matemáticas para tais condições são, respectivamente, as seguintes

ou seja,

Para o cálculo da envoltória basta fixarmos o parâmetro θ e resolvermos o sistema de equações

nas variáveis x e y. Uma aplicação do Teorema da Função Implícita garante que, se

então o sistema composto pelas Eqs. (12) e (13) tem solução γ(θ) = (x(θ),y(θ)), a qual é tão regular quanto a função f. Para vermos que toda solução (x(θ),y(θ)) das Eqs. (12) e (13) é uma envoltória, basta provarmos que a Eq. (11) também fica satisfeita, haja vista que as Eqs. (10) e (12) são as mesmas. Mas isto é simples, pois derivando a Eq. (10) em relação à variável θ encontramos

que devido à Eq. (13) se reduz à Eq. (11). Para ver que este procedimento de fato conduz à envoltória consideremos duas famílias de curvas, as quais podem ser pensadas como propagações de um determinado tipo de onda.

Família 1: (x - θ)² + y² = sen²θ, com 0 < θ < 2π

Cada C_θ é uma circunferência centrada em (θ, 0), com raio |senθ|. Neste caso temos f(x,y,θ) = (x - θ)² + y² -sen²θ, e a resolução do sistema de equações (12)-(13) nos leva a x = x(θ) = θ + senθ cosθ e y = y(θ) = ±sen²θ. A Fig. 2 mostra várias circunferências C_θ , bem como a sua envoltória. Caso se trate, por exemplo, de propagação de ondas prejudiciais aos seres humanos, a envoltória delimita a região que está recebendo a influência danosa das ondas da outra região que fica livre desta influência.

Família 2: (x - θ)² + y² = θ , com θ > 0

Trata-se agora de uma família de circunferências centradas em (θ,0) e Neste caso temos que f(x,y,θ) = (x - θ)² + y² - θ, e a resolução do sistema (12)-(13) fornece x = x(θ) = θ - 1/2 e y = y(θ) = ± , para θ 1/4. A Fig. 3 mostra várias curvas C_θ e a envoltória, que é uma parábola.

4. Cálculo da região de segurança

Inicialmente vamos fixar um plano perpendicular ao solo contendo o ponto de lançamento e determinar a envoltória de todas as trajetórias cujas velocidades iniciais sejam paralelas a este plano. Calculemos a envoltória da família de parábolas dada pela Eq. (5).

No caso f(x,y,θ) = - (tgθ)x, o sistema (12)-(13) torna-se

Como x sec²θ > 0 para todo x > 0 e todo - < θ < , então a segunda equação do sistema (14) nos fornece

Agora, lembrando que sec²θ = 1 + tg²θ, e substituindo a Eq. (15) na primeira equação do sistema (14), obtemos

Surpreendentemente, a envoltória da família de trajetórias parabólicas ainda é uma parábola, denominada parábola de segurança. Para obter a região de segurança no espaço tridimensional basta fazer a rotação da parábola de segurança em torno de seu eixo de simetria uma vez que, sendo os lançamentos aleatórios, temos de considerar velocidades iniciais v₀ paralelas a qualquer plano vertical passando pelo ponto de lançamento, e não somente paralelas ao plano fixado. A Fig. 4 ilustra algumas trajetórias, com alguns ângulos de tiro entre 0º e 180º. Observe que cada ponto dentro da região delimitada pela parábola de segurança está na intersecção de duas trajetórias, significando que um corpo neste ponto pode ser atingido por um projétil ascendente ou por um projétil descendente. Cada uma das trajetórias na Fig. 4 pode ser visualizada na prática com uma mangueira de jardim jorrando água. É uma ocasião onde a teoria pode ser comprovada de modo bastante simples. De fato pode-se observar, por exemplo, que o alcance horizontal máximo da água ocorre quando a mangueira faz um ângulo de 45º com a horizontal.

A Fig. 5 mostra a implosão do Complexo Penitenciário Carandiru num dia que, possivelmente, não soprava ventos fortes, e portanto se enquadra dentro da modelagem feita. Observe que a nuvem de partículas sugere uma região que se assemelha a um parabolóide. Na Fig. 6 vemos uma erupção vulcânica, que também sugere aproximadamente o formato de região parabólica. Pequenas diferenças com o resultado teórico obtido se devem ao fato de que o modelo físico não incorporou particularidades destas situações, como a possibilidade de existir mais de um centro de explosão, ou seja, diferentes pontos de lançamento, gerando uma combinação de regiões com formato de parabolóide.

4.1. Lançamento de projéteis com resistência do ar

A partir de agora consideraremos, além da força gravitacional da Terra sobre o corpo de massa m, a resistência do ar sobre o mesmo. Esta resistência será modelada fisicamente por -b , onde b é uma constante positiva. Escolhendo o mesmo sistema de coordenadas (vide Fig. 1), cuja origem coincide com o ponto de lançamento, e denotando a posição do corpo no instante t por r(t) = (x(t), y(t)), então a segunda lei de Newton nos diz que

ou ainda

Resolvendo este sistema de equações diferenciais ordinárias obtemos

e

onde k = b/m.

Isolando t na Eq. (18) e substituindo na Eq. (19) obtemos

Portanto, a trajetória do projétil com velocidade inicial v₀ e ângulo de tiro θ é a curva C_θ no plano xy cuja equação é dada na Eq. (20). Observe que a Eq. (20) só faz sentido quando

ou seja, quando

Mais ainda, como

segue que a trajetória tenderia assintoticamente para uma reta vertical (a saber, a reta x = ξ) caso não houvesse colisão do projétil com o solo. Isto é, a trajetória seria limitada à direita, conforme ilustrado na Fig. 7. No caso específico abaixo temos ξ = 12,6295 m.

Além disso, independentemente do ângulo de tiro q, nenhuma trajetória ultrapassaria a reta x = v₀/k = (mv₀)/b. Note que a constante b aparece no denominador e, portanto, quanto maior o seu valor, isto é, quanto maior for a resistência do ar, menor será o alcance horizontal, conforme podemos ver na Fig. 8, que ilustra trajetórias correspondentes aos parâmetros: m = 2 kg, θ = 45º, g = 9,8 m/s², v₀ = 20 m/s, θ = 45º, e três valores distintos de b, em kg/s.

Esta é uma diferença qualitativa grande com o caso parabólico, uma vez que lá as trajetórias, caso não fossem interrompidas com a colisão do projétil no solo, seriam ilimitadas na direção x.

Outra diferença entre os dois casos refere-se ao ângulo de tiro que produz o alcance horizontal máximo. Enquanto que o alcance máximo no caso parabólico é obtido quando o ângulo de tiro é 45º, isso não acontece no caso b > 0. Para constatar isso basta considerar o caso particular em que || v₀ || = 20 m/s, g = 9,8 m/s², b = 1 kg/s e m = 0,5 kg. Chamando d(θ) a distância horizontal atingida pelo projétil quando o ângulo de tiro é θ, então

ou seja, a função d(θ) é dada implicitamente pela equação

onde

Utilizando um software para plotar a curva G(θ, d) = 0 obtemos a curva descrita na Fig. 9, ou seja, o ângulo de tiro que produz o alcance horizontal máximo, neste caso particular, é aproximadamente 51% do ângulo de tiro que produz o alcance horizontal máximo no caso parabólico.

4.2. Cálculo da região de segurança considerando a resistência do ar

Para o cálculo da envoltória devemos resolver o sistema

onde agora

Efetuando os cálculos obtemos o sistema

ou ainda

Isolando x da segunda equação obtemos

e levando a Eq. (25) na primeira obtemos

que junto com a Eq. (25) fornece uma parametrização da envoltória.

Utilizando um software obtemos as seguintes trajetórias, cujos ângulos de tiro são vistas na Fig. 10 e dadas por

Para obter a região de segurança no caso b > 0 basta rodar a envoltória da família acima em torno do eixo y. Apesar das diferenças qualitativas já comentadas no texto do artigo, foi possível observar, em ambos os casos, que a envoltória da família de trajetórias tem o mesmo aspecto das trajetórias. Precisamente, no caso parabólico a envoltória também é uma parábola, e no caso b > 0 a envoltória tem uma assíntota vertical, assim como tem assíntota vertical todas as trajetórias de projéteis que estão sujeitos à resistência do ar.

4.3. O efeito da presença de vento

Vamos supor agora que os lançamentos ocorram num local onde há presença de vento, o qual imprime aos corpos aí presentes uma velocidade constante u = (u₁, u₂ ). Neste caso a equação do movimento pode ser modelada na forma

Chamando k = b/m e escrevendo a equação anterior em coordenadas cartesianas obtemos

cuja resolução fornece

e

Observe que para valores grandes de t o fator 1 - e^-kt é quase igual a 1, de modo que temos as seguintes aproximações

e

Chamando c₁ = então

Logo

ou seja

A conclusão é de que para valores grandes de t a trajetória fica arbitrariamente próxima de uma reta com inclinação , a saber, a reta r de equação cartesiana

As diferentes trajetórias dependerão dos valores de u₁ e u₂ . Na sequência analisaremos alguns casos particulares.

4.3.1. Caso 1: Vento horizontal soprando na direção oeste

Neste caso temos u₁ < 0 e u₂ = 0. Logo a inclinação da reta r será positiva e igual a -g/ku₁, e como a ordenada y(t) dada na Eq. (27) é limitada superiormente concluímos em particular que o corpo colidirá com o solo em tempo finito.

As Figs. 11 e 12 ilustram duas trajetórias típicas de um corpo sendo lançado a partir da origem e as correspondentes retas assíntotas, cujos dados são os seguintes: θ = π/4 rad, || v₀ || = 20 m/s, u₂ = 0, m = 0,25 kg, b = 0,6 kg/s, k = 2,4 s^-1, g = 9,8 m/s². Na Fig. 11 temos u₁ = -10 m/s e na Fig. 12 temos u₁ = -2 m/s. Ou seja, se o vento oeste for muito intenso o corpo colidirá com o solo num ponto de abscissa negativa (Fig. 11).

A Fig. 13 ilustra algumas trajetórias com ângulos de tiro compreendidos entre 0º e 180º. O efeito do vento com velocidade u sobre o formato da região de segurança é evidente, a saber, o vento deforma a região de segurança fazendo com que a mesma não apresente nenhum tipo de simetria.

4.3.2. Caso 2: Vento horizontal soprando na direção leste

Neste caso temos u₁ > 0 e u₂ = 0. A análise é completamente análoga à anterior, com a diferença de que para valores grandes de t as órbitas ficarão arbitrariamente próximas de retas com inclinação negativa e igual a -g/ku₁.

4.3.3. Caso 3: Vento com direção nordeste, e baixa intensidade na direção vertical

Por "vento na direção nordeste" estamos querendo dizer que as componentes u₁ e u₂ são ambas positivas, e por "baixa intensidade" entenderemos que u₂ < g/k. Sob estas hipóteses a inclinação (-g + ku₂ )/(k u₁) da reta assíntota será negativa, e os projéteis colidirão com o solo em tempo finito, como nos casos anteriores. A região de segurança apresentará o mesmo aspecto dos casos anteriores.

4.3.4. Caso 4: Vento com direção nordeste, e alta intensidade na direção vertical

Além de supormos que u₁ e u₂ são positivas, admitiremos que u₂ > g/k. Isto implica que o coeficiente angular (-g + ku₂)/(ku₁) da reta assíntota é positivo. Assim, as expressões de x(t) e y(t) dadas nas Eqs. (26) e (27) são ilimitadas superiormente, e dizem que para valores grandes de t o projétil estará bem próximo de uma reta com coeficiente angular positivo. Em particular podemos concluir que o corpo jamais atingirá o solo, conforme ilustra a Fig. 14.

A Fig. 15 por sua vez mostra várias trajetórias, com diferentes ângulos de tiro. Com ela tem-se uma idéia de como fica a região de segurança, que é o complementar da região "varrida" por estas várias trajetórias.

Recebido em 29/2/2008; Revisado em 11/6/2008; Aceito em 4/7/2008; Publicado em 8/10/2008

• [1] J.L. Synge e B.A. Griffith, Mecânica Racional (Ed. Globo, Porto Alegre, 1968), 2Ş ed.
• [2] M.P. Do Carmo, Geometria Diferencial de Curvas e Superfícies (Sociedade Brasileira de Matemática, Rio de Janeiro, 2005), Coleção Textos Universitários.

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  21 Out 2008
• Data do Fascículo
  Set 2008

Histórico

• Revisado
  11 Jun 2008
• Recebido
  29 Fev 2008