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Revista Brasileira de Ensino de Física

Print version ISSN 1806-1117On-line version ISSN 1806-9126

Rev. Bras. Ensino Fís. vol.31 no.2 São Paulo Abr./June 2009

https://doi.org/10.1590/S1806-11172009000200016 

NOTAS E DISCUSSÕES

 

O cálculo de alta precisão do período do pêndulo simples

 

The high-precision computation of theperiod of the simple pendulum

 

 

Claudio G. CarvalhaesI, II, 1; Patrick SuppesI

ICenter for the Study of Language and Information, Ventura Hall, Stanford University, Stanford, CA, USA
IIInstituto de Matemática e Estatística, Universidade do Estado do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, RJ, Brasil

 

 


RESUMO

Apresentamos o método iterativo da média aritmética-geométrica no cálculo preciso do período temporal do pêndulo simples e o comparamos com o método da série de potências. Aproximações analíticas para o período são obtidas pelos dois métodos e comparadas em termos de suas precisões numéricas. Os resultados são amplamente favoráveis à media aritmética-geométrica em virtude de sua rápida convergência.

Palavras-chave: pêndulo simples, integral elíptica, média aritmética-geométrica, renormalização.


ABSTRACT

We present the iterative method of using the arithmetic-geometric mean in the computation of the time period of the simple pendulum and compare it with the power-series method. Analytical approximations are derived by both methods and compared in terms of their numerical precision. The results are strongly favorable to the arithmetic-geometric mean due to its fast convergence.

Keywords: simple pendulum, elliptic integral, arithmetic-geometric mean, renormalization.


 

 

1. Introdução

Os livros-texto introdutórios [1] apresentam a seguinte fórmula aproximada para o período temporal do pêndulo circular simples, conhecida como aproximação harmônica

Aqui, L representa o comprimento do pêndulo e g a aceleração local da gravidade. Esta aproximação foi descoberta pelo inventor do relógio de pêndulo, Christiaan Huygens, e publicada [2] em um celébre tratado, em 1673. Nos textos modernos, a aproximação harmônica é obtida linearizando-se a equação de movimento do pêndulo por meio de

onde θ denota a posição angular do pêndulo em relação ao equilíbrio. Essa linearização leva à equação do oscilador harmônico, de onde a aproximação (1) é facilmente identificada e por esse motivo chamada de aproximação harmônica.

A aproximação harmônica tem dois problemas básicos que a tornam de pouca utilidade fora do laboratório didático. O primeiro é fato dela produzir resultados numéricos bastante imprecisos se a amplitude de oscilação estiver fora do chamado regime de pequenas oscilações. Esse regime não é definido com clareza na literatura, mas é comum tomá-lo como sendo o maior intervalo de amplitudes dentro do qual o período da aproximação harmônica difere em menos de 1% do valor exato. Isto corresponde a uma amplitude máxima de cerca de 23º, valor não muito pequeno para um pêndulo de corda. No entanto, a amplitude máxima cai para menos de 0,5º se o comprimento do pêndulo for maior ou igual a 25 cm e for exigida uma concordância com o período exato de apenas 3 casas decimais. O segundo problema é que a aproximação harmônica descreve o pêndulo como um sistema cujo período não depende da amplitude de oscilação. Esse comportamento uniforme, chamado de isocronismo, contrasta com o do pêndulo real, chamado de anisocronismo, para o qual o período cresce monotonicamente com a amplitude.

Apesar dos problemas, a aproximação harmônica é largamente usada nos cursos introdutórios pela necessidade de se contornar dificuldades matemáticas. Embora seja possível obter uma expressão analítica exata para o período do pêndulo simples usando apenas a conservação da energia mecânica, essa expressão envolve uma função não elementar do Cálculo, a integral elíptica completa do primeiro tipo, que na prática requer algum tipo de aproximação para ser avaliada.

Mas há várias alternativas à aproximação harmônica disponíveis na literatura [3-10]. Essas derivam de abordagens que variam de procedimentos geométricos simples ao uso de séries e funções especiais. As aproximações mais precisas, no entanto, so foram apresentadas recentemente [11], empregando-se um método iterativo para o cálculo da integral elíptica, chamado método da média aritmética-geométrica. Esse método é tão eficiente que apenas três iterações são suficientes para gerar uma aproximação para o período que difere em menos de 1% do valor exato para amplitudes de até 179°. As iterações consistem simplesmente em determinar as médias aritmética e geométrica de um par de números positivos.

A média aritmética-geométrica [14, 15] é conhecida na matemática há mais de dois séculos mas, curiosamente, seu emprego na geração de aproximações analíticas, como as descritas aqui, não é comum. Na verdade, a média aritmética-geométrica foi descoberta por Lagrange [12], não se sabe ao certo quando, e publicada na literatura em 1785. Gauss a redescobriu independentemente em 1791, quando tinha apenas 14 anos de idade [13]. Os matemáticos Legendre, Landen e Ramanujan também tiveram participação importante nesse desenvolvimento.

A média aritmética-geométrica surgiu da busca por um método para o cálculo preciso do perímetro da elipse. O foco principal era a determinação precisa da órbita elíptica dos planetas. Atualmente, ela é uma importante ferramenta computacional de alta precisão. Suas aplicações incluem o cálculo de funções elementares, tais como logaritmo, exponencial e funções trigonométricas, o cálculo das integrais elípticas completas do primeiro e do segundo tipo, o cálculo das funções hipergeométricas e o problema histórico da determinação do número n com número arbitrário de casas [14-19].

Neste trabalho, nós empregamos a média aritmética-geométrica no cálculo do período do pêndulo simples e comparamos os resultados obtidos com os do método das séries de potências. As aproximações analíticas obtidas em [11] são novamente apresentadas. Um ponto interessante no uso da média aritmética-geométrica é que ela leva a um processo recursivo, no qual o pêndulo é seguidamente substituido por outro de igual período mas de menor amplitude. Com a amplitude diminuindo a cada iteração, o cálculo do período se torna cada vez mais preciso e converge rapidamente para o valor exato. Esse processo pode ser explorado, por exemplo, na abordagem da idéia de renormalização em cursos elementares.

 

2. O período exato do pêndulo simples

A fórmula exata do período do pêndulo simples pode ser obtida em poucos passos a partir da conservação da energia. Seja θ o deslocamento angular, medido no sentido anti-horário em relação à posição de equilíbrio, L o comprimento do pêndulo e g a aceleração da gravidade. Tomando o zero da energia potencial no ponto mais baixo da trajetória e a velocidade inicial como sendo nula, a energia total vale E = m g L(1 - cos θ0), onde θ0 representa o deslocamento angular inicial. A velocidade num instante qualquer é dada por υ = Ldθ/dt. Então, resolvendo-se a equação da conservação da energia para dθ/dt e integrando t de 0 a T/4, onde T é o período de oscilação, obtém-se a expressão [10, 11, 20]

onde k = sen(θ0/2) e T0 = 2π é o período da aproximação harmônica. Nesta expressão, a integral

é chamada integral elíptica completa do primeiro tipo. Para pequenas amplitudes de oscilação (θ0 pequeno), o parâmetro k se aproxima de zero e K tende ao valor π/2 [21, 22]. Nesse limite a Eq. (3) toma a forma da aproximação harmônica. Isto significa que o esquema de linearização (2) equivale a aproximar a curva K(k) pela reta horizontal π/2. Como K(k) é uma função monotonicamente crescente que diverge exponencialmente no limite |k| = 1 (ou seja, |θ0| = n), a distância entre o período exato T e a aproximação T0 aumenta rapidamente com a amplitude, tornando T0 imprecisa, mesmo para pequenas amplitudes.

 

3. A média artmética-geométrica

Dados dois números reais a e b, com 0 < b < a, seja a relação de recursão [15]

As sequências {an} e {bn} definidas por esta relação têm o mesmo limite e esse limite depende unicamente de a0 = a e b0 = b. Esse limite, denotado por M(a, b), corresponde à média aritmética-geométrica de a e b

Essa propriedade de convergência segue da desigualdade b < a, que leva a

e

cujas provas são deixadas como exercício. A Eq. (7) implica que an+1 e bn+1 se tornam mais próximos a cada iteração e com isso, de acordo com a Eq. (8), a distância entre an e bn cai quadraticamente a cada iteração. Ou seja, as sequências {an} e {bn} convergem quadraticamente para o mesmo limite. O fato da convergência ser quadrática implica, grosseiramente, que o número de casas decimais de concordância entre an e bn dobra a cada iteração. Essa rápida convergência permite que a média aritmética-geométrica de a e b possa ser determinada com extrema precisão em poucas iterações. Em geral, o cálculo computacional é feito introduzindo-se a variável auxiliar

e iterando (5) até que se obtenha cn = 0 com o grau de precisão que se queira.

A conexão entre a integral elíptica K(k) e a média aritmética-geométrica pode ser demonstrada introduzindo-se [15]

É fácil verificar que e que a integral (10) é facilmente resolvida se existir um número a' tal que a transformação (a,b) (a', a') leva a I(a,b) = I(a',a'). Tal transformação, que resulta em I = π/2a', de fato existe e corresponde à média aritmética-geométrica de a e b. De fato, substituindo t = btanθ na Eq. (10),

Fazendo u = (t - ab/t)/2,

Portanto, I (a, b) é invariante sob a transformação (a,b) (a1,b1). Repetidas aplicações dessa propriedade levam a

Tomando o limite n e usando o fato de I ser continua, obtemos

Deste resultado segue a solução da integral elíptica em termos da média aritmética-geométrica

O período exato do pêndulo simples é então dado por

Devido à convergência quadrática da média aritmética-geométrica, essa fórmula permite o cálculo eficiente e preciso do período do pêndulo para valores arbitrários da amplitude inicial. Como a determinação de M(1 , cos θo/2) envolve apenas uma sequência de médias aritméticas e geométricas, essa fórmula pode ser facilmente implementada em uma calculadora ou planilha eletrônica, sendo a precisão do cálculo restrita apenas ao número de casas decimais disponíveis.

Iterando M(1, cos θ0/2) analiticamente, obtemos da Eq. (16) uma sequência de aproximações para T que converge rapidamente para solução exata. Os quatro primeiros elementos dessa sequência são

onde q = cos θo/2. Cada iteração fornece uma aproximação mais precisa, porém mais complexa, que a anterior. No limite de oscilação de um pêndulo de haste rígida, |θ0| = 180º, obtemos q = 0, de forma que T/T0 se reduz à sequência numérica {2, 22, 23, ... , 2n, ...}, mostrando claramente que T diverge exponencialmente nesse limite. Em um trabalho recente [11], nós mostramos que T3 difere em menos de 1% do período exato para amplitudes inferiores a 179,37º e é mais precisa que todas as outras aproximações na literatura. A aproximação T4 amplia essa concordância para a amplitude máxima de 179,99º. Continuando a sequência, obtém-se aproximações cada vez mais precisas, porém pouco apropriadas para o tratamento analítico.

 

4. Comparação com de potências

O método da série de potências é uma das formas padrões de se avaliar a Eq. (3) com precisão. O resultado da expansão de T em torno de k = 0 é uma série convergente para |k|< 1, dada por [14]

A ordem zero desta expansão corresponde a aproximação harmonica T T0. Os termos seguintes representam correções que melhoram gradativamente essa aproximação. A expansão em segunda ordem, que é obtida somando-se até o termo em k2, seguida de k θ0/2, leva à fórmula T T0(1 + θ2/8), que foi descoberta por Bernoulli em 1749 [3]. A aproximação com correção de quarta ordem, que contém todos os termos até k4, é mais precisa que a de segunda ordem, e assim por diante.

O erro na estimativa de T através da Eq. (16) ou da Eq. (18) depende da amplitude de oscilação. Quanto maior a amplitude, maior o número de iterações em (16) e de termos na Eq. (18) para se obter um resultado preciso. O problema é que um número grande de iterações/termos inviabiliza a aplicação do método no estudo analítico. Em outras palavras, a aplicabilidade das Eqs. (16) e (18) esta fortemente condicionada à rapidez de convergência de cada método.

Para comparar essa aplicabilidade em cálculos de alta precisão, vamos usar como critério a unidade de precisão do computador, que é chamada de machine epsilon. Essa unidade, denotada por e, é definida como sendo o menor número positivo x que somado a 1 no computador retorna um valor maior que 1, quando x e 1 são armazenados em registros do mesmo tipo. Ou seja,

A computação apresentada a seguir foi processada usando registros de ponto flutuante de 64 bits, para os quais o valor padrão de e é 2-52 [23].

A Tabela 1 mostra os resultados obtidos. Não mais do que 6 iterações são suficientes para se obter T pela média aritmética-geométrica (16) para amplitudes de até 179&deg;. Por outro lado, a convergência do método das séries de potências é extremamente lenta, de forma que, mesmo para ângulos relativamente pequenos, um número grande de termos precisa ser considerado para garantir um resultado acurado. Esse desempenho pode ser melhorado ajustando-se a origem da expansão de acordo com o valor do angulo inicial 00. Mas esse procedimento não é conveniente por causa das dificuldades matemáticas que surgem da introdução de um parâmetro livre, no caso a origem da expansão.

 

 

Um cálculo mais refinado, com a amplitude variando em passos de 0,01º, mostra que a aproximação T1 na Eq. (17) computa T com precisão de machine epsilon no intervalo |θ0| < 0,04º. Esse resultado pouco expressivo requer a soma de 4 termos na expansão (18). Para a aproximação T2, a amplitude máxima é de 4,57º, o que equivale à expansão em série com 7 termos. Embora essa amplitude máxima seja pequena, o resultado é muito superior ao que se obtém com qualquer outra aproximação publicada na literatura. A aproximação seguinte, T3, tem amplitude máxima de 45,39º e se compara à expansão em série com 18 termos. A amplitude máxima de T4 é de 126,17º e corresponde à expansão com 132 termos. As aproximações T5 e T6, que continuam a sequência (17) e que não foram listadas, possuem domínios bem mais extensos mas requerem um pacote de computação algébrica para serem manipuladas. Suas amplitudes máximas são de 173,99º e 179,93º, respectivamente. São necessários 9.360 termos na expansão em série para reproduzir o resultado de T5 e 46.226.874 termos para o resultado de T6.

4.1. Renormalizando a amplitude do pêndulo

Pode-se verificar que os elementos da sequência (17) estão relacionados pela equação

onde

Isto quer dizer, por exemplo, que, para uma dada amplitude θ0, T3 e T4 fornecem o mesmo resultado se T3 for calculado da Eq. (17c) substituindo q por q' = (1 + q) e T0 por T0 = 2T)/(1 + q). Isto ocorre porque q' corresponde a uma amplitude efetiva θ'0 que é menor que θ'0 e T'0 a um comprimento efetivo L' maior que L. Essa correspondência é tal que compensa a menor precisão de T3 em relação T4. Para demonstrar esse ponto, observe da Eq. (21) que

Sejam a amplitude θ'0' e o comprimento L' tais que

Então, segue da Eq. (22) que

Ou seja, a transformação (q,T0) (q', T'0) na Eq. (20) diminui a amplitude e aumenta o comprimento de forma a preservar o período do pêndulo. Sucessivas aplicações dessa propriedade permitem que o resultado da formula Tn seja obtido de T1 processando-se n - 1 transformações do tipo (q, T0 ) ( q', T'0'). Esse esquema alternativo para o cálculo de T não representa ganho no aspecto computacional. Contudo, ele pode ser interpretado como um exemplo simples de técnica de renormalização. Neste caso, a amplitude e o comprimento do pêndulo são transformados de forma que o período possa ser descrito por uma expressão simples com precisão.

 

5. Conclusão

Discutimos o método da média aritmética-geométrica na determinação do período do pêndulo simples e o comparamos com o popular método da série de potências. Os resultados foram amplamente favoráveis à média aritmética-geométrica. O método da série de potências converge lentamente, de forma que, mesmo no caso de pequenas amplitudes, é necessário um número grande de termos para se estimar o período com precisão. Por outro lado, devido à sua rápida convergência, a média aritmética-geométrica fornece aproximações analíticas simples e extremamente precisas para amplitudes arbitrárias. Mostramos também que o algoritmo da média aritmética-geométrica pode ser interpretado com um exemplo simples de técnica de renormalização. Essa propriedade se deve, exclusivamente, à relação entre a média aritmética-geométrica e a integral elíptica e, portanto, pode ser explorada em problemas de outras naturezas, como, por exemplo, no eletromagnetismo clássico [24]. O cálculo da média aritmética-geométrica é recursivo e envolve apenas operações matemáticas elementares, de forma que pode ser facilmente implementado em planilhas eletrônicas e explorado como ferramenta tecnológica no ensino de física [25, 26, 27].

 

Referências

[1] D. Halliday, R. Resnick and J. Walker, Fundamentos de Física (Livros Técnicos e Científicos, Rio de Janeiro, 2001), 6ª ed.         [ Links ]

[2] C. Huygens, Horologium Oscillatorium sive De Motu Pendulorum ad Horologia Aptato Demonstrationes Geometric (Paris, 1673), traduzido para o inglês por R.J. Blackwell como The Pendulum Clock, or Geometrical Demonstrations Concerning the Motion of Pen-dula as Applied to Clocks. (Iowa State Univ. Press, Ames, 1986).         [ Links ]

[3] D.S. Mathur, Elements of Properties of Matter, (S. Chand and Company, New Delhi, 1962).         [ Links ]

[4] W.P. Ganley, American Journal of Physics 53, 73 (1985).         [ Links ]

[5] L.H. Cadwell and E.R. Boyko, American Journal of Physics 59, 979 (1991).         [ Links ]

[6] M.I. Molina, The Physics Teacher 35, 489 (1997).         [ Links ]

[7] R.B. Kidd and S.L. Fogg, The Physics Teacher 40, 81 (2002).         [ Links ]

[8] G.E. Hite, The Physics Teacher 43, 290 (2005).         [ Links ]

[9] A. Beléndez, T. Hernández, A. Beléndez, and C. Neipp, European Journal of Physics, 27, 539 (2006).         [ Links ]

[10] F.M.S. Lima and P. Arun, American Journal of Physics 74, 892 (2006).         [ Links ]

[11] C.G. Carvalhaes and P. Suppes, American Journal of Physics 76, 1150 (2008).         [ Links ]

[12] G. Almkvist and B. Berndt, The American Mathematical Monthly 95, 585 (1988).         [ Links ]

[13] K.F. Gauss, Werke 3, 361 (1799) (K.         [ Links ] Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Leipzig-Berlin, 1866).         [ Links ]

[14] M. Abramowitz, Handbook of Mathematical Functions, With Formulas, Graphs, and Mathematical Tables (Dover Publications, Mineola, 1974).         [ Links ]

[15] E.W. Weisstein, Arithmetic-Geometric Mean, available in http://mthworld.wolfram.com/ Arithmetic-GeometricMean.html        [ Links ]

[16] E. Salamin, Mathematics of Computation 30, 565 (1976).         [ Links ]

[17] J.M. Borwein and P.B. Borwein, SIAM Review 26, 351 (1984).         [ Links ]

[18] J.M. Borwein and P.B. Borwein, Pi and the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity, CMS Monographs and Advanced books in Mathematics (John Wiley, Hoboken, 1987).         [ Links ]

[19] G.E. Andrews, R. Askey and R. Roy, Special Functions (Cambridge University Press, New York, 1999).         [ Links ]

[20] A. Belendez, C. Pascual, D.I. Mendez, T. Beléndez and C. Neipp, Revista Brasileira de Ensino de Física 29, 645 (2007).         [ Links ]

[21] P. Amore, M. Cervantes Valdovinos, G. Ornelas and S. Zamudio Barajas, Revista Mexicana de Física E 53, 106 (2007).         [ Links ]

[22] F.M.S. Lima, European Journal of Physics 29, 1091 (2008).         [ Links ]

[23] Intitute of Electrical and Electronics Engineers, Inc., IEEE Standard for Binary Floating-Point Arithmetic (An American National Standard) (IEEE, New York, 1985).         [ Links ]

[24] R.H. Good, European Journal of Physics 22, 119 (2001).         [ Links ]

[25] B.A. Cooke, Physics Education 32, 80 (1997).         [ Links ]

[26] J.E. Baker and S.J. Sugden, Spreadsheets in Education 1, 18 (2003).         [ Links ]

[27] M. Fowler, Science & Education 13, 791 (2004).         [ Links ]

 

 

Recebido em 31/10/2008
Aceito em 30/12/2008
Publicado em 26/6/2009

 

 

1 E-mail: claudioc@stanford.edu.

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