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Revista Brasileira de Ensino de Física

Print version ISSN 1806-1117

Rev. Bras. Ensino Fís. vol.31 no.4 São Paulo Oct./Dec. 2009

http://dx.doi.org/10.1590/S1806-11172009000400011 

ARTIGOS GERAIS

 

Quaternions, números complexos e os ensembles de matrizes aleatórias

 

Quaternions, complex numbers and random matrices ensembles

 

 

A.C. Bertuola1

Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo, São Paulo, SP, Brasil

 

 


RESUMO

Neste trabalho dois ensembles de matrizes aleatórias são construídos com detalhes refinados. São eles: o Ensemble Gaussiano Unitário cujos elementos das matrizes são números complexos e o Ensemble Gaussiano Simplético, cujos elementos das matrizes são quaternions.

Palavras-chave: quaternion, matrizes aleatórias, ensemble unitário, ensemble simplético.


ABSTRACT

In this work two ensembles of random matrices are built with refinements of details. They are them Ensemble Unitary Gaussian whose elements of the matrices are complex numbers and Ensemble Gaussian Symplectic containing matrices with quaternions elements.

Keywords: quaternion, random matrix, unitary ensemble, simpletic ensemble.


 

 

1. Introdução

Este trabalho é a continuação natural de outro tra balho publicado anteriormente nessa mesma revista [1], onde foi apresentado o principal ensemble de matrizes aleatórias de ordem dois denominado Ensemble Ortogonal Gaussiano (GOE). Por motivo de completeza, dois ensembles serão construídos em detalhes: o Ensemble Unitário (GUE) cujos elementos são números complexos aleatórios e o Ensemble Simplético (GSE) cujos elementos das matrizes são quaternions. Para tanto, relembraremos inicialmente alguns aspectos relevantes já inseridos no trabalho anterior e que serão utilizados repetidamente neste trabalho.

Para construir o ensemble gaussiano de matrizes desejado, define-se uma função auxiliar F que reúne, em uma única expressão analítica, a entropia da informação e os dois vínculos necessários conforme a expressão matemática

O primeiro vínculo identificado na Eq. (1) é a normalização da distribuição, que reconhecidamente é reescrita na forma

Por outro lado, define-se µ = (trH2) que representa o segundo vínculo na Eq. (1), ou então de maneira explícita

A diferencial matricial dH sintetiza o produto diferencial de todos elementos independentes da matriz considerada. Os parâmetros λ1 e λ2 que acompanham os vínculos na Eq. (1) são os famosos multiplicadores de Lagrange. A densidade de probabilidade P = P (H) é determinada impondo a condição δF = 0 e, após considerável cálculo, chega-se à expressão geral

Para determinar a função de partição substitui-se a distribuição das matrizes aleatórias (4) na condição de normalização (2) e, dessa forma, chega-se imediatamente a igualdade

Para construir os ensembles gaussianos basta determinar o traço do quadrado da matriz (trH2) e a função de partição definida imediatamente acima na Eq. (5). Estas tarefas serão realizadas a seguir detalhadamente.

 

2. Ensemble Unitário Gaussiano

A matriz complexa hermiteana é escrita na forma

cuja diagonal principal estão os elementos reais H11 e H22 e, na outra diagonal o número complexo H0 + iV e seu respectivo complexo conjugado.2

O traço do quadrado da matriz H2×2 na Eq. (6) é dado explicitamente por

Os autovalores da matriz hemiteana H2×2 tem sua existência garantida no campo dos números reais. De fato, seus dois valores reais são as raízes do polinômio característico de segundo grau

que assume explicitamente os valores

Tendo em vista que cada elemento complexo da matriz H2×2 definida na Eq. (6) pode ser representado por uma matriz, somos tentados a escrever a citada matriz na forma

Surge uma curiosidade em relação ao traço do quadrado da matriz H4×4. O valor pode ser calculado por meio de uma quantidade de trabalho algébrico de onde se constata a igualdade

Isso significa que é permitido calcular o traço da matriz 2×2 por meio do traço da matriz 4×4, cujos elementos são todos reais. E necessário porém lembrar que existe um fator numérico de correção a ser considerado segundo a igualdade (11). Os autovalores da matriz H4×4 são calculados por meio do polinômio característico

Este polinômio é de quarto grau e pode ser fatorado na forma

Os autovalores obtidos a partir da igualdade (13) coincidem.3 com aqueles apresentados na Eq. (9), confirmando que as matrizes H2×2 e H4×4 possuem os mesmos autovalores.

2.1. Distribuição das matrizes de elementos complexos

Substituindo o valor do traço (7) na igualdade (4), a expressão analítica da distribuição das matrizes aleatórias no ensemble unitário é dada por

mostrando que P (H)= P (H11,H22, V, H0).

O passo adiante será calcular a função de partição ZGUE por meio da integral múltipla definida na igualdade (5) e reescrita agora na forma

Muitos passos utilizados para resolver a integral na Eq. (15) são apresentados no trabalho anterior [1]. No entanto, existem algumas diferenças que justificam o detalhamento dos cálculos.

O primeiro passo é realizar as mudanças de variáveis

cuja a consequência imediata é a grando na Eq. (15) para a forma

O elemento de volume4 para quatro graus de liberdade em coordenadas hiperesféricas é dado por

Substituindo a Eq. (18) na Eq. (17) as integrais múltiplas são calculadas automaticamente, restando apenas uma única integral na variável radial R. Deste modo a função de partição é agora calculada pela igualdade

Realizando a mudança de variável t = R2, a integral na Eq. (19) assume a forma mais simplificada

Usando a igualdade a integral na Eq. (20) assume a forma

que pode ser rapidamente resolvida. De fato, a função de partição do GUE assume o valor final

Com esse resultado a distribuição das matrizes do ensemble unitário fica bem definida quando se considera a igualdade (14) e o valor da função de partição na Eq. (22). A expressão analítica da distribuição das matrizes é dada explicitamente por

Salienta-se a arbitrariedade do parâmetro αu que será fixado mais adiante adotando o valor unitário para o espaçamento médio entre níveis vizinhos. Para alcançar esse ponto é necessário determinar a distribuição dos espaçamentos entre níveis vizinhos, como discutido na próxima seção.

2.2. Distribuição de espaçamentos no GUE

Cada matriz aleatória do ensemble possui dois autovalores associados E+ e E- apresentados explicitamente na Eq. (9). Isto permite obter um único espaçamento s = |E+ - E-, cujo valor é

A distribuição dos espaçamentos entre níveis vizinhos será obtida efetuando as integrações indicadas na igualdade

Substituindo a distribuição das matrizes estabelecida na Eq. (23) na igualdade imediatamente acima temos

na qual as integrações são efetuados sobre todas as variáveis independentes que caracterizam a matriz aleatória. Para uma maior simplificação sugere-se uma mudança das variáveis

notando que vale a propriedade H211+ H222=2x2 +2y2 e que o jacobiano vale = 2. Reunindo todos estes resultados nas integrais múltiplas na Eq. (26), estas se modificam para

na qual a integral correspondente a variável y já foi efetuada. As integrais na igualdade imediatamente acima sugerem outras mudanças entre variáveis do tipo (x, H0,V ) →(r, θ, ). Nesse caso, o elemento de volume é dado por

e, reconhecendo que as novas variáveis são coordenadas esféricas, vale a igualdade

Essa mudança permite realizar duas integrações imediatamente, restando apenas uma unica integral na variável r para ser resolvida, ou seja, a igualdade (28) se torna

Utilizando a propriedade da distribuição delta de Dirac, essa integral se torna relativamente simples e o resultado é

Para fixar o valor do parâmetro arbitrário αu usa-se uma renormalização dada por (s) = 1. Em outras palavras o espaçamento médio assume o valor unitário. Em notação matemática temos assim

Substituindo a expressão analítica da distribuição dos espaçamentos da Eq. (32 ) na igualdade (33), tem-se explicitamente

Fazendo a mudança de variável t = a integral é simplificada consideravelmente e a integração é efetuada sem maiores problemas. O resultado é

Usando este valor na Eq. (32) tem-se finalmente

Esta distribuição de espaçamento caracteriza o ensemble unitário por meio do grau do polinômio que multiplica a função exponencial. Este valor5 determina a intensidade da repulsão entre os níveis vizinhos (β= 2).

A Fig. 1 mostra o gráfico6 correspondente a densidade de probabilidade de espaçamentos estabelecida na Eq. (36).

 

 

As curvas desenhadas com linhas contínuas na Fig. 1(a) e na Fig. 1(b) correspondem a distribuição de espaçamentos no GUE. Os pequenos círculos representam os zeros 0, 5 ± n ( n real), da função zeta de Riemann sobre a linha crítica [2]. A Fig. 1(a) mostra uma discrepância entre os valores dos zeros da função zeta, obtidos no intervalo 0 < n < 105 e a distribuição de espaçamentos do GUE, principalmente em torno do seu valor máximo. A Fig. 1(b) mostra o excelente ajuste dos valores dos zeros da função zeta obtidos no intervalo 102 < n < 1012 +105 obtidos via distribuição de espaçamentos do GUE. Essas situações de ajustes manifestam a ausência da invariância translacional, no estudo do espectro dos zeros da função zeta. A invariância translacional não é uma característica fundamental do GUE.

 

3. Ensemble Simplético Gaussiano

Supondo inicialmente que uma matriz de ordem dois com elementos quaternions não necessariamente iguais entre si seja representada pela matriz

A condição de hermiticidade (HT = H) representada na forma de matriz é dada por

A igualdade de duas matrizes quadrada de ordem dois é uma forma sintética de exibir quatro igualdades entre quaternions dois a dois. De fato a igualdade entre os primeiros elementos das matrizes na Eq. (38) é simplesmente h11 =11. Representando o quaternion h11 na forma matricial, essa igualdade se modifica para

A igualdade entre as matrizes na Eq. (39) revelam duas igualdades independentes entre números complexos. Uma delas é que z = implicando que z é um número real. Outra igualdade é ω = -ω que implica em ω = 0. Nesse caso, h11 é um quaternion que representa um número real. Essa análise é realizada de forma análoga para o elemento h22, ou seja, h22 = 22, nos levando a concluir que esse quaternion também representa um número real. Considerando as igualdades h12 = 21 ou h21 = 12 na Eq. (38), as matrizes do ensemble GSE são escritas na forma geral

em que h11 e h22 são números reais e, h12 é um quaternion arbitrário representado na forma h12 = a1 + a2i + a3j + a4k com seu respectivo quaternion conjugado 12 = a1 - a2i - a3j - a4k .

O traço do quadrado da matriz H2×2 é calculado usando a matriz apresentada na Eq. (40) e após uma quantidade de álgebra obtém-se

Os autovalores reais, cuja existência estão garantidos pela hermiticidade da matriz H2×2 , são calculados por meio do polinômio característico representado pelo determinante

Os dois autovalores são

Da mesma forma que foi imaginada anteriormente para uma matriz complexa, os elementos quaternions podem ser representados, cada um deles, por uma matriz de elementos complexos. Então

na qual utilizou-se a representação h12 = z + jω para o quaternion da diagonal secundária. Por sua vez, quando os elementos complexos da matriz H4×4 são representados por suas respectivas matrizes, o resultado é uma matriz de maior ordem H8×8 com todos os elementos reais, explicitamente escrita na forma

Calculando os traços dos quadrados das matrizes apresentadas nas Eqs. (40), (45) e (44), verifica-se as seguintes igualdades entre eles

Para determinar os autovalores da matriz H4×4 estabelecida na Eq. (44) e da matriz H8×8 exibida na Eq. (45), obviamente é necessário uma quantidade não desprezível de trabalho algébrico. No entanto, aqueles que se aventurarem nessa tarefa terão oportunidade de confirmar que os autovalores dessas matrizes são iguais àqueles obtidos da matriz H2×2 e apresentados na igualdade (43).

3.1. Distribuição das matrizes de elementos quaternions

A distribuição das matrizes aleatórias no ensemble GSE é dada por

A função de partição é obtida por meio da igualdade

identificando dH= dh11dh22da1da2da3da4. As integrais embutidas na Eq. (48) são resolvidas seguindo os mesmos caminhos matemáticos adotados no ensemble unitário, ou seja, usando as mesmas técnicas exibidas explicitamente anteriormente. Enfim, para aqueles leitores interessados em chegar, por seus próprios esforços, na expressão da função de partição desse ensemble, esse prazeroso trabalho conduzirá ao resultado

Considerando as Eqs. (23) e (49), a distribuição P (H) fica estabelecida inteiramente para o GSE.

3.2. Distribuição de espaçamentos no GSE

A partir dos autovalores (43) determina-se de forma imediata o espaçamento entre eles, cujo valor é

A densidade de probabilidade dos espaçamentos entre os níveis vizinhos é obtida por meio da igualdade

Novamente, essa integral contendo a função delta de Dirac pode ser integrada seguindo os mesmos passos dados para o caso do ensemble unitário. A densidade de espaçamentos obtida como resultado é

Para pequenos valores de espaçamentos o termo polinomial é dominante, ou seja, P (s) ~ s4. A repulsão de nível (β = 4), nesse caso, é maior que aquela apresentada no Ensemble Unitário.

A renormalização (33) definida anteriormente fixa o valor da constante αs na igualdade (52). Após alguns cáalculos obtém-se o valor

Substituindo o valor αs da Eq. (53), na distribuição na Eq. (52), determina-se em definitivo a distribuição de espaçamentos

A Fig. 2 a seguir apresenta os gráficos das distribuições de espaçamentos7 dos ensembles gaussianos de matrizes aleatórias de ordem dois.

 

 

Nota-se visualmente na Fig. 2 as diferenças entre as distribuições de espaçamentos dos ensembles de matrizes 2 × 2. O decaimento assintótico da distribuição de espaçamentos no GSE é muito maior do que aqueles apresentados pelas outras distribuições. E nesta mesma distribuição que a repulsão entre os níveis é mais forte, como podemos verificar na Fig. 2 observando que próximo a origem a distribuição de espaçamentos do GSE está mais afastada do eixo vertical do que as distribuições de espaçamentos do GUE e do GSE. Observase também que o valor máximo da distribuição de espaçamentos do GSE é mais próximo do valor unitário para o espaçamento.

 

4. Comentários finais

As distribuições de espaçamentos entre os níveis vizinhos seguem leis bem definidas e cada distribuição de espaçamentos carrega consigo um caráter de universalidade. A simetria apresentada pelo sistema seleciona qual dessas distribuições disponíveis deve ser utilizada apropriadamente para descrever um espectro específico [1, 5]. O trabalho em si é uma oportunidade de testemunhar a construção de ensembles de matrizes aleatórias utilizando um princípio variacional e rever a aplicabilidade dos conceitos dos números reais, complexos e quaternions. As construções de novos ensembles utilizando o cálculo das variações emergem da necessidade de classificar novos fenômenos que são descobertos. Atualmente, verificou-se que alguns espec tros [6] se comportam em desacordo com as estatísticas gaussianas. Por exemplo, aqueles espectros que obedecem a uma lei do tipo potência ou mesmo a uma distribuição de Lévy. Mas esta é outra história que será contada em detalhes num trabalho posterior.

 

Referências

[1] A.C. Bertuola, M.S. Hussein e M.P. Pato, Revista Brasileira de Ensino de Física 28, 3 (2006) .         [ Links ]

[2] M.L. Mehta, Random Matrices (Academic Press, Nova York, 1990).         [ Links ]

[3] R.S. Salinas, Física Estatística (Edusp, São Paulo, 2002).         [ Links ]

[4] G.B. Arfken, Mathematical Methods for Physicists, (Academic Press, San Diego, 1995).         [ Links ]

[5] F. Haake, Quantum Signatures of Chaos, (Springer-Verlag, Nova York, 1991).         [ Links ]

[6] R.P.A. Lima, R. da Cruz, J.C. Cressoni and M.L. Lyra, Physical Review B 69, 165117-1 (2004).         [ Links ]

 

 

Recebido em 29/5/2009
Revisado em 2/8/2009
Aceito em 14/9/2009
Publicado em 18/2/2010

 

 

1 E-mail: bertuola@if.usp.br.
2 O leitor pode provar tais afirmações supondo, inicialmente, uma matriz de ordem dois, cujos elementos são números complexos distintos entre si a priori e, então impor a condição de hermiticidade HT = respectiva conjugada.
3 A menos de uma degenerescência nas raízes do polinômio de quarto grau
4 O elemento de volume para N graus de liberdade é dado por
Ω (R, δR)= da Ref. [3].
5 Leia a introdução da Ref. [1].
6 Os pontos simulados foram obtidos da Ref. [2].
7 As expressões analíticas da distribuição de Poisson (P (s) = exp(-s)) e a da distribuição de espaçamento de Wigner para o Ensemble Ortogonal (GOE) (P (s)= s exp - s2 ) foram apresentadas na Ref. [1].

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