El estudio y enseñanza de los modos vibracionales de la molécula triatómica

The study and teaching of the vibrational modes of the triatomic molecule

ARTIGOS GERAIS

El estudio y enseñanza de los modos vibracionales de la molécula triatómica

The study and teaching of the vibrational modes of the triatomic molecule

Roberto Lavín; Julio Pozo¹

Instituto de Ciencias Básicas, Facultad de Ingeniería, Universidad Diego Portales, Santiago, Chile

RESUMO

En este trabajo se muestra que a través del dominio de la teoría general de pequeñas oscilaciones es posible resolver analíticamente los modos vibracionales de la molécula triangular, y que a la luz de resultados comparativos entre la molécula lineal y triangular se puede evaluar la dinámica de la molécula triangular y simplificar el análisis. Para ilustrar lo anterior, se modela mecánicamente una molécula triatómica, utilizando la formulación de Lagrange y asumiendo un tipo de molécula en la cual las masas (átomos) están ubicadas en los vértices de un triángulo rectángulo. Para un desarrollo analítico del problema se utiliza la teoría de pequeñas oscilaciones, considerando las masas y las constantes de acoplamiento iguales. Esto último permite escribir el Lagrangiano del sistema en forma adecuada y posteriormente determinar las ecuaciones diferenciales de movimiento, que describen el comportamiento de la molécula y permiten determinar las frecuencias propias de vibración. También se analiza y discute el caso de una molécula triatómica lineal, determinando los correspondientes modos normales de vibración. Finalmente, se comparan las soluciones de ambos sistemas.

Palabras-clave: molécula triatómica triangular y lineal; oscilaciones pequeñas; modos vibracionales.

ABSTRACT

This work shows that by means of knowledge of the general theory of small oscillations is possible to solve analytically the vibrational modes of the triangular molecule, and from comparative results between the linear and triangular molecule can access the dynamics of the triangular molecule and simplify the analysis. To illustrate this, is modeled mechanically a triatomic molecule using the Lagrangian formulation and assuming a type of molecule in which the masses (atoms) are located at the vertices of a triangle. For an analytical treatment of the problem we use the theory of small oscillations, considering equal masses (atoms) and coupling constants. This allows to write the Lagrangian, and then to obtain dynamical equations for determining normal vibration frequencies. The case of the linear triatomic molecule is analyzed and discussed, determining the corresponding vibrational normal modes. Finally, the solutions for both cases are compared.

Keywords: triangular and linear triatomic molecule, small oscillations; vibrational modes.

1. Introducción

En los textos universitarios de mecánica -más comunes- los capítulos sobre pequeñas oscilaciones se limitan generalmente a describir en detalle la resolución de sistemas de masas puntuales alineadas (sobre una línea), dando la impresión que sólo estos sistemas son resolubles fácil y analíticamente. Por otro lado, el estudio de estructuras moleculares es un tópico de investigación importante [1-3], debido a que muchas de las propiedades físicas de los materiales sólidos dependen del ordenamiento atómico y de los modos vibracionales de las moléculas que los componen [4, 5]. Así el estudio de estructuras moleculares ha tenido en las últimas décadas un importante lugar debido al avance en las técnicas de fabricación de estructuras del orden de los nanómetros [6, 7] -orden de magnitud en el cual la estructura y dinámica molecular se tornan muy importantes- permitiendo el estudio experimental sobre estructuras que contienen un número limitado de moléculas. Dentro de estas, el estudio de la molécula triatómica ha tenido un importante sitio debido a que se presenta con frecuencia en la naturaleza. El objetivo de este trabajo es mostrar en detalle a los alumnos de física, química, e ingeniería que es posible estudiar y evaluar analíticamente los modos vibracionales de la molécula triatómica para distintas configuraciones estructurales, a través de la teoría de pequeñas oscilaciones [8], es decir, a través de las herramientas básicas entregadas en nivel de pregrado, permitiendo un primer acercamiento a este tópico de investigación, y sentando un precedente didáctico para estudios más avanzados; como a través de la formulación cuántica. Para este propósito se ha modelado analíticamente una molécula triatómica, (asociada generalmente a la molécula de agua), sobre la cual se ha entregado bastante información, pero que en la mayoría de los estudios realizados se consideran aspectos demasiados generales y/o numéricos, haciéndolos poco didácticos. A diferencia de otros trabajos, aquí se muestra que es posible evaluar analíticamente la dinámica de una molécula "compleja" a través de simplificaciones y comparaciones que permiten entender el comportamiento del sistema, ilustrando así, que a pesar de las aparentes dificultades de cálculo la solución analítica es susceptible de ser encontrada fácilmente.

2. Modelo y teoría

El sistema considerado corresponde a la molécula triatómica triangular compuesta por tres masas iguales m_i = m, i = 1, 2, 3, la cual conforma (en el equilibrio) un triángulo rectángulo de lados a y . Los enlaces entre las masas son representados por 3 constantes de acoplamiento k iguales. Los sistemas de referencia de cada masa (x_i, y_i) respecto de sus posiciones de equilibrio y el sistema general tienen la misma orientación. El sistema general (X, Y) tiene origen en la posición de equilibrio 1, y las desviaciones de cada partícula respecto de sus posiciones de equilibrio son denotadas respectivamente por ηi, como se muestra en la Fig. 1.

2.1. Oscilaciones pequeñas con varios grados de libertad

La teoría de los osciladores libres de un sistema con grados de libertad es análoga a la de los osciladores lineales con un grado de libertad. A través de la formulación de Lagrange para pequeñas oscilaciones se encuentra que las ecuaciones de movimiento del sistema están dadas por [8]

Estas ecuaciones constituyen un sistema de n (i = 1, 2, 3, ..., n) ecuaciones diferenciales lineales homogéneas con coeficientes constantes, esto es; una ecuación diferencial para cada grado de libertad. Para resolver las ecuaciones diferenciales involucradas, se proponen soluciones de la forma

Sustituyendo estas soluciones en la expresión (1), se encuentra que para que el sistema tenga soluciones distintas de cero (no triviales), el determinante de sus coeficientes debe anularse

La cual es la llamada ecuación característica de grado n respecto a ω², y que en general tiene raíces reales y positivas denotadas por (i = 1, 2, 3, ..., n). De esta forma, las frecuencias propias del sistema corresponden a las magnitudes ω².

3. Desarrollo y resultados

3.1. Molécula triatómica triangular

Utilizando el formalismo propuesto anteriormente para la molécula triatómica de la Fig. 1, la energía cinética está dada por

La energía potencial de los enlaces se puede escribir en la forma

donde η_i representan las desviaciones respecto de las posiciones de equilibrio, y r_ij es el vector que va desde el sistema de referencia i al j. Despreciando los términos cuadráticos de η_i - η_j, los términos en valor absoluto de la ecuación (5) pueden ser reescritos como

donde hemos considerado que (η_i - η_j)²~ 0, ya que los términos (η_i - η_j)² son despreciables frente a los términos . Ahora, considerando que para (despreciando términos mayores o iguales a los cuadráticos de α, las expresiones (6), (7) y (8) pueden reescribirse nuevamente como

Ahora, como r₁₂ = a es el vector que va desde la posición de equilibrio 1 a 2, r₁₃ es el vector de 1 a 3, y r₁₂ - r₁₃ = a es el vector desde el sistema 3 al 2, y consiguientemente las expresiones (9), (10) y (11) se reducen finalmente a

Reemplazando las expresiones (12), (13) y (14) en el potencial V (ecuación (5)), encontramos

el cual finalmente se reduce a

El Lagrangiano del sistema es L = T - V. A través de las ecuaciones de Lagrange [9, 10], obtenemos las ecuaciones diferenciales de movimiento

Proponiendo soluciones oscilatorias de la forma para e se obtiene el siguiente determinante

Desarrollando el determinante se obtiene

cuyas soluciones son

En este punto de la resolución podríamos seguir con el desarrollo analítico para encontrar las amplitudes de vibración de la molécula triatómica triangular. Además, quitando el enlace inferior (entre los átomos 2 y 3) podríamos simplificar el análisis -quedando una molécula similar a la del agua-. En vez de ello, analizaremos la molécula triatómica lineal, la cual tiene una simetría similar a la molécula triangular sin el enlace entre los átomos 2 y 3 (enlace central), la cual desde el punto de vista de la matemática, es más fácil de resolver. De este modo compararemos los modos vibracionales de ambas moléculas.

3.2. Molécula triatómica lineal simétrica

En la Fig. 2 se representa una molécula triatómica lineal. En la configuración de equilibrio hay dos átomos de masa situados simétricamente a ambos lados de la masa M. Los grados de libertad (desviaciones respecto de sus posiciones de equilibrio) están representados por x₁, x₂ y x₃.

El Lagrangiano del sistema esá dado por

Utilizando las ecuaciones de Lagrange se obtienen 3 ecuaciones diferenciales de movimiento dadas por

Proponiendo soluciones de la forma x₁ = A_i cos(ωt), se obtiene el siguiente determinante

Desarrollando el determinante se obtiene

de donde se encuentra que las frecuencias propias están dadas por

La primera frecuencia propia ω₁ = 0 se debe al movimiento de traslación de la molécula en forma rígida sobre su propio eje sin cambio de su energía potencial. Luego, como no hay fuerza restauradora, entonces la frecuencia de vibración es nula. La frecuencia ω₂ = corresponde a la frecuencia de oscilación de un sistema masa-resorte (oscilador armónico simple), por lo cual para este modo de vibración sólo intervienen los átomos que están ubicados en los extremos, permaneciendo el átomo central de masa en reposo. Entonces, sólo en el tercer modo de vibración, ω₃, el átomo central de masa M puede participar en la oscilación. Por otro lado, al trabajar con los vectores propios correspondientes se verifica lo establecido anteriormente respecto de las frecuencias propias. Al considerar coordenadas normales del tipo xk = Ak^e(iwt+Φ), se encuentra el sistema de ecuaciones

Que entrega los coeficientes de los modos normales de vibración. La condición de normalización está dada por

Sí ω₁ = 0, entonces de (26) y (28) se obtiene que A₁₁ = A₂₁ = A₃₁, mostrando la naturaleza traslacional del movimiento, esquematizado en la Fig. 3 (a). Sustituyendo estos coeficientes en la ecuación (29) encontramos que

Para ω₂ = se tiene que (k - ) = 0, y de (26), (27), y (28) se obtiene que A₂₂ = 0y que A₁₂ = -A₃₂, luego, de (29) se encuentra que sus valores están dados por

En este caso el átomo central se encuentra en reposo, y los dos átomos de los extremos vibran opuestamente, tal como se muestra en la Fig. 3 (b). Para ω₃, siguiendo el mismo procedimiento anterior se obtiene

En este caso los dos átomos ubicados en los extremos vibran con la misma amplitud, mientras que el central oscila en oposición de fase con los otros dos y con diferente amplitud, tal como se representa en la Fig. 3 (c).

3.3. Relación entre los dos casos estudiados

La simetría entre la molécula lineal y la triangular (esta última sin el enlace central como se muestra en la Fig. 4) es evidente, por lo cual es fácil realizar la comparación de los modos normales de vibración de ambos sistemas. Si en la molécula triatómica lineal (L) de la Fig. 2 (Ec. (25)) consideramos las masas iguales, encontramos que las frecuencias son iguales a las frecuencias obtenidas para la molécula triatómica triangular (T) de la Fig. 1 (Ec. (20)). Igualando las masas encontramos que

Por lo cual se deduce que los modos normales de vibración de la molécula triangular de la Fig. 1 - al quitar el acoplamiento entre las masas m₂ y m₃ - son similares al de la molécula lineal de la Fig. 3, tal como se muestra en la Fig. 4.

4. Conclusiones

A través de la teoría de oscilaciones pequeñas es posible resolver de forma analítica la dinámica de oscilación de una molécula triatómica con tres y dos acoplamientos. La solución de la molécula lineal otorga soluciones similares a la de la molécula triangular con dos enlaces, esto es mostrado al comparar las frecuencias normales de ambos sistemas, después de quitar el enlace central en la molécula triangular (e igualar las masas en la molécula lineal). De esta forma se muestra que el problema de encontrar los modos vibracionales en un caso general complicado, puede ser reducido completamente a un problema lineal más simple, cuyos modos normales son más fáciles de resolver. De esta manera se muestra que podemos recurrir a la simetría entre diferentes configuraciones geométricas para soslayar las dificultades de cálculo en los casos más complicados.

Se muestra que es posible incluir en los textos de nivel de pregrado la resolución explícita de los modos de vibración de moléculas con configuraciones geométricas distintas a las lineales pero manteniendo una simetría con estas últimas; de una manera accesible a los estudiantes a través de las mismas herramientas mostradas en estos textos de pregrado (teoría de oscilaciones pequeñas), enseñándoles a los estudiantes a enfrentar un problema físico a través de distintas perspectivas de resolución.

Recebido em 17/6/2010; Aceito em 27/12/2010; Publicado em 21/3/2011

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• [10] K. Symon, Mechanics (Addison Wesley, Massachusetts, 1965).

Fechas de Publicación

• Publicación en esta colección
  18 Abr 2011
• Fecha del número
  Mar 2011

Histórico

• Recibido
  17 Jun 2010
• Acepto
  27 Dic 2010