Espalhamento e estados ligados em potenciais localizados

Scattering and bound states by localized potentials

ARTIGOS GERAIS

Espalhamento e estados ligados em potenciais localizados

Scattering and bound states by localized potentials

A.S. de Castro¹

Departamento de Física e Química, Universidade Estadual Paulista "Júlio de Mesquita Filho" , Guaratinguetá, SP, Brasil

RESUMO

Apresenta-se um formalismo simples que permite explorar o espalhamento quântico e os possíveis estados ligados em um potencial simétrico localizado de forma arbitrária de um modo unificado. A barreira e o poço quadrados simétricos são utilizados como ilustração do método.

Palavras-chave: espalhamento, estado ligado, potencial localizado, coeficiente de transmissão.

ABSTRACT

A simple formalism for exploring quantum scattering and possible bound states in an arbitrary symmetric and localized potential in a unified way is presented. The symmetric square barrier and well potentials are used for illustrating the method.

Keywords: scattering, bound state, localized potential, transmission coefficient.

1. Introdução

Um exame detalhado do espalhamento quântico em um potencial retangular generalizado foi publicado recentemente nesta Revista por Candido Ribeiro e colaboradores [1]. Nesse estudo, após uma proficiente descrição das aplicações do espalhamento quântico, desde o decaimento alfa até os quantum dots, os autores exploram um potencial retangular constituído de três patamares que reduz-se a ao poço de potencial, à barreira de potencial e ao degrau duplo, consoante o ajuste de dois parâmetros do potencial generalizado. O coeficiente de transmissão é calculado exatamente, e alguns casos particulares, incluindo poços e barreiras assimétricos, são estudados com certa minucia.

O presente trabalho apresenta um formalismo simples que permite explorar os estados de espalhamento, tanto quanto os possíveis estados ligados, em um potencial simétrico localizado de forma arbitrária. O método permite abordar o problema de espalhamento e estados ligados de uma forma unificada utilizando-se de um ferramental matemático acessível aos estudantes de física já nos cursos introdutórios de mecânica quântica. A barreira e o poço quadrados simétricos, problemas analiticamente solúveis que se fazem presentes nos livros-texto de mecânica quântica, são utilizados como ilustração do método.

2. Solução para um potencial localizado

A equação de Schrödinger unidimensional para uma partícula de massa de repouso m sujeita a um potencial V(x, t) e dada por

onde h é a constante de Planck dividida por 2π, e ψ(x, t) é a função de onda. A equação da continuidade para a equação de Schroödinger

é satisfeita com ρ e J definidos como

A grandeza ρ é interpretada como uma densidade de probabilidade e J como uma corrente (ou fluxo) de probabilidade. Para um potencial independente do tempo, equação de Schrödinger admite soluções da forma

onde ψ obedece à equação de Schrödinger independente do tempo

e a densidade e corrente correspondentes a solução expressa pela Eq. (4) tornam-se

Em virtude de ρ e J serem independentes do tempo, a solução (4) é dita descrever um estado estacionário. Também, a lei de conservação expressa pela Eq. (2) implica que o fluxo de probabilidade é independente de x para os estados estacionários.

Vamos agora considerar a equação de Schrödinger com um potencial independente do tempo localizado. O potencial localizado, não-nulo apenas numa região finita do eixo x, é expresso como

onde θ( x) e a função de Heaviside,

Para x < —L, a equação de Schrödinger apresenta a solução geral

onde o numero de onda k é definido como

Para E > 0, a solução expressa pela Eq. (9) reverte-se em uma soma de autofunções do operador momento (p_op = —iha/ax). Tais autofunções descrevem ondas planas propagando-se em ambos os sentidos do eixo x com velocidade de grupo (veja, e.g., Ref. [2])

igual à velocidade clássica da partícula. Por conseguitnte, a+e^+ikx descreve partículas incidentes (v_g = hk/m > 0), enquanto a—e^-ikx descreve partículas refletidas (v_g = —hk/m < 0). A corrente nesta região do espaço, correspondendo a ψ dada pela Eq. (9), é expressa por

onde

Observe que a relação J = ρv_g mantém-se tanto para a onda incidente quanto para a onda refletida pois

Por outro lado, para x > L as soluções são da forma

Para termos uma onda progressiva se afastando da região do potencial (propagando-se no sentido positivo do eixo x com v_g = hk/m > 0) devemos impor b_ = 0. A densidade e a corrente nesta região do espaço, correspondendo a ψ dada pela Eq. (15) com b_ = 0, são expressas por

Para |x| < L a solução geral tem a forma

onde u e v são soluções linearmente independentes da equação de Schrödinger, e c_P e c_I são constantes arbitrárias. Doravante, por motivos de simplicidade, vamos considerar um potencial par, i.e. V(—x) = +V(x), de modo que podemos considerar soluções com paridade definida.² Seja u a solução par e v a solução ímpar

Mais ainda, sem perda de generalidade, podemos considerar que u e v são funções reais.³ Neste caso, o leitor pode facilmente verificar que

onde W é o wronskiano das soluções u e v, i.e. W = uv' — u'v, onde a plica ' (também conhecida como linha, irreconhecível como primo na Língua Portuguesa) significa a derivada em relação a x. Sucede que o wronskiano para duas soluções linearmente independentes de uma equação diferencial de segunda ordem e diferente de zero, e para o caso a equação de Schrödinger, como o leitor pode verificar, é independente de x. Assim, podemos até mesmo escrever W = u(0)v^'(0).

Começaremos agora o cálculo de grandezas de suma importância na descrição do espalhamento, viz. os coeficientes de reflexão e transmissão, assim k, definido na Eq. (10), é uma quantidade real. Não obstante possíveis descontinuidades do potencial em x₀ = ±L, a autofunção e sua derivada primeira são funções contínuas. Esta conclusão, valida para potenciais com descontinuidades finitas, pode ser obtida pela integração da Eq. (5) entre x₀ — ε e x₀ + ε no limite ε → 0. Pode-se verificar, pelo mesmo procedimento, que apenas as autofunções são contínuas quando as descontinuidades dos potenciais são infinitas.

A demanda por continuidade de ψ e dψdx fixa todas as amplitudes em termos da amplitude da onda incidente a+. A continuidade em x = —L é expressa como.

e em x = +L como

onde o subscrito L em u e v significa avaliação em x = L. Das Eqs. (20) e (21), temos

Agora focalizamos nossa atenção na determinação dos coeficientes de reflexão R e transmissão T. O coeficiente de reflexão (transmissão) é definido como a razão entre as correntes refletida (transmitida) e incidente. Haja vista que ap/at = 0 para estados estacionarios, temos que a corrente e independente de x. Usando este fato obtemos prontamente que

Daí o leitor pode mostrar que R + T = 1, como deve ser por causa da conservação da probabilidade.

O formalismo desenvolvido acima também permite a analise de estados ligados. Note que as Eqs. (9), (15) e (17) descrevem estados de espalhamento com E > 0 e k ÎR. Possíveis estados ligados também poderiam ser descritos por essas autofunções com k = i\k\, onde |k| = com E < 0, e a+ = b_ =0. Devemos impor que a+ e b_ sejam nulos para que a densidade de probabilidade seja finita em x = —∞. Ora, tem que ser assim, pois . Para |x| < L pode-se deduzir que J = 0, e portanto dever íamos concluir que , para se pôr de acordo com a equação da continuidade e com a expressão do fluxo na região |x| < L expressa pela Eq. (19). Nesta circunstância, as relações (20) e (21) fornecem

e

As autofunções correspondentes às Eqs. (28) e (29) podem ser escritas como

para ψ par, e

para ψ ímpar. Fortuitamente, as condições para a existência de estados ligados também poderiam ser obtidas por meio da identificação dos polos das amplitudes expressas pelas Eqs. (24) e (25) se os valores físicos do numero de onda k, definidos no eixo real, são estendidos para o plano complexo. Com efeito, a prescrição k → i|k| anula o denominador das Eqs. (24) e (25) sempre que

ou

As Eqs. (32) e (33) são relações implícitas para a determinação das possíveis autoenergias. A primeira fornece autovalores associados com autofunções pares (c_I = 0), e a segunda com autofunções ímpares (c_P = 0). Daí se vê que o fluxo de probabilidade expresso pela Eq. (19) é nulo no caso de estados ligados, como deve ser.

Formalmente, tanto o problema de espalhamento quanto o problema de estados ligados estão resolvidos. Na seção seguinte ilustramos a técnica com o caso simples de um potencial retangular constituído de três patamares que reduz-se a ao poço de potencial ou a barreira de potencial, conforme o sinal de V(x).

3. O potencial quadrado

Consideremos agora

e o numero de onda q definido por

A segregação dos casos E > V₀ e E < V₀, correspondendo a q real e q imaginário respectivamente, conduz a duas classes distintas de soluções. A seguir, calcularemos explicitamente o coeficiente de transmissão e encontraremos as condições de quantização para cada uma dessas classes de soluções, seja V₀ positivo ou negativo.

• E >V

  ₀. Neste caso

  q é um numero real e a equação de Schrödinger independente do tempo admite as soluções linearmente independentes

Desta maneira, o wronskiano das soluções u e v e igual a q e a Eq. (27) torna-se

Ao passo que as condições de quantização, expressas por (32) e (33), tornam-se

Convém lembrar que o coeficiente de transmissão só e valido para E > 0 ( k e real). Entretanto, as condições de quantização são validas somente

para E < 0 ( k e imaginário puro), o que impõe naturalmente que V₀ seja negativo. Em outras palavras, somente o poço de potential tolera a existência de estados ligados.

• E <V

  ₀. Neste caso

  q é um numero imaginario puro e as soluções linearmente independentes são

  

  Desta feita, W = |q| e

  

  Neste caso de energias menores que a altura do potencial, necessariamente com V₀> 0 e E > 0, revela-se o efeito túnel. Uma circunstância em que, embora não haja ondas progressivas na região do potencial, há uma corrente dada por

  

  que se anula somente quando k e um número imaginário. As condições de quantização das Eqs. (32) e (33) ditam que

  

  Contudo, estas condições não fornecem soluções porque o membro esquerdo da Eq. (42) e negativo e os membros direitos são positivos. Em outras palavras, a existência de estados ligados requer um numero de onda real na região do potencial. A ausência de estados ligados, verificada aqui em decorrência das condições de quantização expressas pela Eq. (42), se dá porque as soluçães normalizáveis da equação de Schrödinger requerem que E exceda o mínimo de V(x).

4. Conclusão

Apresentou-se um formalismo que pode descrever estados de espalhamento e estados ligados de uma forma unificada. O método foi desenvolvido para potenciais localizados simétricos mas pode ser estendido para potenciais assimétricos com relativa facilidade. O exemplo do afamado potencial quadrado poderia nos conduzir a concluir que o método é extremamente poderoso, mas não e bem assim. Acontece que certas formas de V(x), ainda que sejam simples, deixam a proposta na berlinda devido à equação de Schrödinger não resultar em soluções amigáveis para u(x) e v(x), e até mesmo não redundar em soluções analíticas. Formas simples para V(x) com interesse prático, por exemplo, incluem o potencial parabólico [3] e o potencial triangular [4]. As soluções da equação de Schrödinger para a primeira forma envolvem funções hipergeométricas confluentes enquanto a segunda forma envolvem funções de Airy. Não obstante, o método pode se tornar um excelente ponto de partida para a busca de soluções numéricas, ou ainda de soluções analíticas aproximadas, para o coeficiente de transmissão e para as energias dos possíveis estados ligados.

Agradecimentos

O autor é grato ao CNPq pelo apoio financeiro.

Recebido em 15/3/2011

Aceito em 2/5/2011

Publicado em 9/12/2011

• [1] M.A. Cândido Ribeiro, V.C. Franzoni, W.R. Passos, E.C. Silva e A.N.F. Aleixo, Revista Brasileira de Ensino de Física 26, 1 (2004).
• [2] D.J. Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics (Prentice Hall, Nova Jersey 1955).
• [3] H. Cruz, A. Hernández-Cabrera and A. Muñoz, Semicond. Sci. Technol. 6, 218 (1991).
• [4] A. Chandra and L.F. Eastman, J. Appl. Phys. 53, 9165 (1982).

2

Se

Φ(x) satisfaz à equação de Schrödinger independente do tempo para um dado

E, assim acontece com

Φ(—x), e portanto também satisfazem as combinações lineares

Φ(

x) ±

Φ(—

x).

3

Se

Φ satisfaz à equação de Schrödinger independente do tempo para um dado

E, assim acontece com

Φ*, e portanto também satisfazem as combinações lineares

Φ ±

Φ*.

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  02 Mar 2012
• Data do Fascículo
  Dez 2011

Histórico

• Aceito
  02 Maio 2011
• Recebido
  15 Mar 2011