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Revista Brasileira de Ensino de Física

Print version ISSN 1806-1117

Rev. Bras. Ensino Fís. vol.33 no.4 São Paulo Oct./Dec. 2011

http://dx.doi.org/10.1590/S1806-11172011000400015 

PESQUISA EM ENSINO DE FÍSICA

 

Movimento browniano: uma proposta do uso das novas tecnologias no ensino de física

 

Brownian motion: a proposal of using new technologies in Physics teaching

 

 

Jalves S. Figueira1

Universidade Tecnológica Federal do Paraná, Pato Branco, PR, Brazil

 

 


RESUMO

A partir de uma breve descrição do movimento browniano analisamos dois vídeos encontrados na rede. Com o software de analise de vídeos e modelagem Tracker é determinado o deslocamento quadrático medio das partículas brownianas. Das medidas, determina-se o número de Avogadro e discute-se os resultados encontrados. Ao longo do trabalho são utilizados vídeos de partículas brownianas em suspensao na água e softwares livres, ambos disponíveis na web.

Palavras-chave: Einstein, tecnologias da educação, movimento browniano, Boltzmann, análise de vídeos, tracker.


ABSTRACT

From a brief description of Brownian motion we analyzed two videos found on the web. With the software of video analysis and Tracker modeling, it was determined the mean square displacement of Brownian particles. From the measures, it was determined the number of Avogadro and discussed the results. Throughout the work, videos of Brownian particles suspended in water and free softwares were used, both available on the web.

Keywords: Einstein, education technologies, Brownian motion, Boltzmann constant, image processing, Avogadro, tracker.


 

 

1. Introdução

O uso de microcomputadores por nossos alunos cresceu de forma considerável nos últimos anos. Este crescimento percebe-se no dia-a-dia de nossas universidades e escolas de Ensino Médio. Nos intervalos, pequenos grupos com seus aparelhos, ouvem música, assistem a filmes ou jogam nos corredores e pátios. Porém, nas atividades em sala de aula, apesar de existirem propostas, poucos profissionais utilizam o microcomputador como uma ferramenta de ensino-aprendizagem. Nosso objetivo envolve a pesquisa e difusão das novas tecnologias educacionais aliadas, na melhoria do ensino de física. Essas ferramentas educacionais permitem que professor e aluno desenvolvam experimentos significativos com qualidade e baixo custo, proporcionando uma aprendizagem significativa efetiva dos conceitos físicos [1].

Uma das ferramentas utilizadas neste trabalho é o software educacional de análise de vídeos e modelagem Tracker desenvolvido por Douglas Brown [2]. O programa é parte do projeto Open Source Physics, cujo objetivo é o desenvolvimento de programas com código aberto e licença GPL2 voltados ao ensino-aprendizagem de física. O aplicativo pode ser utilizado em três idiomas, entre estes o português é de fácil utilizacão. Com a ferramenta Tracker é possível estudar diferentes tipos de movimentos, a partir de vídeos produzidos com câmeras digitais, webcams e computadores pessoais. A posição do objeto é exibida quadro a quadro, possibilitando assim encontrar as sucessivas posições no tempo. O software permite também comparar os dados obtidos com um modelo físico definido.

A partir de uma breve descrição do movimento browniano, seção 2, analisamos dois vídeos encontrados na web, seção 3. Das medidas, seção 4, determinase o numero de Avogadro e discute-se os resultados encontrados. Ao longo do trabalho foram utilizados vídeos de partículas brownianas em suspensão na água e softwares livres, ambos disponíveis na rede.

 

2. Movimento browniano

Não e o objetivo desta seção descrever o histórico, bem como, as diferentes abordagens da dinâmica do movimento browniano. Sugere-se ao leitor, consultar neste mesmo periódico os artigos [3, 4]. Podemos citar também, os textos de Nussenzveig [5] e Stachel [6]. Nossa descrição seguira os passos apresentados na monografia de Isabel C. B. Razia sob a orientação de Borges da Costa [7]. Na construção de um modelo para descrever o movimento browniano deve-se considerar conceitos no campo da mecânica, termodinâmica e estatística. Principalmente as hipóteses básicas da teoria cinética dos gases e seus resultados. Um deles é a equação de estado dos gases ideais, PV = nRT, onde n é o número de moles, R é a constante universal dos gases e T a temperatura absoluta, e, o teorema da equipartição da energia, que relaciona para cada grau de liberdade a energia cinética média de uma partícula com a temperatura T e a constante de Boltzmann, 1/2m < v2 >= 3/2KT.

Um modelo simplificado para descrever o comportamento de uma partícula sujeita a uma força aleatoria f (t), resultado dos constantes choques com as moléculas do líquido e, que resultam em uma trajetória completamente ao acaso, é conhecido como caminho aleatório. As variáveis que descrevem as distribuições de probabilidade são deslocamento médio e deslocamento quadrático médio. Para descrever o modelo, caminho aleatório, vamos imaginar uma atividade de sala de aula. Para isso, os alunos podem utilizar uma folha quadriculada com eixos do plano cartesiano, um dado e um pequeno objeto para representar a partícula. Primeiramente, considere que num resultado ímpar no lançamento do dado a partícula desloca-se no sentido positivo, da direção x, e num resultado par, o deslocamento é no sentido negativo. As distâncias entre as linhas de nossa folha quadriculada representam o deslocamento de um passo. No primeiro lançamento, instante de tempo t = 0, e considerando que o movimento inicia na origem, com igual probabilidade de ocorrer em ambos sentidos, direção x, pode-se escrever que, a partícula estará na posição

no segundo lançamento, passo N = 2, a posição será

Após um lançamento de ordem N, a partícula encontrase na posiçao

O aluno pode verificar facilmente que as probabilidades são iguais, nosso dado não é viciado, resultando um progresso medio nulo, < xN > = 0. Porém, quanto em media os deslocamentos finais desviam-se da media? Espera-se que com o aumento do número de passos N, a partícula encontre-se distante da origem à direita ou esquerda do ponto de partida. É mais conveniente encontrar um valor médio positivo, isto é o quadrado da distância, determinado por

segue-se então que o valor esperado é

cujo valor medio esperado, "deslocamento quadrático médio" , resultado de muitas sequencias repetidas e N. Logo passos na direção x.

Utilizando o mesmo argumento para ambas direções do plano cartesiano, conclui-se que Desta forma, a atividade simulando o movimento browniano com o lançamento de um dado deve ter o seguinte procedimento. Lance o dado uma vez e siga as instruções. Se a face for: 1. a partícula desloca-se um passo no sentido positivo dos x; 2. desloca-se um passo no sentido negativo dos x; 3. desloca-se no sentido positivo dos y; 4. desloca-se no sentido negativo dos y; 5. não conte passos. Repita o lançamento; 6. não conte passos. Repita o lançamento.

Sendo iguais as probabilidades de lançamento nas direções x e y, temos que após N lançamentos do dado ou de N passos de nossa partícula, espera-se que em media Nx = Ny = N/2. Desta forma o deslocamento quadrático medio após N passos será

A partir do raciocínio acima pode-se substituir o número de passos do passeio aleatorio pelo número de colisões da partícula browniana, que é proporcional ao tempo de observação, e obter uma relação entre o deslocamento quadrático médio na direção x e o tempo de observação t

em que a constante de proporcionalidade D, Eq. (1), chama-se coeficiente de difusão. A Eq. (1) foi obtida a partir de um modelo, e com o objetivo de descrever o movimento browniano. Desta forma é preciso observar que, construir um modelo para o movimento browniano é partir da hipótese atomística. E, medir o movimento browniano comparando os resultados esperados com os observados é testar a hipótese de que a materia é feita de átomos, moléculas.

A fim de determinar o coeficiente de difusão D em função das propriedades do líquido e da partícula, vamos considerar a dinâmica da partícula browniana de massa m suspensa em um líquido à temperatura T. A cada instante a partícula sofre colisões com as moléculas do líquido. Como não há direção preferencial para o movimento molecular, o número de colisões flutua de forma irregular, resultando uma forca f (t), com media zero < f (t) >= 0. A partícula também está sujeita a uma força de atrito determinada pelo numero de moléculas que a partícula encontra no seu caminho. Esta força é função da velocidade e se opõe ao movimento da partícula, Αυ.

Pela segunda lei de Newton, a dinâmica de movimento da partícula na direção de um dos eixos, proposta por P. Langevin (1908) é

O parâmetro Α é uma função da viscosidade do fluido, η, e da forma da partícula. Para partículas esféricas de raio a, o coeficiente de atrito Α e a viscosidade η são relacionados pela lei de Stokes (Α = 6πηa).

A solução da Eq. (2) resulta no coeficiente de difusão D = kT/Α, que também pode ser escrito como D = RT/μAΑ, onde R é a constante dos gases e Na o número de Avogadro.

Assim, vamos escrever o deslocamento quadrático médio em duas dimensões como

A Fig. 1 ilustra o movimento browniano obtidos com partículas de diâmetros de 0,5 mícron em sus-pensão na água. As medidas das posições x e y foram obtidas com o software Tracker.

 

 

3. Procedimentos

Conforme exposto na introdução, nossa proposta é utilizar vídeos disponíveis na rede para o estudo do movimento browniano. Após uma busca de vídeos sobre o tema, selecionamos alguns filmes que atendessem os seguintes critérios e assim permitissem a realização de medidas do deslocamento quadrático médio das partículas em suspensão. Um dos requisitos era que esses apresentassem documentação sobre diâmetro das partículas, viscosidade e temperatura do fluído. Em outra faixa de critérios procuraram-se vídeos com duração acima de 10 segundos e que as partículas permanecessem visíveis neste tempo. Após uma busca rápida na web, acessando navegadores de busca, foram encontrados três vídeos com estas características [8-10].

Muitos filmes encontrados na rede não apresentam qualidade, alguns por apresentarem uma grande densidade de partículas, de forma que o constante choque entre estas dificultavam as medidas. Outros por possuírem um número pequeno de partículas e pouco tempo de exposição. Um bom material para análise necessita que as partículas browniana permaneçam visíveis, no foco da câmera, por tempo superior a dez segundos e com número razoável de partículas, além do material ser documentado como temperatura, viscosidade e diâmetro das partículas em suspensão.

Nos próximos parágrafos vamos detalhar algumas questões técnicas e procedimentos necessários para uma análise de um filme usando o software Tracker.

Após executar o aplicativo Tracker, use a função importar filme. Observe que, o tamanho do filme é medido em pixels (640 x 340, 800 x 600). Quanto maior o número de pixels maior a capacidade de representar detalhes da imagem, significando também o quanto a imagem pode ser ampliada sem perder a qualidade. Outro dado importante que determina a qualidade de um filme é o numero de frames por segundo, ou quadros por segundo. Um vídeo de qualidade produzido por maquinas domésticas ou webcam apresenta 30 frames por segundo. Com as informações acima e possível encontrar as sucessivas posições com seus intervalos de tempo ao longo do deslocamento de um objeto. Para determinar o deslocamento em metros, e preciso conhecer a resolução do filme pixels por metro, geralmente fornecido pelo autor do filme. Também pode ser determinada conhecendo o diâmetro medios das partículas (em metros). Por exemplo: um dos filmes analisados, Ref. [3], apresenta tamanho 384 x 284 pixels e tamanho medio das partículas de 1,5 mícrons. Deslocando o mouse sobre uma das partículas, ao longo do diâmetro, e contando o número de pixels, obtém-se para um total de dez partículas o valor medio de 3,45 x10~7 metros/pixels. A medida do intervalo de tempo entre posições é uma tarefa mais fácil. Com o software é possível "abrir" o filme quadro a quadro. Um filme de 30 frames/segundo, fornece um intervalo entre os quadros de 0,0333 s. Não há necessidade de determinar as posições quadro a quadro, pois o programa apresenta inúmeras facilidades como escolher o intervalo de tempo entre as medidas.

Como sugestão, escolha uma determinada partícula marcando sua posição quadro a quadro, isto é, siga a partícula nos sucessivos intervalos de tempo. Observe que dependendo da qualidade do filme é possível automatizar esta tarefa. O comando autotracker se encarrega de determinar as posições ao longos dos quadros. A Fig. 1 ilustra o resultado obtido, a partícula browniana apresenta uma trajetória "quebrada", resultado do caráter aleatorio da forca f (t) diferente de partículas macroscópicas cujo o deslocamento é suave.

 

4. Resultados experimentais

Na Fig. 2 estão os valores experimentais obtidos a partir de dois vídeos. Os dados relativos ao ajuste da reta < r2 >A, correspondem ao vídeo produzido por Walker [9]. O vídeo tem resolução de 384 x 284 pixels e apresenta 15 quadros/segundo com total de dez segundos. As partículas brownianas são gorduras do leite com diâmetros que variam entre 0,5 e 3 mícron em suspensão na água. Na Tabela 1, indicado por água/leite. Com a ferramenta de analise de vídeos Tracker, foram determinados as posições de um total de 15 partículas. De posse das posições de cada partícula, xi e yi, e com ajuda da planilha do BrOffice foi determinado o deslocamento quadrático para cada partícula segundo

 

 

 

 

A média para o total de partículas

O ajuste do deslocamento quadrático médio < r2 >B , Fig. 2, é relativo ao vídeo Atomic [10]. O filme foi obtido da pagina da Princeton University e apresenta partículas brownianas de poliestireno representadas na tabela 1 como água/poliest, com raio de 0,5 mícron imersas em água. A resolução é de 640 x 480 pixels com 2,0 quadros/segundo totalizando dez segundos. Utilizando o software Tracker, foram determinadas quadro a quadro as posições de 11 partículas.

O vídeo, Ref. [9], apresenta resolução de 3,45 x10-7 metros/pixels e temperatura de 291 K. O de partículas de poliestireno, resolução de 1, 64 x10-7 metros/pixel, temperatura 297 K e viscosidade da água de η = 9,135 x10-4 Nsm-2. Valores disponibilizados na página do autor.

Podemos observar na Tabela 1 os valores para o coeficiente de difusão D, obtidos do ajuste pelo método dos mínimos quadrados. Os valores do número de Avogadro NA, foram obtidos considerando os valores disponíveis para viscosidade da água, temperatura e diâmetro médio das partículas.

Cabe uma reflexão neste parágrafo sobre as incertezas envolvidas na atividade proposta. É possível identificar duas fontes de erros. Resultado do processo para determinar as posições e tempo das partículas e as incertezas dos instrumentos de medida; temperatura, viscosidade do líquido e diâmetros das partículas. Das incertezas dos instrumentos, não há indicação de valores pelos autores dos vídeos. Os erros para as medidas da posicões xi e yi são estatísticos. Isto é, ao utilizarmos o programa de análise de vídeo para as medidas das posições das partículas, os valores sob as mesmas condições tem a mesma probabilidade de ser por excesso ou por falta. E, ao determinar < r2 > as incertezas se compensam para um número grande de medidas. Considerando que nossa proposta tem cunho didático e que não dispomos das incertezas dos instrumentos de medida, pode-se dizer que diferenças são aceitáveis. Na tabela 1, terceira coluna pode-se observar a diferença percentual entre os valores obtidos e o valor conhecido do número de Avogadro.

É possível estimar resultados possíveis para nossas constantes. Considerando valores aproximados de na temperatura ambiente, e raio a relação D = kT/6πηa fornece para o coeficiente de difusão D um valor de 10-12 m2 s-1 o que concorda com os valores determinados.

 

5. Considerações finais

É fácil perceber, como mostra a Fig. 2, a relação linear entre o deslocamento quadrático médio < r2 > e o tempo t, que está de acordo com modelo teórico. Também é possível verificar no grafico diferentes coeficientes angulares para as retas. O ajuste dos dados da reta A, apresenta um menor coeficiente do que o ajuste da reta B, como previsto pelo modelo teórico. Naturalmente, pois as partículas brownianas de gordura do leite, diluídas em água, apresentam diâmetros médios maiores que as partículas do ajuste B e um coeficiente de viscosidade do líquido maior que o da água. Isto implica um deslocamento médio < xi > e < yi > menor.

Podemos destacar algumas contribuições deste trabalho. Os softwares e vídeos utilizados são livremente encontrados na web. Em um dos vídeos utilizados, Ref. [9], não foi feito pelo autor uma análise do movimento das partículas no líquido. No segundo vídeo, veja Ref. [10], os autores utilizam um software específico para medidas do movimento browniano, obtendo para o número de Avogadro o valor de 6, 63 Χ 1023 mol-1. O fato de utilizarem material específico para análise dos dados torna inviável a realização deste experimento em muitas instituições de ensino.

Medidas do deslocamento quadrático médio de partículas brownianas usando vídeo são encontrados em recentes publicações [11, 12]. A atividade exige uma série de cuidados e certa experiência em atividades experimentais de laboratório, além de materiais e equipamentos como partículas selecionadas, microscópios e câmeras digitais que muitos institutos de ensino não possuem.

Nossa proposta foi utilizar os recursos de multimídia disponíveis na rede e ferramentas computacionais livres dirigidas ao ensino-aprendizagem de física. Dependendo da qualidade do vídeo, o professor pode explorar características qualitativas ou quantitativas do movimento browniano. Utilizando o software Tracker, o aluno pode localizar em pixels as posições das partículas, Fig. 1, analisando o aspecto caótico do movimento. Verificar a relação linear entre o deslocamento quadrático médio e o tempo exige uma grande quantidade de dados, e o cálculo do coeficiente de di-fusãao e do número de Avogadro necessitam das grandezas que caracterizam as propriedades do fluido e partícula.

Espera-se com esse trabalho que educadores dos primeiros anos do ensino superior sintam-se motivados a usar as novas tecnologias educacionais nas atividades de sala de aula.

 

Agradecimentos

Dedico este trabalho aos meus ex-professores da UFSM turma de 1983.

 

Referências

[1] I.S. Araujo e E.A. Veit, Rev. Bras. de Pesquisa em Educação em Ciências 4,5 (2004).         [ Links ]

[2] D. Brown, Tracker: Free Video Analysis and Modeling Tool for Physics Education, disponível em http://www.cabrillo.edu/dbrown/tracker.         [ Links ]

[3] Silvio R.A. Salinas, Revista Brasileira de Ensino Física 27, 263 (2005).         [ Links ]

[4] J.M. Silva e J.A.S. Lima, Revista Brasileira de Ensino Física 29, 25 (2007).         [ Links ]

[5] H.M. Nussenzveig, Curso de Física Básica (Ed. Edgard Blücher, São Paulo, 1998).         [ Links ]

[6] J. Stachel, O Ano Miraculoso de Albert Einstein: Cinco Artigos que Mudaram a Face da Física (Ed. UFRJ, Rio de Janeiro, 2001).         [ Links ]

[7] I.B.R. Cristina e J.A.T. Borges da Costa, Explorando o Movimento Browniano em um Curso de Física Básica. Especialização em Física, UFSM, Santa Maria, 1993.         [ Links ]

[8] http://www.physics.emory.edu_weekssquishyExperiments.html,  acesso em 20/12/2010.         [ Links ]

[9] http://www.microscopy-uk.org.uk/dww/home/hombrown.htm, acesso em 20/12/2010.         [ Links ]

[10] http://www.cs.princeton.edu/, acesso em 20/12/2010.         [ Links ]

[11] P. Nakroshis, A. Matthew, J. Legere and C. Smith, American Journal of Physics 71, 568 (2003).         [ Links ]

[12] R.V. Castro, V. Gomez y P.V. Castro, Lat. Am. J. Phys. Educ. 2, 271 (2008).         [ Links ]

 

 

Recebido em 4/1/2011
Aceito em 20/8/2011
Publicado em 1/2/2011

 

 

1 E-mail: figueira@utfpr.edu.br.
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