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Revista Brasileira de Ensino de Física

Print version ISSN 1806-1117

Rev. Bras. Ensino Fís. vol.34 no.1 São Paulo Jan./Mar. 2012

http://dx.doi.org/10.1590/S1806-11172012000100004 

ARTIGOS GERAIS

 

Cálculo da taxa de ionização por campo de um átomo próximo a uma superfície metálica: aplicação ao microscópio iônico de campo

 

Calculating the field ionization of an atom near a metal surface: application to the field ion microscope

 

 

Ariel Almeida Abreu SilvaI; A.V. Andrade-NetoII,1

ICentro de Ciências Exatas e Tecnologia, Universidade Federal do Maranhão, São Luís, MA, Brasil
IIDepartamento de Física, Universidade Estadual de Feira de Santana, Feira de Santana, BA, Brazil

 

 


RESUMO

Neste trabalho calculamos a taxa de ionização (probabilidade de ionização por unidade de tempo) para um átomo póximo a uma superficie metálica submetido a um campo elétrico uniforme. A probabilidade de penetração da barreira é calculada usando a aproximação WKB. Utilizando-se um modelo simples para a energia potencial do elétron externo do átomo, mas que contém as características física principais do problema, obtem-se uma expressão analítica para a taxa de ionização em função da distância átomo-superfície. Apresenta-se também de forma introdutória os princípios básicos de funcionamento do microscópio iônico de campo.

Palavras-chave: ionização por campo, microscopia iônica, método WKB.


ABSTRACT

In this work we calculate the ionization rate constant (ionization probability per unit of time) as a function of the applied field (we assume a uniform field) and the atom's distance from the metal surface. In order to calculate the probability of barrier penetration we use semiclassical (WKB)approximation. We utilize one-dimensional model potential which is chosen to be a good physical representation of the real system. In addition, the field ion microscope is approached in a elementary way.

Keywords: field ionization, field ion microscopy, WKB approximation.


 

 

1. Introdução

Um átomo presença de um campo elétrico externo suficientemente intenso (da ordem de alguns volts/angstroms) pode ser ionizado por um efeito mecânico quântico denominado tunelamento [1]. Esse proceso é conhecido como ionização por campo. O primeiro a demonstrar essa possibilidade foi o físico americano Robert Oppenheimer em 1928. Ele considerou o átomo de hidrogênio no vácuo submetido a um campo elétrico uniforme e obteve que o efeito seria apreciável para magnitudes de campo da ordem de 0,5 V/˚ A [2]. A partir da década de 1950, com a criação do microscópio iônico de campo, conhecido pela sigla FIM (da acrossemia em inglês Field Ion Microscope) o problema de ionização por campo revestiu-se de grande interesse. O FIM foi o primeiro instrumento inventado pelo homem com capacidade de obter imagens individuais de átomos [3] e os passos que levaram ao seu desenvolvimento são brevemente relatados na Ref. [4].

O objetivo do presente trabalho é apresentar um cálculo para a taxa de ionização de um átomo próximo a uma superfície metálica, em uma situação que simula o comportamento do microscópio iônico de campo. Utilizaremos um modelo unidimensional simples para a energia potencial de um elétron sujeito a um campo coulombiano e a um campo elétrico externo. Para o cálculo da probabilidade de penetração da barreira de potencial (tunelamento) foi utilizada a aproximação WKB.

Nesse trabalho utilizaremos o sistema de unidades atômicas no qual se faz = m = e = 1. Para maiores detalhes ver o Apêndice da Ref. [5].

 

2. Microscópio Iônico de Campo

O Microscópio Iônico de Campo (FIM) consiste de uma agulha (a amostra a ser analisada) de ponta bem afiada, colocada em uma câmara preenchida com um gás, usualmente um gás nobre como hélio ou neônio, o qual será o formador das imagens. Um esquema simplificado do FIM é mostrado na Fig. 1. Entre a ponta (a amostra) e a tela, separadas por cerca de 5 cm, é aplicada uma diferença de potencial entre 1 a 30 kilovolts. Desse modo, em regiões próximas a protuberâncias atômicas, onde o campo elétrico é mais intenso, é possível se obter magnitudes de campo de alguns volts/angstroms. Devido à interações dipolo-dipolo entre os átomos da superfície da ponta e os átomos do gás, estes últimos são adsorvidos no metal, processo que é denominado adsorção por campo. Alguns outros átomos do gás são atraidos para a superfície pelo campo elétrico não-uniforme decorrente da geometria da amostra, e chocam-se com a ponta do metal com uma grande energia cinética. Nessas colisões os átomos transferem parte de sua energia cinética para a rede cristalina, o que resulta em velocidades pequenas de modo que eles não conseguem escapar da região próxima da ponta metálica, onde o campo elétrico é bastante intenso. Isso faz com que ocorra a ionização do átomo por tunelamento do seu elétron o qual irá ocupar um estado acima do nível de Fermi no metal. O íon resultante é acelerado em direção à tela onde formará a imagem. O contraste da imagem decorre do aumento local do campo elétrico, acima dos átomos protuberantes, criando então pequenas regiões acima destes átomos onde a probabilidade de ionização é maior em relação a locais onde o campo é menor (Fig. 1).

 

 

Existe uma distância crítica, xc, medida a partir da superfície do metal tal que, para valores menores que essa distância, o átomo não será ionizado. Isso acontece porque a ionização só pode ocorrer se a energia correspondente ao estado fundamental do átomo estiver acima do nível de Fermi do metal já que, para distâncias menores que xc, ele estará abaixo do nível de Fermi e todos os estados abaixo desse nível estão ocupados, pelo menos a T = 0 K, e não podem ser ocupados por mais de um elétron de acordo com o princípio de exclusão de Pauli. Desse modo, os átomos que se encontram nessa região não podem ser ionizados razão pela qual essa região é conhecida como zona proibida (Fig. 2). A distância crítica, cujo valor depende do material da ponta e do campo elétrico aplicado, é dada aproximadamente por [6].

onde B é a energia de ligação do elétron no átomo, ø é a função trabalho do metal e F é o campo elétrico aplicado, tomado como uniforme. Para átomos de hélio (He), B = 25, 4 eV (0,93 u.a), sobre uma superfície de tungstênio, ø = 4, 5 eV (0,16 u.a), na presença de um campo de magnitude 45 V/nm (0.09 u.a) encontramos que xc 4, 4 Å(8,6 u.a).

 

 

Ao mesmo tempo, a distância crítica é o local onde é maior a probabilidade de ocorrer a ionização por campo, a qual dene uma região chamada de superfície crítica ou zona de ionização (Fig. 2). Medidas experimentais [7] mostram que a largura dessa região é cerca de 0,2 Å.

Desse modo, com a criação do microscópio iônico de campo, o problema de ionização por campo próximo a uma superfície metálica revestiu-se de grande importância o que, naturalmente, mereceu a atenção de diversos autores [8-10]. Neste trabalho faremos uma abordagem teórica simplificada desse problema com resultados, do ponto de vista qualitativo, surpreendentemente bons.

 

3. Taxa de ionização e modelo de potencial

Em um modelo unidimensional, a taxa de ionização I, que representa a probabilidade por unidade de tempo para que ocorra a ionização, é dada pela expressão

onde ν é o número de choques, por unidade de tempo, realizado pelo elétron contra a barreira e P é a probabilidade de que em uma tentativa o elétron escape do átomo.

Podemos calcular a probabilidade de penetração da barreira de potencial, P , utilizando a aproximação WKB (devido a Wentzel, Kramers e Brillouin). Esse método, também conhecido como semiclássico, fornece a seguinte expressão para P [11, 12] (em unidades atômicas)

onde V (x) é a energia potencial, E é a energia total da partícula e x1 e x2 são os pontos de retorno clássico nos quais, por definição, V (x) = E.

Vamos agora apresentar um modelo unidimensional simples para a energia potencial que simula a ionização por campo no FIM. O interior do metal será representado por um poço de potencial de profundidade uniforme, com altura ø acima do nível de Fermi, onde ø é a função trabalho local a campo zero. Do lado de fora do metal, a energia potencial consiste de dois termos: o potencial de um campo elétrico uniforme (-Fx), (onde x é medido a partir do núcleo do átomo formador da imagem), e o potencial coulombiano ( Zef /x), onde Zef é um parâmetro variável do modelo que pode refletir, dentre outos efeitos, o potencial imagem; para o Hélio, por exemplo, Zef é tomado como 1, 5. Assim, o elétron externo de um átomo "hidrogenóide" próximo ao metal e submetido a um campo elétrico uniforme possui a seguinte energia potencial (Fig. 3).

 

 

Os pontos de retorno clássico são as raízes da Eq. (5) dadas pela expressão

Valores típicos de F e B, em unidades atômicas, são, respectivamente, 0,01 (0,514 V/Å) e 0, 5 (13,6 eV). Desse modo, podemos considerar que F << B2. Utilizando essa aproximação, os pontos de retorno clássico podem ser escritos como

e

 

4. Cálculo da probabilidade de penetração na barreira

Para calcular a probabilidade de penetração na barreira devemos substituir a Eq. (5) na expressão (3). A integral resultante não é trivial mas pode ser resolvida em termo de integrais elípticas completas [5].

Aqui utilizaremos uma versão mais simples para a energia potencial, a qual permite um cálculo trivial para a taxa de ionização ao mesmo tempo em que mantêm as principais características físicas do problema. Separaremos em regiões distintas as influências do campo elétrico e do campo coulombiano (Fig. 4). Próximo ao núcleo atômico o potencial coulombiano predomina em comparação com o campo elétrico, ocorrendo o contrário à medida que nos afastamos do núcleo. Desse modo, próximo ao núcleo vamos utilizar apenas o potencial coulombiano mas, a partir do seu valor máximo (xmax), a barreira decresce linearmente conforme mostrado na Fig. 4. Assim, a Eq. (3) pode ser escrita como

 

 

onde o ponto de retorno clássico interno, α, é dado pela Eq. ( 7 ) e xmax é dado por

A primeira integral da Eq. ( 9 ), que denominaremos de L1, é resolvida fazendo-se a substituição y2 = B - Zef /x, que fica

A integral acima é do tipo e tem por resultado

onde b é uma constante. Utilizando a Eq. ( 12 ) encontramos para a integral ( 11 ) a seguinte expressão

A segunda integral, denominada L2, é de fácil resolução e tem como resultado

Substituindo as expressões ( 13 ) e ( 14 ) na Eq. ( 9 ) encontra-se

que fornece a probabilidade de penetração na bareira em função da distância átomo-superfície.

 

5. Expressão analítica para a taxa de ionização encontra

Calculada a probabilidade de penetração da barreira de potencial, P, podemos agora calcular a taxa de ionização. Conforme já citado, o elétron só pode sofrer transição para estados acima do nível de Fermi no metal, sendo proibida a ocorrência de ionização por campo para distâncias menores que a distância crítica dada pela Eq. (1).

Assim, a Eq. (15) só se aplica qundo o átomo se encontra a uma distância maior que xc da superfície do metal já que P = 0 para z0 < xc. Por outro lado, para distâncias z0 maiores que B/F (o ponto de retorno clássico externo) o elétron tunelará para o vácuo já que, nesse caso, o metal está suficientemente afastado do átomo. Assim, temos a seguinte expressão para a taxa de ionização para um átomo em função da distância z0 à superficie do metal

A Fig. 5 mostra o gráfico da taxa de ionização obtida da Eq. (16). Os valores numéricos utilizados foram B = 25,4 eV (0,93 u.a.), Zef = 1, 5 e F = 45 V/nm (0,09 u.a.). O número de choques, por unidade de tempo, contra a barreira ν é calculada via modelo de Bohr. Para o hélio encontra-se [6] ν = 2, 4 × 1016 s-1 (0,58 u.a.).

 

 

Vemos que a Eq. (16) descreve qualitativamente bem o processso de ionização por campo como ocorre no microscópio iônico de campo. Adicionalmente, podemos obter a taxa de ionização para o átomo de hidrogênio no vácuo submetido a um campo elétrico uniforme como um caso particular dessa expressão. Para esse caso (átomo de hidrogênio no vácuo) os valores numéricos são: B = 13, 6 eV (0,5 u.a.), Zef = 1, ν = 0, 5 (u.a.) e obtemos da Eq. (16) (para z0 > B/F)

Essa expressão deve ser comparada com o resultado obtido por Landau e Lifshitz [13] e que é o aceito como o correto no limite de campo fraco (F << B2), i.e.,

Vemos que o resultado obtido no presente trabalho, a menos de um fator numérico, depende do campo elétrico de forma idêntica ao resultado de Landau e Lifshitz [F -1exp(-2/3F )], o que demonstra coerência do resultado alcançado.

 

6. Conclusões

A microscopia com resolução em escala atômica é uma poderosa técnica que permite a obtenção de imagens, com detalhes atômicos, de superfícies de diversos materiais de grande interesse científico e tecnológico. Neste trabalho analisamos de um ponto de vista teórico o fenômeno de ionização por campo de um átomo de um gás nobre próximo a uma superfície metálica e submetido a um campo elétrico uniforme. Partindo de um modelo unidimensional simples para a energia potencial e utilizando a aproximação WKB para o cálculo da probabilidade de penetração de barreira, conseguimos obter uma expressão analítica relativamente geral para a taxa de ionização do átomo em função da distância átomo-superfície. Essa expressão descreve qualitativamente bem o funcionamento do microscópio iônico de campo. A taxa de ionização possui um valor máximo na distância crítica e a partir desse valor decresce muito rapidamente com o aumento da distância até o ponto z0 = B/F a partir do qual permanece constante. A situação de ionização por campo no vácuo (sem a presença da superfície metálica) pode ser obtida como um caso particular do resultado obtido no presente trabalho.

 

Referências

[1] A.V. Andrade-Neto e Ariel Almeida Abreu Silva, Caderno de Física da UEFS 7,115(2009).         [ Links ]

[2] R. Oppenheimer, Phys. Rev. 31,67(1928).         [ Links ]

[3] E.W. Müller and T.T. Tsong, Field Ion Microscope, Principles and Application (Elsevier, New York, 1969).         [ Links ]

[4] Caio Mário Castro de Castilho, Revista Brasileira de Ensino de Física 25,364(2003).         [ Links ]

[5] Ariel Almeida Abreu Silva e A.V. Andrade-Neto, Revista Brasileira de Ensino de Física 32,2306(2010).         [ Links ]

[6] E.W. Müller and K. Bahadur, Phys. Rev. 101,624(1956).         [ Links ]

[7] T.T. Tsong and E.W. Müller, J. Chem. Phys. 41,3279(1964).         [ Links ]

[8] Antonio V. de Andrade Neto and Caio Mário C. de Castilho, J. Phys. B; Atom. Mol. Phys. 24,2609(1991).         [ Links ]

[9] Roger Haydock and David R. Kingham, J. Phys. B; Atom. Mol. Phys. 14,385(1981).         [ Links ]

[10] S.C. Lam and R.J. Needs, Surf. Sci. 277,359(1992).         [ Links ]

[11] David Bohm, Quantum Theory (Prentice-Hall, New Jersey, 1960).         [ Links ]

[12] David J. Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics (Pearson Education, New Jersey, 2005).         [ Links ]

[13] L.D. Landau and E.M. Lifshitz, Quantum Mechanics (Pergamon, Oxford, 1965), §77.         [ Links ]

 

 

Recebido em 17/6/2011; Aceito em 28/7/2011; Publicado em 27/2/2012

 

 

1 E-mail: aneto@uefs.br.