Termodinâmica do modelo de Ising com interações de alcance infinito via ensemble canônico generalizado

Thermodynamics of Ising model with infinite-range interactions by generalized canonical ensemble

ARTIGOS GERAIS

Termodinâmica do modelo de Ising com interações de alcance infinito via ensemble canônico generalizado

Thermodynamics of Ising model with infinite-range interactions by generalized canonical ensemble

Leandro G. Rizzi^I,1; Rafael B. Frigori^II

^IDepartamento de Física, Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras de Ribeirão Preto, Universidade de São Paulo, Ribeirão Preto, SP, Brasil

^IIUniversidade Tecnológica Federal do Parana, Toledo, PR, Brasil

RESUMO

Apresentamos nesse trabalho a ideia de como ensembles generalizados podem ser utilizados para simplificar operacionalmente o estudo de sistemas físicos não aditivos. Como alternativa aos métodos tradicionais de integração direta ou teoria de campo médio, mostramos como a solução do modelo de Ising com interações de alcance infinito é obtida utilizando um ensemble canônico generalizado. Descrevemos como as propriedades termodinâmicas para esse modelo na presença de um campo magnético externo são encontradas por meio de simples equações paramétricas. Sem prejuízos a interpretação usual, obtemos um comportamento crítico identico ao observado nas abordagens tradicionais.

Palavras-chave: modelo de Ising, interações de alcance infinito, ensemble canônico generalizado.

ABSTRACT

In this work we present the idea of how generalized ensembles can be used to simplify the operational study of non-additive physical systems. As alternative of the usual methods of direct integration or mean-field theory, we show how the solution of the Ising model with infinite-range interactions is obtained by using a generalized canonical ensemble. We describe how the thermodynamical properties of this model in the presence of an external magnetic field are founded by simple parametric equations. Without impairing the usual interpretation, we obtain an identical critical behaviour as observed in traditional approaches.

Keywords: Ising model, infinite-range interactions, generalized canonical ensemble.

1. Introdução

Em geral, a ocorrência de problemas matematicamente inconsistentes, ou apenas intratáveis, impulsiona o desenvolvimento de novos paradigmas teóricos na física, o que se da muitas vezes pela extensao de formalismos já conhecidos. Consideremos, por exemplo, o aparecimento das estatísticas de Bose-Einstein e Fermi-Dirac na teoria dos ensembles na mecânica estatística [ 1] . Nesses casos, com o advento do ensemble grandecanoânico, foi possável obter as propriedades termodinâmicas de diversos sistemas como gases quânticos não-interagentes a partir de modelos microscópicos [2].

Nas últimas décadas, o desenvolvimento de ensembles generalizados² tem constituido uma abordagem promissora no tratamento de uma série de modelos na mecânica estatística [4-9]. Computacionalmente, a utilização desses ensembles generalizados está ligada à busca de algoritmos de amostragem de configurações (por exemplo, o metodo de Monte Carlo) mais eficientes [10-13]. O objetivo desse artigo e ilustrar a utilização prática dessas possíveis generalizações. Como motivação, apresentamos pedagogicamente o estudo do modelo de Ising com interações de alcance infinito.E ste e um modelo interessante e que exemplifica um sistema não trivial, já que não apresenta aditividade na energia. Além disso, outras duas soluções analíticas, via integração direta ou teoria de campo medio, são conhecidas [14,15].

Na Seção 2 revisamos os aspectos gerais envolvidos na dedução³ de uma classe geral de ensembles, baseada no formalismo canônico. No contexto da teoria das flutuações discorremos brevemente sobre a equivalência entre os ensembles dessa classe e os ensembles usuais

(canônico e microcanônico). Na Seção 3, além de descrever o modelo de Ising de alcance infinito, discutimos em detalhes como as suas propriedades termodinâmicas são obtidas a partir do formalismo canônico generalizado empregando simples equações paramétricas.

2. O ensemble canônico generalizado

Consideramos aqui, sem perda de generalidade, um sistema magnetico com N spins submetido a um campo magnetico externo H. Denotamos por \m seus microestados com energia E_m. Utilizamos o princípio da maximização da função entropia [16]

para encontrar as probabilidades p_m de cada um dos microestados, onde k_B e a constante de Boltzmann.

Além do vínculo estabelecido pela condição de normalização da distribuição de probabilidade

com p_m> 0, escolhemos o vínculo

onde Φ(Ē) é uma função arbitraria da energia⁴ Ē = , com simbolizando o Hamiltoniano do sistema. Note que se = _interação - H (com sendo o operador magnetização), então Ē (Ē = Ū - H ) é igual a entalpia magnética do sistema.⁵

Como solução do problema de maximização obtemos uma distribuição canônica generalizada, cujo peso é dado por

onde

e a função de partição generalizada e e um multiplicador de Lagrange.

Substituindo a expressão (3) na expressão (2) obtemos

ou, de forma equivalente,

Analogamente ao que e feito no ensemble canônico tradicional, substituimos o resultado (3) na expressão ( 1) , o que fornece a seguinte expressão para a entropia

Precisamos agora de uma relação entre o parâmetro e a temperatura absoluta T. Derivando ambos os lados da Eq. (6) com respeito a Ē obtemos

a qual pode ser comparada com conhecida relação a termodinâmica

onde E é a entalpia magnética do sistema [14]. Comparando as duas últimas expressões diretamente obtemos a relação

a qual permite expressar e Ē em termos das variaveis usuais T, H e N. Vale notar que todas as relações aqui generalizadas reduzem-se às usuais, do ensemble canônico, quando Φ (E) = E .

Sendo Φ (E) uma função crescente de E, temos que a função distribuição de probabilidades e um produto da função densidade de estados Ω(E) - que cresce rapidamente - e da função - que descresce rapidamente⁶ - ou seja,

No limite termodinâmico um pico bem pronunciado surge em algum valor E = Ē*. A localização desse pico e obtida através da relação

ou seja, quando

Substituindo a igualdade na Eq. (7) na expressão anterior obtemos

que e a mesma equação que no ensemble microcanônico define a temperatura como uma função de Ē, assim, no limite termodinâmico, a função Ē* (T, H, N) coincide com a função Ē "(T, H, N) do ensemble microcanônico.

Utilizando a distribuição de probabilidades dada pela expressão (8) , calculamos a função de partição a partir da Eq. (6), obtendo assim

Assumindo que a soma na expressão acima e dominada pelo maior termo, onde E = E*, chegamos à seguinte expressão

em concordância com o ensemble microcanônico.

Para a equivalencia com o ensemble canônico tradicional devemos demonstrar que as flutuações

são negligenciáveis no sentido de que as flutuações relativas anulam-se (i.e.) no limite termodinâmico. Como Φ (Ē) não depende explicitamente de mas depende da temperatura T, que por sua vez depende de , devemos considerar a derivada implicita

Utilizando a igualdade da expressão (7) reescrevemos T em função de Φ' Ē e a partir de onde obtemos:

Efetuando a derivada do lado direito da Eq. (10) teremos

onde podemos substituir a definição do calor específico a campo constante

para obter

Essa expressão e geral, portanto, o procedimento de verificação da equivalencia de ensembles deve ser executado para cada escolha particular da função Φ (E).

3. O modelo de Ising de alcance infinito

Consideremos um sistema com N spins de Ising (S_i = ±1) que interagem por meio de uma interação de troca de alcance infinito. A fim de fornecer um limite termodinâmico bem comportado introduzimos um fator 1/N na interação de troca entre dois spins. Sem isso, a energia associada a interação de um unico spin poderia crescer linearmente com o volume da amostra e um limite termodinâmico bem definido seria impossível. Com isso, o fator 1 /N garante a extensividade mas não a aditividade do modelo. Tambem incluímos o caso de interação entre spins comum campo magnético externo H. Para esse sistema o Hamiltoniano⁷ e definido por

A não-aditividade para esse sistema pode ser verificada considerando o Hamiltoniano da soma de dois de seus subsistemas . A presença de termos cruzados, denotados por , diferentes de zero, define o que chamamos de sistema não-aditivo.

Considerando a identidade

podemos reescrever o primeiro somatorio na Eq. (13) como

Dessa maneira o Hamiltoniano pode ser reescrito como

onde completamos quadrados para obter

3.1. Solução no ensemble canônico generalizado

Dado que E e auto-valor de , escolhemos

Notamos que a função Φ (E) é crescente para E ∈ (J - NJ - H, J). Além disso, utilizando a Eq. (12), e possível mostrar⁸ que no limite termodinâmico e, consequentemente, que essa escolha de Φ(E) gera um ensemble canônico generalizado equivalente ao ensemble canônico tradicional.

Utilizando a Eq. (4) obtemos, a partir da Eq. (15), a seguinte função de partição

Uma vez que estas somas são independentes (i.e. inexistem termos cruzados S_iS_j) podemos reescrever a Eq. (16) por meio de um produtáorio da seguinte maneira

Somando explicitamente sobre os valores dos spins e efetuando o produtoário sobre todos os N spins, obtemos

Tomando o logarítmo da função de partição generalizada, dada pela Eq. (17), obtemos a seguinte expressão

que pode ser utilizada para calcular a função Φ(E) por meio da expressão (5), ou seja

Calculamos

através da Eq. (7) e obtemos a se guinte expressão

Entao, fazendo a substituição de na Eq. (19) e multiplicando o resultado por 1 obtemos

Consideremos a seguinte definição para a constante T_c

que, de fato, representa a temperatura cráítica do modelo relacionada àa transição de fase ferromagnética, a qual distingue as fases ordenada (ferromagnética, para T < T_c) e desordenada (paramagnetica, para T > T_c).

Em seguida, efetuamos as seguintes mudanças de variáveis

e

Dessa maneira podemos reescrever a Eq. (21) como

então, se fizermos uso da definição

obteremos uma simples equação transcendental

Por fim, como visamos o cálculo das grandezas termodinâmicas, escolhemos parametrizar a razão T/T_c. Para tal, introduzimos a variável

na Eq. (26), de onde obtemos finalmente a seguinte equação paramétrica

3.2. Grandezas termodinâmicas

A partir da Eq. (26) e de relações termodinaómicas é possáível obter equações paramétricas para grandezas como a entropia, entalpia magnetica, calor específico e magnetização em função da variável ξ. Apresentamos a seguir tal procedimento, utilizando os gráficos para ilustrar o comportamento dessas grandezas em função da razão T/T_c dada pela expressão (28).

Entropia

Considerando as seguintes identidades

reescrevemos a Eq. (18) como

A partir da definição (15) e da expressão (20) escrevemos

Assim, substituindo as expressões (29) e (30) na Eq. (6) encontramos a entropia do sistema

de onde, com o auxílio da mudança de variável definida pela igualdade (27), obtemos

O gráfico da entropia adimensional S/Nk_B para diversos valores de h é mostrado na Fig. 1. Notamos que

para T > T_c a entropia adimensional S/Nk_B tende para ln 2 = 0, 6931..., valor esperado para um sistema de spins de Ising usual (de dois estados).

Entalpia magnética

Para calcular a entalpia magnética E do sistema invertemos a expressão (23), que fornece a igualdade E= J(1 - Nu), a qual, no limite termodinâmico, e dada como

Utilizando a definição na Eq. (27), reescrevemos a expressão

como

onde substituimos a razão T=T_c dada pela expressão (28) , o que resulta em u = tanh² (ξ) + 2h tanh (ξ). Finalmente, substituindo esse ultimo resultado para u na Eq. (33) teremos

que, junto com a Eq. (28), fornece o gráfico da entalpia magnética adimensional por spin E/NJ em função da razao T/T_c para diversos valores do campo magnético adimensional h, como mostra a Fig. 2.

Calor específico

Calculamos o calor específico a campo constante utilizando a seguinte relação da termodinâmica

Considerando as Eqs. (33) e (34) temos

Como o campo H e constante e não depende de T, reescrevemos c_H como

Derivando os dois lados da Eq. (26) em relação a variável T obtemos

onde podemos isolar

, o que resulta em

Então, substituindo

da Eq. 37 na Eq. 36 obtemos

Por fim, fazendo uso da definição (22) e das igualdades (27) e (28), reescrevemos a equação acima como

que é uma equaçãoo paramétrica para o calor específico a campo constante. Na Fig. 3 apresentamos o gráfico para o calor específico C_H=Nk_B em funçãoo da razão T=T_c para diferentes valores do campo magnético adimensional h.

Magnetização

Para o cálculo da magnetização do sistema, consideramos a energia livre de Gibbs dada por G(T, H) =E (S, H) - TS, de onde extraimos a seguinte relação:

Lembrando que a derivada parcial em H é escrita em termos de h = H=2J como (2J)^-1∂=∂h.

Partindo da entalpia magnética E dada pela Eq. (33) e considerando u definido como na expressão (34), calculamos

O segundo termo da Eq. (40) é obtido utilizando a entropia S dada pela Eq. (31), ou seja,

onde podemos substituir a identidade (26), o que resulta em

Substituindo os resultados das Eqs. (41) e (42) na ex pressão (40) chegamos a

que, a partir da expressão (26), pode ser reecrita como

Finalmente, considerando a mudança de variavel (27), obtemos a equação parametrica para a magnetização m = tanh (ξ), utilizada para obter o gráfico apresentado na Fig. 4.

Notamos que, pela Eq. (43) obtemos a relação x = m + h, que pode ser substituida na Eq. (44), fornecendo

Esta é exatamente a equação transcendental encontrada para esse modelo através das abordagens usuais, seja ela a teoria de campo médio ou a integração direta da função de partição (vide Ref. [14]). A partir dela e possáível obter todos os expoentes cráíticos de maneira análoga aà usual e tirar conclusões sobre a sua classe de universalidade [14, 15].

4. Conclusões

Revisamos aqui o conceito de que e possível construir uma classe de ensembles canônicos generalizados, os quais podem ser utilizados em abordagens alternativas para solucionar problemas na mecaónica estatística. Utilizando um ensemble particular dessa classe de ensembles canônicos generalizados, obtivemos a solução do modelo de Ising com interação de alcance infinito de maneira simples, isto e, sem utilizar a integração da função de partição via ponto de sela ou argumentos da teoria de campo medio. Além disso, apresentamos um procedimento via equações paramétricas que permite a caracterização de propriedades termodinâmicas tanto analiticamente quanto visualmente, o que pode ser util em estudos de outros modelos, especialmente aqueles que não apresentam aditividade.

Agradecimentos

Os autores gostariam de agradecer aos professores Alexandre S. Martinez e Nelson A. Alves pelas discussões realizadas e à CAPES pelo fomento.

Referências

[1] R.K. Pathria, Statistical Mechanics (Butterworth-Heinemann, Oxford, 1996), 2ª ed.

[2] Sistemas tais como gas de eietrons (modelo de Sommerfeld para condutividade), de fotons (distribuição de Plank e lei de Stephan-Boltzmann), de fonons; condensado de Bose-Einstein; etc. Vide Capitulo 4 do livro de D. Chandler, Introduction to Modern Statistical Mechanics (Oxford University Press, Nova Iorque, 1987).

[3] C. Tsallis, J. Stat. Phys. 52,479(1988).

[4] J.H. Hetherington, J. Low Temp. Phys. 66, 145 (1987); J.H. Hetherington and D.R. Stump, Phys. Rev. D 35, 1972 (1987).

[5] R.S. Johal, A. Planes and E. Vives, Phys. Rev. E 68, 056113(2003).

[6] R. Toral, Physica A 365,85(2006).

[7] M. Costeniuc, R.S. Ellis, H. Touchette and B. Turkington, J. Stat. Phys. 119,1283(2005).

[8] M. Costeniuc, R.S.E llis, H. Touchette and B. Turkington, Phys. Rev. E 73,026105(2006).

[9] R.B. Frigori, L.G. Rizzi and N.A. Alves, Eur. Phys. J. B 75 311(2010).

[10] J.V. Lopes, M.D. Costa, J.M.B.L. dos Santos and R. Toral, Phys. Rev.E 74, 046702 (2006);

[11] T. Neuhaus and J.S. Hager, Phys. Rev. E 74, 036702(2006).

[12] T. Morishita and M. Mikami, J. Chem. Phys. 127, 034104(2007).

[13] J. Kim, T. Keyes and J.E. Straub, J. Chem. Phys. 132, 224107(2010).

[14] H.E. Stanley, Introduction to Phase Transitions and Critical Phenomena (Oxford University Press, Oxford, 1971).

[15] J.J. Binney, N.J. Dowrick, A.J. Fisher and M.E. Newman, The Theory of Critical Phenomena (Claredon Press, Oxford, 1999).

[16] Vide Secäo 6.10 do livro F. Reif, Fundamentals of Statistical and Thermal Physics (McGraw Hill, 1965).

[17] G. Castellano, J. Magn. Magn. Mater. 260,146(2003).

Recebido em 18/8/2011; Aceito em 17/1/2012; Publicado em 27/2/2012

2

Diferentemente da mecânica estatística generalizada de Tsallis [3], essas formulações são consideradas apenas extensões particulares do ensemble canânico.

3

Essa derivação foi originalmente proposta por R. Toral e pode ser encontrada na Ref. [6].

4

Note que o vínculo da expressão (2) implica que

Φ(

Ē)

= Φ(

Ē)

5

Muitas vezes esse fato passa despercebido nos livros texto. Para uma discussão detalhada vide Ref. [17].

6

Isso ocorre apenas se a função Φ(

Ē) é crescente.

7

O fator 2 na contribuição da interação de troca foi incluído por uma questão de conveniencia nos cálculos e tambem para manter a notação consistente com a utilizada na Ref. [14] .

8

Consideramos aqui que

Φ

= Φ(

E) como definido pelo vínculo na expressão (2).

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  16 Maio 2012
• Data do Fascículo
  Mar 2012

Histórico

• Recebido
  18 Ago 2011
• Aceito
  17 Jan 2012